Tərs matrisi onlayn tapmaq üçün matrisin özünün ölçüsünü göstərməlisiniz. Bunu etmək üçün, sütun və sətirlərin sayı sizi qane edənə qədər "+" və ya "-" işarələrini vurun. Sonra, sahələrə tələb olunan elementləri daxil edin. Aşağıda "Hesabla" düyməsi var - klikləməklə, ətraflı həlli ilə ekranda cavab alacaqsınız.

Xətti cəbrdə çox vaxt tərs matrisin hesablanması prosesi ilə məşğul olmaq lazımdır. O, yalnız ifadə olunmamış matrislər üçün və determinantın sıfırdan fərqli olması şərtilə kvadrat matrislər üçün mövcuddur. Prinsipcə, onu hesablamaq xüsusilə çətin deyil, xüsusən də kiçik bir matrislə məşğul olsanız. Ancaq daha mürəkkəb hesablamalara və ya qərarınızı hərtərəfli ikiqat yoxlamağa ehtiyacınız varsa, bu onlayn kalkulyatordan istifadə etmək daha yaxşıdır. Onun köməyi ilə siz tez və səmərəli yüksək dəqiqlik tərs matrisi həll edin.

Bu onlayn kalkulyatordan istifadə edərək, hesablamalarınızı çox asanlaşdıra bilərsiniz. Bundan əlavə, bu, nəzəri cəhətdən əldə edilən materialın konsolidasiyasına kömək edir - bu, beyin üçün bir növ simulyatordur. Əllə hesablamalar üçün əvəz kimi qəbul edilməməlidir; o, alqoritmin özünü başa düşməyi asanlaşdıraraq sizə daha çox şey verə bilər. Bundan əlavə, özünüzü iki dəfə yoxlamaq heç vaxt zərər vermir.

tərs matris matrisdir A−1, vurulduqda verilmiş ilkin matris Aşəxsiyyət matrisi ilə nəticələnir E:

AA −1 = A −1 A =E.

Tərs matris üsulu.

Tərs matris üsulu- bu, matrislərin həlli üçün ən çox yayılmış üsullardan biridir və naməlumların sayı tənliklərin sayına uyğun gəldiyi hallarda xətti cəbr tənlikləri (SLAE) sistemlərini həll etmək üçün istifadə olunur.

Qoy sistem olsun n ilə xətti tənliklər n naməlum:

Belə bir sistem matris tənliyi kimi yazıla bilər A* X = B,

Harada
- sistem matrisi,

- naməlumlar sütunu,

- pulsuz əmsallar sütunu.

Alınmış matris tənliyindən soldakı matris tənliyinin hər iki tərəfini vuraraq X-i ifadə edirik. A-1, nəticəsində:

A -1 * A * X = A -1 * B

Bunu bilmək A -1 * A = E, Sonra E * X = A -1 * B və ya X = A -1 * B.

Növbəti addım tərs matrisin müəyyən edilməsidir A-1 və sərbəst şərtlər sütununa vurulur B.

Matrisdən matrisə tərs A yalnız o zaman mövcuddur det A≠ 0 . Bunu nəzərə alaraq, tərs matris metodundan istifadə edərək SLAE-ləri həll edərkən ilk addım tapmaqdır det A. Əgər det A≠ 0 , onda sistemin yalnız bir həlli var, onu tərs matris metodundan istifadə etməklə əldə etmək olar, lakin əgər det A = 0, onda belə bir sistem tərs matris üsulu həll edilə bilməz.

Tərs matrisin həlli.

Üçün hərəkətlərin ardıcıllığı tərs matris həlləri:

1. Matrisin determinantını alırıq A. Determinant sıfırdan böyükdürsə, matrisin tərsini daha da həll edirik, sıfıra bərabərdirsə, burada tərs matrisi tapa bilmərik.
2. Köçürülən matrisin tapılması AT.
3. Biz cəbri tamamlamaları axtarırıq, bundan sonra matrisin bütün elementlərini onların cəbri tamamlayıcıları ilə əvəz edirik.
4. Cəbri əlavələrdən tərs matrisi yığırıq: nəticədə alınan matrisin bütün elementlərini əvvəlcə verilmiş matrisin determinantına bölürük. Son matris orijinala nisbətən tələb olunan tərs matris olacaq.

Aşağıdakı alqoritm tərs matris həlləri mahiyyətcə yuxarıdakı ilə eynidir, fərq yalnız bir neçə addımdadır: ilk növbədə cəbri tamamlayıcıları müəyyənləşdiririk və bundan sonra müttəfiq matrisi hesablayırıq. C.

1. Verilmiş matrisin kvadrat olub olmadığını müəyyənləşdirin. Cavab mənfi olarsa, onun üçün tərs matris ola bilməyəcəyi aydın olur.
2. Verilmiş matrisin kvadrat olub olmadığını müəyyənləşdirin. Cavab mənfi olarsa, onun üçün tərs matris ola bilməyəcəyi aydın olur.
3. Cəbri tamamlamaları hesablayırıq.
4. Birlik (qarşılıqlı, bitişik) matris tərtib edirik C.
5. Cəbri əlavələrdən tərs matrisi düzəldirik: bitişik matrisin bütün elementləri C ilkin matrisin determinantına bölün. Son matris verilənə nisbətən tələb olunan tərs matris olacaq.
6. Görülən işi yoxlayırıq: ilkin və nəticələnən matrisləri çarpın, nəticə eynilik matrisi olmalıdır.

Bu, ən yaxşı şəkildə əlavə edilmiş matrisdən istifadə etməklə edilir.

Teorem: Sağ tərəfdəki kvadrat matrisə eyni düzənli eynilik matrisini təyin etsək və sətirlər üzərində elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, soldakı ilkin matrisi eynilik matrisinə çevirsək, onda sağ tərəfdə alınan matrisa olacaq. ilkin birinə tərs olsun.

Tərs matrisin tapılması nümunəsi.

Məşq edin. Matris üçün bitişik matris metodundan istifadə edərək tərsini tapın.

Həll. Verilmiş matrisə əlavə edin A sağda 2-ci dərəcəli şəxsiyyət matrisi var:

1-ci sətirdən 2-ni çıxarırıq:

İkinci sətirdən ilk 2-ni çıxarırıq:

Bu mövzu tələbələr arasında ən nifrət edilən mövzulardan biridir. Daha pisi, yəqin ki, seçmələrdir.

Məsələ ondadır ki, tərs element anlayışının özü (və mən təkcə matrislərdən danışmıram) bizi vurma əməliyyatına istinad edir. Hətta məktəb kurikulumu Vurma mürəkkəb bir əməliyyat hesab olunur və matrislərin vurulması ümumiyyətlə ayrıca bir mövzudur, mənim bütöv bir paraqraf və video dərsim var.

Bu gün biz matris hesablamalarının təfərrüatlarına girməyəcəyik. Yalnız xatırlayaq: matrislər necə təyin olunur, necə vurulur və bundan nə gəlir.

İcmal: Matrisin vurulması

Əvvəlcə nota ilə razılaşaq. $\left[ m\times n \right]$ ölçülü $A$ matrisi sadəcə olaraq $m$ sətirləri və $n$ sütunları olan ədədlər cədvəlidir:

\=\ underbrace(\left[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matris) \sağ])_(n)\]

Sətirləri və sütunları təsadüfən qarışdırmamaq üçün (inanın ki, imtahanda siz bəzi sətirləri bir yana qoymayın, birini iki ilə qarışdıra bilərsiniz) şəklə baxın:

Matris hüceyrələri üçün indekslərin müəyyən edilməsi

Nə baş verir? Əgər siz $OXY$ standart koordinat sistemini yuxarı sol küncə yerləşdirsəniz və oxları bütün matrisi əhatə edəcək şəkildə istiqamətləndirsəniz, bu matrisin hər bir xanası unikal şəkildə $\left(x;y \right)$ koordinatları ilə əlaqələndirilə bilər. - bu sıra nömrəsi və sütun nömrəsi olacaq.

Niyə koordinat sistemi yuxarı sol küncdə yerləşdirilib? Bəli, ona görə ki, hər hansı mətni oxumağa oradan başlayırıq. Yadda saxlamaq çox asandır.

Niyə $x$ oxu sağa yox, aşağıya doğru yönəldilmişdir? Yenə də sadədir: standart koordinat sistemi götürün ($x$ oxu sağa, $y$ oxu yuxarı qalxır) və onu elə çevirin ki, matrisi əhatə etsin. Bu, saat əqrəbi istiqamətində 90 dərəcə fırlanmadır - şəkildəki nəticəni görürük.

Ümumiyyətlə, biz matris elementlərinin indekslərinin necə təyin olunacağını anladıq. İndi vurmağa baxaq.

Tərif. $A=\left[ m\times n \right]$ və $B=\left[ n\times k \right]$ matrisləri, birincidəki sütunların sayı ikincidəki sətirlərin sayı ilə üst-üstə düşdükdə, ardıcıl adlandırılır.

Məhz bu qaydada. Biri çaşdırıb deyə bilər ki, $A$ və $B$ matrisləri sifarişli $\left(A;B \right)$ cütünü təşkil edir: əgər onlar bu ardıcıllıqla uyğundursa, o zaman $B-yə qətiyyən ehtiyac yoxdur. $ və $A$ bunlardır. $\left(B;A \right)$ cütü də uyğundur.

Yalnız uyğun gələn matrisləri çoxaltmaq olar.

Tərif. Uyğun $A=\left[ m\times n \right]$ və $B=\left[ n\times k \right]$ matrislərinin hasili yeni $C=\left[ m\times k \right] matrisidir. ]$ , elementləri $((c)_(ij))$ düsturla hesablanır:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Başqa sözlə: $C=A\cdot B$ matrisinin $((c)_(ij))$ elementini almaq üçün birinci matrisin $i$-sətirini, $j$-ı götürmək lazımdır. ikinci matrisin -ci sütunu və sonra bu sətir və sütundan elementləri cüt-cüt çoxaldın. Nəticələri əlavə edin.

Bəli, bu çox sərt tərifdir. Ondan dərhal bir neçə fakt çıxır:

1. Matrisin vurulması, ümumiyyətlə, qeyri-kommutativdir: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Bununla belə, vurma assosiativdir: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Və hətta distributiv olaraq: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Və bir daha distributiv olaraq: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Vurmanın paylanması, vurma əməliyyatının qeyri-kommutativliyi səbəbindən dəqiq olaraq sol və sağ cəm amili üçün ayrıca təsvir edilməli idi.

$A\cdot B=B\cdot A$ olduğu ortaya çıxarsa, belə matrislər kommutativ adlanır.

Orada bir şeyə vurulan bütün matrislər arasında xüsusi olanlar var - hər hansı $A$ matrisi ilə vurulduqda yenidən $A$ verənlər:

Tərif. $A\cdot E=A$ və ya $E\cdot A=A$ olduqda $E$ matrisi eynilik adlanır. $A$ kvadrat matrisi vəziyyətində yaza bilərik:

Şəxsiyyət matrisi matris tənliklərini həll edərkən tez-tez qonaq olur. Və ümumiyyətlə, matrislər dünyasında tez-tez qonaq olur. :)

Və bu $E$-a görə kimsə bundan sonra yazılacaq bütün cəfəngiyatları ortaya atdı.

Tərs matris nədir

Matrislərin vurulması çox əmək tələb edən bir əməliyyat olduğundan (bir dəstə sətir və sütunu çoxaltmalısınız), tərs matris anlayışı da ən mənasız deyil. Və bəzi izahat tələb edir.

Açar Tərif

Yaxşı, həqiqəti bilmək vaxtıdır.

Tərif. $B$ matrisi əgər $A$ matrisinin tərsi adlanır

Tərs matris $((A)^(-1))$ ilə işarələnir (dərəcə ilə qarışdırılmamalıdır!), beləliklə tərifi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

Görünür ki, hər şey son dərəcə sadə və aydındır. Ancaq bu tərifi təhlil edərkən dərhal bir neçə sual yaranır:

1. Tərs matris həmişə mövcuddurmu? Həmişə deyilsə, onda necə müəyyənləşdirmək olar: nə vaxt var və nə vaxt yoxdur?
2. Və kim dedi ki, məhz belə bir matris var? Əgər bəzi ilkin $A$ matrisi üçün tam tərs izdiham varsa, onda necə?
3. Bütün bu “əkslər” nəyə bənzəyir? Və onları dəqiq olaraq necə saymalıyıq?

Hesablama alqoritmlərinə gəlincə, bu barədə bir az sonra danışacağıq. Ancaq qalan suallara indi cavab verəcəyik. Onları ayrı-ayrı ifadələr-lemmalar şəklində formalaşdıraq.

Əsas xüsusiyyətlər

Gəlin $A$ matrisinin onun üçün $((A)^(-1))$ olması üçün prinsipcə necə görünməsi ilə başlayaq. İndi əmin olacağıq ki, bu matrislərin hər ikisi kvadrat və eyni ölçüdə olmalıdır: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. $A$ matrisi və onun tərsi $((A)^(-1))$ verilmişdir. Onda bu matrislərin hər ikisi kvadratdır və eyni tərtib $n$-dır.

Sübut. Bu sadədir. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ matrisi olsun. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ məhsulu tərifinə görə mövcud olduğundan, $A$ və $((A)^(-1))$ matrisləri göstərilən ardıcıllıqla uyğundur:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( hizalayın)\]

Bu, matrisin çoxaldılması alqoritminin birbaşa nəticəsidir: $n$ və $a$ əmsalları “transit”dir və bərabər olmalıdır.

Eyni zamanda tərs vurma da müəyyən edilir: $((A)^(-1))\cdot A=E$, buna görə də $((A)^(-1))$ və $A$ matrisləri müəyyən edilmiş qaydada da uyğundur:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( hizalayın)\]

Beləliklə, ümumiliyi itirmədən hesab edə bilərik ki, $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Bununla belə, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ tərifinə əsasən, matrislərin ölçüləri ciddi şəkildə üst-üstə düşür:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Beləliklə, məlum olur ki, hər üç matris - $A$, $((A)^(-1))$ və $E$ - $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrislərdir. Lemma sübut edilmişdir.

Yaxşı, bu artıq yaxşıdır. Biz görürük ki, yalnız kvadrat matrislər tərsdir. İndi tərs matrisin həmişə eyni olduğuna əmin olaq.

Lemma 2. $A$ matrisi və onun tərsi $((A)^(-1))$ verilmişdir. Onda bu tərs matris yeganədir.

Sübut. Gəlin ziddiyyətlə gedək: $A$ matrisinin ən azı iki tərsi olsun - $B$ və $C$. Sonra, tərifə görə, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(hizalayın)\]

Lemma 1-dən belə nəticəyə gəlirik ki, bütün dörd matris - $A$, $B$, $C$ və $E$ - eyni düzülüşlü kvadratlardır: $\left[ n\times n \right]$. Beləliklə, məhsul müəyyən edilir:

Matris vurması assosiativ olduğundan (lakin kommutativ deyil!), biz yaza bilərik:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \sağ)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \sol(A\cdot C \sağ)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Sağ ox B=C. \\ \end(hizalayın)\]

Yeganə aldıq mümkün variant: tərs matrisin iki nümunəsi bərabərdir. Lemma sübut edilmişdir.

Yuxarıdakı arqumentlər bütün $b\ne 0$ real ədədləri üçün tərs elementin unikallığının sübutunu demək olar ki, sözlə təkrarlayır. Yeganə əhəmiyyətli əlavə matrislərin ölçüsünü nəzərə almaqdır.

Bununla belə, hər kvadrat matrisin çevrilə biləcəyi barədə hələ də heç nə bilmirik. Burada determinant köməyimizə gəlir - bu, bütün kvadrat matrislər üçün əsas xarakterikdir.

Lemma 3. $A$ matrisi verilmişdir. Əgər onun tərs matrisi $((A)^(-1))$ varsa, onda ilkin matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqlidir:

\[\sol| A\sağ|\ne 0\]

Sübut. Biz artıq bilirik ki, $A$ və $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrislərdir. Buna görə də onların hər biri üçün müəyyənedicini hesablaya bilərik: $\left| A\right|$ və $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Bununla belə, məhsulun determinantı determinantların hasilinə bərabərdir:

\[\sol| A\cdot B \right|=\sol| A \sağ|\cdot \sol| B \sağ|\Sağ ox \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \sağ|=\sol| A \sağ|\cdot \sol| ((A)^(-1)) \sağ|\]

Lakin tərifə görə, $A\cdot ((A)^(-1))=E$ və $E$-ın determinantı həmişə 1-ə bərabərdir, ona görə də

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \sağ|=\sol| E\sağ|; \\ & \sol| A \sağ|\cdot \sol| ((A)^(-1)) \sağ|=1. \\ \end(hizalayın)\]

İki ədədin hasili yalnız bu ədədlərin hər biri sıfırdan fərqli olduqda birə bərabərdir:

\[\sol| A \sağ|\ne 0;\dörd \sol| ((A)^(-1)) \sağ|\ne 0.\]

Belə çıxır ki, $\sol| A \sağ|\ne 0$. Lemma sübut edilmişdir.

Əslində bu tələb kifayət qədər məntiqlidir. İndi tərs matrisin tapılması alqoritmini təhlil edəcəyik - və tamamilə aydın olacaq ki, niyə sıfır determinant ilə heç bir tərs matrisin prinsipcə mövcud ola bilməz.

Ancaq əvvəlcə "köməkçi" tərifi formalaşdıraq:

Tərif. Sinqulyar matris $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrisdir və müəyyənedicisi sıfırdır.

Beləliklə, hər bir çevrilə bilən matrisin tək olmadığını iddia edə bilərik.

Bir matrisin tərsini necə tapmaq olar

İndi tərs matrisləri tapmaq üçün universal alqoritmi nəzərdən keçirəcəyik. Ümumiyyətlə, iki ümumi qəbul edilmiş alqoritm var və biz bu gün ikincisini də nəzərdən keçirəcəyik.

İndi müzakirə ediləcək olan $\left[ 2\times 2 \right]$ və qismən - $\left[ 3\times 3 \right]$ ölçülü matrislər üçün çox təsirlidir. Lakin $\left[ 4\times 4 \right]$ ölçüsündən başlayaraq istifadə etməmək daha yaxşıdır. Niyə - indi hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz.

Cəbri əlavələr

Hazır ol. İndi ağrı olacaq. Xeyr, narahat olmayın: yubkalı gözəl bir tibb bacısı, krujevalı corablar sizə gəlməyəcək və ombanıza iynə vurmayacaq. Hər şey daha prozaikdir: cəbri əlavələr və Əlahəzrət "Birlik Matrisi" sizə gəlir.

Əsas olandan başlayaq. Elementləri $((a)_(ij))$ adlanan $A=\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrisa olsun. Sonra hər bir belə element üçün cəbri tamamlayıcı təyin edə bilərik:

Tərif. $((A)_(ij))$ cəbri $A=\left[ matrisinin $i$-ci sətirində və $j$th sütununda yerləşən $((a)_(ij))$ elementini tamamlayır. n \times n \right]$ formanın konstruksiyasıdır

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \sağ))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Burada $M_(ij)^(*)$ eyni $i$-ci sətir və $j$-ci sütunu silməklə orijinal $A$-dan alınan matrisin determinantıdır.

Yenidən. Koordinatları $\left(i;j \right)$ olan matrisin elementinin cəbri tamamlaması $((A)_(ij))$ kimi işarələnir və sxem üzrə hesablanır:

1. Əvvəlcə orijinal matrisdən $i$-sətir və $j$-th sütununu silirik. Yeni kvadrat matrisi alırıq və onun determinantını $M_(ij)^(*)$ kimi işarə edirik.
2. Sonra bu determinantı $((\left(-1 \right))^(i+j))$-a vururuq - əvvəlcə bu ifadə ağlasığmaz görünə bilər, amma mahiyyət etibarı ilə biz sadəcə qarşısındakı işarəni tapırıq. $M_(ij)^(*) $.
3. Sayırıq və müəyyən bir rəqəm alırıq. Bunlar. cəbri əlavə dəqiq bir ədəddir və bəzi yeni matrisa deyil və s.

$M_(ij)^(*)$ matrisinin özü $((a)_(ij))$ elementinə əlavə minor adlanır. Və bu mənada cəbri tamamlamanın yuxarıdakı tərifi daha mürəkkəb tərifin xüsusi halıdır - determinant haqqında dərsdə baxdıqlarımız.

Vacib qeyd. Əslində, "böyüklər" riyaziyyatında cəbri əlavələr aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

1. Kvadrat matrisdə $k$ sətirləri və $k$ sütunlarını götürürük. Onların kəsişməsində $\left[ k\times k \right]$ ölçülü matris alırıq - onun determinantı $k$ sırasının minoru adlanır və $((M)_(k))$ işarəsi ilə işarələnir.
2. Sonra bu “seçilmiş” $k$ sətirlərinin və $k$ sütunlarının üstündən xətt çəkirik. Bir daha kvadrat matrisi alırsınız - onun determinantı əlavə minor adlanır və $M_(k)^(*)$ işarəsi ilə işarələnir.
3. $M_(k)^(*)$-nı $((\left(-1 \sağ))^(t))$-a vurun, burada $t$ (diqqət indi!) bütün seçilmiş cərgələrin nömrələrinin cəmidir və sütunlar. Bu cəbri əlavə olacaq.

Üçüncü addıma baxın: əslində 2 min dollarlıq şərtlər var! Başqa bir şey odur ki, $k=1$ üçün biz cəmi 2 şərt alacağıq - bunlar eyni $i+j$ olacaq - bizim üçün nəzərdə tutulduğumuz $((a)_(ij))$ elementinin "koordinatları". cəbri tamamlayıcı axtarır.

Beləliklə, bu gün biz bir qədər sadələşdirilmiş tərifdən istifadə edirik. Ancaq sonra görəcəyimiz kimi, bu, kifayət qədər çox olacaq. Aşağıdakı şey daha vacibdir:

Tərif. $S$ kvadrat matrisinə $A=\left[ n\times n \right]$ $A$-dan alınan $\left[ n\times n \right]$ ölçülü yeni matrisdir. $(( a)_(ij))$ $((A)_(ij))$ cəbri əlavələrlə əvəz etməklə:

\\Sağ ox S=\sol[ \begin(matris) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matris) \sağ]\]

Bu tərifi həyata keçirən an yaranan ilk fikir “nə qədər hesablanacaq!” olur. Rahatlayın: saymalı olacaqsınız, amma o qədər də deyil. :)

Yaxşı, bütün bunlar çox gözəldir, amma niyə lazımdır? Bəs niyə.

Əsas teorem

Bir az geriyə qayıdaq. Yadda saxlayın ki, Lemma 3-də $A$ inversilə matrisinin həmişə qeyri-təkdir (yəni onun determinantı sıfırdan fərqlidir: $\left| A \right|\ne 0$) olduğu bildirilmişdi.

Deməli, bunun əksi də doğrudur: əgər $A$ matrisi tək deyilsə, o, həmişə tərsdir. Və hətta $((A)^(-1))$ üçün axtarış sxemi var. Onu yoxlamaq:

Tərs matris teoremi. $A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matrisi verilsin və onun təyinedicisi sıfırdan fərqli olsun: $\left| A \sağ|\ne 0$. Sonra $((A)^(-1))$ tərs matrisi mövcuddur və düsturla hesablanır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\sol| A \sağ|)\cdot ((S)^(T))\]

İndi - hər şey eynidir, lakin oxunaqlı əl yazısında. Tərs matrisi tapmaq üçün sizə lazımdır:

1. $\left| determinantını hesablayın \right|$ və onun sıfır olmadığından əmin olun.
2. $S$ birləşmə matrisini qurun, yəni. $((A)_(ij))$ 100500 cəbri əlavə sayın və onları $((a)_(ij))$ yerinə qoyun.
3. Bu $S$ matrisini köçürün və sonra onu $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ ədədinə vurun.

Hamısı budur! $((A)^(-1))$ tərs matrisi tapıldı. Nümunələrə baxaq:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \sağ]\]

Həll. Geri dönmə qabiliyyətini yoxlayaq. Determinantı hesablayaq:

\[\sol| A\sağ|=\sol| \begin(matris) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matris) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant sıfırdan fərqlidir. Bu o deməkdir ki, matrisin tərsinə çevrilməsi mümkündür. Birlik matrisini yaradaq:

Cəbri əlavələri hesablayaq:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \sağ))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \sağ))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \sağ))^(2+2))\cdot \left| 3\sağ|=3. \\ \end(hizalayın)\]

Nəzərə alın: müəyyənedicilər |2|, |5|, |1| və |3| modullar deyil, $\left[ 1\times 1 \right]$ ölçülü matrislərin təyinediciləridir. Bunlar. seçmələr daxil olarsa mənfi ədədlər, "mənfi"ni silməyə ehtiyac yoxdur.

Ümumilikdə birlik matrisimiz belə görünür:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\sol| A \sağ|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(massiv) \sağ])^(T))=\left[ \begin (massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiv) \sağ]\]

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiv) \right]$

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \]

Həll. Determinantı yenidən hesablayırıq:

\[\begin(align) & \left| \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \right|=\begin(matris) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \sağ)\cdot \left(-1 \sağ)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \sağ)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \sağ)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \sağ)\cdot 0 \sağ) \\\end(matris)= \ \ & =\left(2+1+0 \sağ)-\left(4+0+0 \sağ)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sıfırdan fərqlidir - matris çevrilə biləndir. Amma indi çox çətin olacaq: biz 9-a qədər (doqquz, ana sik!) cəbri əlavələri saymalıyıq. Və onların hər birində $\left[ 2\times 2 \right]$ determinantı olacaq. Uçdu:

\[\begin(matris) ((A)_(11))=((\left(-1 \sağ))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \sağ))^(1+2))\cdot \left| \begin(matris) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matris) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \sağ))^(1+3))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matris) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \sağ))^(3+3))\cdot \left| \begin(matris) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matris) \right|=2; \\ \son (matris)\]

Qısacası, birləşmə matrisi belə görünəcək:

Beləliklə, tərs matris olacaq:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matris) \sağ]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(massiv) \sağ]\]

Bu belədir. Cavab budur.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(massiv) \sağ ]$

Gördüyünüz kimi, hər bir nümunənin sonunda bir yoxlama apardıq. Bu baxımdan vacib bir qeyd:

Yoxlamaq üçün tənbəllik etməyin. Orijinal matrisi tapılan tərs matrisə vurun - $E$ almalısınız.

Bu yoxlamanı yerinə yetirmək, məsələn, bir matris tənliyini həll edərkən sonrakı hesablamalarda səhv axtarmaqdan daha asan və sürətlidir.

Alternativ yol

Dediyim kimi, tərs matris teoremi $\left[ 2\times 2 \right]$ və $\left[ 3\times 3 \right]$ ölçüləri üçün əla işləyir (sonuncu halda o qədər də “əla” deyil" ), lakin daha böyük matrislər üçün kədər başlayır.

Ancaq narahat olmayın: alternativ bir alqoritm var ki, onun köməyi ilə hətta $\left[ 10\times 10 \right]$ matrisi üçün də tərsini tapa bilərsiniz. Ancaq tez-tez olduğu kimi, bu alqoritmi nəzərdən keçirmək üçün bizə bir az nəzəri məlumat lazımdır.

Elementar çevrilmələr

Bütün mümkün matris çevrilmələri arasında bir neçə xüsusi var - bunlar elementar adlanır. Üç belə çevrilmə var:

1. Vurma. Siz $i$-ci cərgəni (sütun) götürüb istənilən ədədə vura bilərsiniz $k\ne 0$;
2. Əlavə. $i$-ci sətirə (sütun) hər hansı digər $j$-ci sətirə (sütun) əlavə edin, istənilən $k\ne 0$ ədədinə vurulur (əlbəttə, $k=0$ edə bilərsiniz, amma nə var? nöqtə? Heç nə dəyişməyəcək).
3. Yenidən təşkili. $i$th və $j$th sətirləri (sütunları) götürün və yerləri dəyişdirin.

Niyə bu çevrilmələr elementar adlanır (böyük matrislər üçün o qədər də elementar görünmür) və niyə onlardan yalnız üçü var - bu suallar bugünkü dərsin əhatə dairəsindən kənardadır. Ona görə də təfərrüatlara varmayacağıq.

Başqa bir şey vacibdir: bütün bu təhrifləri birləşən matrisdə yerinə yetirməliyik. Bəli, bəli: düz eşitdiniz. İndi daha bir tərif olacaq - bugünkü dərsdə sonuncu.

Birləşən matris

Şübhəsiz ki, məktəbdə siz əlavə metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərini həll etdiniz. Yaxşı, bir sətirdən digərini çıxarın, bəzi sətirləri ədədə vurun - hamısı budur.

Beləliklə: indi hər şey eyni olacaq, ancaq "böyük" şəkildə. Hazırsan?

Tərif. $A=\left[ n\times n \right]$ matrisi və eyni ölçülü $n$ olan $E$ eynilik matrisi verilsin. Sonra $\left[ A\left| bitişik matrisi E\sağ. \right]$ $\left[ n\times 2n \right]$ ölçülü yeni matrisdir və belə görünür:

\[\left[ A\left| E\sağ. \right]=\left[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Bir sözlə, $A$ matrisini götürürük, sağda ona lazım olan ölçüdə $E$ şəxsiyyət matrisini təyin edirik, onları gözəllik üçün şaquli çubuqla ayırırıq - burada əlavə var. :)

Tutmaq nədir? Budur:

Teorem. $A$ matrisi inversiv olsun. $\left[ A\left| bitişik matrisini nəzərdən keçirək E\sağ. \right]$. İstifadə edərsə elementar sətir çevrilmələri$\left[ E\left| formasına gətirin B\sağ. \right]$, yəni. $A$-dan sağdakı $E$ matrisini əldə etmək üçün cərgələri vuraraq, çıxararaq və yenidən təşkil etməklə, solda alınan $B$ matrisi $A$-ın tərsidir:

\[\left[ A\left| E\sağ. \sağ]\to \sola[ E\sola| B\sağ. \sağ]\Sağ ox B=((A)^(-1))\]

Bu qədər sadədir! Bir sözlə, tərs matrisin tapılması alqoritmi belə görünür:

1. $\left[ A\left| bitişik matrisini yazın E\sağ. \right]$;
2. $A$ əvəzinə $E$ görünənə qədər elementar sətir çevirmələrini həyata keçirin;
3. Əlbəttə ki, solda bir şey də görünəcək - müəyyən bir matris $B$. Bunun əksi olacaq;
4. MƏNFƏR! :)

Əlbəttə ki, bunu söyləmək etməkdən daha asandır. Beləliklə, gəlin bir neçə nümunəyə baxaq: $\left[ 3\times 3 \right]$ və $\left[ 4\times 4 \right]$ ölçüləri üçün.

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\ ]

Həll. Qarşılıqlı matrisi yaradırıq:

\[\left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 və 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Orijinal matrisin son sütunu birlərlə dolu olduğundan, qalanlardan birinci sətri çıxarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matris)\\\ & \to \sola [ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Birinci sətir istisna olmaqla, artıq vahidlər yoxdur. Ancaq biz ona toxunmuruq, əks halda yeni çıxarılan vahidlər üçüncü sütunda "çoxalmağa" başlayacaq.

Ancaq ikinci sətri sonuncudan iki dəfə çıxara bilərik - aşağı sol küncdə birini alırıq:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \\\ \downarrow \\ -2 \\\end(matris)\to \\ & \sol [ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İndi birincidən sonuncu sətri, ikincidən isə iki dəfə çıxa bilərik - bu yolla birinci sütunu “sıfırlayırıq”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matris)\to \\ & \ \left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İkinci sətri −1-ə vurun, sonra birincidən 6 dəfə çıxın və sonuncuya 1 dəfə əlavə edin:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \ \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \ \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) -6 \\ \yuxarı aşağı \\ +1 \\\end (matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Yalnız 1 və 3-cü sətirləri dəyişdirmək qalır:

\[\left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(massiv) \sağ]\]

Hazır! Sağda tələb olunan tərs matrisdir.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(massiv) \sağ ]$

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\son (matris) \sağ]\]

Həll. Əlavəni yenidən düzəldirik:

\[\left[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Gəlin bir az ağlayaq, indi nə qədər saymalı olduğumuza kədərlənək... və saymağa başlayaq. Əvvəlcə 2 və 3-cü sətirlərdən 1-ci sətiri çıxararaq birinci sütunu “sıfırlayaq”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \right]\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Biz 2-4-cü sətirlərdə çoxlu “eksiler” görürük. Hər üç cərgəni −1-ə vurun və sonra qalanlardan 3-cü sətiri çıxararaq üçüncü sütunu yandırın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(massiv) \sağ]\begin(matris) \ \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (massiv) \sağ]\begin(matris) -2 \\ -1 \\ \yuxarı aşağı arrow \\ -2 \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İndi orijinal matrisin son sütununu "qızartmaq" vaxtıdır: qalanlardan 4-cü sətiri çıxarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Son atış: 1 və 3-cü sətirlərdən 2-ci sətri çıxarmaqla ikinci sütunu “yandırın”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( massiv) \sağ]\begin(matris) 6 \\ \yuxarı arrow \\ -5 \\ \ \\\end(matris)\to \\ & \sola [ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Və yenə şəxsiyyət matrisi soldadır, yəni tərs sağdadır. :)

Cavab verin. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matris) \sağ]$

Tamam, indi hər şey bitdi. Yoxlamanı özünüz edin - mən vidalaşdım. :)

Tipik olaraq, tərs əməliyyatlar mürəkkəb cəbri ifadələri sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Məsələn, məsələ kəsrə bölmə əməliyyatını nəzərdə tutursa, onu əks əməliyyat olan kəsrin əksinə vurma əməliyyatı ilə əvəz edə bilərsiniz. Üstəlik, matrisləri bölmək mümkün deyil, buna görə də tərs matrisə vurmaq lazımdır. 3x3 matrisin tərsini hesablamaq olduqca yorucudur, lakin bunu əl ilə edə bilməlisiniz. Siz həmçinin yaxşı bir qrafik kalkulyatorundan istifadə edərək qarşılıqlılığı tapa bilərsiniz.

Addımlar

Qarşılıqlı matrisin istifadəsi

Orijinal matrisi köçürün. Transpozisiya matrisin əsas diaqonalına nisbətən sətirlərin sütunlarla əvəz edilməsidir, yəni (i,j) və (j,i) elementlərini dəyişdirmək lazımdır. Bu halda əsas diaqonalın elementləri (yuxarı sol küncdən başlayır və aşağı sağ küncdə bitir) dəyişmir.

• Satırları sütunlara dəyişmək üçün birinci sətirin elementlərini birinci sütuna, ikinci sətirin elementlərini ikinci sütuna, üçüncü sətirin elementlərini üçüncü sütuna yazın. Elementlərin mövqeyini dəyişdirmə qaydası, müvafiq elementlərin rəngli dairələrlə dairəvi olduğu şəkildə göstərilmişdir.

Hər 2x2 matrisin tərifini tapın. Hər hansı bir matrisin hər bir elementi, o cümlədən transpozisiya edilmiş, müvafiq 2x2 matrislə əlaqələndirilir. Müəyyən bir elementə uyğun gələn 2x2 matrisi tapmaq üçün verilmiş elementin yerləşdiyi sətir və sütunu kəsin, yəni orijinal 3x3 matrisin beş elementini kəsmək lazımdır. Dörd element çarpaz olaraq qalacaq, bunlar müvafiq 2x2 matrisin elementləridir.

• Məsələn, ikinci cərgənin və birinci sütunun kəsişməsində yerləşən element üçün 2x2 matrisi tapmaq üçün ikinci sətir və birinci sütunda olan beş elementi kəsin. Qalan dörd element müvafiq 2x2 matrisin elementləridir.
• Hər 2x2 matrisin determinantını tapın. Bunun üçün əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsulunu çıxarın (şəklə bax).
• 3x3 matrisin xüsusi elementlərinə uyğun gələn 2x2 matrislər haqqında ətraflı məlumatı İnternetdə tapmaq olar.

Kofaktor matrisini yaradın.Əvvəllər əldə edilmiş nəticələri yeni kofaktor matrisi şəklində yazın. Bunun üçün 3x3 matrisin müvafiq elementinin yerləşdiyi hər 2x2 matrisin tapılmış determinantını yazın. Məsələn, (1,1) elementi üçün 2x2 matrisi nəzərdən keçirirsinizsə, onun determinantını (1,1) mövqeyinə yazın. Sonra şəkildə göstərilən müəyyən bir sxemə görə müvafiq elementlərin əlamətlərini dəyişdirin.

• İşarələrin dəyişdirilməsi sxemi: birinci sətrin birinci elementinin işarəsi dəyişmir; birinci sətrin ikinci elementinin işarəsi tərsinə çevrilir; birinci sətrin üçüncü elementinin işarəsi dəyişmir və s. Diqqət yetirin ki, diaqramda göstərilən "+" və "-" işarələri (şəklə bax) müvafiq elementin müsbət və ya mənfi olacağını göstərmir. Bu zaman “+” işarəsi elementin işarəsinin dəyişmədiyini, “-” işarəsi isə elementin işarəsinin dəyişməsini bildirir.
• Kofaktor matrisləri haqqında ətraflı məlumatı İnternetdə tapmaq olar.
• Bu yolla orijinal matrisin bitişik matrisini tapacaqsınız. Bəzən ona mürəkkəb konjugat matris deyilir. Belə bir matris adj(M) kimi işarələnir.

Qarşılıqlı matrisin hər bir elementini onun təyinedicisinə bölün. Tərs matrisin mövcudluğunu yoxlamaq üçün ən əvvəl M matrisinin təyinedicisi hesablanmışdır. İndi bitişik matrisin hər bir elementini bu təyinediciyə bölün. Müvafiq elementin yerləşdiyi hər bölmə əməliyyatının nəticəsini yazın. Bu yolla siz matrisanı orijinala tərs tapacaqsınız.

• Şəkildə göstərilən matrisin determinantı 1-dir. Beləliklə, burada bitişik matris tərs matrisdir (çünki hər hansı bir ədəd 1-ə bölünəndə dəyişmir).
• Bəzi mənbələrdə bölmə əməliyyatı 1/det(M)-ə vurma əməliyyatı ilə əvəz olunur. Bununla belə, yekun nəticə dəyişmir.

Tərs matrisi yazın. Böyük matrisin sağ yarısında yerləşən elementləri tərs matris olan ayrıca matris kimi yazın.

Kalkulyatordan istifadə etməklə

Matrislərlə işləyən kalkulyator seçin. Sadə kalkulyatorlardan istifadə edərək matrisin tərsini tapmaq mümkün deyil, lakin bunu Texas Instruments TI-83 və ya TI-86 kimi yaxşı qrafika kalkulyatorunda etmək olar.

Orijinal matrisi kalkulyatorun yaddaşına daxil edin. Bunu etmək üçün, əgər varsa, Matrix düyməsini basın. Texas Instruments kalkulyatoru üçün 2-ci və Matrix düymələrini sıxmağınız lazım ola bilər.

Redaktə et menyusunu seçin. Bunu ox düymələrindən və ya kalkulyatorun klaviaturasının yuxarı hissəsində yerləşən müvafiq funksiya düyməsindən istifadə edərək edin (düymənin yeri kalkulyator modelindən asılı olaraq dəyişir).

Matris qeydini daxil edin.Əksər qrafik kalkulyatorlar təyin oluna bilən 3-10 matrislə işləyə bilər A-J hərfləri. Adətən, orijinal matrisi təyin etmək üçün [A] seçin. Sonra Enter düyməsini basın.

Matris ölçüsünü daxil edin. Bu məqalə 3x3 matrislərdən bəhs edir. Lakin qrafik kalkulyatorlar böyük matrislərlə işləyə bilər. Satırların sayını daxil edin, Enter düyməsini basın, sonra sütunların sayını daxil edin və yenidən Enter düyməsini basın.

Hər bir matrisin elementini daxil edin. Kalkulyator ekranında matris görünəcək. Əgər siz əvvəllər kalkulyatora matris daxil etmisinizsə, o, ekranda görünəcək. Kursor matrisin ilk elementini vurğulayacaq. Birinci element üçün dəyəri daxil edin və Enter düyməsini basın. Kursor avtomatik olaraq növbəti matris elementinə keçəcək.

Bu yazıda xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli üçün matris metodundan danışacaq, onun tərifini tapacaq və həll yollarına nümunələr verəcəyik.

Tərif 1

Tərs matris üsulu naməlumların sayı tənliklərin sayına bərabər olarsa, SLAE-ləri həll etmək üçün istifadə edilən üsuldur.

Misal 1

n naməlumlu n xətti tənlik sisteminin həllini tapın:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Matris qeyd növü : A × X = B

burada A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n sistemin matrisidir.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - naməlumlar sütunu,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - sərbəst əmsallar sütunu.

Aldığımız tənlikdən X-i ifadə etmək lazımdır. Bunu etmək üçün soldakı matris tənliyinin hər iki tərəfini A - 1-ə vurmalısınız:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

A - 1 × A = E olduğundan, E × X = A - 1 × B və ya X = A - 1 × B.

Şərh

A matrisinə tərs matris yalnız d e t A şərti sıfıra bərabər deyilsə, mövcud olmaq hüququna malikdir. Buna görə də tərs matris üsulu ilə SLAE-ləri həll edərkən, ilk növbədə, d e t A tapılır.

d e t A sıfıra bərabər olmadığı halda, sistemin yalnız bir həll variantı var: tərs matris metodundan istifadə etməklə. Əgər d e t A = 0 olarsa, sistemi bu üsulla həll etmək olmaz.

Tərs matris üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həllinə nümunə

Misal 2

SLAE-ni tərs matris metodundan istifadə edərək həll edirik:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Necə həll etmək olar?

• Sistemi A X = B matris tənliyi şəklində yazırıq, burada

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• Bu tənlikdən X-i ifadə edirik:

• A matrisinin təyinedicisini tapın:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A 0-a bərabər deyil, ona görə də tərs matris həll üsulu bu sistem üçün uyğundur.

• Müttəfiq matrisi istifadə edərək tərs A - 1 matrisini tapırıq. A matrisinin müvafiq elementlərinə A i j cəbri tamamlamalarını hesablayırıq:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• A matrisinin cəbri tamamlayıcılarından ibarət olan A * müttəfiq matrisini yazırıq:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Tərs matrisi düstura görə yazırıq:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• A - 1 tərs matrisini sərbəst B şərtləri sütununa vururuq və sistemin həllini əldə edirik:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Cavab verin : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın