Dinamikalar fırlanma hərəkəti bərk bədən.

Ətalət anı.

Güc anı. Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi.

impuls anı.

Ətalət anı.

(Yuvarlanan silindrlərlə təcrübəni nəzərdən keçirin.)

Fırlanma hərəkətini nəzərdən keçirərkən yeni fiziki anlayışlar təqdim etmək lazımdır: ətalət anı, qüvvə anı, impuls anı.

Ətalət anı bədənin sabit ox ətrafında fırlanması zamanı cismin ətalət ölçüsüdür.

Ətalət anı maddi nöqtə sabit fırlanma oxuna nisbətən onun kütləsinin hesab edilən fırlanma oxuna qədər olan məsafənin kvadratı ilə hasilinə bərabərdir (şəkil 1):

Yalnız maddi nöqtənin kütləsindən və fırlanma oxuna nisbətən mövqeyindən asılıdır və fırlanmanın özünün mövcudluğundan asılı deyil.

Ətalət anı - skalyar və əlavə kəmiyyət

Cismin ətalət anı onun bütün nöqtələrinin ətalət momentlərinin cəminə bərabərdir

.

Davamlı kütlə paylanması vəziyyətində bu məbləğ inteqrala qədər azalır:

,

harada - bədənin kiçik bir həcminin kütləsi, bədənin sıxlığı, elementdən fırlanma oxuna qədər olan məsafədir.

Ətalət anı fırlanma hərəkətində kütlənin analoqudur. Bədənin ətalət anı nə qədər böyükdürsə, fırlanan cismin bucaq sürətini dəyişdirmək bir o qədər çətindir. Ətalət anı yalnız fırlanma oxunun verilmiş mövqeyi üçün mənalıdır.

Sadəcə olaraq “ətalət anı”ndan danışmaq mənasızdır. Bu asılıdır:

1) fırlanma oxunun mövqeyindən;

2) fırlanma oxuna nisbətən bədən kütləsinin paylanması üzrə, yəni. bədən formasına və ölçüsünə görə.

Bunun eksperimental sübutu yuvarlanan silindrlərlə təcrübədir.

Bəzi homojen cisimlər üçün inteqrasiya etdikdən sonra aşağıdakı düsturları əldə edə bilərik (fırlanma oxu cismin kütlə mərkəzindən keçir):

Halqanın (divar qalınlığını laqeyd edirik) və ya içi boş silindrin ətalət anı:

R radiuslu diskin və ya bərk silindrin ətalət anı:

harada .

Topun ətalət anı

Çubuğun ətalət anı

E Əgər cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa münasibətdə ətalət momenti məlumdursa, onda birinciyə paralel hər hansı oxa qarşı ətalət momenti aşağıdakı kimi tapılır. Ştayner teoremi: ixtiyari ox ətrafında cismin ətalət anı verilmiş oxla paralel olan və cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa qarşı J 0 ətalət momentinə bərabərdir, cismin kütləsinin hasilinə əlavə olunur. oxlar arasındakı məsafənin kvadratı.

harada d kütlə mərkəzindən fırlanma oxuna qədər olan məsafə.

Kütlə mərkəzi xəyali bir nöqtədir, mövqeyi verilmiş bir cismin kütləsinin paylanmasını xarakterizə edir. Bədənin kütlə mərkəzi eyni kütləyə malik maddi nöqtənin bu cismə təsir edən bütün xarici qüvvələrin təsiri altında hərəkət etdiyi kimi hərəkət edir.

Ətalət anı anlayışı mexanikaya 18-ci əsrin ortalarında rus alimi L. Eyler tərəfindən daxil edilmiş və o vaxtdan sərt cisim dinamikasının bir çox məsələlərinin həllində geniş istifadə edilmişdir. Müxtəlif fırlanan qurğular və sistemlər (malanlar, turbinlər, elektrik mühərriklərinin rotorları, giroskoplar) hesablanarkən ətalət momentinin qiyməti praktikada bilinməlidir. Ətalət anı cismin (gəmi, təyyarə, mərmi və s.) hərəkət tənliklərinə daxil edilir. Xarici müdaxilənin (küləyin əsməsi və s.) təsiri altında təyyarənin kütlə mərkəzi ətrafında fırlanma hərəkətinin parametrlərini bilmək istədikləri zaman müəyyən edilir. Dəyişən kütləli cisimlər (raketlər) üçün kütlə və ətalət anı zamanla dəyişir.

2 .Güc anı.

Eyni qüvvə fırlanan cismə onun istiqamətindən və tətbiq nöqtəsindən asılı olaraq müxtəlif bucaqlı sürətlənmələr verə bilər. Bir qüvvənin fırlanan hərəkətini xarakterizə etmək üçün güc anı anlayışı təqdim olunur.

Sabit nöqtəyə və sabit oxa nisbətən güc anını fərqləndirin. O nöqtəsinə (qütb) nisbətən qüvvənin momenti qüvvə vektoru ilə O nöqtəsindən qüvvənin tətbiqi nöqtəsinə çəkilmiş radius vektorunun vektor məhsuluna bərabər olan vektor kəmiyyətidir:

Bu tərifi təsvir edərək, Şek. 3 fərz edilir ki, O nöqtəsi və vektor rəsm müstəvisində yerləşir, onda vektor da bu müstəvidə yerləşir və vektor  ona və bizdən uzaqlaşır (2-nin vektor məhsulu kimi) vektorlar; sağ gimlet qaydasına görə).

Qüvvə momentinin modulu ədədi olaraq qüvvə və qolun məhsuluna bərabərdir:

O nöqtəsinə nisbətən qüvvənin çiyni haradadır,  istiqamətlər arasındakı bucaq və, .

Çiyin - fırlanma mərkəzindən qüvvənin təsir xəttinə qədər ən qısa məsafə.

Sapı qüvvənin fırlanma hərəkəti istiqamətində fırlanırsa, qüvvə momentinin vektoru sağ gimletin tərcümə hərəkəti ilə birlikdə idarə olunur. Güc anı eksenel (sərbəst) vektordur, fırlanma oxu boyunca yönəldilir, müəyyən bir hərəkət xətti ilə əlaqələndirilmir, ona ötürülə bilər.

özünə paralel məkan.

Z sabit oxa nisbətən qüvvənin momenti vektorun bu oxa proyeksiyasıdır (O nöqtəsindən keçən).

E Əgər cismə bir neçə qüvvə təsir edərsə, onda Z sabit ox ətrafında yaranan qüvvələrin anı cismə təsir edən bütün qüvvələrin bu ox ətrafında momentlərinin cəbri cəminə bərabərdir.

Bədənə tətbiq olunan qüvvə fırlanma müstəvisində deyilsə, o, 2 komponentə parçalana bilər: fırlanma müstəvisində uzanan və  ona F n . Şəkil 4-dən göründüyü kimi, F n fırlanma yaratmır, ancaq bədənin deformasiyasına səbəb olur; bədənin fırlanması yalnız F  komponenti ilə bağlıdır.

Fırlanan cisim maddi nöqtələr dəsti kimi təqdim edilə bilər.

AT kütlə ilə ixtiyari olaraq hansısa nöqtəni seçirik m i, qüvvənin təsir etdiyi nöqtəyə təcil verən (şək. 5). Yalnız tangensial komponent fırlanma yaratdığından, çıxışı sadələşdirmək üçün fırlanma oxuna perpendikulyar yönəldilir.

Bu halda

Nyutonun ikinci qanununa görə: . Tənliyin hər iki tərəfini ilə çarpın r i ;

,

maddi nöqtəyə təsir edən qüvvənin anı haradadır,

Maddi nöqtənin ətalət anı.

Nəticədə, .

Bütün bədən üçün: ,

olanlar. cismin bucaq sürəti ona təsir edən xarici qüvvələrin momenti ilə düz mütənasib, ətalət momenti ilə tərs mütənasibdir. tənlik

(1) sabit oxa nisbətən sərt cismin fırlanma hərəkəti dinamikasının tənliyi və ya fırlanma hərəkəti üçün Nyutonun ikinci qanunudur.

3 . impuls anı.

Fırlanma və köçürmə hərəkəti qanunlarını müqayisə edərkən bir bənzətmə görünür.

İmpulsun analoqu açısal impulsdur. Bucaq momentum anlayışı da sabit nöqtəyə və sabit oxa nisbətən təqdim edilə bilər, lakin əksər hallarda onu aşağıdakı kimi müəyyən etmək olar. Əgər maddi nöqtə sabit ox ətrafında fırlanırsa, onun bu oxa nisbətən bucaq impulsu mütləq qiymətə bərabərdir.

harada m i- maddi nöqtənin kütləsi,

 i - onun xətti sürəti

r i- fırlanma oxuna olan məsafə.

Çünki fırlanma hərəkəti üçün

maddi nöqtənin bu ox haqqında ətalət anı haradadır.

Sərt cismin sabit oxa nisbətən bucaq momenti onun bütün nöqtələrinin bu oxa nisbətən bucaq momentumunun cəminə bərabərdir:

G de bədənin ətalət momentidir.

Beləliklə, sərt cismin sabit fırlanma oxuna nisbətən bucaq momenti onun bu oxa nisbətən ətalət momentinin bucaq sürətinə hasilinə bərabərdir və bucaq sürət vektoru ilə bərabər istiqamətləndirilir.

(2) tənliyini zamana görə fərqləndirək:

Tənlik (3) sabit oxa nisbətən sərt cismin fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyinin başqa bir formasıdır: anın törəməsi

Sərt cismin sabit fırlanma oxu ətrafında impulsu eyni ox ətrafında xarici qüvvələrin momentinə bərabərdir

Bu tənlik raket dinamikasının ən vacib tənliklərindən biridir. Raketin hərəkəti prosesində onun kütlə mərkəzinin mövqeyi davamlı olaraq dəyişir, bunun nəticəsində müxtəlif qüvvələrin anları yaranır: sürükləmə, aerodinamik qüvvə, liftin yaratdığı qüvvələr. Raketin ona tətbiq olunan bütün qüvvələrin anlarının təsiri altında fırlanma hərəkəti tənliyi, raketin kütlə mərkəzinin hərəkət tənlikləri və məlum başlanğıc şərtləri olan kinematik tənlikləri ilə birlikdə istənilən vaxt kosmosda raketin mövqeyi.

Kütlənin mərkəzindən keçən bəzi oxlar ətrafında fırlanan sərt cisim, xarici təsirlərdən azad olarsa, fırlanmasını qeyri-müəyyən müddətə saxlayır.. (Bu nəticə Nyutonun tərcümə hərəkəti üçün birinci qanununa bənzəyir).

Sərt bir cismin fırlanmasının baş verməsi həmişə bədənin ayrı-ayrı nöqtələrinə tətbiq olunan xarici qüvvələrin təsiri ilə baş verir. Bu zaman deformasiyaların görünüşü və daxili qüvvələrin görünüşü qaçılmazdır ki, bu da bərk cisim halında onun formasının praktiki olaraq saxlanmasını təmin edir. Xarici qüvvələrin hərəkəti dayandıqda fırlanma qorunur: daxili qüvvələr sərt cismin fırlanmasına nə səbəb ola, nə də onu məhv edə bilər.

Sabit fırlanma oxu olan bir cismə xarici qüvvənin təsirinin nəticəsi bədənin sürətlənmiş fırlanma hərəkətidir.. (Bu nəticə Nyutonun tərcümə hərəkəti üçün ikinci qanununa bənzəyir).

Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas qanunu: inertial istinad sistemində sabit ox ətrafında fırlanan cismin əldə etdiyi bucaq sürəti cismə təsir edən bütün xarici qüvvələrin ümumi momentinə mütənasibdir və verilmiş ox ətrafında cismin ətalət momenti ilə tərs mütənasibdir. :

Daha sadə formul vermək mümkündür fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas qanunu(həmçinin deyilir Fırlanma hərəkəti üçün Nyutonun ikinci qanunu): fırlanma momenti ətalət anının və bucaq sürətinin hasilinə bərabərdir:

bucaq impulsu(bucaq impulsu, bucaq impulsu) cismin ətalət anının bucaq sürətinin məhsulu adlanır:

Bucaq momentumu vektor kəmiyyətdir. Onun istiqaməti vektorun istiqaməti ilə eynidir bucaq sürəti.

Bucaq momentumunun dəyişməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

. (I.112)

Bucaq momentumunun dəyişməsi (bədənin sabit ətalət anı ilə) yalnız bucaq sürətinin dəyişməsi nəticəsində baş verə bilər və həmişə qüvvə momentinin təsiri ilə bağlıdır.

Formula, eləcə də (I.110) və (I.112) düsturlarına əsasən, bucaq momentumunun dəyişməsi aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

. (I.113)

Formula (I.113) olan məhsul deyilir qüvvənin impuls anı və ya sürücülük anı. Bucaq momentumunun dəyişməsinə bərabərdir.

Formul (I.113) qüvvənin momentinin zamanla dəyişməməsi şərti ilə etibarlıdır. Əgər qüvvənin anı zamandan asılıdırsa, yəni. , sonra

. (I.114)

Formula (I.114) göstərir ki: bucaq impulsunun dəyişməsi qüvvənin momentinin zaman inteqralına bərabərdir. Bundan əlavə, əgər bu düstur aşağıdakı formada təqdim olunursa, onda tərif ondan gələcək güc anı: qüvvənin ani anı zamana görə impuls momentinin birinci törəməsidir,

Əsas anlayışlar.

Güc anı fırlanma oxuna nisbətən radius vektorunun qüvvə ilə vektor məhsuludur.

(1.14)

Güc anı vektordur , istiqaməti gimlet (sağ vint) qaydası ilə bədənə təsir edən qüvvənin istiqamətindən asılı olaraq müəyyən edilir. Güc anı fırlanma oxu boyunca yönəldilir və xüsusi tətbiq nöqtəsinə malik deyildir.

Rəqəmsal dəyər verilmiş vektor düsturla müəyyən edilir:

M=r F günah (1.15),

harada  - radius vektoru ilə qüvvənin istiqaməti arasındakı bucaq.

Əgər a =0 və ya  , güc anı M=0, yəni. fırlanma oxundan keçən və ya onunla üst-üstə düşən qüvvə fırlanmaya səbəb olmur.

Qüvvə bucaq altında hərəkət edərsə, ən böyük fırlanma momenti yaranır  =  /2 (M 0) və ya  =3  /2 (M 0).

Güc çiyni anlayışından istifadə (güc çiyni d fırlanma mərkəzindən qüvvənin təsir xəttinə endirilmiş perpendikulyardır), qüvvənin momentinin düsturu formasını alır:

, harada
(1.16)

Güc anı(sabit fırlanma oxu olan cisim üçün tarazlıq şərti):

Fırlanma oxu sabit olan cismin tarazlıqda olması üçün bu cismə təsir edən qüvvələrin momentlərinin cəbri cəminin sıfıra bərabər olması lazımdır.

 M i =0 (1.17)

Qüvvə momentinin SI vahidi [Nm]-dir.

Fırlanma hərəkəti zamanı cismin ətaləti təkcə onun kütləsindən deyil, həm də fırlanma oxuna nisbətən fəzada paylanmasından asılıdır.

Fırlanma zamanı ətalət bədənin fırlanma oxuna nisbətən ətalət anı ilə xarakterizə olunur J.

Ətalət anı maddi nöqtənin fırlanma oxuna nisbəti, nöqtənin kütləsinin hasilinə və onun fırlanma oxundan olan məsafəsinin kvadratına bərabər olan qiymətdir:

J  =m   r  2 (1.18)

Cismin ox ətrafında ətalət anı bədəni təşkil edən maddi nöqtələrin ətalət momentlərinin cəmidir:

J= m   r  2 (1.19)

Cismin ətalət anı onun kütləsindən və formasından, həmçinin fırlanma oxunun seçimindən asılıdır. Müəyyən bir ox ətrafında bir cismin ətalət momentini təyin etmək üçün Steiner-Huygens teoremindən istifadə olunur:

J=J 0 +m d 2 (1.20),

harada J 0 – bədənin kütlə mərkəzindən keçən paralel ox ətrafında ətalət anı, d – iki paralel ox arasındakı məsafə . SI-də ətalət anı [kqm 2] ilə ölçülür.

İnsan gövdəsinin fırlanma hərəkəti zamanı ətalət anı empirik olaraq müəyyən edilir və təxminən silindr, dəyirmi çubuq və ya top üçün düsturlara uyğun olaraq hesablanır.

Kütlə mərkəzindən keçən şaquli fırlanma oxuna nisbətən insanın ətalət anı (insan bədəninin kütlə mərkəzi sagittal müstəvidə ikinci sakral fəqərədən bir qədər irəlidədir) mövqeyindən asılı olaraq. şəxs, aşağıdakı dəyərlərə malikdir: diqqətdə - 1,2 kq m 2; "arabesk" poza ilə - 8 kqm 2; üfüqi vəziyyətdə - 17 kq  m 2.

Dönmə hərəkətində işləyin xarici qüvvələrin təsiri altında cisim fırlandıqda baş verir.

Fırlanma hərəkətində qüvvənin elementar işi qüvvənin momenti ilə bədənin elementar fırlanma bucağının məhsuluna bərabərdir:

dA  =M   d (1.21)

Bədənə bir neçə qüvvə təsir edərsə, bütün tətbiq olunan qüvvələrin nəticəsinin elementar işi düsturla müəyyən edilir:

dA=M d (1.22),

harada M- bədənə təsir edən bütün xarici qüvvələrin ümumi momenti.

Fırlanan cismin kinetik enerjisiW üçün bədənin ətalət momentindən və onun fırlanma bucaq sürətindən asılıdır:

(1.23)

Bucaq momenti (impuls momenti) – cismin impulsunun və fırlanma radiusunun hasilinə ədədi olaraq bərabər olan kəmiyyət.

L=s r=m V r (1.24).

Müvafiq çevrilmələrdən sonra bucaq impulsunu təyin etmək üçün düsturu aşağıdakı formada yaza bilərsiniz:

(1.25).

bucaq impulsu istiqaməti sağ vida qaydası ilə təyin olunan vektordur. SI-də bucaq momentumunun vahidi kgm 2 /s-dir.

Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas qanunları.

Fırlanma hərəkətinin dinamikası üçün əsas tənlik:

Fırlanan cismin bucaq sürəti bütün xarici qüvvələrin ümumi momenti ilə düz mütənasibdir və bədənin ətalət momenti ilə tərs mütənasibdir.

(1.26).

Bu tənlik fırlanma hərəkətini təsvir etməkdə Nyutonun tərcümə hərəkəti üçün ikinci qanunu kimi eyni rolu oynayır. Tənlikdən görünə bilər ki, xarici qüvvələrin təsiri altında bucaq sürətlənməsi nə qədər böyükdürsə, bədənin ətalət momenti bir o qədər kiçikdir.

Fırlanma hərəkətinin dinamikası üçün Nyutonun ikinci qanunu fərqli formada yazıla bilər:

(1.27),

olanlar. bədənin bucaq impulsunun zamana görə birinci törəməsi bu cismə təsir edən bütün xarici qüvvələrin ümumi momentinə bərabərdir.

Bədənin impulsunun qorunma qanunu:

Bədənə təsir edən bütün xarici qüvvələrin ümumi momenti sıfırdırsa, yəni.

 M  =0 , sonra dL/dt=0 (1.28).

Buna görə də
və ya
(1.29).

Bu ifadə cismin bucaq impulsunun saxlanması qanununun mahiyyətini təşkil edir ki, bu da aşağıdakı kimi tərtib edilir:

Fırlanan cismə təsir edən xarici qüvvələrin ümumi momenti sıfır olarsa, cismin bucaq impulsu sabit qalır.

Bu qanun təkcə tamamilə sərt cisim üçün keçərli deyil. Bir nümunə, şaquli ox ətrafında fırlanma həyata keçirən bir konkisürəndir. Əllərini basaraq, skater ətalət anını azaldır və bucaq sürətini artırır. Fırlanmanı yavaşlatmaq üçün, əksinə, qollarını geniş açır; nəticədə ətalət anı artır və fırlanmanın bucaq sürəti azalır.

Yekun olaraq, tərcümə və fırlanma hərəkətlərinin dinamikasını xarakterizə edən əsas kəmiyyətlərin və qanunların müqayisəli cədvəlini veririk.

Cədvəl 1.4.

tərcümə hərəkəti		fırlanma hərəkəti
Fiziki kəmiyyət	Düstur	Fiziki kəmiyyət	Düstur
		Ətalət anı	J=m r 2
		Güc anı	M=F r əgər
Bədən impulsu (momentum)	p=m V	bədənin impulsu	L=m V r; L=J
Kinetik enerji		Kinetik enerji
mexaniki iş		mexaniki iş	dA=Md
Tərcümə hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi		Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi	,
Bədən impulsunun qorunma qanunu	və ya əgər	Bədənin impulsunun saxlanması qanunu	və ya  J    = sabit, əgər

Mühazirə planı

Ətalət anı.

Güc anı. Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi.

impuls anı. Bucaq impulsunun saxlanması qanunu.

Fırlanma hərəkəti zamanı iş və kinetik enerji.

1. Ətalət anı.

Fırlanma hərəkətini nəzərdən keçirərkən yeni fiziki anlayışlar təqdim etmək lazımdır: ətalət anı, qüvvə anı, impuls anı.

Ətalət anı bədənin fırlanma hərəkəti zamanı bədənin ətalət ölçüsüdür.

Ətalət anı maddi nöqtənin sabit fırlanma oxuna nisbəti onun kütləsinin hesab edilən fırlanma oxuna olan məsafənin kvadratına hasilinə bərabərdir (şəkil 1):

yalnız maddi nöqtənin kütləsindən və onun fırlanma oxuna nisbətən mövqeyindən asılıdır və fırlanmanın özünün mövcudluğundan asılı deyildir.

Ətalət anı skalyar və əlavə kəmiyyətdir, buna görə də cismin ətalət anı onun bütün nöqtələrinin ətalət momentlərinin cəminə bərabərdir:

.

Davamlı kütlə paylanması vəziyyətində bu məbləğ inteqrala qədər azalır:

,

kiçik bir bədən həcminin kütləsi haradadır
, - bədənin sıxlığı - elementdən məsafə
fırlanma oxuna.

Ətalət anı fırlanma hərəkətində kütlənin analoqudur. Bədənin ətalət anı nə qədər böyükdürsə, fırlanan cismin bucaq sürətini dəyişdirmək bir o qədər çətindir. Ətalət anı yalnız fırlanma oxunun verilmiş mövqeyi üçün mənalıdır. Sadəcə olaraq “ətalət anı”ndan danışmaq mənasızdır. Bu asılıdır:

1) fırlanma oxunun mövqeyindən;

2) fırlanma oxuna nisbətən bədən kütləsinin paylanması üzrə, yəni. bədən formasına və ölçüsünə görə.

Bunun eksperimental sübutu yuvarlanan silindrlərlə təcrübədir.

Bəzi homojen cisimlər üçün inteqrasiya edərək aşağıdakı düsturları əldə edə bilərik (fırlanma oxu cismin kütlə mərkəzindən keçir).

Halqanın (divar qalınlığını laqeyd edirik) və ya içi boş silindrin ətalət anı:

R radiuslu diskin və ya bərk silindrin ətalət anı:

.

Topun ətalət anı

Çubuğun ətalət anı

E Əgər cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa münasibətdə ətalət momenti məlumdursa, onda birinciyə paralel hər hansı oxa qarşı ətalət momenti aşağıdakı kimi tapılır. Ştayner teoremi: ixtiyari ox ətrafında cismin ətalət anı verilmiş oxla paralel olan və cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa qarşı J 0 ətalət momentinə bərabərdir, cismin kütləsinin hasilinə əlavə olunur. oxlar arasındakı məsafənin kvadratı.

harada d kütlə mərkəzindən məsafə O fırlanma oxuna (şək. 2).

Kütlə mərkəzi- mövqeyi verilmiş cismin kütləsinin paylanmasını xarakterizə edən xəyali nöqtə. Bədənin kütlə mərkəzi eyni kütləyə malik maddi nöqtənin bu cismə təsir edən bütün xarici qüvvələrin təsiri altında hərəkət etdiyi kimi hərəkət edir.

Ətalət anı anlayışı mexanikaya 18-ci əsrin ortalarında rus alimi L. Eyler tərəfindən daxil edilmiş və o vaxtdan sərt cisim dinamikasının bir çox məsələlərinin həllində geniş istifadə edilmişdir. Müxtəlif fırlanan qurğular və sistemlər (malanlar, turbinlər, elektrik mühərriklərinin rotorları, giroskoplar) hesablanarkən ətalət momentinin qiyməti praktikada bilinməlidir. Ətalət anı cismin (gəmi, təyyarə, mərmi və s.) hərəkət tənliklərinə daxil edilir. Xarici müdaxilənin (küləyin əsməsi və s.) təsiri altında təyyarənin kütlə mərkəzi ətrafında fırlanma hərəkətinin parametrlərini bilmək istədikləri zaman müəyyən edilir.

A nöqtəsində tətbiq olunan F qüvvəsinin təsiri altında hansısa cisim OO oxu ətrafında fırlansın” (şək. 1.14).

Qüvvət oxa perpendikulyar olan müstəvidə hərəkət edir. O nöqtəsindən (ox üzərində uzanan) qüvvənin istiqamətinə düşən perpendikulyar p deyilir. güc çiyin. Çiyindəki qüvvənin məhsulu O nöqtəsinə nisbətən qüvvənin anının modulunu təyin edir:

M = Fp=Frsinα.

Güc anı qüvvənin tətbiqi nöqtəsinin radius-vektorunun və qüvvə vektorunun vektor məhsulu ilə təyin olunan vektordur:

(3.1) Qüvvə momentinin vahidi Nyutonmetrdir (N m).

M istiqamətini düzgün vida qaydasından istifadə etməklə tapmaq olar.

bucaq impulsu hissəciyin radius vektorunun və onun impulsunun vektor məhsulu adlanır:

və ya skalyar formada L = gPsinα

Bu kəmiyyət vektordur və ω vektorları ilə istiqamətdə üst-üstə düşür.

§ 3.2 Ətalət anı. Ştayner teoremi

Tərcümə hərəkəti zamanı cisimlərin ətalətinin ölçüsü kütlədir. Fırlanma hərəkəti zamanı cisimlərin ətaləti təkcə kütlədən deyil, həm də onun fırlanma oxuna nisbətən fəzada paylanmasından asılıdır. Fırlanma hərəkəti zamanı ətalət ölçüsü adlanan bir kəmiyyətdirbədənin ətalət anı fırlanma oxu haqqında.

Maddi nöqtənin ətalət anı fırlanma oxuna nisbətən bu nöqtənin kütləsinin və oxdan olan məsafəsinin kvadratının məhsuludur:

mən i =m i r i 2 (3.2)

Bədənin fırlanma oxuna görə ətalət anı bu cismi təşkil edən maddi nöqtələrin ətalət momentlərinin cəminə deyilir:

(3.3)

Ümumi halda, əgər cisim bərkdirsə və kiçik kütlələri dm olan nöqtələr toplusudursa, ətalət anı inteqrasiya ilə müəyyən edilir:

(3.4)

Bədən homojendirsə və onun sıxlığı
, sonra cismin ətalət momenti

(3.5)

Cismin ətalət anı onun hansı oxun fırlanmasından və cismin kütləsinin bütün həcmdə necə paylanmasından asılıdır.

Düzgün həndəsi formaya və kütlənin həcm üzərində vahid paylanmasına malik olan cisimlərin ətalət anı ən sadə şəkildə müəyyən edilir.

Homojen çubuqun ətalət anıətalət mərkəzindən keçən və çubuğa perpendikulyar olan oxa nisbətən

(3.6)

Homojen silindrin ətalət anı bazasına perpendikulyar olan və ətalət mərkəzindən keçən ox ətrafında,

(3.7)

Nazik divarlı silindrin ətalət anı və ya əsasının müstəvisinə perpendikulyar olan və mərkəzindən keçən bir ox ətrafında bir halqa,

(3.8)

Ətalət anı topun diametrinə nisbətən

(3.9)

Məsələni nəzərdən keçirək . Diskin ətalət mərkəzindən keçən və fırlanma müstəvisinə perpendikulyar olan ox haqqında ətalət momentini təyin edək. Disk kütləsi - m, radius - R.

Üzük sahəsi (Şəkil 3.2), arasına qapalıdır

r və r + dr bərabərdir dS = 2πr dr . Disk sahəsi S = πR 2.

Nəticədə,
. Sonra

və ya

görə

Cismlərin ətalət momentləri üçün yuxarıda göstərilən düsturlar fırlanma oxunun ətalət mərkəzindən keçməsi şərti ilə verilmişdir. Bir ixtiyari ox ətrafında bir cismin ətalət anlarını təyin etmək üçün istifadə edilməlidir Ştayner teoremi : ixtiyari fırlanma oxuna qarşı cismin ətalət anı, verilmiş birinə paralel və cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa qarşı cismin ətalət momentinin cəminə bərabərdir. bədənin kütləsi oxlar arasındakı məsafənin kvadratına görə:

(3.11)

Ətalət anının vahidi kiloqram-metr kvadratdır (kq m 2).

Deməli, Ştayner teoreminə görə bircins çubuqun ucundan keçən oxa görə ətalət momenti bərabərdir.

(3.12)