Bu dərsdə polinomun faktorinqinin bütün əvvəllər öyrənilmiş üsullarını xatırladacağıq və onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik, əlavə olaraq yeni bir üsulu - tam kvadratı təcrid etmək üsulunu öyrənəcəyik və müxtəlif problemlərin həllində necə istifadə edəcəyimizi öyrənəcəyik. .
Mövzu:Çoxhədlilərin faktorinqi
Dərs:Çoxhədlilərin faktorinqi. Tam kvadrat seçmək üsulu. Metodların birləşməsi
Əvvəllər öyrənilmiş çoxhədli faktorinqin əsas üsullarını xatırlayaq:
Mötərizədə ümumi amili, yəni çoxhədlinin bütün şərtlərində mövcud olan əmsalı çıxarmaq üsulu. Bir misala baxaq:
Xatırladaq ki, monomial güc və rəqəmlərin məhsuludur. Bizim nümunəmizdə hər iki terminin bəzi ümumi, eyni elementləri var.
Beləliklə, mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:
;
Nəzərinizə çatdıraq ki, çıxarılan əmsalı mötərizə ilə vurmaqla çıxarılan faktorun düzgünlüyünü yoxlamaq olar.
Qruplaşdırma üsulu. Çoxhədlidə ümumi amili çıxarmaq həmişə mümkün olmur. Bu zaman onun üzvlərini elə qruplara bölmək lazımdır ki, hər qrupda ümumi bir faktoru çıxarıb onu parçalamağa çalışasan ki, qruplardakı amilləri çıxardıqdan sonra ortaq amil ortaya çıxsın. bütün ifadə və siz parçalanmaya davam edə bilərsiniz. Bir misala baxaq:
Birinci termini dördüncü, ikincini beşinci, üçüncüsü altıncı ilə qruplaşdıraq:
Qruplardakı ümumi amilləri çıxaraq:
İfadə indi ümumi faktora malikdir. Onu çıxaraq:
Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi. Bir misala baxaq:
;
İfadəsini ətraflı yazaq:
Aydındır ki, qarşımızda kvadrat fərq üçün düstur var, çünki bu, iki ifadənin kvadratlarının cəmidir və ondan ikiqat hasil çıxarılır. Düsturdan istifadə edək:
Bu gün biz başqa bir üsul öyrənəcəyik - tam kvadrat seçmək üsulu. Bu, cəminin kvadratının və fərqin kvadratının düsturlarına əsaslanır. Onlara xatırladaq:
Cəmin kvadratı üçün düstur (fərq);
Bu düsturların özəlliyi ondadır ki, onlar iki ifadənin kvadratlarını və onların ikiqat hasilini ehtiva edir. Bir misala baxaq:
İfadəsini yazaq:
Beləliklə, birinci ifadə , ikinci isə .
Cəmin və ya fərqin kvadratı üçün düstur yaratmaq üçün ifadələrin hasilinin iki qatı kifayət deyil. Onu əlavə etmək və çıxmaq lazımdır:
Cəmin kvadratını tamamlayaq:
Nəticə ifadəsini çevirək:
Kvadratların fərqi üçün düstur tətbiq edək, xatırladaq ki, iki ifadənin kvadratlarının fərqi onların fərqinin hasilinə və cəminə bərabərdir:
Belə ki, bu üsul Hər şeydən əvvəl kvadrat olan a və b ifadələrini müəyyən etmək, yəni bu nümunədə hansı ifadələrin kvadrat olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Bundan sonra, ikiqat məhsulun olub olmadığını yoxlamaq lazımdır və əgər yoxdursa, onu əlavə edib çıxarın, bu nümunənin mənasını dəyişməyəcək, lakin polinomu kvadrat üçün düsturlardan istifadə edərək faktorlara ayırmaq olar. mümkünsə kvadratların cəmi və ya fərqi və fərqi.
Nümunələrin həllinə keçək.
Misal 1 - faktorlara ayırın:
Kvadrat olan ifadələri tapaq:
Onların ikiqat məhsulunun nə olacağını yazaq:
Gəlin ikiqat məhsulu əlavə edib çıxaraq:
Cəmin kvadratını tamamlayaq və oxşarlarını verək:
Bunu kvadratlar fərqi düsturundan istifadə edərək yazaq:
Misal 2 - tənliyi həll edin:
;
Tənliyin sol tərəfində trinomial var. Bunu faktorlara daxil etməlisiniz. Kvadrat fərq düsturundan istifadə edirik:
Birinci ifadənin kvadratı və qoşa hasilimiz var, ikinci ifadənin kvadratı yoxdur, onu əlavə edib çıxaraq:
Tam kvadratı qatlayaq və oxşar şərtlər verək:
Kvadratların fərqi düsturunu tətbiq edək:
Beləliklə, tənliyi əldə etdik 
Biz bilirik ki, məhsulun sıfıra bərabər olması yalnız amillərdən ən azı biri sıfıra bərabərdir. Buna əsasən aşağıdakı tənlikləri yaradaq:
Birinci tənliyi həll edək:
İkinci tənliyi həll edək:
Cavab: və ya
;
Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə davam edirik - fərqin kvadratını seçin.
Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral hesablamada kəsri inteqrasiya etmək üçün əlverişli düstur yoxdur. Və buna görə də kədərli bir tendensiya var: fraksiya nə qədər mürəkkəbdirsə, onun inteqralını tapmaq bir o qədər çətindir. Bu baxımdan, indi sizə danışacağım müxtəlif hiylələrə müraciət etməlisiniz. Hazırlanmış oxucular dərhal faydalana bilər Mündəricat:
- Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu
Süni sayğaclara çevrilmə üsulu
Misal 1
Yeri gəlmişkən, nəzərdən keçirilən inteqral dəyişən metodunun dəyişdirilməsi ilə də həll edilə bilər, işarə edir, lakin həllin yazılması daha uzun olacaq.
Misal 2
Tapın qeyri-müəyyən inteqral. Yoxlayın.
Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Qeyd etmək lazımdır ki, dəyişənlərin dəyişdirilməsi üsulu artıq burada işləməyəcək.
Diqqət, vacibdir! 1, 2 nömrəli nümunələr tipikdir və tez-tez baş verir. Xüsusilə, belə inteqrallar tez-tez digər inteqralların həlli zamanı, xüsusən də irrasional funksiyaları (kökləri) birləşdirərkən yaranır.
Baxılan texnika işdə də işləyir əgər payın ən yüksək dərəcəsi məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən böyükdürsə.
Misal 3
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.
Numeratoru seçməyə başlayırıq.
Numeratorun seçilməsi alqoritmi belədir:
1) Numeratorda mən təşkil etməliyəm, amma orada. Nə etməli? Mən onu mötərizədə qoyuram və: .
2) İndi bu mötərizələri açmağa çalışıram, nə baş verir? . Hmm... bu daha yaxşıdır, lakin ilkin hesabda iki yoxdur. Nə etməli? Çoxaltmaq lazımdır:
3) Yenidən mötərizələri açıram: . Və burada ilk uğur! Düzgün çıxdı! Amma problem ondadır ki, əlavə termin yaranıb. Nə etməli? İfadənin dəyişməsinin qarşısını almaq üçün konstruksiyama eyni şeyi əlavə etməliyəm: 
. Həyat asanlaşdı. Numeratorda yenidən təşkil etmək mümkündürmü?
4) Mümkündür. Gəlin cəhd edək: 
. İkinci terminin mötərizələrini açın: 
. Bağışlayın, amma əvvəlki addımda məndə yox idi. Nə etməli? İkinci termini aşağıdakılarla çoxaltmalısınız: 
5) Yenə yoxlamaq üçün ikinci müstəvidə mötərizələri açıram: 
. İndi normaldır: 3-cü bəndin son konstruksiyasından əldə edilmişdir! Ancaq yenə kiçik bir "amma" var, əlavə bir termin meydana çıxdı, yəni ifadəmə əlavə etməliyəm: 
Əgər hər şey düzgün aparılıbsa, onda bütün mötərizələri açanda inteqranın orijinal payını almalıyıq. Yoxlayırıq:
Başlıq.
Beləliklə: 
Hazır. Son termində funksiyanın diferensial altında cəmlənməsi metodundan istifadə etdim.
Cavabın törəməsini tapıb ifadəni kiçildsək ortaq məxrəc, onda biz tam olaraq orijinal inteqral funksiyasını alırıq. Nəzərdən keçirilən cəmdə parçalanma üsulu ifadənin ümumi məxrəcə gətirilməsinin əks hərəkətindən başqa bir şey deyil.
Bu cür nümunələrdə paylayıcının seçilməsi alqoritmi ən yaxşı şəkildə qaralama şəklində edilir. Bəzi bacarıqlarla zehni olaraq işləyəcək. Mən 11-ci güc üçün seçim edərkən rekord qıran bir hadisəni xatırlayıram və hesablayıcının genişləndirilməsi Verdin demək olar ki, iki xəttini tutdu.
Misal 4
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.
Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu
Növbəti növ fraksiyaları nəzərdən keçirməyə davam edək.
, , , (əmsallar və sıfıra bərabər deyil).
Əslində, dərsdə arksinus və arktangens ilə bir neçə hal artıq qeyd edilmişdir Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu. Bu cür nümunələr funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi və cədvəldən istifadə edərək sonrakı inteqrasiya yolu ilə həll edilir. Uzun və yüksək loqarifmlərlə daha tipik nümunələr:
Misal 5
Misal 6
Burada inteqrallar cədvəlini götürmək və hansı düsturları görmək məsləhətdir Necə transformasiya baş verir. Qeyd, necə və niyə Bu nümunələrdə kvadratlar vurğulanır. Xüsusilə, 6-cı Nümunədə əvvəlcə məxrəci formada təmsil etməliyik 
, sonra onu diferensial işarənin altına gətirin. Və bütün bunlar standart cədvəl formulundan istifadə etmək üçün edilməlidir 
.
Niyə baxın, 7, 8 nömrəli nümunələri özünüz həll etməyə çalışın, xüsusən də onlar olduqca qısadır:
Misal 7
Misal 8
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Əgər siz də bu nümunələri yoxlamağı bacarırsınızsa, o zaman böyük hörmət - fərqləndirmə bacarıqlarınız əladır.
Tam kvadrat seçim üsulu
Formanın inteqralları 
(əmsallar və sıfıra bərabər deyil) həll edilir tam kvadrat çıxarma üsulu, artıq dərsdə görünən Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri.
Əslində belə inteqrallar indicə baxdığımız dörd cədvəlli inteqraldan birinə qədər azalır. Bu, tanış qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə əldə edilir:
Düsturlar məhz bu istiqamətdə tətbiq olunur, yəni metodun ideyası ifadələri ya məxrəcdə süni şəkildə təşkil etmək və sonra onları müvafiq olaraq hər birinə çevirməkdir.
Misal 9
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın
Bu ən sadə misal, hansında termini ilə – vahid əmsalı(və bəzi rəqəm və ya mənfi deyil).
Məxrəcə baxaq, burada bütün məsələ aydın şəkildə təsadüfə düşür. Məxrəci çevirməyə başlayaq:
Aydındır ki, 4 əlavə etməlisiniz. Və ifadənin dəyişməməsi üçün eyni dördü çıxarın:
İndi formula tətbiq edə bilərsiniz:
Dönüşüm tamamlandıqdan sonra HƏMİŞƏƏks hərəkəti yerinə yetirmək məsləhətdir: hər şey yaxşıdır, heç bir səhv yoxdur.
Sözügedən nümunənin son dizaynı belə görünməlidir: 
Hazır. Diferensial işarəsi altında “sərbəst” kompleks funksiyanın qəbul edilməsi: prinsipcə, laqeyd qala bilər
Misal 10
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır
Misal 11
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Öndə bir mənfi olduqda nə etməli? Bu halda, mötərizədə mənfini çıxarmaq və şərtləri bizə lazım olan ardıcıllıqla düzmək lazımdır: . Sabit(bu halda iki) toxunma!
İndi mötərizədə birini əlavə edirik. İfadəni təhlil edərək, mötərizənin xaricinə birini əlavə etmək lazım olduğu qənaətinə gəlirik:
Burada düsturu alırıq, tətbiq edirik:
HƏMİŞƏ Layihəni yoxlayırıq:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.
Təmiz nümunə bu kimi görünür: 
Tapşırığı çətinləşdirir
Misal 12
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın: 
Burada termin artıq vahid əmsalı deyil, “beş”dir.
(1) Əgər bir sabit varsa, onu dərhal mötərizədən çıxarırıq.
(2) Ümumiyyətlə, bu sabiti inteqraldan kənara çıxarmaq həmişə daha yaxşıdır ki, mane olmasın.
(3) Aydındır ki, hər şey düstura düşəcək. Termini başa düşməliyik, yəni "iki" almalıyıq
(4) Bəli, . Bu o deməkdir ki, biz ifadəyə əlavə edirik və eyni kəsri çıxarırıq.
(5) İndi tam kvadrat seçin. Ümumi halda biz də hesablamalıyıq , lakin burada uzun loqarifmin düsturu var 
, və hərəkəti yerinə yetirməyin mənası yoxdur; niyə aşağıda aydın olacaq.
(6) Əslində, düsturu tətbiq edə bilərik 
, yalnız “X” əvəzinə bizdə var ki, bu da cədvəl inteqralının etibarlılığını inkar etmir. Düzünü desək, bir addım qaçırıldı - inteqrasiyadan əvvəl funksiya diferensial işarənin altına alınmalı idi: 
, lakin, dəfələrlə qeyd etdiyim kimi, buna çox vaxt laqeyd yanaşılır.
(7) Kök altındakı cavabda bütün mötərizələri geriyə genişləndirmək məsləhətdir:
Çətin? Bu inteqral hesablamanın ən çətin hissəsi deyil. Baxmayaraq ki, nəzərdən keçirilən nümunələr yaxşı hesablama texnikası tələb etdiyi üçün o qədər də mürəkkəb deyil.
Misal 13
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Cavab dərsin sonundadır.
Məxrəcdə kökləri olan inteqrallar var ki, onlar əvəzetmədən istifadə edərək baxılan tip inteqrallara endirilir; onlar haqqında məqalədə oxuya bilərsiniz. Kompleks inteqrallar, lakin çox hazırlıqlı tələbələr üçün nəzərdə tutulub.
Diferensial işarənin altındakı payın cəmlənməsi
Bu, dərsin son hissəsidir, lakin bu tip inteqrallar olduqca yaygındır! Yorğunsansa, bəlkə sabah oxumaq daha yaxşıdır? ;)
Nəzərə alacağımız inteqrallar əvvəlki bəndin inteqrallarına bənzəyir, onların forması var: və ya 
(əmsallar , və sıfıra bərabər deyil).
Yəni bizim sayımızda var xətti funksiya. Belə inteqralları necə həll etmək olar?
Riyaziyyatın bir çox mövzularında belə bir proseduru yerinə yetirmək bacarığı son dərəcə zəruridir kvadrat üçbucaqlıbalta 2 + bx + c . Ən ümumi:
1) Parabolaların çəkilməsi y= balta 2 + bx+ c;
2) Kvadrat üçbucaqda bir çox məsələlərin həlli ( kvadrat tənliklər və bərabərsizliklər, parametrlərlə bağlı problemlər və s.);
3) Kvadrat üçhəcmli bəzi funksiyalarla işləmək, həmçinin ikinci dərəcəli əyrilərlə işləmək (tələbələr üçün).
Faydalı bir şey, bir sözlə! A almağı hədəfləyirsiniz? Onda gəlin buna yiyələnək!)
Kvadrat trinomialda binomun mükəmməl kvadratını təcrid etmək nə deməkdir?
Bu tapşırıq o deməkdir ki, ilkin kvadrat üçbucaq bu formaya çevrilməlidir:
Nömrə a solda nə var, sağda nə var - eyni. x kvadratının əmsalı. Ona görə təyin olunub bir hərf. Sağda mötərizənin kvadratına vurulur. Mötərizədə bu mövzuda müzakirə olunan çox binomial oturur. Saf X və bəzi ədədlərin cəmi m. Bəli, zəhmət olmasa, diqqət yetirin təmiz X! Vacibdir.
Və burada məktublar var m Və n sağda - bəziləri yeni nömrələri. Dəyişikliklərimiz nəticəsində nə baş verəcək? Onlar müsbət, mənfi, tam, kəsr ola bilər - hər cür şeylər! Aşağıdakı nümunələrdə özünüz görəcəksiniz. Bu rəqəmlər asılıdır bahislərdəna, bVəc. Onların öz xüsusi ümumi formulları var. Olduqca çətin, fraksiyalarla. Ona görə də mən onları burada və indi verməyəcəyəm. Nə üçün sizin parlaq zehninizin əlavə zibilə ehtiyacı var? Bəli və maraqlı deyil. Yaradıcı işləyək.)
Nə bilmək və anlamaq lazımdır?
Hər şeydən əvvəl bunu əzbər bilmək lazımdır. Onlardan ən azı ikisi - cəminin kvadratı Və kvadrat fərq.
Bunlar:
Bu iki düstur olmadan heç yerə gedə bilməzsiniz. Təkcə bu dərsdə deyil, ümumiyyətlə riyaziyyatın demək olar ki, bütün qalan hissələrində. İpucu var?)
Ancaq burada sadəcə mexaniki şəkildə yadda qalan düsturlar kifayət deyil. Bunu da bacarıqla etmək lazımdır bu düsturları tətbiq edə bilmək. Və birbaşa deyil, soldan sağa, əksinə, sağdan sola. Bunlar. orijinal kvadrat üçbucaqdan istifadə edərək, cəminin/fərqin kvadratını deşifrə edə bilmək. Bu o deməkdir ki, siz asanlıqla, avtomatik olaraq bərabərlikləri tanımalısınız:
x 2 +4 x+4 = (x+2) 2
x 2 -10 x+25 = (x-5) 2
x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2
Bu faydalı bacarıq olmadan, bu da mümkün deyil... Beləliklə, bu sadə şeylərlə bağlı probleminiz varsa, bu səhifəni bağlayın. Bura gəlmək üçün hələ tezdir.) Əvvəlcə yuxarıdakı linkə daxil olun. O sizin üçündür!
Oh, nə vaxtdan bu mövzudasan? Əla! Sonra oxuyun.)
Belə ki:
Kvadrat trinomialda binomialın mükəmməl kvadratını necə təcrid etmək olar?
Əlbəttə, sadə bir şeylə başlayaq.
Səviyyə 1. X-də əmsal2 1-ə bərabərdir
Bu, minimum əlavə dəyişikliklər tələb edən ən sadə vəziyyətdir.
Məsələn, kvadrat üçbucaq verilmişdir:
X 2 +4x+6
Xarici olaraq, ifadə cəminin kvadratına çox bənzəyir. Bilirik ki, cəminin kvadratı birinci və ikinci ifadələrin təmiz kvadratlarını ehtiva edir ( a 2 Və b 2 ), həmçinin məhsulu ikiqat artır 2 ab eyni ifadələr.
Yaxşı, artıq birinci ifadənin kvadratı təmiz formada var. Bu X 2 . Əslində, bu səviyyədəki nümunələrin sadəliyi məhz budur. İkinci ifadənin kvadratını almalıyıq b 2 . Bunlar. tapmaq b. Və bir ipucu kimi xidmət edəcəkdir birinci dərəcəyə x ilə ifadə, yəni. 4x. Hər şeydən sonra 4xşəklində təmsil oluna bilər iki dəfə məhsulİki üçün X. Bunun kimi:
4 x = 2 ́ x 2
Beləliklə əgər 2 ab=2·x·2 Və a= x, Bu b=2 . Yaza bilərsiniz:
X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….
Belə ki bizə Mən istəyirəm. Amma! Riyaziyyatİstəyirəm ki, bizim hərəkətlərimiz orijinal ifadənin mahiyyətini tutsun dəyişməyib. O, belə qurulub. Məhsulu iki qat artırdıq 2 2 , bununla da orijinal ifadəni dəyişir. Beləliklə, riyaziyyatı incitməmək üçün ən çox budur 2 2 dərhal lazımdır götürmək. Bunun kimi:
…= x 2 +2 ́ ·x·2+ 2 2 -2 2 ….
Demək olar ki, hamısı. Qalır ki, ilkin üçbucaqlıya uyğun olaraq 6 əlavə etməkdir. Altı hələ buradadır! Biz yazırıq:
= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …
İndi ilk üç şərt təmiz verir (və ya - dolu) kvadrat binom x+2 . Və ya (x+2) 2 . Bizim nail olmağa çalışdığımız budur.) Mən hətta tənbəllik edib mötərizə də qoymayacağam:
… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…
Mötərizələr ifadənin mahiyyətini dəyişdirmir, lakin nəyi, necə və niyə açıq şəkildə göstərir. Bu üç şərti düstura uyğun olaraq tam kvadrata qatlamaq, qalan quyruğu ədədlərlə saymaq qalır. -2 2 +6 (bu 2 olacaq) və yazın:
X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2
Hamısı. Biz ayrılmışdır kvadrat mötərizələr (x+2) 2 orijinaldan kvadrat üçbucaqlı X 2 +4x+6. Cəmiyə çevirdi mükəmməl kvadrat binom (x+2) 2 və bəzi sabit ədəd (iki). İndi transformasiyalarımızın bütün zəncirini yığcam bir formada yazacağam. Aydınlıq üçün.
Və budur.) Tam kvadrat seçmək üçün prosedurun bütün məqamı budur.
Yeri gəlmişkən, burada rəqəmlər nəyə bərabərdir? m Və n? Bəli. Onların hər biri ikiyə bərabərdir: m=2, n=2 . Seçim zamanı belə oldu.
Başqa bir misal:
Binomun mükəmməl kvadratını seçin:
X 2 -6x+8
Yenə də ilk baxış X ilə ifadədir. 6x-i bir x və üçün ikiqat hasilinə çeviririk. İkiqatdan əvvəl bir mənfi var. Beləliklə, vurğulayaq kvadrat fərq. Biz əlavə edirik (tam kvadrat əldə etmək üçün) və dərhal üç kvadratı çıxarırıq (kompensasiya etmək üçün), yəni. 9. Yaxşı, səkkizi unutma. Biz əldə edirik:
Burada m=-3 Və n=-1 . Hər ikisi mənfidir.
Prinsipi başa düşürsən? Sonra mənimsəməyin vaxtı gəldi və ümumi alqoritm. Hər şey eynidir, amma məktublar vasitəsilə. Beləliklə, kvadrat trinomialımız var x 2 + bx+ c (a=1) . Biz nə edirik:
bx b /2 :
b ilə.
Aydındırmı? İlk iki nümunə tam ədədlərlə çox sadə idi. Tanışlıq üçün. Transformasiya zamanı fraksiyaların çıxması daha pisdir. Burada əsas şey qorxmamaqdır! Qorxmamaq üçün isə fraksiyalarla bütün əməliyyatları bilmək lazımdır, bəli...) Amma bu beş səviyyəli səviyyədir, elə deyilmi? Tapşırığı çətinləşdirək.
Tutaq ki, aşağıdakı trinomial verilmişdir:
X 2 +x+1
Bu üçbucaqda cəminin kvadratını necə təşkil etmək olar? Problem deyil! Oxşar. Nöqtə-nöqtə işləyirik.
1. Terminə X ilə birinci dərəcəyə baxırıq ( bx) və onu x-in ikiqat məhsuluna çevirinb /2 .
X ilə terminimiz sadəcə X-dir. Və nə? Tənha X-i necə çevirə bilərik? ikiqat məhsul? Bəli, çox sadə! Birbaşa təlimatlara uyğun olaraq. Bunun kimi:
Nömrə b orijinal trinomialda bir var. Yəni, b/2 fraksiyalı olduğu ortaya çıxır. Yarı. 1/2. Yaxşı, tamam. Artıq kiçik deyil.)
2. İkiqat hasildə əlavə edirik və dərhal ədədin kvadratını çıxarırıq b/2. Kvadratı tamamlamaq üçün əlavə edin. Biz onu kompensasiya üçün götürürük. Ən sonunda pulsuz bir müddət əlavə edirik ilə.
Davam edək:
3. İlk üç şərt müvafiq düsturdan istifadə etməklə cəmi/fərqin kvadratına qatlanır. Qalan ifadəni rəqəmlərlə diqqətlə hesablayırıq.
İlk üç termin mötərizə ilə ayrılır. Təbii ki, onu ayırmaq lazım deyil. Bu, sırf çevrilmələrimizin rahatlığı və aydınlığı üçün edilir. İndi cəminin tam kvadratının mötərizədə olduğunu aydın görə bilərsiniz (x+1/2) 2 . Və cəminin kvadratından kənarda qalan hər şey (sayırsınızsa) +3/4 verir. Finiş xətti:
Cavab:
Burada m=1/2 , A n=3/4 . Kəsr ədədlər. baş verir. Məndə belə bir üçlük var...
Bu texnologiyadır. Anladım? Mən onu növbəti səviyyəyə keçirə bilərəmmi?)
Səviyyə 2. X 2 əmsalı 1-ə bərabər deyil - nə etməli?
Bu halla müqayisədə daha ümumi haldır a=1. Hesablamaların həcmi, təbii ki, artır. Üzüldü, bəli... Amma ümumi qərar yoluümumiyyətlə eyni qalır. Ona sadəcə bir yeni addım əlavə olunur. Bu məni xoşbəxt edir.)
Hələlik heç bir fraksiya və ya digər tələlər olmayan zərərsiz bir işi nəzərdən keçirək. Misal üçün:
2 x 2 -4 x+6
Ortada bir minus var. Beləliklə, fərqi kvadrata uyğunlaşdıracağıq. Lakin x kvadratının əmsalı ikidir. Yalnız biri ilə işləmək daha asandır. Təmiz X ilə. Nə etməli? Gəlin bu ikisini tənlikdən çıxaraq! Qarışmamaq üçün. Bizim haqqımız var! Biz əldə edirik:
2(x 2 -2 x+3)
Bunun kimi. İndi mötərizədə trinomial artıq ilə təmiz X kvadratı! 1-ci səviyyə alqoritminin tələb etdiyi kimi.İndi isə bu yeni trinomialla köhnə sübut edilmiş sxem üzrə işləyə bilərsiniz. Beləliklə, hərəkət edirik. Gəlin onu ayrıca yazaq və çevirək:
x 2 -2 x+3 = x 2 -2·x·1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2·x·1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2
Döyüşün yarısı bitdi. Qalan şey, nəticədə ortaya çıxan ifadəni mötərizənin içərisinə daxil etmək və onları geri genişləndirməkdir. Belə çıxacaq:
2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4
Hazır!
Cavab:
2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4
Gəlin bunu başımızda düzəldək:
Əgər x kvadratının əmsalı birə bərabər deyilsə, bu əmsalı mötərizədən çıxarırıq. Mötərizədə qalan trinomial ilə biz adi alqoritmə uyğun işləyirik a=1. İçindəki tam kvadratı seçdikdən sonra nəticəni yerinə yapışdırırıq və xarici mötərizələri geri açırıq.
Əgər b və c əmsalları a-ya bərabər bölünmürsə? Bu ən çox yayılmış və eyni zamanda ən pis haldır. Onda ancaq kəsrlər, bəli... Heç nə etmək olmaz. Misal üçün:
3 x 2 +2 x-5
Hər şey eynidir, üçünü mötərizədən çıxarırıq və alırıq:
Təəssüf ki, nə iki, nə də beş tamamilə üçə bölünmür, ona görə də yeni (azaldılmış) üçhəcmlinin əmsalları fraksiyalı. Yaxşı, yaxşıdır. Biz birbaşa kəsrlərlə işləyirik: iki X-in üçdə birini çevirin ikiqat artdı x-in məhsulu birüçüncüsü, üçdə birinin kvadratını əlavə edin (yəni 1/9), onu çıxarın, 5/3-ü çıxarın...
Ümumiyyətlə, başa düşürsən!
Nə baş verdiyinə qərar verin. Nəticə belə olmalıdır:
Və başqa bir dırmıq. Bir çox tələbə müsbət tam və hətta kəsr əmsalları ilə ağıllı şəkildə məşğul olur, lakin mənfi olanlarda ilişib qalır. Misal üçün:
- x 2 +2 x-3
Əvvəl mənfi ilə nə etmək lazımdırx 2 ? Cəm/fərqin kvadratı düsturunda hər bir artı lazımdır... Sual yoxdur! Hamısı eyni. Gəlin bu mənfi cəhəti tənlikdən çıxaraq. Bunlar. minus bir. Bunun kimi:
- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1)·(x 2 -2 x+3)
Və hamısı budur. Və mötərizədə trinomial ilə - yenidən dırnaqlı yol boyunca.
x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2
Mənfi nəzərə alınmaqla cəmi:
- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2
Hamısı budur. Nə? Mötərizədə minus qoymağı bilmirsiniz? Bu, ibtidai yeddinci sinif cəbri üçün sualdır, kvadrat üçhəcmlilər üçün deyil...
Unutmayın: mənfi əmsalla işləmək A müsbət ilə işləməkdən mahiyyət etibarilə heç bir fərqi yoxdur. Mənfiləri çıxarırıq A mötərizədə, sonra isə - bütün qaydalara uyğun olaraq.
Niyə tam kvadrat seçə bilməlisiniz?
İlk faydalı şey parabolaları tez və səhvsiz çəkməkdir!
Məsələn, bu vəzifə:
Funksiyanın qrafiki:y=- x 2 +2 x+3
Nə edəcəyik? Xallara görə qurmaq? Əlbəttə, mümkündür. Uzun bir yolda kiçik addımlar. Olduqca axmaq və maraqsız...
İlk növbədə xatırladıram ki, tikinti zamanı hər hansı parabola, biz həmişə ona standart suallar toplusu təqdim edirik. Onlardan ikisi var. Məhz:
1) Parabolanın budaqları hara yönəldilmişdir?
2) Təpə nöqtəsi hansı nöqtədədir?
Budaqların istiqaməti ilə bağlı hər şey orijinal ifadədən aydındır. Filiallar istiqamətləndiriləcək aşağı, çünki əmsalı əvvəlx 2 - mənfi. Minus bir. X kvadratının qarşısında mənfi işarə Həmişə parabolanı çevirir.
Ancaq zirvənin yeri ilə hər şey o qədər də aydın deyil. Əlbəttə ki, əmsallar vasitəsilə onun absisini hesablamaq üçün ümumi bir düstur var a Və b.
Bu bir:
Amma bu düsturu hamı xatırlamır, ah, hamı deyil... Yadında qalanların isə 50%-i bir anda büdrəyərək banal hesabda qarışır (adətən oyunu sayarkən). Ayıbdır, elə deyilmi?)
İndi siz hər hansı bir parabolanın təpəsinin koordinatlarını necə tapacağınızı öyrənəcəksiniz beynimde bir dəqiqədə! Həm X, həm də Y. Bir vuruşla və heç bir düstur olmadan. Necə? Tam kvadrat seçərək!
Beləliklə, ifadəmizdə mükəmməl kvadratı təcrid edək. Biz əldə edirik:
y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4
Kim yaxşı bilir ümumi məlumat funksiyalar haqqında və mövzunu yaxşı mənimsədim" funksiya qrafiklərinin çevrilməsi ", o, asanlıqla başa düşəcək ki, bizim istədiyimiz parabola adi paraboladan alınır y= x 2 üç transformasiyadan istifadə edir. Bu:
1) Filialların istiqamətinin dəyişdirilməsi.
Bu, mötərizənin kvadratından əvvəl mənfi işarə ilə göstərilir ( a=-1). idi y= x 2 , oldu y=- x 2 .
Dönüşüm: f ( x ) -> - f ( x ) .
2) Parabolanın paralel köçürülməsi y=- x 2 X 1 vahid sağa.
Aralıq qrafiki belə əldə edirik y=-(x-1 ) 2 .
Dönüşüm: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).
Mötərizədə mənfi olsa da, niyə sola deyil, sağa sürüşdürülür? Bu, qrafik çevrilmə nəzəriyyəsidir. Bu ayrı bir mövzudur.
Və nəhayət,
3) Paralel köçürmə parabolalar y=-( x -1) 2 4 vahid yuxarı.
Son parabolanı belə əldə edirik y= -(x-1) 2 +4 .
Dönüşüm: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)
İndi transformasiya zəncirimizə baxırıq və başa düşürük: parabolanın təpəsi hara hərəkət edir?y=x 2 ? Bu (0; 0) nöqtəsində idi, birinci çevrilmədən sonra təpə heç bir yerə hərəkət etmədi (parabola sadəcə çevrildi), ikincidən sonra X boyunca +1, üçüncüdən sonra isə Y boyunca hərəkət etdi. +4. Ümumilikdə, yuxarı nöqtəni vurdu (1; 4) . Bütün sirr budur!
Şəkil aşağıdakı kimi olacaq:
Əslində, məhz buna görə təkidlə diqqətinizi rəqəmlərə yönəltdim m Və n, tam kvadratın təcrid edilməsi prosesi nəticəsində yaranır. Təxmin edə bilmirsən niyə? Bəli. Məsələ burasındadır ki, nöqtə koordinatları ilə (- m ; n ) - həmişə belədir parabolanın təpəsi y = a ( x + m ) 2 + n . Sadəcə çevrilmiş üçbucaqlıdakı rəqəmlərə baxın və beynimde Təpənin olduğu yerdə düzgün cavabı veririk. Rahatdır, elə deyilmi?)
Parabola çəkmək ilk faydalı şeydir. Gəlin ikinciyə keçək.
İkinci faydalı şey kvadrat tənliklərin və bərabərsizliklərin həllidir.
Hə hə! Tam kvadrat seçmək bir çox hallarda olur çox daha sürətli və daha səmərəli bu kimi vəzifələrin həlli üçün ənənəvi üsullar. Şübhələriniz varmı? Zəhmət olmasa! Budur sizin üçün bir tapşırıq:
Bərabərsizliyi həll edin:
x 2 +4 x+5 > 0
Öyrəndim? Bəli! Bu klassikdir kvadrat bərabərsizlik . Bütün belə bərabərsizliklər standart alqoritmdən istifadə etməklə həll edilir. Bunun üçün bizə lazımdır:
1) Bərabərsizlikdən tənlik qurun standart görünüş və həll edin, kökləri tapın.
2) X oxunu çəkin və tənliyin köklərini nöqtələrlə qeyd edin.
3) Orijinal ifadədən istifadə edərək parabolanı sxematik şəkildə təsvir edin.
4) Şəkildəki +/- sahələrini müəyyənləşdirin. Orijinal bərabərsizliyə əsasən tələb olunan sahələri seçin və cavabı yazın.
Əslində, bütün bu proses bezdiricidir, bəli...) Üstəlik, bu misal kimi qeyri-standart situasiyalarda sizi həmişə səhvlərdən xilas etmir. Əvvəlcə şablonu sınayaq?
Beləliklə, bir nöqtəni qeyd edək. Bərabərsizlikdən tənliyi edirik:
x 2 +4 x+5 = 0
Standart kvadrat tənlik, hiylə yoxdur. Gəlin qərar verək! Diskriminantı hesablayırıq:
D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4
Bu belədir! Ancaq diskriminant mənfidir! Tənliyin kökü yoxdur! Və oxda çəkmək üçün heç bir şey yoxdur ... Nə etməli?
Burada bəziləri orijinal bərabərsizliyin olduğu qənaətinə gələ bilərlər də həlli yoxdur. Bu ölümcül yanlış fikirdir, bəli... Amma tam kvadrat seçməklə bu bərabərsizliyə düzgün cavabı yarım dəqiqəyə vermək olar! Şübhələriniz varmı? Yaxşı, vaxt tapa bilərsiniz.
Beləliklə, ifadəmizdə mükəmməl kvadratı seçirik. Biz əldə edirik:
x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1
Orijinal bərabərsizlik belə görünməyə başladı:
(x+2) 2 +1 > 0
İndi isə heç nə həll etmədən və ya dəyişdirmədən sadəcə elementar məntiqi işə salıb düşünürük: əgər hansısa ifadənin kvadratına (qiymət açıqdır mənfi olmayan!) daha birini əlavə et, onda sonda hansı rəqəmi alacağıq? Bəli! Ciddi şəkildə müsbət!
İndi bərabərsizliyə baxaq:
(x+2) 2 +1 > 0
Bir rekordun riyazi dildən rus dilinə tərcüməsi: x-nin ciddi şəkildə müsbət ifadəsi ciddi olacaq daha çox sıfır? təxmin etmədin? Bəli! İstənilən üçün!
Cavabınız budur: x - istənilən ədəd.
İndi alqoritmə qayıdaq. Yenə də mahiyyəti anlamaq və sadə mexaniki yadda saxlamaq iki fərqli şeydir.)
Alqoritmin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, biz standart bərabərsizliyin sol tərəfindən parabola düzəldirik və onun X oxundan yuxarıda və aşağıda harada olduğunu görürük. Bunlar. sol tərəfin müsbət dəyərləri haradadır, mənfi haradadır.
Sol tərəfimizi parabolaya çevirsək:
y =x 2 +4 x+5
Və onun qrafikini çəkək, bunu görəcəyik hamısı bütün parabola X oxunun üstündən keçir.Şəkil belə görünəcək:
Parabola əyridir, hə... Ona görə də sxematikdir. Ancaq eyni zamanda, şəkildə bizə lazım olan hər şey görünür. Parabolanın X oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur və oyun üçün sıfır dəyərlər yoxdur. Və təbii ki, mənfi dəyərlər də yoxdur. Hansı ki, bütün X oxunu kölgə salmaqla göstərilir. Yeri gəlmişkən, mən burada Y oxunu və təpənin koordinatlarını bir səbəbə görə təsvir etdim. Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını (-2; 1) və çevrilmiş ifadəmizi müqayisə edin!
y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1
Bəs siz bunu necə bəyənirsiniz? Bəli! Bizim vəziyyətimizdə m=2 Və n=1 . Beləliklə, parabolanın təpəsinin koordinatları var: (- m; n) = (-2; 1) . Hər şey məntiqlidir.)
Başqa bir vəzifə:
Tənliyi həll edin:
x 2 +4 x+3 = 0
Sadə kvadrat tənlik. Bunu köhnə üsulla həll edə bilərsiniz. vasitəsilə mümkündür. İstədiyiniz kimi. Riyaziyyatın ağlına gəlmir.)
Gəlin kökləri əldə edək: x 1 =-3 x 2 =-1
Və bunu etmənin bu və ya digər yolunu xatırlamırıqsa? Yaxşı, yaxşı mənada bir ikili alacaqsan, amma... Elə ol, səni xilas edəcəyəm! Mən yalnız yeddinci sinif üsullarından istifadə edərək bəzi kvadrat tənlikləri necə həll edə biləcəyinizi göstərəcəyəm. Yenidən tam kvadrat seçin!)
x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1
İndi isə yaranan ifadəni belə yazaq... kvadratlar fərqi! Bəli, bəli, yeddinci sinifdə biri var:
a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)
Rolda A mötərizələr çıxır(x+2) , və rolda b- bir. Biz əldə edirik:
(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)
Bu genişlənməni tənliyə kvadrat üçbucaqlı əvəzinə daxil edirik:
(x+1)(x+3)=0
Faktorların məhsulunun sıfıra bərabər olduğunu başa düşmək qalır sonra və yalnız bundan sonra, onlardan hər hansı biri sıfır olduqda. Beləliklə, biz (ağlımızda!) hər mötərizəni sıfıra bərabərləşdiririk.
Biz əldə edirik: x 1 =-3 x 2 =-1
Hamısı budur. Eyni iki kök. Belə bir bacarıqlı hiylə. Diskriminantdan əlavə.)
Yeri gəlmişkən, diskriminant və haqqında ümumi formula kvadrat tənliyin kökləri:
Mənim dərsimdə bu çətin düsturun törəməsi buraxıldı. Lazımsız kimi. Amma bura onun üçün yerdir.) Necə olduğunu bilmək istərdinizmi? bu formula çıxır? Diskriminant ifadəsi haradan gəlir və niyə məhz?b 2 -4ac, və başqa yol deyil? Yenə də baş verənlərin mahiyyətini tam başa düşmək hər cür hərf və simvolları ağılsızca cızmaqdan daha faydalıdır, elə deyilmi?)
Üçüncü faydalı şey kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılmasıdır.
Budur, gedirik! Kvadrat üçhəcmini ümumi formada götürürük balta 2 + bx+ c Və… Tam kvadrat seçməyə başlayaq! Bəli, düz məktublar vasitəsilə! Arifmetika var idi, indi cəbrdir.) Əvvəlcə həmişəki kimi hərfi çıxarırıq. a mötərizədən çıxarın və bütün digər əmsalları bölün a:
Bunun kimi. Bu tamamilə qanuni çevrilmədir: A sıfıra bərabər deyil, və ona görə bölmək olar. Mötərizədə biz yenə adi alqoritmə uyğun işləyirik: X ilə termindən hasili ikiqat edirik, ikinci ədədin kvadratını əlavə edirik/çıxırıq...
Hər şey eynidir, amma hərflərlə.) Özünüz bitirməyə çalışın! Sağlam!)
Bütün dəyişikliklərdən sonra bunu almalısınız:
Və nə üçün zərərsiz trinomialdan belə yığınlar qurmalıyıq - soruşursunuz? Problem yoxdur, indi maraqlı olacaq! İndi məsələni bilirik, gəlin bu şeyi bərabərləşdirək sıfıra:
Adi bir tənlik kimi həll edirik, bütün qaydalara uyğun işləyirik, yalnız hərflərlə. Gəlin əsasları edək:
1) Böyük kəsri sağa köçürün. Köçürmə zamanı artı mənfiyə dəyişirik. Kəsrin özündən əvvəl minus çəkməmək üçün mən sadəcə paylayıcıdakı bütün işarələri dəyişdirəcəyəm. Solda sayğac var idi4ac-b 2 , və köçürmədən sonra o olacaq -( 4ac-b 2 ) , yəni. b 2 -4 ac. Tanış bir şey, sizcə? Bəli! Ayrı-seçkilikçi, ən çox o...) Belə olacaq:
2) Mötərizənin kvadratını əmsaldan təmizləyin. Hər iki tərəfi " ilə bölün A". Solda, mötərizələrdən əvvəl hərf var A yox olur və sağda böyük fraksiyanın məxrəcinə daxil olur, onu çevirir 4 a 2 .
Bu bərabərlik ortaya çıxır:
Bu sizin üçün alınmadı? O zaman "" mövzusu sizin üçündür. Dərhal ora get!
Növbəti addım kökünü çıxarın. X ilə maraqlanırıq, elə deyilmi? X isə kvadratın altında oturur... Kökləri çıxarmaq qaydalarına uyğun olaraq çıxarırıq, əlbəttə. Çıxardıqdan sonra bunu alacaqsınız:
Solda cəminin kvadratı var yox olur və qalan sadəcə bu məbləğin özüdür. Hansı tələb olunur.) Amma sağda görünür artı/mənfi. Dəhşətli görünüşünə baxmayaraq, bizim ağır vuruşumuz belədir sadəcə bəzi rəqəm. Kəsr ədəd. Oranlardan asılıdır a, b, c. Bu halda, bu kəsrin payının kökü gözəl çıxarılmır, iki ifadə arasında fərq var. Və burada məxrəcin kökü var 4 a 2 Bu olduqca yaxşı işləyir! Bu asan olacaq 2 a.
Veriləcək "çətin" sual: ifadədən kök çıxarmağa haqqım varmı? 4 a2, cavab verin yalnız 2a? Axı, hasilat qaydası kvadrat kök modul işarəsi qoymağa borcludur, yəni.2|a| !
Modul işarəsini niyə buraxdığımı düşünün. Çox faydalıdır. İpucu: cavab işarədədir artı/mənfi kəsirdən əvvəl.)
Sadəcə xırda şeylər qalıb. Solda təmiz X təmin edirik. Bunu etmək üçün kiçik hissəni sağa köçürün. İşarənin dəyişməsi ilə bibər aydın olur. Nəzərinizə çatdırım ki, kəsrdəki işarə hər yerdə və istənilən şəkildə dəyişdirilə bilər. Onu kəsrin qarşısında dəyişmək istəyirik, məxrəcdə, payda olmasını istəyirik. İşarəni dəyişəcəm hesablayıcıda. idi + b, oldu – b. Ümid edirəm heç bir etiraz yoxdur?) Transferdən sonra belə olacaq:
Eyni məxrəcləri olan iki fraksiya əlavə edirik və əldə edirik (nəhayət!):
Yaxşı? Mən nə deyə bilərəm? Heyrət! Vay!)
Dördüncü faydalı şey - tələbələr üçün qeyd!
İndi məktəbdən universitetə rəvan keçək. İnanmayacaqsınız, amma ali riyaziyyatda tam kvadratı təcrid etmək də lazımdır!
Məsələn, bu vəzifə:
Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:
Haradan başlamaq lazımdır? Birbaşa tətbiq işləmir. Yalnız tam kvadratın seçilməsi qənaət edir, bəli...)
Tam kvadratı necə seçəcəyini bilməyən hər kəs bu sadə nümunədə əbədi qalacaq. Və kim necə bilirsə, ayırır və alır:
x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4
İndi isə inteqral (bilənlər üçün) bir sol əllə alınır!
Əla, hə? Və bunlar təkcə inteqrallar deyil! Mən artıq analitik həndəsə haqqında susuram ikinci dərəcəli əyrilər – ellips, hiperbola, parabola və dairə.
Misal üçün:
Tənliklə verilən əyri növünü təyin edin:
x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0
Tam kvadratı təcrid etmək qabiliyyəti olmadan, vəzifə həll edilə bilməz, bəli ... Amma nümunə daha sadə ola bilməz! Bilənlər üçün, əlbəttə.
X və Y ilə şərtləri qruplara qruplaşdırırıq və hər dəyişən üçün tam kvadratlar seçirik. Belə çıxacaq:
(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16
(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9
(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2
Bəs necədir? Onun hansı heyvan olduğunu öyrəndinizmi?) Yaxşı, əlbəttə! Mərkəzi (3; 4) nöqtəsində olan üç radiuslu dairə.
Və budur.) Faydalı bir şey tam kvadrat seçməkdir!)
Tərif
2 x 2 + 3 x + 5 şəklində ifadələrə kvadrat üçhəcmlilər deyilir. Ümumiyyətlə, kvadrat üçbucaq a x 2 + b x + c formasının ifadəsidir, burada a, b, c a, b, c ixtiyari ədədlər və a ≠ 0dır.
X 2 - 4 x + 5 kvadrat üçbucağını nəzərdən keçirək. Onu bu formada yazaq: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Bu ifadəyə 2 2 əlavə edib 2 2-ni çıxsaq, alarıq: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Qeyd edək ki, x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, belə ki, x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Etdiyimiz çevrilmə adlanır “Mükəmməl kvadratı kvadrat üçbucaqdan təcrid etmək”.
9 x 2 + 3 x + 1 kvadrat trinomialdan mükəmməl kvadratı təyin edin.
Qeyd edək ki, 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Sonra `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Nəticə ifadəsinə `(1/2)^2` əlavə edib çıxırıq, alırıq
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Mükəmməl kvadratı kvadrat üçhəcmdən təcrid etmək üsulundan kvadrat üçhəmiyə ayırmaq üçün necə istifadə olunduğunu göstərəcəyik.
Kvadrat üçhəcmli 4 x 2 - 12 x + 5-i çarpazlayın.
Kvadrat üçbucaqdan mükəmməl kvadratı seçirik: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. İndi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) düsturunu tətbiq edirik: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).
Kvadrat üçhəcmini çarpanlayın - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. İndi görürük ki, 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
9 x 2 - 12 x ifadəsinə 2 2 terminini əlavə edirik, alırıq:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Kvadratların fərqi üçün düstur tətbiq edirik, bizdə:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Kvadrat üçhəcmli 3 x 2 - 14 x - 5 faktorunu ayırın.
3 x 2 ifadəsini hansısa ifadənin kvadratı kimi təqdim edə bilmərik, çünki biz bunu hələ məktəbdə öyrənməmişik. Siz bundan sonra keçəcəksiniz və 4 nömrəli tapşırıqda biz öyrənəcəyik kvadrat köklər. Verilmiş kvadrat üçhəcmini necə faktorlara ayıra biləcəyinizi göstərək:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Kvadrat üçhəmin ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün mükəmməl kvadrat metodundan necə istifadə edəcəyinizi sizə göstərəcəyik.
X 2 - x + 3 kvadrat üçhəcmini nəzərdən keçirək. Tam kvadrat seçin:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Qeyd edək ki, `x=1/2` olduqda kvadrat üçhəmin qiyməti `11/4` olduqda və `x!=1/2` olduqda `11/4` dəyərinə müsbət ədəd əlavə edilir, ona görə də biz `11/4`-dən böyük rəqəm alın. Beləliklə, kvadrat üçhəmin ən kiçik qiyməti `11/4`-dür və `x=1/2` olduqda alınır.
Kvadrat üçhəmin ən böyük qiymətini tapın - 16 2 + 8 x + 6.
Kvadrat üçbucaqdan mükəmməl kvadrat seçirik: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.
`x=1/4` olduqda kvadrat üçhəmin qiyməti 7, `x!=1/4` olduqda isə 7 rəqəmindən müsbət ədəd çıxdıqda, yəni 7-dən kiçik ədəd alırıq. Beləliklə, 7 rəqəmi ən yüksək dəyər kvadrat üçbucaqdır və `x=1/4` olduqda alınır.
`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` kəsirinin payını və məxrəcini hesablayın və kəsri azaldın.
Qeyd edək ki, x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 kəsrinin məxrəci. Tam kvadratı kvadrat trinomialdan təcrid etmək üsulundan istifadə edərək kəsrin payını faktorlara ayıraq. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .
Bu kəsr (x - 3) azaldılmasından sonra `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` formasına endirilərək `(x+5)/(x-3) alırıq. )`.
Çoxhədli x 4 - 13 x 2 + 36-nı çarpanlayın.
Bu çoxhədliyə tam kvadratı təcrid etmək üsulunu tətbiq edək. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`