Чтобы найти функцию распределения дискретной случайной величины
, необходимо использовать данный калькулятор .
Задание 1
. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .
Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.
Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.
Задание 4
. Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом:
f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .
Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).
Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
Зная, что
найдем параметр a:
или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3
Дисперсия .
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:
- Определить коэффициент A .
- найти функцию распределения F(x) .
- схематично построить графики F(x) и f(x) .
- найти математическое ожидание и дисперсию X .
- найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).
Решение :
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
Найдем параметр A из условия:
или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14
Функцию распределения можно найти по формуле.
Глава 1. Дискретная случайная величина
§ 1.Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).
Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Функция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);
3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:
то функция распределения F(x) определяется формулой:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 при х≤ x1,
р1 при x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3
1 при х> хn.
Её график изображен на рис.2:
§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С Х)=С М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .
Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х - случайная величина;
3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины; Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0; Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1, 0,1 при -1<х≤0, 0,2 при 0<х≤1, F(x)= 0,5 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 Изобразим функцию F(x)графически (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение:
Биномиальным
называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где - «выпадения не пятерки». Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3. Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид: Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Найдем числовые характеристики случайной величины Х: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Задача№4.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется: а) 5 бракованных; б) хотя бы одна бракованная. Решение:
Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона: Рn(m)= e
-
λ
λm
Найдем λ=np=1000 0,002=2. а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5): Р1000(5)= e
-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь. Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e
-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Задачи для самостоятельной работы.
1.1
1.2.
Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения: Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х). 1.3.
В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.4.
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.5.
В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график. 1.6.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X). 1.7.
Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков. 1.8.
На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х). 1.9.
В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины. 1.10.
Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x). 1.11.
Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X). 1.12.
Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов. 1.13
.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов. 1.15.
Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) четыре бракованные книги, б) менее двух бракованных книг. 1
.16.
Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит: а) два вызова; б)хотя бы один вызов. 1.17.
Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y. 1.18.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин: Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y. Ответы:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1.
р3=0,4; 0 при х≤-2, 0,3 при -2<х≤0, F(x)= 0,5 при 0<х≤2, 0,9 при 2<х≤5, 1 при х>5 0,3 при -1<х≤0, 0,4 при 0<х≤1, F(x)= 0,6 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0, 0,03 при 0<х≤1, F(x)= 0,37 при 1<х≤2, 1 при х>2 M(Х)=2; D(Х)=0,62 M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈ M(Х)=2,4; D(Х)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.
M(Х)=2; D(Х)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а)0,0189; б) 0,00049 1.16.
а)0,0702; б)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Глава 2.
Непрерывная случайная величина
Определение:
Непрерывной
называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения. Определение:
Функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения. Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1 2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. 3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х 4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения). Определение
:
Плотностью распределения вероятностей
f
(
x
)
непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.: Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей
.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">
https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с; б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx Поэтому, х если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 х 6 6 если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Таким образом, 0 при х≤2, F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6, 1 при х>6. График функции F(х) изображен на рис.3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0, F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3, 1 при х>√3. Найти дифференциальную функцию распределения f(х) Решение:
Т. к.f(х)= F’(x), то DIV_ADBLOCK93">
· Математическое ожидание М (Х)
непрерывной случайной величины Х определяются равенством: M(X)= ∫ x f(x)dx, при условии, что этот интеграл сходится абсолютно. · Дисперсия
D
(
X
)
непрерывной случайной величины Х определяется равенством: D(X)= ∫ (х-М(х)2) f(x)dx, или D(X)= ∫ х2 f(x)dx - (М(х))2 · Среднее квадратическое отклонение σ(Х)
непрерывной случайной величины определяется равенством: Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных. Задача №3.
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Задачи для самостоятельного решения.
2.1.
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения: 0 при х≤0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3, 1 при х> π/3. Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 при х≤2, f(х)= с х при 2<х≤4, 0 при х>4. 2.4.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 при х≤0, f(х)= с √х при 0<х≤1, 0 при х>1. Найти: а) число с; б) М(Х), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4). 2.6.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: f(х)= 2(х-2) при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку . 2.7.
Функция f(х) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2]. 2.8.
Функция f(x) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x). 2.9.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7. 2.10.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)). 2.12.
Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">. Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Распределение Ремя задается плотностью вероятности: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0. Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей. 2.14.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: DIV_ADBLOCK96">
https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(рис.5) 2.16.
Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси. Ответы
0 при х≤0, f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 при х≤а, f(х)= при a<х 0 при х≥b. График функции f(x) изображен на рис. 1 F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Задача№1.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график; б) функцию распределения F(x) и построить ее график; в) M(X),D(X), σ(Х). Решение:
Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7, 0 при х>7 Построим ее график (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0, f(х)= λе-λх при х≥0. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой: DIV_ADBLOCK98">
https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> рис.6 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле: Р(a<Х Задача №2.
Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) плотность распределения вероятностей; б) функцию распределения; в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч. Решение:
По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0, а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0. б) F(x)= 0 при х<0, 1- е -0,01х при х≥0. в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения: Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3. §
3.Нормальный закон распределения
Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса),
если ее плотность распределения имеет вид: где m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой
(рис.7) Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: где - функция Лапласа. Замечание:
Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2. График функции распределения F(x) изображен на рис. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле: В частности, при m=0 справедливо равенство: «Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к. https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а) б) Воспользуемся формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Итак, искомая вероятность: P(28 Задачи для самостоятельной работы
3.1.
Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите: б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(4<х<6). 3.2.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите: а) плотность распределения f(x); б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(3≤х≤6). 3.3.
На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь. 3.4.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда. 3.5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-8х при х≥0. 3.6.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,7 е-0,7х при х≥0. а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины. б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х. 3.7.
Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,4 е-0,4 х при х≥0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5). 3.8.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-0,6х при х≥0 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.9.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14). 3.10.
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.11.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность? 3.12.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью? 3.13.
Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти: а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.; б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции. 3.14.
Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г. 3.15.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ. 3.16.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х. 3.17.
Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат? 3.18.
Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала. Ответы
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> б) 0 при х≤-3, F(х)= left"> 3.10.
а)f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 2.1.
Случайная величина X
задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания X
примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6). Решение:
Х
в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами: Пример 2.2.
При каких значениях параметров А
и В
функция F
(x
) = A + Be - x
может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х
. Решение:
Так как все возможные значения случайной величины Х
принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х
, должно выполняться свойство: Ответ: Пример 2.3.
Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X
ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75). Решение:
Вероятность попадания величины Х
в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле: Пример 2.4.
Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках. Решение:
Случайная величина Х
– число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х
Х
: Пример 2.5.
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Решение:
Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х
– числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи. Составим закон распределения вероятностей СВ Х
: Пример 2.6.
Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F
1 (t
) =1-e -
0,1 t
, для второго: F
2 (t
) = 1-e -
0,2 t
, для третьего: F
3 (t
) =1-e -
0,3 t
. Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента. Решение:
Воспользуемся определением производящей функции вероятностей : Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А
равна , во втором и т. д., событие А
появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов: Составим производящую функцию: Коэффициент при равен вероятности того, что событие А
появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент. Пример 2.7.
Дана плотность вероятности f
(x
)случайной величины X
: Найти функцию распределения F(x).
Решение:
Используем формулу: Таким образом, функция распределения имеет вид: Пример 2.8.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Решение:
Случайная величина Х
– число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле Бернулли: Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х
: Пример 2.9.
В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Решение:
Случайная величина Х
– число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х
где --
число деталей в партии; --
число стандартных деталей в партии; –
число отобранных деталей; --
число стандартных деталей среди отобранных. Пример 2.10.
Случайная величина имеет плотность распределения причем и не известны, но , а и . Найдите и . Решение:
В данном случае случайная величина X
имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b
]. Числовые характеристики X
: Следовательно, Ответ: Пример 2.11.
В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Решение:
Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам: Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4. Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы: Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид: Ответ: , . Пример 2.12.
Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых. Решение:
В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х
может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: где --
число роз; --
число белых роз; –
число одновременно взятых роз; --
число белых роз среди взятых. Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Пример 2.13.
Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа. Решение:
Случайная величина Х
– число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: где --
число собранных агрегатов; --
число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке; –
число выбранных агрегатов; --
число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных. Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Пример 2.14.
Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов. Решение:
Случайная величина Х
– число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х
примет эти значения, найдем по формуле: Тогда закон распределения случайной величины будет такой: Теперь вычислим числовые характеристики величины : Ответ: , . Пример 2.15.
Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Решение:
Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны . Составим ряд распределения случайной величины: Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера: Ответ: , . Пример 2.16.
Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p
. Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N
приборов. Решение:
Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p,
распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: Пример 2.17.
Дискретная случайная величина X
принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X
) = 8. Решение:
Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины: Находим: . Пример 2.18.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X
– числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий. Решение:
В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле: где - число партий; Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия. Вероятность найдем по формуле Бернулли: Ответ: Пример 2.19.
Найти дисперсию случайной величины X
– числа появлений события A
в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M
(X
) = 0,9. Решение:
Задачу можно решить двумя способами. 1) Возможные значения СВ X
: 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий: ,
,
.
Тогда закон распределения X
имеет вид: Из определения математического ожидания определим вероятность : Найдем дисперсию СВ X
: 2) Можно использовать формулу: Ответ: Пример 2.20.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X
соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X
примет значение, заключенное в интервале (15; 25). Решение:
Вероятность попадания нормальной случайной величины Х
на участок от до выражается через функцию Лапласа: Пример 2.21.
Дана функция: При каком значении параметра C
эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X
? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X
. Решение:
Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству: Следовательно: Вычислим математическое ожидание по формуле: Вычислим дисперсию по формуле: T
равна p
. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение:
Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании: Пример 2.25.
Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах. Решение:
Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: Пример 2.26.
Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент. Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: Пример 2.29.
Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд. Решение:
В этом примере математическое ожидание Тогда искомая вероятность: Пример 2.30.
Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда? Решение:
Пример 2.31.
Тогда согласно классическому определению вероятности: где --
число деталей в партии; --
число нестандартных деталей в партии; –
число отобранных деталей; --
число нестандартных деталей среди отобранных. Тогда закон распределения случайной величины будет такой. Непрерывную
случайную величину можно задать с
помощью функции распределения F
(x
)
.
Этот способ задания не является
единственным. Непрерывную случайную
величину можно также задать, используя
другую функцию, которую называют
плотностью распределения или плотностью
вероятности (иногда её называют
дифференциальной функцией). Определение4.1:
Плотностью
распределения непрерывной случайной
величины
Х
называют функцию f
(x
)
- первую
производную от функции распределения
F
(x
)
: f
(
x
)
=
F
"(
x
)
.
Из
этого определения следует, что функция
распределения является первообразной
для плотности распределения. Заметим,
что для описания распределения
вероятностей дискретной случайной
величины плотность распределения
неприменима. Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
в заданный интервал
Зная
плотность распределения, можно вычислить
вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу. Теорема:
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащие интервалу (a
,
b
),
равна определённому интегралу от
плотности распределения, взятому в
пределах от
a
до
b
:
Доказательство:
Используем соотношение P
(a
≤
X
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
).
По формуле
Ньютона-Лейбница, Таким образом, Так как P
(a
≤
X
b
)=
P
(a
X
b
)
,
то окончательно получим
Геометрически
полученный результат можно истолковать
так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (a
,
b
),
равна площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью
Ox
,
кривой распределения
f
(x
)
и прямыми
x
=
a
и
x
=
b
.
Замечание:
В частности, если f
(x
)
– чётная функция и концы интервала
симметричны относительно начала
координат, то Пример.
Задана плотность вероятности случайной
величины Х
Найти вероятность
того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащие интервалу
(0,5; 1). Решение:
Искомая вероятность Нахождение
функции распределения по известной
плотности распределения
Зная
плотность распределения f
(x
)
,
можно найти функцию распределения F
(x
)
по формуле Действительно,
F
(x
)
=
P
(X
x
) = P
(-∞
X
x
)
.
Следовательно, Таким образом,
зная плотность распределения, можно
найти функцию распределения. Разумеется,
по известной функции распределения
можно найти плотность распределения
,
а именно: f
(x
)
=
F
"(x
).
Пример.
Найти функцию распределения по данной
плотности распределения: Решение:
Воспользуемся формулой
Если x
≤
a
, то f
(x
)
= 0
, следовательно, F
(x
)
= 0
. Если a
, то
f(x) = 1/(b-a)
,
следовательно, Если x
>
b
, то Итак, искомая
функция распределения Замечание:
Получили функцию распределения
равномерно распределенной случайной
величины (см. равномерное распределение). Свойства
плотности распределения
Свойство 1:
Плотность распределения - неотрицательная
функция: f
(
x
)
≥ 0
. Свойство 2:
Несобственный интеграл от плотности
распределения в пределах от -∞ до ∞
равен единице: Замечание:
График плотности распределения
называют кривой распределения
. Замечание:
Плотность распределения непрерывной
случайной величины также называют
законом распределения. Пример.
Плотность распределения случайной
величины имеет следующий вид: Найти постоянный
параметр a
. Решение:
Плотность распределения должна
удовлетворять условию ,
поэтому потребуем, чтобы выполнялось
равенство Отсюда
Вычислим
несобственный интеграл: Таким образом,
искомый параметр Вероятный
смысл плотности распределения
Пусть
F
(x
)
– функция распределения непрерывной
случайной величины X
. По определению плотности распределения,
f
(x
)
=
F
"(x
)
,
или Разность
F
(x
+∆х)
-
F
(x
)
определяет вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
(x
,
x
+∆х)
.
Таким образом, предел отношения
вероятности того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆х)
, к длине
этого интервала (при ∆х→0
) равен
значению плотности распределения в
точке х
. Итак,
функция f
(x
)
определяет плотность распределения
вероятности для каждой точки х
. Из
дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно
равно дифференциалу функции, т.е. Так как F
"(x
)
=
f
(x
)
и dx
= ∆
x
,
то F
(x
+∆
x
)
-
F
(x
)
≈
f
(x
)∆
x
. Вероятностный
смысл этого равенства таков:
вероятность
того, что случайная величина примет
значение принадлежащее интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна произведению плотности
вероятности в точке х на длину интервала
∆х
. Геометрически
этот результат можно истолковать так
:
вероятность того, что случайная
величина примет значение принадлежащее
интервалу (x
,
x
+∆
x
)
,приближенно равна площади прямоугольника
с основанием ∆х и высотой
f
(x
).
Определение5.1:
Случайная
величина
X
, принимающая
два значения 1
и 0
с вероятностями
(“успеха”) p
и
(“неуспеха”) q
,
называется Бернуллиевской
: ,
где k
=0,1.
Пусть
производится n
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может появиться или не появиться.
Вероятность наступления события во
всех испытаниях постоянна и равна p
(следовательно, вероятность непоявления
q
= 1 -
p
). Рассмотрим
случайную величину X
– число появлений события A
в этих испытаниях. Случайная величина
X
принимает значения
0,1,2,…
n
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли:
,
где k
= 0,1,2,…
n
. Определение5.2:
Биномиальным
называют раcпределение
вероятностей, определяемое формулой
Бернулли. Пример.
По мишени производится три выстрела,
причем вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,8. Рассматривается
случайная величина X
– число попаданий в мишень. Найти ее
ряд распределения. Решение:
Случайная величина X
принимает значения 0,1,2,3
с вероятностями,
вычисленными по формуле Бернулли, где
n
= 3,
p
= 0,8
(вероятность попадания), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(вероятность непопадания). Таким образом, ряд распределения
имеет следующий вид: Пользоваться формулой Бернулли
при больших значениях n
достаточно трудно, поэтому для подсчета
соответствующих вероятностей используют
локальную теорему Лапласа, которая
позволяет приближенно найти вероятность
появления события ровно k
раз в n
испытаниях,
если число испытаний достаточно велико. Локальная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
Замечание1:
Таблицы, в которых помещены значения
функции
Пример:
Найти вероятность того, что событие
A
наступит ровно
80
раз в 400
испытаниях, если
вероятность появления этого события в
каждом испытании равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
k
= 80,
p
= 0,2
, q
= 0,8
.
Вычислим определяемое данными задачи
значение x
:
Если
нужно вычислить вероятность того, что
событие A
появится в
n
испытаниях не менее
k
1
раз и не
более k
2
раз, то нужно использовать интегральную
теорему Лапласа: Интегральная
теорема Лапласа
: Если вероятность p
появления события A
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
Другими
словами, вероятность того, что событие
A
появится в n
испытаниях от k
1
до k
2
раз,
приближенно равна где
Замечание2:
Функцию
Пример:
Найти вероятность того, что среди
400
случайно отобранных деталей окажется
непроверенных от 70 до 100 деталей, если
вероятность того, что деталь не прошла
проверку ОТК, равна 0,2.
Решение:
По условию n
= 400,
p
= 0,2
, q
= 0,8,
k
1
=
70,
k
2
=
100
. Вычислим нижний и верхний пределы
интегрирования: Таким образом,
имеем: По таблице
приложения 2 находим, что
Замечание3:
В сериях независимых испытаний (когда
n велико, p мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k раз используют
формулу Пуассона (смотри распределение
Пуассона). Определение5.3:
Дискретную
случайную величину называют Пуассоновской,
если ее закон распределения имеет
следующий вид: Примеры
Пуассоновских случайных величин:
Число вызовов
на автоматическую станцию за промежуток
времени T
.
Число частиц
распада некоторого радиоактивного
вещества за промежуток времени T
.
Число
телевизоров, которые поступают в
мастерскую за промежуток времени T
в большом городе.
Число
автомобилей, которые поступят к
стоп-линии перекрестка в большом городе.
Замечание1:
Специальные таблицы для вычисления
данных вероятностей приведены в
приложении 3. Замечание2:
В сериях независимых испытаний (когда
n
велико, p
мало) для вычисления вероятности
наступления события ровно k
раз используют формулу Пуассона:
,
где
,
то есть среднее число появлений
событий остается постоянным. Замечание3:
Если есть случайная величина, которая
распределена по закону Пуассона, то
обязательно есть случайная величина,
которая распределена по показательному
закону и, наоборот (см. Показательное
распределение). Пример.
Завод отправил на базу 5000
доброкачественных изделий. Вероятность
того, что в пути изделие повредится,
равна 0,0002
. Найти вероятность, что
на базу прибудут ровно три негодных
изделия. Решение:
По условию n
= 5000,
p
= 0,0002,
k
= 3.
Найдем
λ: λ =
np
= 5000·0,0002
= 1
. По формуле
Пуассона искомая вероятность равна: ,
где случайная величина X
– число негодных изделий. Пусть
производятся независимые испытания, в
каждом из которых вероятность появления
события А
равна p
(0 p q
= 1 -
p
. Испытания
заканчиваются, как только появится
событие А
. Таким образом, если
событие А
появилось в k
-м
испытании, то в предшествующих k
– 1
испытаниях оно не появлялось. Обозначим
через Х
дискретную случайную величину
– число испытаний, которые нужно провести
до первого появления события А
.
Очевидно, возможными значениями Х
являются натуральные числа х 1 =
1, х 2 = 2, … Пусть в
первых k
-1
испытаниях
событие А
не наступило, а в k
-м
испытании появилось. Вероятность этого
“сложного события”, по теореме умножения
вероятностей независимых событий,
P
(X
=
k
) =
q
k
-1
p
.
Определение5.4:
Дискретная
случайная величина имеет геометрическое
распределение
, если ее закон
распределения имеет следующий вид: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
p
,
где
.
Замечание1:
Полагая k
= 1,2,…
,
получим геометрическую прогрессию с
первым членом p
и
знаменателем q
(0q
. По этой
причине распределение называют
геометрическим.
Замечание2:
Ряд
сходится и сумма его равна единице.
Действительно сумма ряда равна
. Пример.
Из орудия производится стрельба по
цели до первого попадания. Вероятность
попадания в цель p
= 0,6
. Найти вероятность того, что
попадание произойдет при третьем
выстреле. Решение:
По условию p
= 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k
= 3.
Искомая вероятность равна: P
(X
= 3) = 0,4
2
·0,6
= 0,096.
Рассмотрим
следующую задачу. Пусть в партии из N
изделий имеется M
стандартных (M
N
).
Из партии случайно отбирают n
изделий (каждое изделие может быть
извлечено с одинаковой вероятностью),
причем отобранное изделие перед отбором
следующего не возвращается в партию
(поэтому формула Бернулли здесь не
применима).
Обозначим
через X
случайную
величину – число m
стандартных изделий среди n
отобранных. Тогда возможными значениями
X
будут 0, 1, 2,…, min
; обозначим их и, ... по
значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел
... ... методические
указания
по
выполнению практических работ 5.1 Методические
рекомендации по
выполнению учебных проектов 5.2 Методические
рекомендации по
... чувствительности), одномерного
и многомерного... случайного
компонента в величине
... с разделом
«Представление... ... разделов
в учебниках. Решение задач по
каждой теме. Проработка методических
указаний
к лабораторным работам по
... случайной
и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические
указания
по
... Частица в одномерной
потенциальной яме. ... ... Методические
указания
к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по
... величиной
, а наибольшей суммой величин
... массива случайными
числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный
массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе
реализации после...
1.2.
р4=0,1; 0 при х≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,
,
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .
,
.
.
.
.
.
.
. Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: 
. .
.
.
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0,2
,
.
.
.
.
.
. .
. .
, а интенсивность отказов равна .
4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
.
.
.
.
.
.
.
.
Найдём
неопределённый интеграл:
.
.5. Типовые распределения дискретных
случайных величин
5.1. Распределение Бернулли
5.2. Биномиальное распределение
того, что событие A
появится в n
испытаниях
ровно k
раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n
)
значению функции
,
где
,
.
,
даны в приложении 1, причем
.
Функция
является плотностью стандартного
нормального распределения (смотри
нормальное распределение).
.
По таблице приложения 1 находим
.
Тогда искомая вероятность будет:
того, что событие A
появится в n
испытаниях
от k
1
до
k
2
раз,
приближенно равна определенному
интегралу
,
где
и
.
,
и
.
называют функцией Лапласа (смотри
нормальное распределение). Таблицы, в
которых помещены значения функции
,
даны в приложении 2, причем
.
;
.
и
.
Тогда искомая вероятность равна:5.3. Распределение Пуассона
,
где
и
(постоянное
значение).5.4. Геометрическое
распределение
5.5. Гипергеометрическое
распределение
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»
Учебно-методический комплекс
Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)
Учебно-методический комплекс
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика
Методические указания