Аннотация: Первая тема имеет вводный, в основном, терминологический характер. Подробно раскрываются понятия модели и моделирования, их назначение как основного, а подчас, и единственного метода анализа и синтеза сложных систем и процессов. Дается обзор классификации моделей и моделирования, в некоторой мере упрощенный, но достаточный для полного уяснения сущности моделирования как вообще, так и математического в частности.

Сам по себе процесс моделирования в полной мере не формализован, большая роль в этом принадлежит опыту инженера. Но, тем не менее, рассматриваемый в теме процесс создания модели в виде шести этапов может стать основой для начинающих и с накоплением опыта может быть индивидуализирован.

Математическая модель , являясь абстрактным образом моделируемого объекта или процесса, не может быть его полным аналогом. Достаточно сходства в тех элементах, которые определяют цель исследования. Для качественной оценки сходства вводится понятие адекватности модели объекту и, в связи с этим, раскрываются понятия изоморфизма и изофункционализма. Формальных приемов, позволяющих автоматически, "бездумно", создавать адекватные математические модели, нет. Окончательное суждение об адекватности модели дает практика, то есть сопоставление модели с действующим объектом. И, тем не менее, усвоение всех последующих тем пособия позволит инженеру справляться с проблемой обеспечения адекватности моделей.

Завершается тема изложением требований к моделям, которые были сформулированы Р. Шенноном на заре компьютерного моделирования тридцать лет назад в книге " Имитационное моделирование систем - искусство и наука". Актуальность этих требований сохраняется и в настоящее время.

1.1. Общее определение модели

Практика свидетельствует: самое лучшее средство для определения свойств объекта - натурный эксперимент , т. е. исследование свойств и поведения самого объекта в нужных условиях. Дело в том, что при проектировании невозможно учесть многие факторы, расчет ведется по усредненным справочным данным, используются новые, недостаточно проверенные элементы (прогресс нетерпелив!), меняются условия внешней среды и многое другое. Поэтому натурный эксперимент - необходимое звено исследования. Неточность расчетов компенсируется увеличением объема натурных экспериментов, созданием ряда опытных образцов и "доводкой" изделия до нужного состояния. Так поступали и поступают при создании, например, телевизора или радиостанции нового образца.

Однако во многих случаях натурный эксперимент невозможен.

Например, наиболее полную оценку новому виду вооружения и способам его применения может дать война. Но не будет ли это слишком поздно?

Натурный эксперимент с новой конструкцией самолета может вызвать гибель экипажа.

Натурное исследование нового лекарства опасно для жизни человека.

Натурный эксперимент с элементами космических станций также может вызвать гибель людей.

Время подготовки натурного эксперимента и проведение мероприятий по обеспечению безопасности часто значительно превосходят время самого эксперимента. Многие испытания, близкие к граничным условиям, могут протекать настолько бурно, что возможны аварии и разрушения части или всего объекта.

Из сказанного следует, что натурный эксперимент необходим, но в то же время невозможен либо нецелесообразен.

Выход из этого противоречия есть и называется он " моделирование ".

Моделирование - это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала.

Отсюда следует.

Моделирование - это, во-первых, процесс создания или отыскания в природе объекта, который в некотором смысле может заменить исследуемый объект . Этот промежуточный объект называется моделью . Модель может быть материальным объектом той же или иной природы по отношению к изучаемому объекту (оригиналу). Модель может быть мысленным объектом, воспроизводящим оригинал логическими построениями или математическими формулами и компьютерными программами.

Моделирование , во-вторых, это испытание , исследование модели. То есть, моделирование связано с экспериментом, отличающимся от натурного тем, что в процесс познания включается "промежуточное звено" - модель. Следовательно, модель является одновременно средством эксперимента и объектом эксперимента , заменяющим изучаемый объект .

Моделирование , в-третьих, это перенос полученных на модели сведений на оригинал или, иначе, приписывание свойств модели оригиналу. Чтобы такой перенос был оправдан, между моделью и оригиналом должно быть сходство, подобие .

Подобие может быть физическим, геометрическим, структурным, функциональным и т. д. Степень подобия может быть разной - от тождества во всех аспектах до сходства только в главном. Очевидно, модели не должны воспроизводить полностью все стороны изучаемых объектов. Достижение абсолютной одинаковости сводит моделирование к натурному эксперименту, о возможности или целесообразности которого было уже сказано.

Остановимся на основных целях моделирования .

Прогноз - оценка поведения системы при некотором сочетании ее управляемых и неуправляемых параметров. Прогноз - главная цель моделирования .

Объяснение и лучшее понимание объектов . Здесь чаще других встречаются задачи оптимизации и анализа чувствительности. Оптимизация - это точное определение такого сочетания факторов и их величин, при котором обеспечиваются наилучший показатель качества системы, наилучшее по какому-либо критерию достижение цели моделируемой системой. Анализ чувствительности - выявление из большого числа факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на функционирование моделируемой системы. Исходными данными при этом являются результаты экспериментов с моделью.

Часто модель создается для применения в качестве средства обучения : модели-тренажеры, стенды, учения, деловые игры и т. п.

Моделирование как метод познания применялось человечеством - осознанно или интуитивно - всегда. На стенах древних храмов предков южно-американских индейцев обнаружены графические модели мироздания. Учение о моделировании возникло в средние века. Выдающаяся роль в этом принадлежит Леонардо да Винчи (1452-1519).

Гениальный полководец А. В. Суворов перед атакой крепости Измаил тренировал солдат на модели измаильской крепостной стены, построенной специально в тылу.

Наш знаменитый механик-самоучка И. П. Кулибин (1735-1818) создал модель одноарочного деревянного моста через р. Неву, а также ряд металлических моделей мостов. Они были полностью технически обоснованы и получили высокую оценку российскими академиками Л. Эйлером и Д. Бернулли. К сожалению, ни один из этих мостов не был построен.

Огромный вклад в укрепление обороноспособности нашей страны внесли работы по моделированию взрыва - генерал-инженер Н. Л. Кирпичев, моделированию в авиастроении - М. В. Келдыш, С. В. Ильюшин, А. Н. Туполев и др., моделированию ядерного взрыва - И. В. Курчатов, А.Д. Сахаров, Ю. Б. Харитон и др.

Широко известны работы Н. Н. Моисеева по моделированию систем управления. В частности, для проверки одного нового метода математического моделирования была создана математическая модель Синопского сражения - последнего сражения эпохи парусного флота. В 1833 году адмирал П. С. Нахимов разгромил главные силы турецкого флота. Моделирование на вычислительной машине показало, что Нахимов действовал практически безошибочно. Он настолько верно расставил свои корабли и нанес первый удар, что единственное спасение турок было отступление. Иного выхода у них не было. Они не отступили и были разгромлены.

Сложность и громоздкость технических объектов, которые могут изучаться методами моделирования, практически неограниченны. В последние годы все крупные сооружения исследовались на моделях - плотины, каналы, Братская и Красноярская ГЭС, системы дальних электропередач, образцы военных систем и др. объекты.

Поучительный пример недооценки моделирования - гибель английского броненосца "Кэптен" в 1870 году. В стремлении еще больше увеличить свое тогдашнее морское могущество и подкрепить империалистические устремления в Англии был разработан суперброненосец "Кэптен". В него было вложено все, что нужно для "верховной власти" на море: тяжелая артиллерия во вращающихся башнях, мощная бортовая броня, усиленное парусное оснащение и очень низкими бортами - для меньшей уязвимости от снарядов противника. Консультант инженер Рид построил математическую модель устойчивости "Кэптена" и показал, что даже при незначительном ветре и волнении ему грозит опрокидывание. Но лорды Адмиралтейства настояли на строительстве корабля. На первом же учении после спуска на воду налетевший шквал перевернул броненосец. Погибли 523 моряка. В Лондоне на стене одного из соборов прикреплена бронзовая плита, напоминающая об этом событии и, добавим мы, о тупоумии самоуверенных лордов Британского Адмиралтейства, пренебрегших результатами моделирования.

1.2. Классификация моделей и моделирования

Каждая модель создается для конкретной цели и, следовательно, уникальна. Однако наличие общих черт позволяет сгруппировать все их многообразие в отдельные классы, что облегчает их разработку и изучение. В теории рассматривается много признаков классификации, и их количество не установилось. Тем не менее, наиболее актуальны следующие признаки классификации :

• характер моделируемой стороны объекта;
• характер процессов, протекающих в объекте;
• способ реализации модели.

Таблица 1.3. Календарь событий

Таблица 6.1. Ручная имитация работы банковского кассира.

Время	№ клиента	Событие	Состояние СМО
Число клиентов	Состояние кассира
0,0	-	-		Свободен
3,2		Приход		Занят
7,0		Уход		Свободен
10,9		Приход		Занят
13,2		Приход		Занят
14,4		Уход		Занят
14,8		Приход		Занят
17,7		Приход		Занят
18,6		Уход		Занят
19,8		Приход		Занят
21,5		Приход		Занят
21,7		Уход		Занят
24,1		Уход		Занят
26,3		Приход		Занят
28,4		Уход		Занят
31,1		Уход		Занят
32,1		Приход		Занят
32,2		Уход		Занят
35,7		Уход		Свободен
36,6		Приход		Занят
40,0		Уход		Свободен

Логика обработки событий прибытия и ухода клиента зависит от состояния системы в момент наступления этих событий.

При наступлении события "прибытие клиента" дальнейшая ситуация определяется состоянием кассира. Если кассир свободен, он переходит в состояние занят и приступает к обслуживанию клиента. При этом планируется событие "уход данного клиента" в момент времени, равный текущему времени плюс продолжительность его обслуживания. Если же кассир занят, обслуживание клиента не может начаться и, следовательно, он встает в очередь (длина очереди увеличивается на единицу). Логика обработки события "уход клиента" зависит от длины очереди. Если в очереди есть хотя бы один клиент, кассир остается в состоянии "занят", длина очереди уменьшается на 1 и для первого клиента из очереди планируется событие ухода. Если же очередь пуста, кассир переводится в состояние "свободен".

На рис.6.2 приведены графики изменения значений этих переменных состояния во времени.

Результаты имитации показывают, что в течение первых 40 минут работы в банке в среднем находилось одновременно 1,4525 клиента , а кассир был свободен 20% времени.

Для расположения событий в хронологическом порядке необходимо вести запись событий, подлежащих последующей обработке (будущих событий). Это осуществляется путем записи в список моментов наступления следующего события прихода и следующего события ухода. Сравнение этих моментов определяет затем выбор одного из событий для обработки. Такой упорядоченный список событий обычно называется календарем событий .

Событие	Приход	Уход	Приход	Приход	Уход	Приход	Приход
Время свершения	3,2	7,0	10,9	13,2	14,4	14,8	17,7

Модели систем классифицируются на дискретно и непрерывно изменяющиеся. Отметим, что термины эти относятся к модели, а не к реальной системе. Практически одну и ту же систему можно представить в виде дискретно изменяющейся модели, либо непрерывно изменяющейся.

Как правило, в имитационном моделировании время является основной независимой переменной. Другие переменные, включенные в имитационную модель, являются функциями времени, то есть зависимыми переменными. Термины дискретная и непрерывная относятся к поведению зависимых переменных.

При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени, называемые моментами совершения событий .

Переменная времени в имитационной модели может быть либо дискретной , либо непрерывной в зависимости от того, могут ли дискретные изменения зависимых переменных происходить в любые моменты времени или только в определенные моменты.

Имитация банковской системы является примером дискретной имитации. Зависимыми переменными в этом примере являются состояние кассира и число ожидающих в очереди клиентов. Моменты совершения событий соответствуют моментам времени, когда клиент прибывает в систему, и моментам времени, когда клиент покидает ее после обслуживания кассиром.

Как правило, в дискретных моделях значения зависимых переменных не изменяются в промежутках между моментами совершения событий. Пример изменения зависимых переменных в дискретной модели приведен на рис. 6.3.

При непрерывной имитации зависимые переменные модели изменяются непрерывно в каждый момент имитационного времени.

Непрерывная модель может быть либо с непрерывным , либо с дискретным временем в зависимости от того, будут ли значения зависимых переменных доступны в любой точке или только в определенные моменты имитационного времени.

Модели процессов в большинстве электрических и механических систем являются примером ситуаций, когда целесообразно использование непрерывного представления. Кроме того, в некоторых случаях полезно моделировать дискретную систему с помощью непрерывного представления. Например, развитие популяций отдельных видов рыб в озере в экологических задачах моделируют с помощью непрерывного представления, хотя в реальности изменение популяции происходит дискретно.

При комбинированной имитации зависимые переменные могут изменяться дискретно, непрерывно или непрерывно с наложенными дискретными скачками . Время изменяется либо дискретно, либо непрерывно.

Наиболее важный аспект комбинированной имитации заключается в возможности взаимодействий между дискретно и непрерывно изменяющимися переменными.

Простейший пример такой модели дает электрическая схема, содержащая тиристор и нагрузочное сопротивление (рис. 6.5.). На графике показано, как непрерывная переменная напряжение на нагрузке изменяется скачком в зависимости от значения дискретной переменной - состояния тиристора (“открыт” или “закрыт”).

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискрет­ность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных со­вокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-y І. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) -(2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: , du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические - динамические», «дискретные - непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u 1) и человек без жетона , т.е. U={ u 1 }. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u 0), т.е. U ={u 0 , u 1 , }. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y 0) и «за­крыто» (y 1). Таким образом, Y={y 0 , y 1 } и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i -м месте стоит j , если значению входа соответствует значение выхода y i .

Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).

Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и 0 - «нет воздействия», и 1 - «опускание жетона», и 2 - «прохождение». Множество Y можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y (t )не определяется только значением входа и (t ),а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s) при sСистема имеет «память». Простейший тип ММ для описания дискретных систем с памятью - это конечный автомат . Для его построения вводится конечное множество внутренних состояний системы X , определяющее «память». В данном случае в X достаточно включить два элемента х 0 - «жетон не был брошен», x 1 - «жетон был брошен». Значения состояния системы в следующий момент времени I выхода в текущий момент зависят от текущих значений состояния и входа, т.е.

x (k+1)=F (x(k), и (k)), y (k) = G (x(k), и (к)), (2.4]

где k - номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и)и функцию выходов G (x, и )можно задать таблично:

Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь - RС -цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t )=E 0 (t ), выходом - напряжение на конденсаторе y (t )=E 1 (t ). Закон Ома дает ММ системы в виде диф­ференциального уравнения 1-го порядка

у=и - у ,(2.5)

где -RC - постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R 1 . Если исследователя ин­тересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E 0 (t )= const, то нужно положить в (2.5) у= 0и получить статическую модель

y (t )=u (t ).(2.6)

Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E 0 (t )изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с ).

Пример 4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций ,существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популя­ций (видов) y 1 (t ), y 2 (t ). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник - жертва» (например, у 1 - численность лис в лесу, а у 2 - численность зайцев; или у 1 - концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у 2 - число заболевших и т.д.). В дан­ном случае у 1 , у 2 - целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у 1 , у 2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у 1 , у 2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у 1 , у 2 . Простейшая модель динамики по­пуляции получается, если предположить, что:

При отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;

При отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;

Численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у 1 , у 2 .

При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки - Вольтерра:

где а, Ь, с, d - положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.

Процессы в линейных импульсных и цифровых системах автоматического управления описываются дискретно – разностными уравнениями вида:

где x(n) –решетчатая функция входного сигнала; y(n) –решетчатая функция выходного сигнала, которая определяется решением уравнения (1.2); b k – постоянные коэффициенты;
– разность к – го порядка; t=nT , где nT – n– ый момент времени, T – период дискретности (в выражении (1.2) он условно принят за единицу).

Уравнение (1.2) можно представить в другом виде:

Уравнение (1.3) представляет собой рекуррентное соотношение, которое позволяет вычислить любой (i+1) –й член последовательности по значениям предыдущих её членов i,i-1,... и значению x(i+1).

Основным математическим аппаратом моделирования цифровых автоматических систем является Z– преобразование, которое базируется на дискретном преобразовании Лапласа. Для этого необходимо найти импульсную передаточную функцию системы, задаться входной переменной и, варьируя параметрами системы, можно найти лучший вариант проектируемой системы.

1.3.4. Дискретно – стохастические модели (р - схемы)

К дискретно – стохастической модели относится вероятностный автомат . В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Поведение автомата зависит от случайного выбора.

Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для проектирования дискретных систем, в которых проявляется статистически закономерное случайное поведение.

Для Р – автомата вводится аналогичное математическое понятие, как и для F – автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (x i ,z s ) , где x i и z s элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и
, что с их помощью осуществляется отображение
и
, то говорят, чтоопределяет автомат детерминированного типа.

Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний

(автомат со случайными переходами). Функция выходов также есть распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами).

Для описания вероятностного автомата введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (z k ,y j ) , где y j – элемент выходного подмножества Y . Далее потребуем чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

элементы из Ф...

...

...

где – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступал сигнал x i .

Число таких распределений, представленных в виде таблиц равно числу элементов множества G. Если обозначить это множество таблиц через В, то тогда четверку элементов
называютвероятностным автоматом (Р – автоматом). При этом
.

Частным случаем Р– автомата, задаваемого как
являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано(Z– детерминированный вероятностный автомат, Y– - детерминированный вероятностный автомат соответственно).

Очевидно, что с точки зрения математического аппарата задание Y – детерминированного Р – автомата эквивалентно заданию некоторой марковской цепи с конечным множеством состояний. В связи с этим аппарат марковских цепей является основным при использовании Р– схем для аналитических расчетов. Подобные Р– автоматы используют генераторы марковских последовательностей при построении процессов функционирования систем или воздействий внешней среды.

Марковские последовательности , согласно теореме Маркова, –это последовательность случайных величин, для которой справедливо выражение

,

где N – количество независимых испытаний; D– - дисперсия.

Такие Р– автоматы (Р– схемы) могут быть использованы для оценки различных характеристик исследуемых систем как для аналитических моделей, так и для имитационных моделей с использованием методов статистического моделирования.

Y – детерминированный Р– автомат можно задать двумя таблицами: переходов (табл.1.1) и выходов (табл.1.2).

Таблица 1.1

Таблица 1.2

Где P ij – вероятность перехода Р– автомата из состояния z i в состояние z j , при этом
.

Таблицу 1.1 можно представить в виде квадратной матрицы размерности
. Такую таблицу будем называть матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов Р- автомата , которую можно представить в компактной форме:

Для описания Y– детерминированного Р–автомата необходимо задать начальное распределение вероятностей вида:

где d k– вероятность того, что в начале работы Р– автомат находится в состоянии z k , при этом
.

И так, до начала работы Р– автомат находится в состоянии z 0 и в начальный (нулевой) такт времени меняет состояние в соответствии с распределением D. После этого смена состояний автомата определяется матрицей переходов Р. С учетом z 0 размерность матрицы Р р следует увеличить до
, при этом первая строка матрицы будет (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,d k ) , а первый столбец будет нулевым.

Пример. Y– детерминированный Р– автомат задан таблицей переходов:

Таблица 1.3

и таблицей выходов

Таблица 1.4

С учетом таблицы 1.3 граф переходов вероятностного автомата представлен на рис.1.2.

Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состоянии z 2 и z 3 , т.е. когда на выходе автомата появляются единицы.

Рис. 1.2. Граф переходов

При аналитическом подходе можно использовать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. Причем начальное состояние можно не учитывать в виду того, что начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда таблица 1.3 примет вид:

где
– финальная вероятность пребыванияY– детерминированного Р– автомата в состоянии z k .

В результате получаем систему уравнений:

(1.4)

К данной системе следует добавить условие нормировки:

(1.5)

Теперь решая систему уравнений (1.4) совместно с (1.5), получаем:

Таким образом, при бесконечной работе заданного автомата на его выходе будет формироваться двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной:
.

Кроме аналитических моделей в виде Р– схем можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.

Дискретные модели. Однако деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным при этом непрерывные параметры представляются как дискретные величины путем введения разного рода шкал балльных оценок и т. Дискретные системы изучаются с помощью аппарата теории алгоритмов и теории автоматов.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Дискретные модели относятся к системам, все элементы которых, а также связи между ними (т. е. обращающаяся в системе информация) имеют дискретный характер. Следовательно, все параметры такой системы дискретны.

Непрерывные модели. Противоположное понятие — непрерывная система. Однако деление систем на непрерывные и дискретные во многом произвольно, зависит от цели и глубины исследования. Часто непрерывные системы приводятся к дискретным (при этом непрерывные параметры представляются как дискретные величины путем введения разного рода шкал, балльных оценок и т. п.). Дискретные системы изучаются с помощью аппарата теории алгоритмов и теории автоматов. Их поведение может описываться с помощью разностных уравнений.

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
16929.		Дискретные математические модели в профессиональной подготовке студентов экономических специальностей ВУЗов	10.92 KB
	Дискретные математические модели в профессиональной подготовке студентов экономических специальностей ВУЗов Сложившаяся в настоящее время практика преподавания курса Дискретная математика для студентов экономических специальностей ВУЗов приводит к тому что они фактически не обладают знаниями и умениями позволяющими успешно решать широкий круг практических задач использующих дискретные объекты и модели не имеют развитого логического мышления у них отсутствует культура алгоритмического мышления. Для восполнения указанных пробелов...
15214.		ЦИФРОВЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ	97.04 KB
	Обработкой сигнала называют процесс преобразования сигнала исходящего от источника информации с целью освобождения от различного рода помех и от информации вносимой косвенным характером измеряемого физического процесса и нелинейными характеристиками датчиков а также с целью представления полезной информации в наиболее удобной форме. С учетом математической модели сигнала и задач обработки строится математическая модель процесса ЦОС. Классы моделей систем ЦОС отличаются по видам решаемых задач...
15563.		СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	58.05 KB
	Модель авторегрессии выражает текущее значение процесса через линейную комбинацию предыдущих значений процесса и отсчета белого шума. Название процесса – термин математической статистики где линейная комбинация x = 1y1 2 y2 p yp z = z Ty связывающая неизвестную переменную x с отсчетами y = T называется моделью регрессии x регрессирует на y. Для стационарности процесса необходимо чтобы корни k характеристического уравнения p 1p-1 p =0 лежали внутри круга единичного круга I 1 . Корреляционная...
16918.		Дискретные структурные альтернативы: методы сравнения и следствия для экономической политики	11.74 KB
	Дискретные структурные альтернативы: методы сравнения и следствия для экономической политики Современная экономическая теория в своей основе даже если далеко не всегда есть основания идентифицировать специфические черты соответствующей исследовательской программы является теорией индивидуального выбора что обусловливает высокий статус принципа методологического индивидуализма в исследованиях посвященных самым разнообразным проблемам Шаститко 2006. Индивидуальный выбор строится на таких фундаментальных основаниях как ограниченность...
3111.		Инвестиции и сбережения в кейнсианской модели. Макроэкономическое равновесие в модели “кейнсианский крест”	27.95 KB
	Инвестиция – это функция ставки процента: I=Ir Эта функция убывающая: чем выше уровень процентной ставки тем ниже уровень инвестиций. По взглядам Кейнса сбережения – это функция доходаа не процентной ставки: S=SY Т. инвестиции являются функцией процентной ставки а сбережения – функцией дохода.
5212.		Уровни модели OSI и TCP/IP	77.84 KB
	Сетевая модель - теоретическое описание принципов работы набора сетевых протоколов, взаимодействующих друг с другом. Модель обычно делится на уровни, так, чтобы протоколы вышестоящего уровня использовали бы протоколы нижестоящего уровня
8082.		Модели элементов	21.98 KB
	Совокупность элементов модели дискретного устройства называется базисом моделирования. Очень часто базис моделирования не совпадает с элементным базисом. Обычно из более сложной модели базиса моделирования можно получить более простую модель. В данном случае совпадение 2х соседних итераций является критерием окончания моделирования одного входного набора.
2232.		Цветовые модели	475.69 KB
	О работе с цветом Свойства цвета и соответствие цветов Цветовой круг и дополнительные цвета Цветовой круг демонстрирует соотношение между тремя первичными цветами красным зеленым и синим и тремя первичными цветами голубым пурпурным и желтым. Цвета расположенные друг напротив друга называются дополнительными цветами. Если вы сделали фотографию в которой избыток зеленого цвета то этот эффект можно подавить добавив соответствующий дополнительный цвет пурпурный смесь красного и синего согласно модели RGB. Дополнительный цветовой...
7358.		Модели обучения	16.31 KB
	Традиционное обучение представляет собой обучение ЗУН по схеме: изучение нового - закрепление - контроль - оценка. Ученики выступают как объекты управления. Со стороны учителя преобладает авторитарно-директивный стиль управления и инициатива обучаемых чаще подавляется, чем поощряется
7155.		Цвет и цветовые модели	97.22 KB
	Чтобы успешно применять их в компьютерной графике необходимо: понимать особенности каждой цветовой модели уметь определять тот или иной цвет используя различные цветовые модели понимать как различные графические программы решают вопрос кодирования цвета понимать почему цветовые оттенки отображаемые на мониторе достаточно сложно точно воспроизвести при печати. Так как цвет может получиться в процессе излучения и в процессе отражения то существуют два противоположных метода его...