Riyazi gözlənti, tərifdir

Mat gözləməkdirən mühüm anlayışlardan biridir riyazi statistika və dəyərlərin paylanmasını xarakterizə edən ehtimal nəzəriyyəsi və ya ehtimallar təsadüfi dəyişən. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin orta çəkisi kimi ifadə edilir. həyata keçirilməsində geniş istifadə olunur texniki analiz, ədədi sıraların tədqiqi, davamlı və uzun proseslərin tədqiqi. Bu var əhəmiyyəti maliyyə bazarlarında alqı-satqı zamanı riskləri qiymətləndirərkən, qiymət göstəricilərini proqnozlaşdırarkən, oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur. qumar nəzəriyyəsi.

Şah mat gözləyir- bu təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, paylanması ehtimallar təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.

Mat gözləməkdir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri x işarələnmişdir M(x).

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir

Mat gözləməkdir

Mat gözləməkdir ehtimal nəzəriyyəsində, bu təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkili.

Mat gözləməkdir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının bu dəyərlərin ehtimalları ilə cəmi.

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir

Mat gözləməkdir müəyyən bir qərardan əldə edilən orta fayda, bir şərtlə ki, belə bir qərar nəzəriyyə çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilsin böyük rəqəmlər və uzun məsafə.

Mat gözləməkdir qumar nəzəriyyəsində, hər bir mərc üçün orta hesabla spekulyatorun qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumarın dili ilə desək möhtəkirlər buna bəzən “üstünlük” deyirlər möhtəkir” (spekulyant üçün müsbət olarsa) və ya “ev kənarı” (spekulyant üçün mənfi olarsa).

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir

DSW-nin xüsusiyyətləri və onların xüsusiyyətləri. Riyazi gözlənti, dispersiya, standart kənarlaşma

Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tam xarakterizə edir. Lakin paylanma qanununu tapmaq mümkün olmadıqda və ya bu tələb olunmadıqda, təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikaları adlanan dəyərləri tapmaqla məhdudlaşmaq olar. Bu kəmiyyətlər təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin qruplaşdırıldığı bəzi orta dəyəri və bu orta dəyər ətrafında onların dağılma dərəcəsini müəyyənləşdirir.

riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və onların ehtimallarının cəmidir.

Riyazi gözlənti, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə mövcuddur.

Ehtimal nöqteyi-nəzərindən deyə bilərik ki, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir.

Misal. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu məlumdur. Riyazi gözləntiləri tapın.

X
səh	0.2	0.3	0.1	0.4

Həll:

9.2 Gözlənilən xüsusiyyətlər

1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir.

2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər.

3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün etibarlıdır.

4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Bu xüsusiyyət ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün də doğrudur.

n müstəqil sınaq aparılsın, A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p-ə bərabərdir.

teorem. n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir.

Misal. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, təsadüfi dəyişən Z-nin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Həll:

9.3 Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası

Lakin riyazi gözlənti təsadüfi prosesi tam xarakterizə edə bilməz. Riyazi gözləntiyə əlavə olaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin riyazi gözləntidən sapmasını xarakterizə edən bir dəyər təqdim etmək lazımdır.

Bu sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqə bərabərdir. Bu halda, kənarlaşmanın riyazi gözləntiləri sıfırdır. Bu onunla izah olunur ki, bəzi mümkün kənarlaşmalar müsbət, digərləri mənfi olur və onların qarşılıqlı ləğvi nəticəsində sıfır alınır.

Dağılma (səpilmə) Diskret təsadüfi kəmən təsadüfi kəmənin onun riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisi adlanır.

Praktikada dispersiyanı hesablamaq üçün bu üsul əlverişsizdir, çünki təsadüfi dəyişənin çoxlu sayda dəyəri üçün çətin hesablamalara səbəb olur.

Buna görə də başqa üsuldan istifadə olunur.

teorem. Dispersiya X təsadüfi kəmiyyətinin kvadratının riyazi gözləntisi ilə onun riyazi gözləntisinin kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir..

Sübut. M (X) riyazi gözləntinin və M 2 (X) riyazi gözləntinin kvadratının sabit qiymətlər olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

Misal. Paylanma qanunu ilə verilən diskret təsadüfi kəmənin dispersiyasını tapın.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Həll: .

9.4 Dispersiya xassələri

1. Sabit qiymətin dispersiyası sıfırdır. .

2. Sabit əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. .

3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .

4. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin fərqinin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .

teorem. Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı p sabit olan n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının dəyişməsi sınaqların sayı ilə baş vermə və baş vermə ehtimallarının hasilinə bərabərdir. hər sınaqda hadisənin.

9.5 Diskret təsadüfi kəmiyyətin standart kənarlaşması

Standart sapma təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır.

teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin orta kvadrat sapması kvadrat kök bu kəmiyyətlərin standart kənarlaşmalarının kvadratlarının cəmindən.

Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Bununla belə, paylama qanunu çox vaxt məlum deyil və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalıdır. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri.

Riyazi gözlənti mühüm ədədi xüsusiyyətlərdən biridir.

Riyazi gözlənti təxminən təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə bərabərdir.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.

Əgər təsadüfi dəyişən sonlu paylanma seriyası ilə xarakterizə olunursa:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	səh 1	səh 2	səh 3	…	r s

sonra riyazi gözlənti M(X) düsturla müəyyən edilir:

Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərliklə müəyyən edilir:

təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı haradadır X.

Misal 4.7. Zər atılan zaman düşəcək xalların sayının riyazi gözləntisini tapın.

Həll:

Təsadüfi dəyər X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymətlərini alır. Onun paylanma qanununu yaradaq:

X
R

Sonra riyazi gözlənti belədir:

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:

1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:

M(S)=S.

2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:

M(CX) = CM(X).

3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:

M(XY) = M(X)M(Y).

Misal 4.8. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

XY təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın.

Həll.

Bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləntilərini tapaq:

təsadüfi dəyişənlər X və Y müstəqil, buna görə də arzu olunan riyazi gözlənti:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

4. İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Nəticə. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Misal 4.9. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır səh 1 = 0,4; səh2= 0,3 və səh 3= 0,6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.

Həll.

İlk atışdakı vuruşların sayı təsadüfi dəyişəndir X 1, yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: ehtimalla 1 (vur). səh 1= 0.4 və 0 (qaçır) ehtimalı ilə q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

İlk atışda vuruşların sayının riyazi gözləntisi vurma ehtimalına bərabərdir:

Eynilə, ikinci və üçüncü çəkilişlərdə vuruşların sayının riyazi gözləntilərini tapırıq:

M(X 2)= 0,3 və M (X 3) \u003d 0,6.

Xitlərin ümumi sayı da üç atışın hər birindəki vuruşların cəmindən ibarət təsadüfi dəyişəndir:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

İstədiyiniz riyazi gözlənti X riyazi teoremlə cəminin gözləntisini tapırıq.

§ 4. TASSAFİ DƏYƏNİŞLƏRİN ƏDƏDİ XARAKTERİSTİKASI.

Ehtimal nəzəriyyəsində və onun bir çox tətbiqlərində böyük əhəmiyyət kəsb edir təsadüfi dəyişənlərin müxtəlif ədədi xüsusiyyətlərinə malikdir. Əsas olanlar riyazi gözlənti və variasiyadır.

1. Təsadüfi kəmənin riyazi gözləntiləri və onun xassələri.

Əvvəlcə aşağıdakı nümunəyə nəzər salın. dən ibarət partiyanı fabrik alsın N podşipniklər. Burada:

m 1 x 1,
m2- xarici diametrli rulmanların sayı x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- xarici diametrli rulmanların sayı x n,

Budur m 1 +m 2 +...+m n =N. Arifmetik ortanı tapın x bax yatağın xarici diametri. Aydındır ki,
Təsadüfi olaraq çıxarılan rulmanın xarici diametri dəyərləri alaraq təsadüfi bir dəyişən kimi qəbul edilə bilər x 1, x 2, ..., x n, müvafiq ehtimallarla p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N, çünki ehtimal pi xarici diametrli bir yatağın görünüşü x i bərabərdir m i /N. Beləliklə, arifmetik orta x baxəlaqədən istifadə edərək yatağın xarici diametri müəyyən edilə bilər
Verilmiş ehtimal paylama qanunu ilə diskret təsadüfi dəyişən olsun

Dəyərlər	x 1	x 2	. . .	x n
Ehtimallar	p1	səh2	. . .	p n

riyazi gözlənti diskret təsadüfi dəyişən Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin və onların müvafiq ehtimallarının cüt məhsullarının cəmi deyilir, yəni. *
Güman edilir ki, bərabərliyin (40) sağ tərəfində düzgün olmayan inteqral mövcuddur.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin. Bunu etməklə, diskret təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirəcəyimiz yalnız ilk iki xassəni sübut etməklə kifayətlənirik.

1°. C sabitinin riyazi gözləntisi bu sabitə bərabərdir.
Sübut. daimi C yalnız bir qiymət ala bilən təsadüfi dəyişən kimi düşünülə bilər C birinə bərabər ehtimal ilə. Buna görə də

2°. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər, yəni.
Sübut.(39) münasibətindən istifadə edərək bizdə var

3°. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri bu dəyişənlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.:

- 10 yeni doğulmuş körpə arasında oğlanların sayı.

Tamamilə aydındır ki, bu rəqəm əvvəlcədən məlum deyil və doğulan növbəti on uşaqda belə ola bilər:

Ya oğlanlar - bir və tək sadalanan variantlardan.

Və formada qalmaq üçün bir az bədən tərbiyəsi:

- uzun tullanma məsafəsi (bəzi vahidlərdə).

Bunu hətta idman ustası belə proqnozlaşdıra bilmir :)

Bununla belə, fərziyyələriniz nədir?

2) Davamlı təsadüfi dəyişən - alır hamısı bəzi sonlu və ya sonsuz diapazondan rəqəmli dəyərlər.

Qeyd : in tədris ədəbiyyatı məşhur abbreviaturalar DSV və NSV

Əvvəlcə diskret təsadüfi dəyişəni təhlil edək, sonra - davamlı.

Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu

- bu uyğunluq bu kəmiyyətin mümkün dəyərləri ilə onların ehtimalları arasında. Çox vaxt qanun cədvəldə yazılır:

Termin olduqca yaygındır sıra paylanması, lakin bəzi situasiyalarda birmənalı səslənir və buna görə də mən “qanun”a əməl edəcəyəm.

Və indi çox vacib məqam : təsadüfi dəyişəndən bəri mütləq qəbul edəcək dəyərlərindən biridir, sonra müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup və onların baş vermə ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

və ya qatlanmış halda yazılıb:

Beləliklə, məsələn, bir zərbdə xalların ehtimallarının paylanması qanunu aşağıdakı formaya malikdir:

Şərhsiz.

Siz diskret təsadüfi dəyişənin yalnız "yaxşı" tam dəyərləri qəbul edə biləcəyi təəssüratında ola bilərsiniz. Gəlin illüziyanı dağıtaq - onlar hər şey ola bilər:

Misal 1

Bəzi oyunlarda aşağıdakı pay paylama qanunu var:

…yəqin ki, siz çoxdandır ki, belə tapşırıqları xəyal edirsiniz :) Sizə bir sirr deyim – mən də. Xüsusilə də işi bitirdikdən sonra sahə nəzəriyyəsi.

Həll: təsadüfi dəyişən üç qiymətdən yalnız birini qəbul edə bildiyi üçün müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup, bu o deməkdir ki, onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

"Partizanı" ifşa edirik:

– beləliklə, şərti vahidləri qazanma ehtimalı 0,4-dür.

Nəzarət: əmin olmaq üçün nə lazımdır.

Cavab verin:

Bölüşdürmə qanununun müstəqil şəkildə tərtib edilməsi lazım olduqda nadir deyil. Bu istifadə üçün ehtimalın klassik tərifi, hadisə ehtimalları üçün vurma/toplama teoremləri və digər çiplər tervera:

Misal 2

Qutuda 50 lotereya bileti var, onlardan 12-si uduşludur və onlardan 2-si hər biri 1000 rubl, qalanları isə hər biri 100 rubl qazanır. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanununu tərtib edin - qutudan təsadüfi olaraq bir bilet çəkilərsə, uduşların ölçüsü.

Həll: qeyd etdiyiniz kimi, təsadüfi dəyişənin dəyərlərini yerləşdirmək adətdir artan sıra. Buna görə də, ən kiçik uduşlardan, yəni rubldan başlayırıq.

Ümumilikdə 50 - 12 = 38 belə bilet var və buna görə klassik tərif:
təsadüfi çəkilmiş biletin qalib gəlməyəcəyi ehtimalıdır.

Qalan hallar sadədir. Rubl qazanma ehtimalı:

Yoxlama: - və bu, bu cür tapşırıqların xüsusilə xoş anıdır!

Cavab verin: tələb olunan gəlirin paylanması qanunu:

Növbəti tapşırıq üçün müstəqil qərar:

Misal 3

Atıcının hədəfi vurma ehtimalı . Təsadüfi dəyişən üçün paylama qanunu hazırlayın - 2 atışdan sonra vuruşların sayı.

... Onun üçün darıxdığını bilirdim :) Xatırlayırıq vurma və toplama teoremləri. Həll və cavab dərsin sonunda.

Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə təsvir edir, lakin praktikada onun yalnız bir hissəsini bilmək faydalıdır (bəzən daha faydalıdır). ədədi xüsusiyyətlər .

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri

Sadə dillə desək, bu orta gözlənilən dəyər təkrar sınaq ilə. Təsadüfi dəyişən ehtimallarla dəyərlər alsın müvafiq olaraq. Onda bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərdir işlərin cəmi onun bütün dəyərləri müvafiq ehtimallarla:

və ya qatlanmış formada:

Məsələn, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini hesablayaq - zərə düşən xalların sayını:

İndi isə hipotetik oyunumuzu xatırlayaq:

Sual yaranır: bu oyunu oynamaq hətta sərfəlidirmi? ... kimin təəssüratları var? Buna görə də "təxminən" deyə bilməzsiniz! Ancaq bu suala riyazi gözləntiləri hesablamaqla asanlıqla cavab vermək olar, əslində - çəkili orta Qazanma ehtimalları:

Beləliklə, bu oyunun riyazi gözləntisi itirmək.

Təəssüratlara etibar etməyin - nömrələrə etibar edin!

Bəli, burada ard-arda 10, hətta 20-30 dəfə qalib gəlmək olar, amma uzun müddət ərzində qaçılmaz olaraq məhv olacağıq. Və mən sizə belə oyunlar oynamağı məsləhət görməzdim :) Yaxşı, bəlkə də yalnız Əyləncə üçün.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısından belə nəticə çıxır ki, riyazi gözlənti TƏSƏFÜF DEYİL DEYİL.

Müstəqil tədqiqat üçün yaradıcı tapşırıq:

Misal 4

Cənab X Avropa ruletini aşağıdakı sistem üzrə oynayır: o, daim qırmızıya 100 rubl mərc edir. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanununu tərtib edin - onun nəticəsi. Uduşların riyazi gözləntisini hesablayın və onu qəpiklərə yuvarlaqlaşdırın. Necə orta oyunçu hər yüz mərc üçün uduzur?

İstinad : Avropa ruletində 18 qırmızı, 18 qara və 1 yaşıl sektor ("sıfır") var. "Qırmızı" düşdüyü təqdirdə, oyunçuya ikiqat mərc ödənilir, əks halda o, kazinonun gəlirinə keçir.

Öz ehtimal cədvəllərinizi yarada biləcəyiniz bir çox başqa rulet sistemi var. Ancaq bu, heç bir paylama qanunlarına və cədvəllərinə ehtiyac duymadığımız haldır, çünki oyunçunun riyazi gözləntisinin tam olaraq eyni olacağı müəyyən edilmişdir. Yalnız sistemdən sistemə dəyişir