Большинство реальных систем нелинейны, т.е. поведение системы описывается уравнениями:

Часто на практике нелинейные системы можно аппроксимировать линейной в некоторой ограниченной области.

Предположим, что
для уравнения (1) известно. Заменим систему (1,2) подставив начальные условия

Предполагаем, что начальные состояния и входная переменная изменены так, что новое состояние и входная переменная имеет следующий вид.

Выход
найдем в результате решения возмущенных уравнений.

Разложим правую часть в ряд Тейлора.

-остаточный член погрешности второго порядка малости.

Вычитая исходное решение из разложений, получаем следующие линеаризованные уравнения:

.

Частные производные обозначим как коэффициенты зависящие от времени

Эти выражения можно переписать в виде

Получим линеаризованные уравнения в точках равновесия
.

. В точке

Решение этого уравнения

Продифференцируем правую часть исходного уравнения по x , получим

.

Выполним линеаризацию уравнения для произвольного начального значения
.

Получаем линеаризованную систему в виде нестационарного уравнения

Решение линеаризованной системы имеет вид:

.

1.7. Типовые возмущающие воздействия

Внешние возмущающие воздействия могут иметь различный характер:

мгновенного действия виде импульса и постоянного действия.

Если продифференцировать во времени
, то
, следовательно(t)- функция представляет собой производную во времени единичного ступенчатого воздействия.

(t)- функция при интегрировании обладает следующими фильтрующими свойствами:

Интегрируемое произведение произвольной функции
и(t)- функции отфильтровывает из всех значений
только то, которое соответствует моменту приложение мгновенного единичного импульса.

Линейное возмущение

Гармоническое возмущение

2 U. Системы второго порядка

2.1.Приведение уравнений второго порядка к системам уравнений первого порядка

Пример линейной стационарной системы.

Другое описание этой же системы второго порядка дается парой связанных дифференциальных уравнений первого порядка

(2)

где связь между коэффициентами этих уравнений определяется следующими соотношениями

2.2. Решение уравнений второго порядка

Применяя дифференциальный оператор
уравнение можно представить в более компактном виде

Решается уравнение (1) в 3 этапа:

1) находим общее решение однородного уравнения;

2) находим частное решение ;

3) полное решение есть сумма этих двух решений
.

Рассматриваем однородное уравнение

будем искать решение в форме

(5)

где
действительная или комплексная величина. При подстановке (5) в (4) получаем

(6)

Это выражение является решением однородного уравнения, если s удовлетворяет характеристическому уравнению

При s 1  s 2 решение однородного уравнения имеет вид

Тогда ищем решение в виде
и подставляя его в исходное уравнение

Откуда следует, что
.

Если выбрать

. (8)

Частное решение исходного уравнения (1) ищем методом вариации
в форме

исходя из (11), (13) получаем систему

Полное решение уравнения.

Заменой переменных получим уравнение второго порядка:

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Двумерным пространственным состоянием или фазовой плоскостью называется плоскость, в которой две переменные состояния рассматриваются в прямоугольной системе координат

- эти переменные состояния образуют вектор
.

График изменения
образует траекторию движения. Необходимо указать направление движения траектории.

Состояние равновесия называется такое состояние , в котором система остается при условии, что
Состояние равновесия можно определить (если оно существует) из соотношений

при любом t .

Состояния равновесия иногда называются критическими, основными или нулевыми точками.

Траектории системы не могут пересекаться друг с другом в пространстве, что вытекает и единственности решения дифференциального уравнения.

Ни одна траектория не проходит через состояние равновесия хотя и могут сколь угодно близко приближаться к особым точкам (при
) .

Типы точек

1 Регулярная точка есть любая точка, через которую может проходить траектория, точка равновесия не является регулярной.

2.Точка равновесия изолирована, если в ее малой окрестности содержатся только регулярные точки.

Рассмотрим систему

Для определения состояния равновесия решим следующую систему уравнений

.

Получаем зависимость между переменными состояния
.

любая точка которой есть состояние равновесия. Эти точки не является изолированными.

Заметим, что для линейной стационарной системы

начальное состояние оказывается состоянием равновесия и изолированным, если детерминант матрицы коэффициентов
, тогда
есть состояние равновесия.

Для нелинейной системы второго порядка состояние равновесия называется простым , если соответствующая матрица Якоби не равна 0.

В противном случае состояние не будет простым. Если точка равновесия является простой, то она изолирована. Обратное утверждение не обязательно верно (за исключением случая линейных стационарных систем) .

Рассмотрим решение уравнения состояния для линейной системи второго порядка:
.

Эту систему можно представить двумя уравнениями первого порядка,

обозначим
,

Характеристическое уравнение
и решение будет следующим:

Решение уравнения записывается в виде

По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса: Системы автоматической стабилизации характеризуются тем что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным. Системы программного регулирования задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону как функция времени и координат системы. Следящие системы задающее воздействие является величиной переменной но математическое описание по времени не может быть установлено т. Адаптивные или самонастраивающиеся системы такие системы автоматически...

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Лекция №2. Классификация и Требования, предъявляемые к САР. Линейные и нелинейные САР. Общий метод линеаризации

(Слайд 1)

2.1. Классификация САР

(Слайд 2)

САР классифицируются по различным признакам. По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса:

• Системы автоматической стабилизации (характеризуются тем, что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным). Пример: стабилизатор скорости вращения двигателя.
• Системы программного регулирования (задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону, как функция времени и координат системы). Пример: автопилот.
• Следящие системы (задающее воздействие является величиной переменной, но математическое описание по времени не может быть установлено, т.к. источником сигнала является внешнее воздействие, закон перемещения которого заранее не известен). Пример: радиолокационная станция сопровождения самолета.
• Адаптивные или самонастраивающиеся системы (такие системы автоматически выбирают оптимальный закон регулирования и могут в процессе работы изменять характеристики регулятора). Пример: компьютерная игра с нелинейным сюжетом.

(Слайд 3)

Так же САР разделяют по характеру сигналов в устройстве управления:

• Непрерывные (входной и выходной сигнал непрерывные функции времени). Пример: компараторы, операционные усилители.
• Релейные (если в системе имеется хотя бы один элемент с релейной характеристикой). Пример: различные реле, аналоговые ключи и мультиплексоры.
• Импульсные (характеризуется наличием хотя бы одного импульсного элемента). Пример: тиристоры, цифровые схемы.

Все САР можно разделить по зависимости выходных характеристик от входных на линейные и нелинейные .

2.2. Требования предъявляемые к САР

(Слайд 4)

1. Регулируемая величина должна поддерживаться на заданном уровне независимо от возмущения. Переходный процесс представляется динамической характеристикой, по которой можно судить о качестве работы системы.

2. Должно выполняться условие устойчивости, т.е. система должна обладать запасом устойчивости.

3. Быстродействие – время переходного процесса, характеризующее быстроту реакции системы.

(Слайд 5)

4. Должны выполняться нормы перерегулирования. Для определения величины перерегулирования используются два основных параметра:

• Коэффициент перерегулирования

где y m – максимальное отклонение выходной величины во время переходного процесса, y ∞ – значение выходной величины в установившемся режиме. Допустимое значение  = 0  25 % .

(Слайд 6)

• Мера колебательности процесса – число колебаний за время переходного процесса (не более 2-х)

5. Должны выполнение требования статической точности. Если в системе процессы случайные, то для обеспечения точности вводятся вероятностные характеристики.

2. 3 . Линейные и нелинейные САР

Динамические процессы в системах регулирования описываются дифференциальными уравнениями.

(Слайд 7)

В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений. В нелинейных системах процессы описываются уравнениями, содержащими какие-либо нелинейности . Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.

Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий. В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому, чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Это называется линеаризацией . Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.

(Слайд 8)

Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и на особые линейные системы. К первым относятся такие системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

(Слайд 9)

К особым линейным системам относятся:

а) системы с переменными по времени параметрами , которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;

б) системы с распределёнными параметрами , где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;

(Слайд 10)

в) импульсные системы , где приходится иметь дело с разностными уравнениями.

(Слайд 11)

Рис. 2.1. Характеристики нелинейных элементов

В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене или какие-то нелинейные дифференциальные зависимости в уравнениях динамики системы. Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.

К нелинейным системам относятся прежде всего релейные системы, так как релейная характеристика (рис. 2.1, а и б ) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рис. 2.1, в ).

Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рис. 2.1, г ). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.

К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рис. 2.1, д ), характеристика зазора в механической передаче (рис. 2.1, е), сухое трение (рис. 2.1, ж ), квадратичное трение (рис. 2.1, и ) и др. В последних двух характеристиках x 1 обозначает скорость перемещения, а x 2 – силу или момент трения.

Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходной и входной величинами звена (рис. 2.1, к ). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.

Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рис. 2.1, а или на рис. 2.1, е. Подобные сложные случаи будут рассмотрены в разд. 9.

2.4. Общий метод линеаризации

(Слайд 12)

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X 1 и X 2 , а внешнее возмущение – через F (t ).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

. (2.1)

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

(Слайд 13)

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х 1 , которое обозначим Х 10 . В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х 1 будет иметь значения

где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х 10 .

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем:

а также

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

. (2.2)

(Слайд 15)

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

(2.3)

где  – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных

; ; ; .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

(Слайд 16)

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

(2.4)

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

(Слайд 17)

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

, (2.5)

где введены следующие обозначения

(Слайд 18)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

И т.д.

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

, (2.6)

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.6) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или p x 2 ) отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (с -1 ). Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2 называют постоянными времени .

Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии. Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена, то линеаризация дает или. Коэффициент передачи k 1 будет представлять собой тангенс угла наклона  касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х 1 и х 2 .

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ , на котором касательная мало отличается от самой кривой.

(Слайд 19)

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C , определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k 1 = tg  c учетом масштабов чертежа и размерности x 2 . Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

(Слайд 20)

Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.6) записывают в виде

где – постоянная времени.

Постоянные времени Т 1 , Т 2 и Т 3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

PAGE 1

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
13570.		Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева	333.34 KB
	Линейные режимы лазерного нагрева Для анализа линейных режимов лазерного нагрева рассмотрим процессы воздействия ЛИ на полупространство экспоненциально спадающим с глубиной тепловым источником. Поэтому идеализация свойств тепловых источников часто допускаемая в расчетных схемах для уменьшения математических трудностей может приводить к заметным отклонениям расчетных данных от экспериментальных. Для непрозрачных материалов в большинстве случаев нагрева ЛИ источники тепла могут считаться поверхностными коэффициент поглощения α 104  105...
16776.		Требования, предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса	21.72 KB
	Требования предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса Для развития предпринимательской деятельности в современных экономических условиях необходимо наличие определенных условий в том числе: - наличие эффективной налоговой системы стимулирующей развитие предпринимательства; - наличие определенной совокупности прав и свобод выбор вида хозяйственной деятельности планирование источников финансирования доступ к ресурсам организация и управление компанией и т. Таким образом для поступательного развития...
7113.		Метод гармонической линеаризации	536.48 KB
	Метод гармонической линеаризации Поскольку этот метод является приближённым то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений: Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность; Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот ослабляющий высшие гармоники возникающие в предельном цикле; Метод применим только к автономным системам. Изучается свободное движение системы то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий....
12947.		МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ	338.05 KB
	Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации будем считать что исследуемая нелинейная система приведена к виду показанному на. Нелинейный элемент может иметь любую характеристику лишь бы она была интегрируемой без разрывов второго рода. Преобразование данной переменной для примера нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис.
2637.		Аппликационные лекарственные препараты. Общая характеристика. Классификация. Основные требования. Технология нанесения адгезивов на подложку при производстве аппликационных лекарственных препаратов	64.04 KB
	Аппликационные лекарственные препараты – пластыри мозольные лейкопластыри перцовые пластыри кожные клеи – жидкие пластыри пленки ТТС и др. Общая характеристика и классификация пластырей Пластыри Emplstr лекарственная форма для наружного применения обладающая способностью прилипать к коже оказывающая действие на кожу подкожные ткани и в ряде случаев общее воздействие на организм. Пластыри одна из старейших лекарственных форм известная с очень древних времен прародители современных препаратов четвертого поколения...
7112.		НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	940.02 KB
	Физические законы движения окружающего нас мира таковы что все объекты управления нелинейны. Другие нелинейности называемые структурными вводятся в систему преднамеренно для получения требуемых характеристик системы. Если нелинейности выражены слабо то поведение нелинейной системы незначительно отличается от поведения линейной системы. Создать точную модель реальной системы невозможно.
21761.		Общий пантеон богов древней Мессопотамии. Боги древнего Шумера	24.7 KB
	Древняя религия народов Месопотамии, несмотря на собственный консерватизм, постепенно, в ходе общественного развития, претерпевала изменения, отражаюшие в себе и политические, и социально-экономические процессы, происходящие на территории Месопотамии.
11507.		формированиЕ финансового результата и общий анализ финансово-хозяйственной деятельности организации	193.55 KB
	Для более глубокого ознакомления с деятельностью любого предприятия возникает необходимость в изучении его со всех возможных сторон в формировании наиболее объективного мнения как о положительных так и отрицательных сторонах в работе в выявлении наиболее уязвимых мест и способах их устранения. Для проведения финансового анализа используют специальный инструментарий так называемые финансовые коэффициенты. Используя необходимую информацию объективно и наиболее точно оценить финансовое состояние организации его прибыли и убытки изменения...
13462.		Статистический анализ рисковых активов. Нелинейные модели	546.54 KB
	Однако реальные данные для многих финансовых временных рядов показывают что линейные модели не всегда адекватно отражают истинную картину поведения цен. Если иметь ввиду разложение Дуба в котором привлекаются условные математические ожидания вполне естественным является предположение о том что условные распределения являются гауссовскими...
4273.		Линейные математические модели	3.43 KB
	Линейные математические модели. Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений - алгебраических...

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения минимума функции двух переменных методом непосредственной линеаризации.

Правила ввода функций:

1. Все переменные выражаются через x 1 ,x 2
2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x 1 2 +x 1 x 2 , записываем как x1^2+x1*x2 .

Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:

где – отбрасываемый член второго порядка малости.
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание . Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.

Общая задача нелинейного программирования

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:

Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:

может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .

Пример №1 .

Построим допустимую область S (см. рис.).

Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:

Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:

так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:

Новое решение лежит на пересечении прямых и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство () все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2

Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций:

Итерация	f	g	h
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Оптимум	2	0	0

Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.

Общий метод линеаризации

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения ᴇᴦο обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь зна­чения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем˸ а также .

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) должна быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в данном уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях˸

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют из себянекоторые постоянные коэффициенты в том случае, в случае если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Общий метод линеаризации - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Общий метод линеаризации" 2015, 2017-2018.

Статистическое исследование нелинейных систем представляет собой весьма сложную задачу. Сравнительная простота методов статистического анализа линейных систем является естественной причиной попыток распространить эти методы на задачи приближенного исследования точности нелинейных систем. Так возникли методы линеаризации нелинейных характеристик систем.

Простейшим видом линеаризации нелинейных систем является линеаризация при помощи разложения всех нелинейных функций, входящих в уравнения системы, в ряд Тейлора и отбрасывание всех членов ряда выше первой степени. При этом каждая входящая в уравнение системы нелинейная функция заменяется приближенным линейным выражением

где - математическое ожидание случайной функции х.

Формула вида (XVII.1) позволяет лйнеаризовать уравнения нелинейной системы относительно флюктуаций сигналов в различных элементах системы. Это дает возможность применять для приближенного исследования точности нелинейных систем методы статистической теории линейных систем. Однако формулы вида (XVII. 1) применимы только к непрерывным функциям, имеющим непрерывные производные по аргументу в области его практически возможных значений.

Между тем системы автоматического регулирования часто содержат существенно нелинейные звенья, характеристики которых разрывны или имеют разрывные производные. К таким характеристикам можно отнести релейные характеристики, ограниченные зоны линейности и т. д. (см. кн. 1 гл. IV). Для линеаризации таких характеристик был развит метод статистической линеаризации , .

Статистическая линеаризация представляет собой замену нелинейного звена линейным относительно флюктуаций звеном с сохранением в определенном смысле уровня полезного сигнала и уровня флюктуаций на выходе. При этом нелинейная функция аппроксимируется постоянным эквивалентным линейным коэффициентом усиления. Естественно, что аппроксимация нелинейных функций постоянным коэффициентом недостаточно полно

отражает физическую картину преобразования случайного сигнала, так как не учитывается преобразование спектра сигнала нелинейным звеном. В связи с этим в работе была предложена аппроксимация безынерционных нелинейных звеньев статистически эквивалентной передаточной функцией, определяемой из отношения спектральной плотности сигнала на выходе нелинейного звена к спектральной плотности сигнала на входе.

Одновременно с этим была развита статистическая линеаризация нелинейных функций при условии, когда входной сигнал содержит периодическую составляющую. Этот метод в дальнейшем получил название совместной статистической и гармонической линеаризации.

Названные методы линеаризации позволяют свести систему нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции. Следовательно, используя метод статистической линеаризации, можно определить лишь среднее значение и дисперсию случайной функции. При использовании совместной линеаризации можно определить так же первую гармонику периодических колебаний в нелинейной системе.

В связи с тем, что в нелинейной системе функция плотности вероятности случайного сигнала может существенным образом отличаться от нормальной и при этом для характеристики точности работы знание лишь первых двух моментов не является достаточным в работе 113], был развит метод обобщенной статистически эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева - Эрмита случайных функций и позволяющий определить высшие моменты этих функций в нелинейной системе.

Основная идея метода статистической линеаризации , заключается в аппроксимации существенно нелинейных преобразований линеаризованной зависимостью, эквивалентной нелинейному преобразованию по первым двум моментам случайных функций, т. е. по среднему значению и дисперсии. Разумеется, что эта эквивалентная линеаризованная зависимость имеет различный вид для разных существенно нелинейных элементов, а также зависит от вероятностных характеристик случайного сигнала на входе нелинейного элемента.

Рассмотрим нелинейное преобразование, соответствующее реальной статической характеристике безынерционного нелинейного элемента

Преобразуемый случайный процесс может быть представлен в виде

где математическое ожидание, а процесс с нулевым математическим ожиданием.

Представим сигнал на выходе нелинейного элемента в виде эквивалентного линейного преобразования входного сигнала

где К - эквивалентные статистические передаточные коэффициенты по математическому ожиданию и дисперсии, которые необходимо определить. Первое предположение, являющееся исходным при определении этих коэффициентов, - это соблюдение равенств математического ожидания и дисперсии для случайного сигнала на выходе реального нелинейного и эквивалентного линейного элементов. Тогда коэффициент может быть определен как отношение математического ожидания на выходе нелинейного элемента к математическому ожиданию сигнала на входе

Для коэффициента в этом случае будем иметь выражение

где - средние квадратические отклонения центрированных случайных сигналов соответственно на входе и на выходе нелинейного элемента.

Второе предположение, принимаемое при статистической линеаризации, основано на требовании минимума среднего квадрата разности между случайным сигналом на выходе нелинейного элемента и случайным сигналом на выходе эквивалентного линейного элемента. Это условие можно записать следующим образом:

Раскроем это выражение:

В формуле (XVI 1.8) черта сверху означает математическое ожидание. Взяв частные производные от выражения (XVI 1.8) по получим

где - взаимная корреляционная функция сигналов на входе и на выходе эквивалентного линейного элемента при

Использование при расчетах коэффициента (XVI 1.6) дает несколько завышенное значение дисперсии, а использование коэффициента (XVI 1.9) несколько заниженное. Поэтому при расчетах в качестве эквивалентного коэффициента по случайной составляющей можно взять следующее значение:

Заметим, что при статистической линеаризации в отличие от обычной линеаризации нелинейных функций, основанной на их разложении в ряд Тейлора в окрестности некоторой рабочей точки, средние характеристики сигналов могут быть рассчитаны точно.

Теперь рассмотрим общие формулы для определения эквивалентных коэффициентов усиления. Пусть задана одномерная нормальная плотность вероятности). Тогда формулы для коэффициентов будут иметь вид

Произведем расчет коэффициентов по формулам (XVII. 11), (XVII.12) и (XVII.13) для нелинейной характеристики типа кубической параболы, которая аналитически может быть представлена формулой