При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.
Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных , правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции .
Вывод формулы логарифмической производной.
Сначала производим логарифмирование по основанию e
, упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:
Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x .
Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:
Ответ:
.
Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
В этом примере функция 
представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной 
. Почему? Вы сейчас поймете.
Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):
Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:
Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:
Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.
Пример.
Найдите производную показательно степенной функции 
Пусть
(1)
есть дифференцируемая функция от переменной x
.
В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x
,
для которых y
принимает положительные значения: .
В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений .
В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции ,
.
Отсюда
(2)
.
Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.
Логарифмическая производная функции y = f(x) - это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x))′ .
Случай отрицательных значений y
Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3)
.
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .
Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .
Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x
,
отрицательна: .
Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.
Свойство логарифмической производной
Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную
:
.
Действительно, применяя свойства логарифма
, формулы производной суммы
и производной постоянной
, имеем:
.
Применение логарифмической производной
Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.
Пример 1
Найти производную функции:
.
Решение
Логарифмируем исходную функцию:
.
Дифференцируем по переменной x
.
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
;
;
;
;
(П1.1)
.
Умножим на :
.
Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.
Примечание
Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда
;
.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.
Ответ
Пример 2
С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.
Решение
Логарифмируем:
(П2.1)
.
Дифференцируем по переменной x
:
;
;
;
;
;
.
Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.
Производная исходной функции:
.
Примечание
Здесь исходная функция неотрицательная: .
Она определена при .
Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
.
Поскольку
и
,
то это не повлияет на окончательный результат.
Ответ
Пример 3
Найдите производную
.
Решение
Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что :
(П3.1)
.
Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
(П3.2)
.
Поскольку ,
то
.
Примечание
Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
;
.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.
Тема урока: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» в заданиях ЕНТ
Цель : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Первообразная показательной функции» для решения задач ЕНТ.
Задачи
Образовательные: систематизировать теоретические знания учащихся, закрепить навыки решения задач по данной теме.
Развивающие: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, внимания, навыков самооценки и самоконтроля.
Воспитательные: способствовать:
формированию у учащихся ответственного отношения к учению;
развитию устойчивого интереса к математике;
созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.
Методы обучения : словесный, наглядный, практический.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.
Ход урока
Эпиграф: « Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике» Аристотель (слайд 2)
II. Разгадывание кроссворда. (слайд 3-21)
Французский математик XVII века Пьер Ферма определил эту линию так «Прямая, наиболее тесно прилегающая к кривой в малой окрестности точки».
Касательная
Функция, которая задается формулой у = log a x.
Логарифмическая
Функция, которая задается формулой у = а х.
Показательная
В математике это понятие используется при нахождении скорости движения материальной точки и углового коэффициента касательной к графику функции в заданной точке.
Производная
Как называется функция F(x) для функции f(x), если выполняется условие F"(x) =f(x) для любой точки из интервала I.
Первообразная
Как называется зависимость между X и У, при которой каждому элементу Х ставится в соответствие единственный элемент У.
Производная от перемещения
Скорость
Функция, которая задается формулой у = е x .
Экспонента
Если функцию f(x) можно представить в виде f(x)=g(t(x)), то эту функцию называют…
III. Математический диктант.(слайд 22)
1. Записать формулу производной показательной функции. (а х)" = а х ·ln a
2. Записать формулу производной экспоненты. (e х)" = e х
3. Записать формулу производной натурального логарифма. (ln x)"=
4. Записать формулу производной логарифмической функции. (log a
x)"= 
5. Записать общий вид первообразных для функции f(x) = а
х. F(x)=
6. Записать общий вид первообразных для функции f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C
Проверить работу (ответы на слайде 23).
IV. Решение задач ЕНТ (тренажер)
А) №1,2,3,6,10,36 на доске и в тетради (слайд 24)
Б) Работа в парах №19,28 (тренажер) (слайд 25-26)
V. 1. Найти ошибки: (слайд 27)
1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х
2) f(x)=17 2х, f "(x)= 17 2х ln17
3) f(x)= log 5
(7x+1), f "(x)=
4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.
VI. Презентация учащихся.
Эпиграф: «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» Фома Аквинский (слайд 28)
VII. Дом.задание №19,20 стр.116
VIII. Тест (резервное задание) (слайд 29-32)
IX. Итог урока.
«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей жизни» М.Калинин (слайд 33)
Алгебра и начала математического анализа
Дифференцирование показательной и логарифмической функции
Составитель:
учитель математики МОУ СОШ №203 ХЭЦ
г. Новосибирск
Видутова Т. В.
Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование
1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"
Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.
Построим для различных оснований а графики:
1. y = 2 x
3. y = 10 x
2. y = 3 x
(2 вариант)
(1 вариант)
1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);
2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0
при х ∞;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.
Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х
С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.
Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.
График и свойства функции y = е x :
1) D (f) = (- ∞; + ∞);
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = (0; + ∞);
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Функцию y = е x называют экспонентой .
В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :
(e x ) = e x
(е 5х )" = 5е 5х
(е х-3 )" = е х-3
(е -4х+1 )" = -4е -4х-1
Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = ex
Ответ:
Пример 2 .
x = 3.
Пример 3 .
Исследовать на экстремум функцию
х=0 и х=-2
х = -2 – точка максимума
х = 0 – точка минимума
Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).
График и свойства функции y = ln x
Свойства функции y = ln x:
1) D (f) = (0; + ∞);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = (- ∞; + ∞);
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.
0 справедлива формула дифференцирования " width="640"
В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования
Пример 4:
Вычислить значение производной функции в точке x = -1.
Например:
Интернет-ресурсы:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html