В этой главе будет изложен метод гармонической линеаризации для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого порядка, который по идее близок к методу эквивалентной линеаризации или методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам - также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.

Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видов нелинейных систем.

Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида

Разложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье, получим

что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. В настоящей главе будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан метод исследования автоколебаний при наличии постоянной составляющей, т. е. в случае невыполнения условия (18.5).

Если принять во внимание, что из (18.2) и (18.3)

то формулу (18.4) при условии (18.5) можно будет записать в виде

где q - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами:

Итак, нелинейное выражение (18.1) при заменяется выражением (18.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты постоянны при постоянных значениях , т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением а и со коэффициенты q и изменяются (см.гл. 20). Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6) будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычным способом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто линейным выражениям, которые применялись в предыдущих разделах книги. Указанное обстоятельство позволит путем применения к выражению (18.6) линейных методов исследования проанализировать основные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.

Приведем также формулы гармонической линеаризации для более простой нелинейности:

Здесь возможны два варианта: 1) кривая имеет гистерезисную петлю (например, рис. 16.18, в, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.).

При наличии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается зависимость от знака производной, нелинейная функция после гармонической линеаризации заменяется следующим выражением (при

при условии отсутствия постоянной составляющей:

Если же кривая не имеет гистерезисной петли, то так как при будет

(при гистерезисной петле этот интеграл не был нулем вследствие различия в очертании кривой при возрастании и убывании

Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражение (18.8) заменяется более простым:

т. е. криволинейная или ломаная характеристика с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой q зависит от размера амплитуды колебаний а. Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному» с передаточным числом (коэффициентом усиления), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины х.

Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающую отставание по фазе, так как Таким образом, нелинейное отставание по координате в виде гистерезисной петли превращается при гармонической линеаризации в эквивалентное линейное отставание по фазе.

Можно создать специальное нелинейное звено с опережающей петлей, что будет эквивалентно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от размера амплитуды колебаний, чего нет в линейных системах.

В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гармонической линеаризации по отдельности. Произведение же нелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. При этом могут встретиться иного характера нелинейные функции.

Например, при гармонической линеаризации второго из уравнений (16.3) придется иметь дело с функцией при . В этом случае получаем

при условии

Если же функция или функция будет единственной нелинейной функцией в уравнении нелинейного звена, то при гармонической

линеаризации можно положить и

аналогично прежним формулам (18.6) и (18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будет амплитудой колебаний скорости а не самой координаты х. Последняя же будет иметь тогда амплитуду

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, что при симметричных нелинейных характеристиках интеграл можно получить удвоением интеграла , т. е.

а для симметричных относительно начала координат безгистерезисных характеристик при вычислении можно писать

Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев. Затем их можно будет непосредственно использовать при решении различных конкретных задач.

Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдем коэффициенты и уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам (18.10). Возьмем общий вид характеристики релейного звена изображаемой графиком рис. 18.1, а, где есть любое дробное число в интервале

Как частные случаи будут получены уравнения других типов релейных звеньев.

Если колебания входной величины имеют амплитуду то согласно рис. 18.1, а движения в системе не будет. Если амплитуда то переключения реле происходят в точках А, В, С, D (рис. 18.1, б), в которых имеем

Следовательно, после использования свойств каждый из интегралов (18.10) разбивается на три слагаемых:

причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и будут нулями. Поэтому выражения (18.10) принимают вид

а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) с полученными здесь значениями и .

Рассмотрим частные случаи.

Для релейного звена с характеристикой без гистерезисной петли, но с зоной нечувствительности (рис. 18.1, а), полагая из вышенаписанных формул получаем

Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис. полагая имеем

Наконец, для идеального релейного звена (рис. 18.1, е), полагая находим

На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейной характеристики. Написанное выражение для q означает замену ломаной характеристики прямолинейной (рис. 18.1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая приблизительно заменяла собой тот участок ломаной который охватывается заданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональная зависимость от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больше амплитуда а колебаний входной величины тем более пологой должна быть прямая приблизительно заменяющая ломаную

Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой на рис. 18.1, г для которой наклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16). Следовательно, всякое безгистерезисное релейное звено в колебательном процессе эквивалентно такому «линейному» звену, передаточное число (коэффициент усиления) которого уменьшается с увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с

Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18.9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прежнему коэффициентом усиления , но, кроме того, еще с введением отрицательной производной в правой части уравнения. Введение отрицательной производной в противовес положительной (см. § 10.2) вносит отставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейным эквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисной петли. При этом

коэффициент при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитуды а колебаний входной величины что и понятно, так как эффект влияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть тем меньше, чем больше амплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной петли.

Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейных звеньев. Рассмотрим нелинейное звено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис. 18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где

интеграл (18.10) на участке разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нулю. Поэтому

откуда с заменой получаем

где определяются формулами (18.19). Ввиду отсутствия гистерезисной петли здесь

Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рис. 18.2, а будет где определяется выражением (18.20).

Как частный случай отсюда получается значение для звена с зоной нечувствительности без насыщения (рис. 18.2, в). Для этого в предыдущем решении нужно положить и, следовательно, Тогда

Как видим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному звену с уменьшенным за ее счет коэффициентом усиления. Это уменьшение коэффициента усиления значительно при малых амплитудах и невелико при больших, причем при

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов . В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой w.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

y н = F(x), (2.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a , т.е.

x = a sin y, где y = wt, (2.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y н 1 = a н 1 sin(y + y н 1), (2.19)

где a н 1 - амплитуда а y н 1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y н 1 = b 1F siny + a 1F cosy, (2.20)

где b 1F , a 1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

px = a w cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

y н 1 = x, (2.21)

где q = b 1F /a , q¢ = a 1F /a .

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации , а коэффициенты q и q¢ - коэффициентами гармонической линеаризации .

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды a и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу . В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a , w) и q¢(a , w) зависят от амплитуды a и частоты w колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a ) и q¢(a ) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q¢(a ) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jw (s = jw), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W Э (jw, a ) = q + jq¢ = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) , (2.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A Э (w, a ) = mod W Э (jw, a ) =

y Э (w, a ) = arg W Э (jw, A) = arctg.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

a н 1 = a ´A Э (w, a ); y н 1 = y Э (w, a ).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 .

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

W Э (jw, a ) = q(w, a ) + jq¢(w, a ) = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) . (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)´}x = 0. (2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a 0 sin w 0 t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a 0 и w = w 0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)´ = 0 (2.26)

имеет пару мнимых корней l i = jw 0 и l i +1 = -jw 0 . Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод . Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

D(jw, a ) = A(jw) + B(jw)´. (2.27)

В результате получают уравнение D(jw, a ) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(jw, a ) = X(w, a );

Im D(jw, a ) = Y(w, a ),

получим уравнение

X(w, a ) + jY(w, a ) = 0. (2.28)

Если при действительных значениях a 0 и w 0 выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

По графикам a 0 = f(k), w 0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод . В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W н (jw, a ) = -1. (2.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W н (jw, a ) = W лч (jw)´W Э (jw, a ). (2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид

W лч (jw) = - . (2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W лч (jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w 0 и амплитудой a 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a 0 +Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a 0 -Da .

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a 3 < a 0 < a 4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам .

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W лч (jw)W э (jw, a ) = 1;

arg W лч (jw)W э (jw, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L лч (w) + L э (w, a ) = 0; (2.34)

y лч (w) + y э (w, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a 0 и частоту w 0 периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L лч (w), y лч (w) и нелинейного элемента L э (w, a ), y э (w, a ).

Автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w 0 и значениях амплитуды a = a 0 + Da и a = a 0 - Da , где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a 0 + Da и a 0 - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(a ) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y э (a ), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

x = 0 (2.36)

существует, если выполняются условия:

L лч (w) = - L э (a ); (2.37)

y лч (w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту w = w 0 периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a 0 .

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста : периодическое решение с частотой w = w 0 и амплитудой a = a 0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y лч (w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 +Da ), и не равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 -Da ).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w 01 , w 02 и w 03 , определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y лч (w) с линией -180 0 . Амплитуды периодического решения a 01 , a 02 и a 03 определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L э (w 01 , a ), -L э (w 02 , a ) и -L э (w 03 , a ).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой w = w 01 и амплитудой a = a 01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) не пересекает линию -180 0 , а в диапазоне частот 2, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 -Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Решение с частотой w = w 02 и амплитудой a = a 02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 02 ,a 02 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w 03 и амплитудой a = a 03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 +Da ), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 , а в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 -Da ), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 .

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w 03 и амплитудой a 03 , а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w 01 и амплитудой a 01 .

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

где k=200 c -1 ; T 1 =1.5 c; T 2 =0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

При a ³ b, q¢(a ) = 0.

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия m = a /b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

где - коэффициент передачи реле;

Относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k н отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

Если m ® 1, то -L э (m) ® ¥; а при m >> 1 -L э (m) = 20 lg m. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, m = 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе

с зоной нечувствительности

a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L лч (w), -L э (m) и y лч (w).

Частота периодического решения w 0 = 4.3 c -1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y лч (w) и линии -180 0 . Амплитуды периодических решений m 1 = 29 и m 2 = 1.08 находятся по характеристикам L лч (w) и -L э (m). Периодическое решение с малой амплитудой m 2 неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m 1 устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w 0 = 4.3 c -1 и амплитудой a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Метод гармонической линеаризации

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100

Одобрено

редакционно –издательским советом

Балаковского интститута техники,

технологии и управления

Балаково 2004

Цель работы: Изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных звеньев. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.

Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде

причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность

. (1)

Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.

Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.

Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы

, (2)

здесь - коэффициенты Фурье,

,

,

. (3)

Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами и т. д. Этот сигнал поступает на вход линейной части нелинейной системы.

Обозначим передаточную функцию линейной части

, (4)

причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид

где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.

Для АЧХ справедливо записать

Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.

В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид

Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы Рис.1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем

. (7)

При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.

Введем следующие обозначения

,

.

Подставив их в (7), получим . (8)

С учетом того, что

,

, где ,

. (9)

Согласно (3) и (8) при

,

. (10)

Выражение (9) является гармонической линеаризацией нелинейности устанавливает линейную связь входной переменной и выходной при . Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].

В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению

,

,

. (12)

Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .

Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Метод гармонической линеаризации

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100

Одобрено

редакционно –издательским советом

Балаковского интститута техники,

технологии и управления

Балаково 2004

Цель работы: Изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных звеньев. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.

Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде

причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность

Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.

Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.

Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы

, (2)

здесь - коэффициенты Фурье,

,

,

. (3)

Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами и т. д. Этот сигнал поступает на вход линейной части нелинейной системы.

Обозначим передаточную функцию линейной части

, (4)

причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид

где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.

Для АЧХ справедливо записать

Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.

В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид

Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы Рис.1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем

. (7)

При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.

Введем следующие обозначения

Подставив их в (7), получим . (8)

С учетом того, что

. (9)

Согласно (3) и (8) при

,

. (10)

Выражение (9) является гармонической линеаризацией нелинейности устанавливает линейную связь входной переменной и выходной при . Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].

В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению

,

,

. (12)

Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .

Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний

, (13)

при этом частотная передаточная функция

зависит только от амплитуды и не зависит от частоты колебаний в системе.

Необходимо отметить, что если нечетно-симметричная нелинейность однозначна, то в случае симметричных колебаний в соответствии с (9) и (10) получим, что , (15)

(16)

и линеаризованная нелинейность имеет вид

Для неоднозначных нелинейностей (с гистерезисом) интеграл в выражении (16) не равен нулю, вследствие различия в поведении кривой при возрастании и убывании , поэтому справедливо полное выражение (9).

Найдем коэффициенты гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик. Пусть нелинейная характеристика имеет вид релейной характеристики с гистерезисом и зоной нечувствительности. Рассмотрим, как гармонические колебания проходят через нелинейный элемент с такой характеристикой.



При выполнении условия , то есть если амплитуда входного сигнала меньше зоны нечувствительности , то сигнал на выходе нелинейного элемента отсутствует. Если же амплитуда , то реле переключается в точках A, B, C и D. Обозначим и .

,

. (18)

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует иметь ввиду, что при симметричных нелинейных характеристиках интегралы в выражениях (10) находятся на полупериоде (0, ) с последующим увеличением результата в два раза. Таким образом

,

. (19)

Для нелинейного элемента с релейной характеристикой и зоной нечувствительности

,

Для нелинейного элемента, имеющего релейную характеристику с гистерезисом

,

Аналогично могут быть получены коэффициенты гармонической линеаризации для других нелинейных характеристик.

Рассмотрим два способа определения симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний) и устойчивости линеаризованных систем: алгебраический и частотный. Сначала рассмотрим алгебраический способ. Для замкнутой системы Рис.1 передаточная функция линейной части равна

.

Запишем гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейной части

.

Характеристической уравнение замкнутой системы имеет вид

. (22)

Если в исследуемой системе возникают автоколебания, то это говорит о наличии двух чисто мнимых корней в ее характеристическом уравнении. Поэтому подставим в характеристическое уравнение (22) значение корня .

. (23)

Представим

Получим два уравнения, определяющих искомую амплитуду и частоту

,

. (24)

Если в решении возможны вещественные положительные значения амплитуды и частоты , то в системе могут возникнуть автоколебания. Если же амплитуда и частота не имеет положительных значений, то автоколебания в системе невозможны.

Рассмотрим пример 1. Пусть исследуемая нелинейная система имеет вид

В этом примере нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент с релейной характеристикой, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида

Передаточная функция объекта регулирования равна

. (27)

Передаточная функция линейной части системы

, (28)

На основании (22), (25) и (28) запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

, (29)

,

Пусть 1/сек, сек, сек, в.

В этом случае параметры периодического движения равны

7,071 ,

Рассмотрим способ определения параметров автоколебаний в линеаризованной САУ с помощью критерия Михайлова. Способ основан на том, что при возникновении автоколебаний система будет находиться на границе устойчивости и годограф Михайлова в этом случае будет проходить через начало координат.

В примере 2 найдем параметры автоколебаний при том условии, что нелинейный элемент в системе Рис.4 представляет собой чувствительный элемент, имеющий релейную характеристику с гистерезисом, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

,

Линейная часть осталась неизменной.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

Годограф Михайлова получается заменой .

Задача заключается в том, чтобы подобрать такую амплитуду колебаний , при которой годограф пройдет через начало координат. Необходимо отметить, что при этом текущая частота , так как именно в этом случае кривая пройдет через начало координат.

Расчеты, проведенные в MATHCAD 7 при 1/сек, сек, сек, в и в, дали следующие результаты. На Рис.5 годограф Михайлова проходит через начало координат. Для повышения точности расчетов увеличим нужный фрагмент графика. На Рис.6 приведен фрагмент годографа, увеличенный в окрестности начала координат. Кривая проходит через начало координат при в.

Рис.5. Рис.6.

Частоту колебаний при этом можно найти из условия равенства нулю модуля . Для частот

значения модуля сведены в таблицу

Таким образом, частота колебаний 6,38 . Необходимо отметить, что точность расчетов легко может быть увеличена.

Полученное периодическое решение, определяемое значением амплитуды и частоты , необходимо исследовать на устойчивость. Если решение устойчиво, то в системе имеет место автоколебательный процесс (устойчивый предельный цикл). В противном случае предельный цикл будет неустойчивым.

Проще всего для исследования устойчивости периодического решения использовать критерий устойчивости Михайлова в графическом виде. Было установлено, что при кривая Михайлова проходит через начало координат. Если дать малое приращение , то кривая займет положение либо выше нуля, либо ниже. Так в последнем примере дадим приращение в, то есть и . Положение кривых Михайлова показано на Рис.7.

При кривая проходит выше нуля, что говорит об устойчивости системы и затухающем переходном процессе. При кривая Михайлова проходит ниже нуля, система является неустойчивой и переходный процесс является расходящимся. Таким образом периодическое решение с амплитудой в и частотой колебаний 6,38 устойчиво.

Для исследования устойчивости периодического решения может быть использован и аналитический критерий, получаемый из графического критерия Михайлова. Действительно, чтобы узнать пойдет ли кривая Михайлова при выше нуля достаточно посмотреть, куда будет перемещаться точка кривой Михайлова, которая при находится в начале координат.

Если разложить перемещение этой точки по координатным осям X и Y, то для устойчивости периодического решения вектор, определяемый проекциями на координатные оси

должен быть расположен справа от касательной MN к кривой Михайлова, если смотреть вдоль кривой в сторону возрастания , направление которой определяется проекциями

Аналитическое условие устойчивости запишем в следующем виде

В этом выражении частные производные берутся по текущему параметру кривой Михайлова

,

Необходимо отметить, что аналитическое выражение критерия устойчивости (31) справедливо только для систем не выше четвертого порядка, так как например для системы пятого порядка в начале координат условие (31) может выполняться, а система будет неустойчивой

Применим критерий (31) для исследования устойчивости периодического решения, полученного в примере 1.

,

,

, ,

Введение

Релейные системы получили широкое распространение в практике автоматического регулирования. Достоинством релейных систем является простота конструкции, надежность, простота обслуживания и настройки. Релейные системы представляют собой особый класс нелинейных АСР.

В отличие от непрерывных в релейных системах регулирующее воздействие изменяется скачкообразно всякий раз, когда управляющий сигнал реле (чаще всего это ошибка регулирования) проходит через некоторые фиксированные (пороговые) значения, например, через нуль.

Релейные системы, как правило, обладают высоким быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменяется практически мгновенно, а на исполнительное устройство действует кусочно-постоянный сигнал максимальной амплитуды. В то же время в релейных системах часто возникают автоколебания, что во многих случаях является недостатком. В настоящей работе исследуется релейная система с четырьмя различными законами управления.

Структура исследуемой системы

Исследуемая система (рис.) 1, включает в себя элемент сравнения ЭС, релейный элемент РЭ, исполнительный двигатель (идеальный интегратор с коэффициентом усиления =1), объект регулирования (апериодическое звено с тремя постоянными времени , , и коэффициентом усиления ). Значения параметров системы приведены в табл. 1 приложения А.

Статические характеристики (характеристики вход-выход) исследуемых релейных элементов приведены на рис. 2.

На рис. 2,а приведена характеристика идеального двухпозиционного реле, на рис. 2,б характеристика трехпозиционного реле с зоной нечувствительности. На рис. 2,в и 2,г приведены характеристики двухпозиционного реле с положительным и отрицательным гистерезисом соответственно.

Исследуемая АСР может быть смоделирована с помощью известных пакетов моделирования, например, SIAM или VisSim.

Замечание. В некоторых пакетах моделирования значение выходного

сигнала реле может принимать лишь значения ±1 вместо ±В, где В произвольное число. В таких случаях необходимо коэффициент усиления интегратора принять равным .

Порядок выполнения работы

Для выполнения работы каждый студент получает от преподавателя вариант исходных данных (см. раздел 2).

Работа выполняется в два этапа.

Первый этап – расчетно-исследовательский (может быть выполнен вне лаборатории).

Второй этап – экспериментальный (проводится в лаборатории). На этом этапе с помощью одного из пакетов производится моделирование переходных процессов в исследуемой системе для режимов, рассчитанных на первом этапе, и осуществляется проверка точности теоретических методов.

Необходимый теоретический материал изложен в разделе 4; в разделе 5 приведены контрольные вопросы.

3.1. Расчетно – исследовательская часть

1. Получить выражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной, вещественной и мнимой характеристик линейной части системы.

2. Рассчитать и построить амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы. Для расчета использовать программы из пакета ТАУ. Обязательно распечатать значения вещественной и мнимой частотной характеристик (10 – 15 точек, соответствующих третьему и второму квадрантам).

4. Используя графоаналитический метод Гольдфарба, определить амплитуду и частоту автоколебаний и их устойчивость для всех четырех реле. Расчет параметров автоколебаний можно осуществить и аналитически. Качественно изобразить фазовый портрет системы для каждого из случаев.

5. Для трехпозиционного реле определить одно значение коэффициента усиления линейной части, при котором автоколебания отсутствуют, и граничное значение, при котором происходит срыв автоколебаний.

Экспериментальная часть

1. Используя один из доступных пакетов моделирования, собрать схему моделирования исследуемой АСР. По разрешению преподавателя можно воспользоваться готовой схемой. Настроить параметры схемы в соответствии с заданием.

2. Исследовать переходный процесс в системе с идеальным реле (вывести на печать), подавая на вход скачкообразное воздействие x(t)=40*1(t). Измерить амплитуду и частоту автоколебаний, сравнив их с расчетными значениями. Повторить эксперимент, установив не нулевые начальные условия (например, у(0)=10, у (1) (0)=-5).

3. Исследовать переходный процесс в системе с трехпозиционным реле для двух различных значений амплитуды входного сигнала x(t)= 40*1(t) и x(t)=15*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.

4. Исследовать переходные процессы в системе с трехпозиционным реле для других значений коэффициента усиления линейной части (см. п.5, раздел 3.1).

5. Исследовать переходные процессы в системе с двухпозиционными реле с гистерезисом при нулевых и не нулевых начальных условиях и x(t)=40*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.

Теоретическая часть

Широко распространенным методом расчета нелинейных систем является метод гармонической линеаризации (описывающих функций) .

Метод позволяет определять параметры автоколебаний (амплитуду и частоту), устойчивость автоколебаний, устойчивость положения равновесия нелинейной АСР. На базе метода гармонической линеаризации разработаны методы построения переходных процессов, анализа и синтеза нелинейных АСР .

Метод гармонической линеаризации

Как уже отмечалось, в нелинейных и в особенности релейных АСР часто наблюдаются устойчивые периодические колебания постоянной амплитуды и частоты, так называемые автоколебания . Причем автоколебания могут сохраняться даже при значительных изменениях параметров системы. Практика показала, что во многих случаях колебания регулируемой величины (рис. 3) близки к гармоническим.

Близость автоколебаний к гармоническим позволяет использовать для определения их параметров – амплитуды A и частоты w 0 – метод гармонической линеаризации. В основе метода лежит предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот (гипотеза фильтра). Определим условия, при которых автоколебания в системе могут быть близки к гармоническим. Ограничимся системами, которые как на рис. 3 могут быть приведены к последовательному соединению нелинейного элемента и линейной части. Предположим, что сигнал задания величина постоянная, для простоты примем его равным нулю. А сигнал ошибки (рис 3) является гармоническим:

(1)

Выходной сигнал нелинейного элемента как всякий периодический сигнал – на рисунке 3 это прямоугольные колебания – может быть представлен в виде суммы гармоник ряда Фурье.

Допустим, что линейная часть системы является фильтром низких частот (рис. 4) и пропускает только первую гармонику с частотой w 0 . Вторая с частотой 2w 0 и более высокие гармоники отфильтровываются линейной частью. В этом случае на выходе линейной части будет существовать практически только первая гармоника , а влиянием высших гармоник можно пренебречь

Таким образом, если линейная часть системы является фильтром низких частот, а частота автоколебаний w 0 удовлетворяет условиям

, (4)

Предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот, называется гипотезой фильтра . Гипотеза фильтра выполняется всегда, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции линейной части

(5)

не меньше двух

Условие (6) выполняется для многих реальных систем. Примером могут служить апериодическое звено второго порядка и реальное интегрирующее

,

. (7)

При исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, в расчет принимается только первая гармоника периодических колебаний на выходе нелинейного элемента, поскольку высшие гармоники все равно практически отфильтровываются линейной частью. В режиме автоколебаний осуществляется гармоническая линеаризация нелинейного элемента. Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным с комплексным коэффициентом усиления (описывающей функцией) , зависящим от амплитуды входного гармонического сигнала:

где и – действительная и мнимая части ,

– аргумент ,

– модуль .

В общем случае зависит как от амплитуды так и частоты автоколебаний и постоянной составляющей . Физически комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента , чаще называемый коэффициентом гармонической линеаризации , есть комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента по первой гармонике . Модуль коэффициента гармонической линеаризации

(9)

численно равен отношению амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде входного гармонического сигнала.

Аргумент

(10)

характеризует сдвиг по фазе между первой гармоникой выходных колебаний и входным гармоническим сигналом. Для однозначных нелинейностей, таких как, например, на рис. 2,а и 2,б, действительное выражение и

Для неоднозначных нелинейностей, рис. 2,в, 2,г, определяется по формуле

где S – площадь петли гистерезиса. Площадь S берется со знаком плюс, если петля гистерезиса обходится в положительном направлении (рис. 2,в) и со знаком минус в противном случае (рис. 2,г).

В общем случае и вычисляются по формулам

,

, (12)

где , – нелинейная функция (характеристика нелинейного элемента).

С учетом вышеизложенного, при исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, нелинейная АСР (рис. 3) заменяется эквивалентной с коэффициентом гармонической линеаризации вместо нелинейного элемента (рис. 5). Выходной сигнал нелинейного элемента на рис. 5 обозначен как , это

подчеркивает, что нелинейный элемент генерирует только

первую гармонику колебаний. Формулы для коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в литературе, например, в . В таблице приложения В приведены характеристики исследуемых релейных элементов, формулы для и их годографы. Там же приведены формулы и годографы для обратного коэффициента гармонической линеаризации , определяемого выражением

, (13)

где и действительная и мнимая часть . Годографы и строятся в координатах , и , соответственно.

Запишем теперь условия существования автоколебаний. Система на рис. 5 эквивалентна линейной. В линейной системе существуют незатухающие колебания, если она находится на границе устойчивости. Воспользуемся условием границы устойчивости по критерию Найквиста:

. (14)

Уравнение (14) естьусловие существования автоколебаний, близких к гармоническим. Если существуют действительные положительные решения А и w 0 уравнения (14), то в нелинейной АСР существуют автоколебания близкие к гармоническим. В противном случае автоколебания отсутствуют или не являются гармоническими. Уравнение (14) распадается на два – относительно действительной и мнимой части:

;

;

Поделив обе части уравнения (14) на и принимая во внимание формулу (13), получим условие существования автоколебаний в форме Гольдфарба Л.С.:

. (17)

Уравнение (17) также распадается на два:

,

(18)

и в некоторых случаях ими удобнее пользоваться для определения параметров автоколебаний.

Гольдфарб предложил графоаналитический метод решения системы (17) и определения устойчивости автоколебаний.

В координатах , и , строятся годографы и (рис. 6,а). Если годографы пересекаются, то автоколебания существуют. Параметры автоколебаний – А и w 0 определяются в точках пересечения – частота w 0 по годографу , амплитуда по годографу . На рис. 6,а – две точки пересечения, что указывает на наличие двух предельных циклов.

	б)

Для определения устойчивости автоколебаний согласно Гольдфарбу штрихуется левая сторона АФХ линейной части при движении вдоль АФХ в направлении возрастания частоты (рис. 6).

Автоколебания устойчивы, если в точке пересечения годограф нелинейного элемента переходит из незаштрихованной области в заштрихованную при движении в сторону возрастания амплитуды А.

Если переход происходит из заштрихованной области в не- заштрихованную, то автоколебания не устойчивы.

На рис. 6,б качественно изображен фазовый портрет соответствующий двум предельным циклам на рис. 6,а. Точке пересечения с параметрами и на рис. 6,а соответствует не устойчивый предельный цикл на рис. 6,б, точке с параметрами и и добиться срыва автоколебаний , в этом случае годографы и не пересекаются. Этого же эффекта можно добиться, увеличив зону нечувствительности d или уменьшив амплитуду выходного сигнала реле В. Существует некоторое предельное значение К л, при котором АФХ линейной части касается Ошибка! Ошибка связи. при этом , а значение амплитуды равно . Естественно, это приводит к качественному изменению фазового портрета системы.