Bir matrisin dərəcəsini necə təyin etmək olar. Matris dərəcəsi. Ardıcıllıq üçün xətti tənliklər sistemini necə araşdırmaq olar

ev » Hekayə Bir matrisin dərəcəsini necə təyin etmək olar. Matris dərəcəsi. Ardıcıllıq üçün xətti tənliklər sistemini necə araşdırmaq olar

Matris rütbəsi anlayışı ilə işləmək üçün bizə "Cəbri tamamlamalar və minorlar. Kiçik və cəbri tamamlamaların növləri" mövzusundan məlumat lazım olacaq. Əvvəla, bu, "kiçik matris" termininə aiddir, çünki matrisin dərəcəsini kiçiklər vasitəsilə dəqiq müəyyənləşdirəcəyik.

Matris dərəcəsi onun yetkinlik yaşına çatmayanların maksimum sırasıdır, onların arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var.

Ekvivalent matrislər- dərəcələri bir-birinə bərabər olan matrislər.

Daha ətraflı izah edək. Tutaq ki, ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfırdan fərqli ən azı biri var. Və sifarişi ikidən yuxarı olan bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir. Nəticə: matrisin dərəcəsi 2-dir. Və ya, məsələn, onuncu sıradakı kiçiklər arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var. Və sifarişi 10-dan yuxarı olan bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir. Nəticə: matrisin dərəcəsi 10-dur.

$A$ matrisinin dərəcəsi aşağıdakı kimi işarələnir: $\rang A$ və ya $r(A)$. $O$ sıfır matrisinin dərəcəsinin sıfır olduğu qəbul edilir, $\rang O=0$. Nəzərinizə çatdırım ki, minor matris formalaşdırmaq üçün sətir və sütunların üstündən xətt çəkmək lazımdır, lakin matrisin özündə olduğundan daha çox sətir və sütunu kəsmək mümkün deyil. Məsələn, əgər $F$ matrisinin ölçüsü $5\x4$-dırsa (yəni 5 sətir və 4 sütundan ibarətdir), onda onun kiçiklərinin maksimum sırası dörddür. Beşinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları yaratmaq artıq mümkün olmayacaq, çünki onlar 5 sütun tələb edəcəklər (və bizdə yalnız 4). Bu o deməkdir ki, $F$ matrisinin dərəcəsi dörddən çox ola bilməz, yəni. $\rang F≤4$.

Daha ümumi formada yuxarıda qeyd olunanlar o deməkdir ki, əgər matrisdə $m$ sətirləri və $n$ sütunları varsa, onun dərəcəsi $m$ və $n$-dan ən kiçiyi keçə bilməz, yəni. $\rang A≤\min(m,n)$.

Prinsipcə, rütbənin tərifindən başlayaraq onu tapmaq üsuluna əməl olunur. Matrisin dərəcəsinin tapılması prosesi, tərifinə görə, sxematik olaraq aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Bu diaqramı daha ətraflı izah edim. Gəlin ən əvvəldən düşünməyə başlayaq, yəni. bəzi $A$ matrisinin birinci dərəcəli kiçiklərindən.

Əgər bütün birinci dərəcəli kiçiklər (yəni $A$ matrisinin elementləri) sıfıra bərabərdirsə, onda $\rang A=0$. Əgər birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri varsa, onda $\rang A≥ 1$ olur. Gəlin ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına keçək.
Əgər bütün ikinci dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, onda $\rang A=1$. Əgər ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri varsa, onda $\rang A≥ 2$ olur. Gəlin üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına keçək.
Əgər bütün üçüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, onda $\rang A=2$. Əgər üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri varsa, onda $\rang A≥ 3$ olur. Dördüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına keçək.
Əgər bütün dördüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, onda $\rang A=3$. Əgər dördüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri varsa, onda $\rang A≥ 4$ olur. Beşinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına və s.

Bu prosedurun sonunda bizi nə gözləyir? Ola bilər ki, k-ci dərəcəli azyaşlılar arasında sıfırdan fərqli ən azı biri olsun və bütün (k+1) dərəcəli azyaşlılar sıfıra bərabər olsun. Bu o deməkdir ki, k yetkinlik yaşına çatmayanların maksimum sırasıdır, onların arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var, yəni. dərəcə k-yə bərabər olacaqdır. Fərqli vəziyyət ola bilər: k-ci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri olacaq, lakin artıq (k+1) sıralı yetkinlik yaşına çatmayanları formalaşdırmaq mümkün olmayacaq. Bu halda matrisin dərəcəsi də k-yə bərabərdir. Qısa, sonuncu qurulan sıfırdan fərqli minorun sırası matrisin dərəcəsinə bərabər olacaqdır.

Tərifinə görə matrisin rütbəsinin tapılması prosesinin aydın şəkildə təsvir olunacağı nümunələrə keçək. Bir daha qeyd edim ki, bu mövzunun nümunələrində biz yalnız dərəcə tərifindən istifadə edərək matrislərin rütbəsini tapmağa başlayacağıq. Digər üsullar (azyaşlıların haşiyələnməsi metodundan istifadə etməklə matrisin rütbəsinin hesablanması, elementar çevrilmə metodundan istifadə etməklə matrisin rütbəsinin hesablanması) aşağıdakı mövzularda müzakirə olunur.

Yeri gəlmişkən, 1 və 2 nömrəli misallarda olduğu kimi, rütbənin tapılması prosedurunu ən kiçik dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlarla başlamaq heç də lazım deyil. Dərhal daha yüksək səviyyəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçə bilərsiniz (misal №3-ə baxın).

Nümunə № 1

$A=\left(\begin(massiv)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matrisinin dərəcəsini tapın & 0 & 1 \end(massiv) \sağ)$.

Bu matrisin ölçüsü $3\x 5$, yəni. üç sıra və beş sütundan ibarətdir. 3 və 5 nömrələrindən minimum 3-dür, buna görə də $A$ matrisinin dərəcəsi 3-dən çox deyil, yəni. $\rang A≤ 3$. Və bu bərabərsizlik göz qabağındadır, çünki biz artıq dördüncü dərəcəli azyaşlılar yarada bilməyəcəyik - onlar 4 sıra tələb edir, bizdə isə cəmi 3. Gəlin birbaşa verilmiş matrisin dərəcəsini tapmaq prosesinə keçək.

Birinci dərəcəli kiçiklər arasında (yəni $A$ matrisinin elementləri arasında) sıfırdan fərqli olanlar var. Məsələn, 5, -3, 2, 7. Ümumiyyətlə, bizi maraqlandırmır ümumi sıfırdan fərqli elementlər. Ən azı bir sıfırdan fərqli element var - və bu kifayətdir. Birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında ən azı bir sıfırdan fərqli olduğu üçün biz $\rang A≥ 1$ qənaətinə gəlirik və ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları yoxlamağa davam edirik.

İkinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları araşdırmağa başlayaq. Məsələn, 1, 2 nömrəli sətirlərlə 1, 4 nömrəli sütunların kəsişməsində aşağıdakı minorun elementləri var: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \sağ| $. Bu determinant üçün ikinci sütunun bütün elementləri sıfıra bərabərdir, buna görə də determinantın özü sıfıra bərabərdir, yəni. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların xassələri mövzusunda 3 nömrəli xassə bax). Və ya sadəcə olaraq ikinci və üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması bölməsindən №1 düsturdan istifadə edərək bu təyinedicini hesablaya bilərsiniz:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Test etdiyimiz birinci ikinci dərəcəli minor sıfıra bərabər oldu. Bu nə deməkdir? İkinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların əlavə yoxlanmasının zəruriliyi haqqında. Ya onların hamısı sıfır olacaq (sonra dərəcə 1-ə bərabər olacaq), ya da onların arasında sıfırdan fərqli ən azı bir kiçik olacaq. Elementləri 1, 2 nömrəli sətirlərlə 1 və 5 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşən ikinci dərəcəli minor yazaraq daha yaxşı seçim etməyə çalışaq: $\left|\begin( massiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv) \right|$. Bu ikinci dərəcəli minorun qiymətini tapaq:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minor sıfıra bərabər deyil. Nəticə: ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfırdan fərqli ən azı bir var. Buna görə də $\rang A≥ 2$. Üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların öyrənilməsinə keçməliyik.

Üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları formalaşdırmaq üçün 2 nömrəli sütunu və ya 4 nömrəli sütunu seçsək, belə yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabər olacaqlar (çünki onlar sıfır sütundan ibarət olacaq). Elementləri 1, 3, 5 nömrəli sütunlar və 1 nömrəli, 2 nömrəli, 3 nömrəli sətirlərin kəsişməsində yerləşən yalnız bir üçüncü dərəcəli minoru yoxlamaq qalır. Gəlin bu minoru yazaq və dəyərini tapaq:

$$ \left|\begin(massiv)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(massiv) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Beləliklə, bütün üçüncü dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdir. Tərtib etdiyimiz sonuncu sıfır olmayan minor ikinci dərəcəli idi. Nəticə: ən azı bir sıfırdan fərqli olan yetkinlik yaşına çatmayanların maksimum sırası 2-dir. Ona görə də $\rang A=2$.

Cavab verin: $\rang A=2$.

Nümunə № 2

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matrisinin dərəcəsini tapın \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(massiv) \sağ)$.

Dördüncü dərəcəli kvadrat matrisimiz var. Dərhal qeyd edək ki, bu matrisin dərəcəsi 4-dən çox deyil, yəni. $\rang A≤ 4$. Matrisin dərəcəsini tapmağa başlayaq.

Birinci dərəcəli kiçiklər arasında (yəni, $A$ matrisinin elementləri arasında) sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var, ona görə də $\rang A≥ 1$. Gəlin ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına keçək. Məsələn, 2, 3 nömrəli sətirlərlə 1 və 2 nömrəli sütunların kəsişməsində aşağıdakı ikinci dərəcəli minoru alırıq: $\left| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|$. Gəlin hesablayaq:

$$\sol| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|=0-10=-10. $$

İkinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri var, ona görə də $\rang A≥ 2$.

Üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçək. Məsələn, elementləri 1, 3, 4 və 1, 2, 4 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşən minoru tapaq:

$$\sol | \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(massiv) \right|=105-105=0. $$

Bu üçüncü dərəcəli azyaşlının sıfıra bərabər olduğu ortaya çıxdığından başqa bir üçüncü dərəcəli azyaşlını araşdırmaq lazımdır. Ya onların hamısı sıfıra bərabər olacaq (sonra dərəcə 2-yə bərabər olacaq), ya da onların arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri olacaq (sonra dördüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları öyrənməyə başlayacağıq). Elementləri 2, 3, 4 nömrəli sətirlərlə 2, 3, 4 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşən üçüncü dərəcəli minoru nəzərdən keçirək:

$$\sol| \begin(massiv) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(massiv) \right|=-28. $$

Üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar arasında sıfırdan fərqli ən azı bir var, ona görə də $\rang A≥ 3$. Dördüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanların yoxlanılmasına keçək.

Hər hansı dördüncü dərəcəli minor $A$ matrisinin dörd sətirinin və dörd sütununun kəsişməsində yerləşir. Başqa sözlə, dördüncü dərəcəli minor $A$ matrisinin determinantıdır, çünki bu matrisdə 4 sətir və 4 sütun var. Bu matrisin determinantı "Determinantın sırasının azaldılması. Determinantın cərgədə (sütun) parçalanması" mövzusunun 2 nömrəli misalında hesablanmışdır, ona görə də hazır nəticəni götürək:

$$\sol| \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (massiv)\sağ|=86. $$

Beləliklə, dördüncü dərəcəli minor sıfıra bərabər deyil. Biz artıq beşinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları formalaşdıra bilmərik. Nəticə: ən azı bir sıfır olmayan yetkinlik yaşına çatmayanların ən yüksək sırası 4-dür. Nəticə: $\rang A=4$.

Cavab verin: $\rang A=4$.

Nümunə № 3

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matrisinin dərəcəsini tapın \end( massiv) \sağ)$.

Dərhal qeyd edək ki, bu matrisin 3 sətir və 4 sütunu var, ona görə də $\rang A≤ 3$. Əvvəlki nümunələrdə biz ən kiçik (birinci) dərəcəli azyaşlıları nəzərə alaraq dərəcə tapmaq prosesinə başlamışıq. Burada mümkün olan ən yüksək səviyyəli yetkinlik yaşına çatmayanları dərhal yoxlamağa çalışacağıq. $A$ matrisi üçün bunlar üçüncü dərəcəli kiçiklərdir. Elementləri 1, 2, 3 nömrəli sətirlərlə 2, 3, 4 nömrəli sütunların kəsişməsində yerləşən üçüncü dərəcəli minoru nəzərdən keçirək:

$$\sol| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(massiv) \right|=-8-60-20=-88. $$

Beləliklə, aralarında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri olan yetkinlik yaşına çatmayanların ən yüksək sırası 3-dür. Buna görə də, matrisin dərəcəsi 3-dür, yəni. $\rang A=3$.

Cavab verin: $\rang A=3$.

Ümumiyyətlə, tərifə görə matrisin rütbəsini tapmaq, ümumi halda, kifayət qədər əmək tələb edən işdir. Məsələn, $5\x4$ ölçüsündə nisbətən kiçik matrisdə 60 ikinci dərəcəli kiçiklər var. Onların 59-u sıfıra bərabər olsa belə, 60-cı kiçik sıfırdan fərqli ola bilər. Sonra bu matrisin 40 ədədi olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları öyrənməli olacaqsınız. Adətən onlar azyaşlıların sərhədlənməsi metodu və ya ekvivalent çevrilmə üsulu kimi daha az çətin üsullardan istifadə etməyə çalışırlar.

Tərif. Matris dərəcəsi vektor hesab edilən xətti müstəqil cərgələrin maksimum sayıdır.

Matrisin rütbəsi üzrə teorem 1. Matris dərəcəsi matrisin sıfırdan fərqli minorunun maksimum sırası adlanır.

Determinantlar haqqında dərsdə artıq azyaşlı anlayışını müzakirə etdik, indi isə onu ümumiləşdirəcəyik. Gəlin matrisdə müəyyən sayda sətir və müəyyən sayda sütun götürək və bu “nə qədər” matrisin sətir və sütunlarının sayından az olmalıdır, sətir və sütunlar üçün isə bu “nə qədər” olmalıdır. eyni nömrə. Sonra neçə sətir və neçə sütunun kəsişməsində ilkin matrisimizdən daha aşağı dərəcəli matris olacaq. Determinant matrisdir və qeyd olunan “bəzi” (sətir və sütunların sayı) k ilə işarələnərsə, k-ci dərəcənin minoru olacaqdır.

Tərif. Kiçik ( r+1) seçilmiş azyaşlının yerləşdiyi sıra r-ci sıra verilmiş azyaşlı üçün sərhəd adlanır.

Ən çox istifadə edilən iki üsuldur matrisin dərəcəsinin tapılması. Bu yetkinlik yaşına çatmayanlarla sərhəd yolu Və elementar çevrilmələr üsulu(Qauss üsulu).

Sərhədsiz kiçiklər metodundan istifadə edərkən aşağıdakı teoremdən istifadə olunur.

Matrisin rütbəsi üzrə teorem 2.Əgər matris elementlərindən minor təşkil edilə bilər r ci sıra, sıfıra bərabər deyil, onda matrisin dərəcəsi bərabərdir r.

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərkən aşağıdakı xüsusiyyətdən istifadə olunur:

Elementar çevrilmələr vasitəsilə orijinala ekvivalent olan trapezoidal matris alınarsa, onda bu matrisin dərəcəsi tamamilə sıfırlardan ibarət olan sətirlərdən başqa içindəki sətirlərin sayıdır.

Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsinin tapılması

Bağlı yetkinlik yaşına çatmayan şəxs, əgər bu ali dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanda verilmiş yetkinlik yaşına çatmayanı ehtiva edirsə, verilənə nisbətən daha yüksək dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayandır.

Məsələn, matris verilmişdir

Bir azyaşlı götürək

Sərhəddə olan yetkinlik yaşına çatmayanlar:

Matrisin dərəcəsini tapmaq üçün alqoritm növbəti.

1. Sıfıra bərabər olmayan ikinci dərəcəli kiçikləri tapın. Bütün ikinci dərəcəli kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi birə bərabər olacaqdır ( r =1 ).

2. Əgər sıfıra bərabər olmayan ikinci dərəcəli ən azı bir minor varsa, onda üçüncü dərəcəli sərhəd kiçiklərini tərtib edirik. Üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir ( r =2 ).

3. Əgər üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlardan heç olmasa biri sıfıra bərabər deyilsə, o zaman sərhədyanı yetkinlik yaşına çatmayanları tərtib edirik. Dördüncü dərəcəli bütün həmsərhəd kiçiklər sıfıra bərabərdirsə, matrisin dərəcəsi üçə bərabərdir ( r =2 ).

4. Matris ölçüsü imkan verdiyi müddətcə bu şəkildə davam edin.

Misal 1. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. İkinci dərəcəli kiçik .

Gəlin onu sərhədə salaq. Sərhəddə dörd azyaşlı olacaq:

Beləliklə, üçüncü dərəcəli bütün həmsərhəd yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də bu matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir ( r =2 ).

Misal 2. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 1-ə bərabərdir, çünki bu matrisin bütün ikinci dərəcəli azyaşlıları sıfıra bərabərdir (burada, aşağıdakı iki nümunədə həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanların vəziyyətində olduğu kimi, hörmətli tələbələri yoxlamağa dəvət edirik. özləri, bəlkə də determinantların hesablanması qaydalarından istifadə etməklə) və birinci dərəcəli kiçiklər arasında, yəni matrisin elementləri arasında sıfırdan fərqli olanlar var.

Misal 3. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin ikinci dərəcəli kiçikləri və bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir. Beləliklə, bu matrisin dərəcəsi ikidir.

Misal 4. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll. Bu matrisin dərəcəsi 3-dür, çünki bu matrisin yeganə üçüncü dərəcəli kiçik 3-dür.

Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsinin tapılması (Gauss metodu)

Artıq 1-ci misalda aydın olur ki, yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edərək matrisin dərəcəsini təyin etmək vəzifəsi hesablamağı tələb edir. çox sayda təyinedicilər. Bununla belə, hesablamaların miqdarını minimuma endirməyin bir yolu var. Bu üsul elementar matris çevrilmələrinin istifadəsinə əsaslanır və Gauss metodu da adlanır.

Aşağıdakı əməliyyatlar elementar matris çevrilmələri kimi başa düşülür:

1) matrisin istənilən sətir və ya sütununu sıfırdan fərqli bir ədədə vurmaq;

2) matrisin hər hansı sətir və ya sütununun elementlərinə eyni ədədə vurulan digər sətir və ya sütunun müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi;

3) matrisin iki sətir və ya sütununun dəyişdirilməsi;

4) “null” sətirlərin, yəni elementlərinin hamısı sıfıra bərabər olanların çıxarılması;

5) bir istisna olmaqla, bütün mütənasib xətlərin silinməsi.

Teorem. Elementar çevrilmə zamanı matrisin rütbəsi dəyişmir. Başqa sözlə, matrisdən elementar çevrilmələrdən istifadə etsək A matrisə keçdi B, Bu .

§3. Matris dərəcəsi

Matrisin dərəcəsinin müəyyən edilməsi

Xətti asılı sətirlər

Elementar matris çevrilmələri

Ekvivalent matrislər

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin rütbəsini tapmaq üçün alqoritm

§4. Birinci, ikinci və üçüncü dərəcəli determinantlar

Birinci dərəcəli determinant

İkinci dərəcəli determinant

Üçüncü dərəcəli determinant

Sarrus qaydası

§5. Böyük sifarişlərin təyinedicilərinin hesablanması

Cəbri tamamlayıcı

Laplas teoremi

Üçbucaqlı matrisin təyinedicisi

Ərizə. Determinant anlayışı P-ümumilikdə sifariş.

§ 3. Matris dərəcəsi

Hər bir matris müəyyən bir nömrənin olması ilə xarakterizə olunur vacibdir xətti tənliklər sistemlərini həll edərkən. Bu nömrə deyilir matris dərəcəsi.

Matris dərəcəsi onun bütün digər sətirlərinin (sütunlarının) xətti olaraq ifadə olunduğu xətti müstəqil cərgələrinin (sütunlarının) sayına bərabərdir.

Matrisin sətirləri (sütunları) adlanır xətti asılıdır, əgər onların uyğun elementləri mütənasibdirsə.

Başqa sözlə, xətti asılı olan cərgələrdən birinin elementləri digərinin elementlərinə bərabərdir, eyni ədədə vurulur. Məsələn, matrisin 1 və 2-ci sətirləri AƏgər , burada (λ bəzi ədəddir) xətti asılıdır.

Misal. Matrisin dərəcəsini tapın

Həll.

Elementləri -3-ə vurularsa, ikinci sətir birincidən alınır, elementləri 0-a vurularsa üçüncü sətir birincidən alınır və dördüncü sətir birinci vasitəsilə ifadə edilə bilməz. Belə çıxır ki, matrisin iki xətti müstəqil cərgəsi var, çünki Birinci və dördüncü sıralar mütənasib deyil, buna görə də matrisin dərəcəsi 2-dir.

Matris dərəcəsi A ilə işarələnir dərəcə A və ya r(A).

Matris dərəcəsinin tərifindən belə çıxır:

1. Matrisin rütbəsi onun ölçülərinin ən kiçikindən artıq deyil, yəni. matris üçün A m × n .

2. Matrisin dərəcəsi yalnız sıfır matris olduqda sıfırdır.

Ümumi halda, matrisin rütbəsini təyin etmək kifayət qədər əmək tələb edir. Bu tapşırığı asanlaşdırmaq üçün adlanan matrisin dərəcəsini qoruyan çevrilmələrdən istifadə olunur elementar çevrilmələr:

1) sıfır sıranın (sütun) atılması;

2) sətirin (sütunun) bütün elementlərinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;

3) sətirlərin (sütunların) sırasının dəyişdirilməsi;

4) bir sətrin (sütunun) elementlərinə başqa sətrin (sütunun) uyğun elementlərinin istənilən ədədə vurulması;

5) matrisin köçürülməsi.

İki matris deyilir ekvivalent, əgər biri digərindən sonlu sayda elementar çevrilmələrdən istifadə edilərək alınırsa.

Matrislərin ekvivalentliyi “~” (ekvivalent) işarəsi ilə göstərilir.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək hər hansı bir matris üçbucaqlı formaya endirilə bilər, sonra onun dərəcəsini hesablamaq çətin deyil.

Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisin dərəcəsinin hesablanması prosesi Bir nümunəyə baxaq.

Misal. Matrisin dərəcəsini tapın

A =

Həll.

Bizim vəzifəmiz matrisi üçbucaqlı bir forma gətirməkdir, yəni. Elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, matrisdə əsas diaqonalın altında yalnız sıfırların olmasını təmin edin.

1. Birinci sətri nəzərdən keçirək. Əgər element A 11 = 0, onda sətirləri və ya sütunları yenidən təşkil edərkən bunu təmin edirik A 11 ¹ 0. Nümunəmizdə yerləri dəyişdirək, məsələn, matrisin birinci və ikinci sıralarını:

A =

İndi element A 11 ¹ 0. Birinci cərgəni uyğun ədədlərə vuraraq və digər sətirlərlə əlavə etməklə, birinci sütunun bütün elementlərinin (istisna A 11) sıfıra bərabər idi.

2. İndi ikinci xətti nəzərdən keçirin. Əgər element A 22 = 0, o zaman sətirləri və ya sütunları yenidən təşkil edərkən bunu təmin edirik A 22 ¹ 0. Əgər element A 22 ¹ 0 (və bizdə A 22 = –1 ¹ 0), sonra ikinci cərgəni uyğun ədədlərə vuraraq və digər sətirlərlə əlavə etməklə, ikinci sütunun bütün elementlərinin (istisna) olmasını təmin edəcəyik. A 22) sıfıra bərabər idi.

3. Əgər transformasiya prosesi tamamilə sıfırlardan ibarət sətirlərlə (sütunlarla) nəticələnirsə, onda onları atın. Nümunəmizdə 3 və 4-cü sətirləri ləğv edəcəyik:

Sonuncu matrisin pilləli forması var və iki cərgədən ibarətdir. Onlar xətti müstəqildirlər, buna görə də matrisin dərəcəsi 2-dir.

§ 4. Birinci, ikinci və üçüncü dərəcəli determinantlar

Matrislərin müxtəlifliyi arasında kvadrat matrislər ayrıca seçilir. Bu tip matris yaxşıdır, çünki:

1. Vahid matrisləri kvadratdır.

2. Eyni düzülüşlü istənilən kvadrat matrisləri çoxalda və əlavə edə bilərsiniz, nəticədə eyni düzənli matris alınır.

3. Kvadrat matrisləri güclərə qaldırmaq olar.

Bundan əlavə, yalnız kvadrat matrislər üçün determinant hesablana bilər.

Matris təyinedicisi hansısa qaydaya görə hesablanmış xüsusi rəqəmdir. Matris təyinedicisi A ilə işarələnir:

Və ya düz mötərizələr: ,

Və ya böyük yunan hərfi delta ilə: Δ( A),

Və ya "müəyyənedici" simvolu: det ( A).

Birinci dərəcəli matrisin təyinedicisi A= (A 11) və ya birinci dərəcəli determinant, matris elementinə bərabər ədəddir:

Δ 1 = =A 11

İkinci dərəcəli matrisin təyinedicisi və ya ikinci dərəcəli determinant

Misal:

Üçüncü dərəcəli matrisin təyinedicisi və ya üçüncü dərəcəli determinant, düsturla hesablanan ədəddir:

Üçüncü dərəcəli determinant istifadə edərək hesablana bilər Sarrusun hakimiyyəti .

Sarrus qaydası. Sağdakı üçüncü dərəcəli determinant üçün ilk iki sütunu imzalayın və üstəlik (+) işarəsi ilə determinantın əsas diaqonalında və əsasa paralel "düz xətlər" üzərində yerləşən üç elementin məhsullarının cəmini götürün. diaqonal, mənfi işarəsi ilə (-) ikinci diaqonalda və ona paralel "düz xətlər" üzərində yerləşən elementlərin məhsullarının cəmini götürün.

Misal:

Determinantdakı terminlərin sayının onun sırası ilə artdığını görmək asandır. Ümumiyyətlə, determinantda P ci sıradan həddlərin sayı 1·2·3·…· P = P!.

Gəlin yoxlayaq: Δ 1 üçün şərtlərin sayı 1-dir! = 1,

Δ 2 üçün şərtlərin sayı 2-dir! = 1 2 = 2,

Δ 3 üçün şərtlərin sayı 3-dür! = 1·2·3 = 6.

Buradan belə çıxır ki, 4-cü dərəcəli determinant üçün terminlərin sayı 4-dür! = 1·2·3·4 = 24, bu o deməkdir ki, belə bir təyinedicinin hesablanması kifayət qədər əmək tutumludur, daha yüksək dərəcəli determinantları qeyd etməmək. Bunu nəzərə alaraq, böyük dərəcəli determinantların hesablanmasını ikinci və ya üçüncü dərəcəli determinantların hesablanmasına salmağa çalışırlar.

§ 5. Böyük sifarişlərin təyinedicilərinin hesablanması

Bir sıra anlayışları təqdim edək.

Kvadrat matris verilsin A n-ci sifariş:

Kiçik M element ij a ij determinant adlanır ( P– 1) matrisdən alınan sıra Aüstündən xətt çəkməklə i-ci xətt və j ci sütun.

Məsələn, kiçik element A 12 üçüncü dərəcəli matrislər:

Cəbri tamamlayıcı A element ij a ij onun kiçikdir, (−1) işarəsi ilə alınır i + j:

A ij = (−1) i + j M ij

Başqa sözlə, A ij = M ij əgər i+j cüt Ədəd,

A ij = − M ij əgər i+j tək nömrə.

Misal. Matrisin ikinci cərgəsinin elementlərinin cəbri tamamlayıcılarını tapın

Həll.

Cəbri əlavələrdən istifadə edərək, Laplas teoreminə əsaslanaraq, böyük sıraların təyinedicilərini hesablamaq mümkündür.

Laplas teoremi. Kvadrat matrisin müəyyənedicisi onun hər hansı sətirinin (sütunlarının) elementlərinin və onların cəbri tamamlayıcılarının məhsullarının cəminə bərabərdir:

– i-ci sıra boyunca genişlənmə;

( – j-ci sütunda genişlənmə).

Misal. Matrisin determinantını hesablayın birinci sıra boyunca genişlənmə.

Həll.

Beləliklə, hər hansı bir nizamın müəyyənedicisi daha aşağı dərəcəli bir neçə determinantın hesablanmasına endirilə bilər. Aydındır ki, parçalanma üçün mümkün qədər çox sıfır olan bir sıra və ya sütun seçmək rahatdır.

Başqa bir misala baxaq.

Misal. Üçbucaqlı matrisin determinantını hesablayın

Həll.

Başa düşdüm Üçbucaqlı matrisin determinantı onun əsas diaqonalının elementlərinin məhsuluna bərabərdir .

Bu mühüm törəmə istənilən üçbucaqlı matrisin determinantını hesablamağı asanlaşdırır. Bu, daha faydalıdır, çünki lazım gələrsə, istənilən determinant üçbucaqlı formaya salına bilər. Bu zaman determinantların bəzi xassələrindən istifadə edilir.

Ərizə

Determinant anlayışı P-ümumilikdə sifariş.

Ümumiyyətlə, matrisin determinantına ciddi tərif vermək olar P-sifariş, lakin bunun üçün bir sıra anlayışları təqdim etmək lazımdır.

Yenidən təşkili rəqəmlər 1, 2, ..., n Bu ədədlərin müəyyən ardıcıllıqla hər hansı düzülüşü deyilir. Elementar cəbrdə sübut edilmişdir ki, ondan yarana bilən bütün dəyişmələrin sayı nədədlər 12...n = bərabərdir n!. Məsələn, üç rəqəmdən 1, 2, 3 3 təşkil edə bilərsiniz! = 6 dəyişdirmə: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Deyirlər ki, bu permutasiyada rəqəmlər var i Və j makiyaj etmək inversiya(qarışıqlıq) əgər i> j, Amma i bu permutasiyada daha əvvəl gəlir j, yəni əgər daha böyük rəqəm kiçik olanın solunda dayanır.

Permutasiya deyilir hətta(və ya qəribə), inversiyaların cüt (tək) ümumi sayı varsa.

Birinin bir permutasiyadan digərinə keçdiyi əməliyyat n nömrələr deyilir əvəzetmə n ci dərəcə.

Bir dəyişdirməni digərinə çevirən əvəzetmə ümumi mötərizədə iki sətirdə yazılır və nəzərdən keçirilən dəyişdirmələrdə eyni yerləri tutan ədədlər uyğun adlanır və birinin digərinin altında yazılır. Məsələn, simvol

3-ün 4-ə, 1-in 2-yə getdiyi, 2-nin 1-ə, 4-ün 3-ə getdiyi əvəzetməni bildirir. Əvəzetmənin hər iki cərgəsində inversiyaların ümumi sayı cüt (tək) olarsa, əvəzetmə cüt (və ya tək) adlanır. ). İstənilən əvəzetmə n-ci güc kimi yazmaq olar

olanlar. yuxarı sətirdə natural ədədlərlə.

Bizə nizamın kvadrat matrisi verilsin n

Uyğun olaraq bütün mümkün məhsulları nəzərdən keçirək n bu matrisin elementləri, hər sətirdən və hər sütundan bir və yalnız bir götürülür, yəni. formada olan işlər:

indekslər haradadır q 1 , q 2 ,..., qnədədlərin bəzi dəyişdirilməsini düzəldin
1, 2,..., n. Belə məhsulların sayı müxtəlif permutasiyaların sayına bərabərdir n personajlar, yəni. bərabərdir n!. İş nişanı , (-1)-ə bərabərdir q, Harada q– elementlərin ikinci indekslərinin dəyişdirilməsində inversiyaların sayı.

Müəyyənedici n-ci sifariş ilə bağlı bütün mümkün məhsulların cəbri cəmidir n matrisin elementləri hər sətirdən və hər sütundan bir və yalnız bir götürülür, yəni. formada olan işlər: . Bu vəziyyətdə məhsulun işarəsi bərabər (-1) q, Harada q– elementlərin ikinci indekslərinin dəyişdirilməsində inversiyaların sayı.

Xətti cəbr

İstənilən matris A sifariş m×n toplusu hesab etmək olar m sətir vektorları və ya n sütun vektorları.

Rütbə matrislər A sifariş m×n xətti müstəqil sütun vektorlarının və ya sıra vektorlarının maksimum sayıdır.

Əgər matris sıralanır A bərabərdir r, sonra yazılır:

Matrisin dərəcəsinin tapılması

Qoy A ixtiyari sifariş matrisi m× n. Bir matrisin dərəcəsini tapmaq üçün A Biz ona Qauss eliminasiya metodunu tətbiq edirik.

Qeyd edək ki, aradan qaldırılmasının hansısa mərhələsində aparıcı element sıfıra bərabərdirsə, onda biz bu xətti aparıcı elementin sıfırdan fərqli olduğu sətirlə əvəz edirik. Belə bir xətt olmadığı ortaya çıxarsa, növbəti sütuna keçin və s.

İrəli Qauss aradan qaldırılması prosesindən sonra əsas diaqonalın altındakı elementləri sıfıra bərabər olan bir matris əldə edirik. Bundan əlavə, sıfır sıra vektorları ola bilər.

Sıfırdan fərqli cərgə vektorlarının sayı matrisin dərəcəsi olacaqdır A.

Bütün bunlara sadə misallarla baxaq.

Misal 1.

Birinci sətri 4-ə vurub ikinci sətirə əlavə edib, birinci sətri 2-yə vurub üçüncü sətirə əlavə edirik:

İkinci sətri -1-ə vurun və üçüncü sətirə əlavə edin:

Sıfırdan fərqli iki cərgə aldıq və buna görə də matrisin dərəcəsi 2-dir.

Misal 2.

Aşağıdakı matrisin dərəcəsini tapaq:

Birinci sətri -2-yə vurun və ikinci sətirə əlavə edin. Eynilə, birinci sütunun üçüncü və dördüncü sıralarının elementlərini sıfırlayırıq:

İkinci sütunun üçüncü və dördüncü sətirlərinin elementlərini -1 rəqəminə vurulan ikinci sətirə uyğun sətirləri əlavə edərək sıfırlayaq.

Ölçüsü olan A matrisini nəzərdən keçirək.

A=
k sətir və k sütun seçək (
).

Tərif 26:Kiçik A matrisinin k-ci sırası verilmiş bir matrisin seçilməsi ilə alınan kvadrat matrisin təyinedicisidir.

qarğalar və ksütunlar.

Tərif 27:Rütbə matrisin kiçikləri sıfırdan fərqli sıraların ən böyüyü adlanır, r(A).

Tərif 28: Sırası rütbəsi ilə üst-üstə düşən azyaşlı adlanır əsas kiçik.

Bəyanat:

1. Reytinq tam ədəd kimi ifadə edilir.(
)

2. r=0,
, A sıfır olduqda.

Matrislərin elementar çevrilmələri.

Elementar matris çevrilmələrinə aşağıdakılar daxildir:

1) matrisin istənilən sətirinin (sütununun) bütün elementlərinin eyni ədədə vurulması.

2) matrisin hər hansı sətirinin (sütununun) elementlərinə eyni ədədə vurulan başqa sətirin (sütun) uyğun elementlərinin əlavə edilməsi;

3) matrisin sətirlərinin (sütunlarının) yenidən təşkili;

4) sıfır sıranın (sütun) atılması;

5) matrisin sətirlərinin müvafiq sütunlarla əvəz edilməsi.

Tərif 29: Elementar çevrilmələr zamanı bir-birindən yaranan matrislər ekvivalent matrislər adlanır və “~” ilə işarələnir.

Ekvivalent matrislərin əsas xassələri: Ekvivalent matrislərin dərəcələri bərabərdir.

Misal 18: r(A) hesablayın

Həll:İlk sətri addım-addım (-4)(-2) ilə vurun

(-7) və sonra müvafiq olaraq ikinci, üçüncü və dördüncü sətirlərə əlavə edin.

ikinci və dördüncü sətirləri dəyişdirin
ikinci sətri (-2) ilə vurun və dördüncü sətirə əlavə edin; İkinci və üçüncü sətirləri əlavə edək.

Üçüncü və dördüncü sətirləri əlavə edək.

~
sıfır xəttini çıxarın

~
r(A)=3
orijinal matrisin dərəcəsi

üçə bərabərdir.

Tərif 30: Baş diaqonalın bütün elementləri varsa, matrisanı mərhələli adlandıraq 0, əsas diaqonalın altındakı elementlər isə sıfırdır.

Təklif:

1) pilləli matrisin dərəcəsi onun sıralarının sayına bərabərdir;

2) istənilən matris elementar çevrilmələrdən istifadə etməklə eşelon formaya endirilə bilər.

Misal 19: Hansı dəyərlərdə  matrisi
bir dərəcəyə bərabərdir?

Həll:İkinci dərəcəli determinant sıfıra bərabərdirsə, dərəcə birə bərabərdir, yəni.

§6. Ümumi formalı xətti tənliklər sistemləri.

Sistemə baxın
---(9) ümumi formalı sistem adlanır.

Tərif 31: Birinci sistemin hər bir həlli ikincinin həlli və əksinə olarsa, iki sistem ekvivalent adlanır.

Sistemdə (1) matrisi A=
biz onu sistemin əsas matrisi adlandırırıq və =
genişləndirilmiş matris sistemi

Teorem. Kroneker-Kapelli

Sistemin (9) uyğun olması üçün sistemin əsas matrisinin dərəcəsinin genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni r(A)=r( )

Teorem 1. Birgə sistemin matrisinin dərəcəsi naməlumların sayına bərabərdirsə, sistemin unikal həlli var.

Teorem 2. Birgə sistemin matrisinin dərəcəsi naməlumların sayından azdırsa, sistemin sonsuz sayda həlli var.

Xətti tənliklərin ixtiyari sisteminin həlli qaydası:

1) sistemin əsas və genişləndirilmiş matrislərinin dərəcələrini tapın. Əgər
, onda sistem uyğun deyil.

2) Əgər
=r, onda sistem ardıcıldır. r sırasının bəzi əsas minorunu tapın. Matrisin rütbəsinin müəyyən edildiyi əsasda kiçik minoru çağıracağıq.

Əmsalları əsas minora daxil olan naməlumlar əsas (əsas) adlanır və solda qalır, qalan naməlumlar isə sərbəst adlanır və tənliyin sağ tərəfinə köçürülür.

3) Sərbəst olanlardan istifadə edərək əsas bilinməyənlərin ifadələrini tapın. Sistemin ümumi həlli alınır.

Misal 20: Sistemi araşdırın və uyğundursa, ya unikal, ya da ümumi bir həll tapın