Riyaziyyat bir elm kimi praktiki məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar yaranmışdır: yerdə ölçmələr, naviqasiya və s. Nəticə etibarı ilə riyaziyyat ədədi riyaziyyat idi və onun məqsədi ədəd şəklində bir həll əldə etmək idi. Tətbiqi məsələlərin ədədi həlli riyaziyyatçıları həmişə maraqlandırmışdır. Keçmişin ən böyük nümayəndələri öz tədqiqatlarında təbiət hadisələrinin öyrənilməsini, onların riyazi təsvirini əldə etməyi birləşdirdilər, yəni. onun riyazi modeli və tədqiqatı. Mürəkkəb modellərin təhlili məsələlərin həlli üçün xüsusi, adətən ədədi üsulların yaradılmasını tələb edirdi. Bu üsullardan bəzilərinin adları onların dövrünün ən böyük alimləri tərəfindən işlənib hazırlandığını göstərir. Bunlar Nyutonun, Eylerin, Lobaçevskinin, Qaussun, Çebişevin, Hermitin üsullarıdır.
Müasir dövr, əsasən kompüter texnologiyasının yaradılması və inkişafı ilə əlaqəli riyaziyyatın tətbiqlərinin kəskin genişlənməsi ilə xarakterizə olunur. 40 ildən az müddətdə kompüterlərin meydana çıxması nəticəsində əməliyyatların sürəti əllə hesablama ilə saniyədə 0,1 əməliyyatdan müasir kompüterlərdə saniyədə 10 əməliyyata qədər yüksəlmişdir.
Müasir kompüterlərin hər şeyə qadir olması haqqında geniş yayılmış fikir belə bir təəssürat yaradır ki, riyaziyyatçılar məsələlərin ədədi həlli ilə bağlı bütün çətinliklərdən xilas olublar və onların həlli üçün yeni üsulların işlənməsi artıq o qədər də əhəmiyyətli deyil. Reallıqda isə vəziyyət fərqlidir, çünki təkamülün ehtiyacları, bir qayda olaraq, elmin qarşısına onun imkanları astanasında olan vəzifələr qoyur. Riyaziyyatın tətbiqinin genişlənməsi elmin müxtəlif sahələrinin: kimya, iqtisadiyyat, biologiya, geologiya, coğrafiya, psixologiya, tibb, texnologiya və s.-nin riyaziyyatlaşmasına gətirib çıxardı.
İlkin olaraq elmlərin riyaziləşdirilməsi istəyinə səbəb olan iki hal var:
birincisi, yalnız riyazi metodlardan istifadə maddi dünyanın bu və ya digər hadisəsinin öyrənilməsinə kəmiyyət xarakteri verməyə imkan verir;
ikincisi, əsas da budur, yalnız riyazi təfəkkür tərzi obyekt edir. Bu tədqiqat metodu hesablama eksperimenti adlanır - tədqiqat tam obyektivdir.
IN Son vaxtlar biliyin riyaziləşdirilməsi proseslərinə güclü təsir göstərən başqa bir amil də var. Bu, kompüter texnologiyasının sürətli inkişafıdır. Ümumilikdə elmi, mühəndislik və tətbiqi məsələlərin həlli üçün kompüterlərdən istifadə tamamilə onların riyaziləşdirilməsinə əsaslanır.
Mürəkkəb məsələlərin öyrənilməsinin müasir texnologiyası tədqiq olunan problemin riyazi modellərinin adətən kompüterin köməyi ilə qurulmasına və təhlilinə əsaslanır. Adətən, hesablama təcrübəsi, artıq gördüyümüz kimi, bir sıra mərhələlərdən ibarətdir: məsələnin qoyulması, riyazi modelin qurulması (məsələnin riyazi tərtibi), ədədi metodun işlənib hazırlanması, ədədi metodun həyata keçirilməsi üçün alqoritmin hazırlanması, proqram, proqramın sazlanması, hesablamaların aparılması, nəticələrin təhlili.
Beləliklə, hər hansı bir elmi və ya mühəndis probleminin həlli üçün kompüterlərdən istifadə qaçılmaz olaraq real prosesdən və ya hadisədən onun riyazi modelinə keçidlə əlaqələndirilir. Beləliklə, modellərin istifadəsi elmi araşdırma mühəndislik təcrübəsi isə riyazi modelləşdirmə sənətidir.
Model adətən müəyyən bir hadisənin əsas ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərini əks etdirən təmsil olunan və ya maddi cəhətdən reallaşdırılmış sistem adlanır.
Riyazi model üçün əsas tələblər nəzərdən keçirilən hadisənin adekvatlığıdır, yəni. adekvat şəkildə əks etdirməlidir xarakter xüsusiyyətləri hadisələr. Eyni zamanda, tədqiqatın müqayisəli sadəliyi və əlçatanlığı olmalıdır.
Riyazi model tədqiq olunan hadisənin baş verməsi şərtləri ilə onun müəyyən riyazi konstruksiyalarda nəticələri arasında asılılığı əks etdirir. Ən çox istifadə edilən strukturlar: riyazi anlayışlar Açar sözlər: funksiya, funksional, operator, ədədi tənlik, adi diferensial tənlik, qismən diferensial tənlik.
Riyazi modelləri müxtəlif meyarlara görə təsnif etmək olar: statik və dinamik, cəmlənmiş və paylanmış; deterministik və ehtimal.
Qeyri-xətti tənliyin köklərinin tapılması məsələsini nəzərdən keçirək
(1) tənliyinin kökləri x-in o qiymətləridir ki, əvəz etdikdə onu eyniliyə çevirir. Yalnız ən sadə tənliklər üçün düsturlar şəklində həll tapmaq mümkündür, yəni. analitik forma. Daha tez-tez tənlikləri təxmini üsullarla həll etmək lazımdır, bunlardan ən çox yayılmışı kompüterlərin yaranması ilə əlaqədar olaraq ədədi üsullardır.
Köklərin təxmini üsullarla tapılması alqoritmini iki mərhələyə bölmək olar. Birincisi, köklərin yeri öyrənilir və onların ayrılması aparılır. Tənliyin kökünün və ya x 0 kökünə ilkin yaxınlaşmanın olduğu sahə var. Ən sadə yol Bu məsələnin həlli f(x) funksiyasının qrafikini öyrənməkdir. Ümumi halda onu həll etmək üçün bütün riyazi analiz vasitələrini cəlb etmək lazımdır.
(1) tənliyinin ən azı bir kökünün tapılmış intervalında mövcudluğu Bolzano şərtindən irəli gəlir:
f(a)*f(b)<0 (2)
Həmçinin f(x) funksiyasının verilmiş seqmentdə kəsilməz olduğu qəbul edilir. Lakin bu şərt verilmiş intervalda tənliyin köklərinin sayı ilə bağlı suala cavab vermir. Əgər funksiyanın fasiləsizliyi tələbi onun monotonluğu tələbi ilə tamamlanırsa və bu, birinci törəmənin işarə sabitliyindən irəli gəlirsə, onda verilmiş seqmentdə unikal kökün mövcudluğunu təsdiq edə bilərik.
Kökləri lokallaşdırarkən bu tip tənliyin əsas xüsusiyyətlərini bilmək də vacibdir. Məsələn, cəbri tənliklərin bəzi xassələrini xatırlayın:
real əmsallar haradadır.
- a) n dərəcəli tənliyin n kökü var, onların arasında həm həqiqi, həm də mürəkkəb olanlar ola bilər. Mürəkkəb köklər mürəkkəb birləşmiş cütlər əmələ gətirir və buna görə də tənlikdə belə köklərin sayı cüt olur. N-nin tək dəyəri üçün ən azı bir həqiqi kök var.
- b) Müsbət həqiqi köklərin sayı əmsallar ardıcıllığında dəyişən işarələrin sayından az və ya ona bərabərdir. (3) tənliyində x-in -x ilə əvəz edilməsi mənfi köklərin sayını eyni şəkildə təxmin etməyə imkan verir.
(1) tənliyinin həllinin ikinci mərhələsində, əldə edilmiş ilkin yaxınlaşmadan istifadə edərək, kökün dəyərini əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə dəqiqləşdirməyə imkan verən iterativ bir proses qurulur. İterativ proses ilkin yaxınlaşmanın ardıcıl dəqiqləşdirilməsindən ibarətdir. Hər bir belə addım iterasiya adlanır. İterasiya prosesi nəticəsində tənliyin köklərinin təxmini dəyərlərinin ardıcıllığı tapılır. Əgər bu ardıcıllıq n böyüdükcə x kökünün həqiqi qiymətinə yaxınlaşırsa, iterativ proses yaxınlaşır. Aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə, iterativ prosesin ən azı m sırasına yaxınlaşdığı deyilir:
burada С>0 müəyyən sabitdir. Əgər m=1 olarsa, onda birinci dərəcəli yaxınlaşmadan danışılır; m=2 - kvadrat haqqında, m=3 - kub yaxınlaşma haqqında.
Verilən icazə verilən xəta üçün mütləq və ya nisbi kənarlaşmalar üçün meyarlar yerinə yetirildikdə iterativ dövrlər başa çatır:
və ya qalığın kiçikliyi:
Bu iş Nyuton metodundan istifadə etməklə qeyri-xətti tənliklərin həlli alqoritminin öyrənilməsinə həsr edilmişdir.
Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün bir çox müxtəlif üsullar var, onlardan bəziləri aşağıda təqdim olunur:
- 1)İterasiya üsulu. Qeyri-xətti tənliyi təkrarlama ilə həll edərkən tənlikdən x=f(x) şəklində istifadə edirik. Arqumentin ilkin qiyməti x 0 və dəqiqliyi e verilmişdir.X 1 həllinin birinci yaxınlaşması x 1 \u003d f (x 0), ikincisi - x 2 \u003d f (x 1) ifadəsindən tapılır. və s. Ümumi halda i+1 yaxınlaşması xi+1 =f(xi) düsturu ilə tapılır. Bu proseduru |f(xi)|>e qədər təkrar edirik. İterasiya metodunun yaxınlaşması şərti |f"(x)|
- 2)Nyuton üsulu. Nyuton üsulu ilə qeyri-xətti tənliyi həll edərkən arqumentin ilkin qiyməti x 0 və dəqiqliyi e təyin edilir.Sonra (x 0, F (x 0)) nöqtəsində F (x) qrafikinə tangens çəkirik. ) və absis oxu ilə tangensin kəsişmə nöqtəsini təyin edin x 1. (x 1, F (x 1)) nöqtəsində yenidən bir tangens qururuq, istədiyiniz həllin növbəti təxmini x 2-ni tapırıq və s. Bu proseduru |F(xi)|-ə qədər təkrar edirik > e) Teğetin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini (i + 1) təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edirik.
x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).
Tangens metodu üçün yaxınlaşma şərti F(x 0) F""(x)>0 və s.
3). dixotomiya üsulu. Həll texnikası düstura görə ilkin qeyri-müəyyənlik intervalının tədricən yarıya bölünməsinə qədər azaldılır.
C-dən \u003d a-dan +-dən / 2-yə.
Yaranan iki seqmentdən lazım olanı seçmək üçün yaranan seqmentlərin sonunda funksiyanın qiymətini tapmaq və funksiyanın işarəsini dəyişəcəyi, yəni f ( şərtini) nəzərdən keçirmək lazımdır. ak) * f (k)<0.
Seqmentin bölünməsi prosesi cari qeyri-müəyyənlik intervalının uzunluğu göstərilən dəqiqlikdən az olana qədər aparılır, yəni k - a k ilə.< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.
4). akkord üsulu. Metodun ideyası ondan ibarətdir ki, y=f(x) funksiyasının qrafikinin qövsünün uclarını və akkordun absis oxu ilə kəsişdiyi c nöqtəsini daraldan seqment üzərində akkord qurulur. , kökün təxmini qiyməti hesab olunur
c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),
c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).
Növbəti yaxınlaşma intervalda və ya a,b,c nöqtələrində funksiya qiymətlərinin işarələrindən asılı olaraq axtarılır.
x* O əgər f(c) H f(a) > 0 ;
x* O əgər f(c) x f(b)< 0 .
Əgər f "(x) işarəsini -ə dəyişməzsə, c \u003d x 1 işarəsi ilə və ilkin yaxınlaşma kimi a və ya b nəzərə alınarsa, sabit sağ və ya sol nöqtə ilə akkord metodunun iterativ düsturlarını alırıq.
x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), f "(x) H f "(x)\u003e 0 ilə;
x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), f "(x) H f "(x) ilə< 0 .
Akkord metodunun yaxınlaşması xəttidir
Cəbr və transsendental tənliklər. Kök lokalizasiya üsulları.
Qeyri-xətti tənliyin ən ümumi forması:
f(x)=0 (2.1)
funksiyası haradadır f(x) sonlu və ya sonsuz [a, b] intervalında müəyyən edilmiş və davamlıdır.
Tərif 2.1. Funksiyanı tərsinə çevirən istənilən ədəd f(x) sıfıra (2.1) tənliyinin kökü deyilir.
Tərif 2.2. Ədəd funksiya ilə birlikdə olarsa, k-ci çoxluğun kökü adlanır f(x) onun (k-1)-ci sıra daxil olmaqla törəmələri sıfıra bərabərdir:
Tərif 2.3. Tək kökə sadə kök deyilir.
Bir dəyişənli qeyri-xətti tənliklər cəbri və transsendental tənliklərə bölünür.
Tərif 2.4 . F(x) funksiyası cəbrdirsə (2.1) tənliyi cəbri adlanır.
Cəbri çevrilmələrlə istənilən cəbri tənlikdən kanonik formada tənlik əldə etmək olar:
tənliyin həqiqi əmsalları haradadır, x naməlumdur.
Cəbrdən məlumdur ki, hər bir cəbri tənliyin ən azı bir həqiqi və ya iki mürəkkəb qoşma kökü vardır.
Tərif 2.5. F(x) funksiyası cəbri deyilsə (2.1) tənliyi transsendental adlanır.
(2.1) tənliyinin həlli deməkdir:
- 1. Tənliyin köklərinin olub olmadığını müəyyən edin.
- 2. Tənliyin köklərinin sayını təyin edin.
- 3. Verilmiş dəqiqliklə tənliyin köklərinin qiymətlərini tapın.
Təcrübədə rast gəlinən tənlikləri çox vaxt həll etmək olmur analitik üsullar. Belə tənliklərin həlli üçün ədədi üsullardan istifadə olunur.
Ədədi metoddan istifadə edərək tənliyin kökünü tapmaq alqoritmi iki mərhələdən ibarətdir:
- 1) şöbəsi və ya lokalizasiya kök, yəni. bir kök ehtiva edən interval təyin etmək:
- 2) aydınlaşdırılması kök dəyərləri ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə.
Kök lokalizasiya üsulları. Nəzəri əsas kök ayırma alqoritmi fasiləsiz funksiyanın aralıq dəyərlərinə dair Koşi teoremidir.
Teorem 2.1. Əgər y \u003d f (x) funksiyası [a, b] və f (a) \u003d A, f (b) \u003d B seqmentində davamlıdırsa, A və B arasında yerləşən hər hansı bir C nöqtəsi üçün var. bir məqam ki.
Nəticə. Əgər y \u003d f (x) funksiyası [a, b] seqmentində davamlıdırsa və uclarında müxtəlif işarələrin qiymətlərini alırsa, bu seqmentdə f (x) tənliyinin ən azı bir kökü var. \u003d 0.
Funksiyanın təyini və fasiləsizliyi sahəsi sonlu seqment olsun [a,b]. Seqmenti bölün n hissələri: ,
Nöqtələrdə funksiyanın dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq, şərtin ödənildiyi seqmentləri tapırıq:
olanlar. , və ya, . Bu seqmentlər ən azı bir kök ehtiva edir.
Teorem 2.2. y \u003d f (x) funksiyası [a; b) seqmentində davamlıdırsa, f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.
Kökləri ayırmaq üçün funksiyanın qrafikindən də istifadə edə bilərsiniz saat= f (X).(2.1) tənliyinin kökləri həmin qiymətlərdir X, burada y=f(x) funksiyasının qrafiki x oxunu kəsir. Bir funksiyanın qrafikinin qurulması, hətta aşağı dəqiqliklə belə, adətən (2.1) tənliyinin köklərinin yeri haqqında fikir verir. Əgər y \u003d f (x) funksiyasının qrafikini çəkmək çətinlik yaradırsa, ilkin tənlik (2.1) formaya çevrilməlidir. c1(x)= c2(x) belə ki, funksiyaların qrafikləri saat= c1(x) Və saat= c2(x) olduqca sadə idi. Bu qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin absisləri (2.1) tənliyinin kökləri olacaqdır.
Misal 1 x 2 -2cosx=0 tənliyinin köklərini ayırın.
Həll. Kökləri ayırmağın iki yolunu nəzərdən keçirək.
- a) Qrafik üsul. Tənliyi x 2 =2cosx şəklində yenidən yazaq və eyni koordinat sistemində y=x 2 və y=2cosx funksiyalarının qrafikini quraq (şəkil 5). bu qrafiklər iki nöqtədə kəsişdiyinə görə tənliyin (-/2; 0) və (0; /2) intervallarında mənşəyə görə simmetrik olaraq yerləşən iki kökü var.
- b) Analitik metod. Qoy olsun f(x)= x 2 -2cosx. Çünki f(x) cüt funksiyadır, yalnız x-in mənfi olmayan qiymətlərini nəzərə almaq kifayətdir. 2cosx2 bərabərsizliyinə görə
törəmə f"(x)=2(x+sinx). İntervalda (0; /2) f"(x)>0, buna görə də, f(x) burada monoton şəkildə artır və onun qrafiki oxu keçə bilər X bir nöqtədən çox deyil. qeyd et ki f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Bu o deməkdir ki, tənliyin (0; /2) intervalında yerləşən bir müsbət kökü var. Funksiya cüt olduğundan, tənliyin də müsbətə simmetrik olan bir mənfi kökü var. İndi kökün dəqiqləşdirilməsinə keçək. Birləşdirilmiş kök zərifləşdirmə üsulunu tətbiq etmək üçün əmin olmalısınız f ""(x) on (0; /2) işarəni saxlayır və tangens metodunu tətbiq etmək üçün kökün ilkin yaxınlaşmasını seçin. O, şərti təmin etməlidir: f(x)f ""(x)>0. Çünki f ""(x)=2(1+cosx) üzərində müsbətdir, onda tangens metodunda kökün ilkin yaxınlaşması kimi /2 götürülə bilər. Buna görə də qoymaq olar x=/21,570796, x 1 =0 (alqoritm diaqramına baxın). Bizim vəziyyətimizdə, akkord üsulu bir mənfi ilə kökün təxmini dəyərini, tangens üsulu isə artıqlığı ilə verəcəkdir.
Kök zərifliyinin bir iterativ addımını nəzərdən keçirin. Dəyərləri hesablayın f(0), f(/2), f"(/2). Yeni dəyərlər x 1 Və x müvafiq olaraq düsturlarla tapın:
|x-x 1 |=0,387680,4>10 -4 =.
Göstərilən dəqiqliyə nail olunmayıb və hesablamalar davam etdirilməlidir.
|
İterasiya nömrəsi |
x 1 |
f(x 1 ) |
|x-x 1 | |
|||
Buna görə də kökün tələb olunan dəqiqliklə təxmini qiyməti üç təkrarlama nəticəsində tapılmışdır və təxminən 1,0217-ə bərabərdir.
Funksiya qrafikinin simmetriyasına görə f(x) ikinci kökün qiyməti təxminən -1,0217-ə bərabərdir.
Kökün aydınlaşdırılması.
Problemin formalaşdırılması . Fərz edək ki, (2.1) tənliyinin istənilən kökü ayrılıb, yəni. seqment [a; b], tənliyin bir və yalnız bir kökü olan. Bu seqmentin istənilən nöqtəsi kökün təxmini qiyməti kimi qəbul edilə bilər. Bu yaxınlaşmanın xətası uzunluğu keçmir [Amma; b]. Nəticə etibarilə, verilmiş dəqiqliklə kökün təxmini qiymətinin tapılması məsələsi [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей kök təkmilləşdirmələri.
Rəqəmsal metodların təsviri. Ədədi üsullar əldə edilən nəticələrin müəyyən bir xəta ilə hesablanacağını əvvəlcədən bilməklə müəyyən problemlərin həlli yollarını tapmağa imkan verir, buna görə də bir çox ədədi üsullar üçün nəticədə həll olunan “dəqiqlik səviyyəsini” əvvəlcədən bilmək lazımdır. uyğun olacaq.
Bu baxımdan (3.1) formalı çoxhədlinin köklərinin tapılması məsələsi.
xüsusi maraq doğurur, çünki hətta kub tənliyinin köklərini tapmaq üçün düsturlar olduqca mürəkkəbdir. Dərəcəsi, məsələn, 5 olan çoxhədlinin köklərini tapmaq lazımdırsa, ədədi üsulların köməyi olmadan edə bilməzsiniz, xüsusən belə bir çoxhədlinin təbii (və ya tam və ya dəqiq köklərə malik olma ehtimalı) "qısa" kəsr hissəsi) olduqca kiçikdir və 4-dən böyük dərəcədə olan tənliyin köklərini tapmaq üçün heç bir düstur yoxdur. De-fakto, bütün sonrakı əməliyyatlar azalacaq köklərin aydınlaşdırılması, onların intervalları təxminən əvvəlcədən məlumdur. Bu "təxmini" kökləri tapmağın ən asan yolu qrafik üsullardan istifadə etməkdir.
Çoxhədlinin köklərini tapmaq üçün bir neçə ədədi üsul var: iterasiya üsulu, akkordlar və tangenslər üsulu, yarımbölmə üsulu, sekant üsulu.
Biseksiya üsulu(həmçinin "seqmentin yarıya bölünmə üsulu" kimi tanınır) həm də rekursivdir, yəni. alınan nəticələri nəzərə alaraq təkrarı nəzərdə tutur.
Yarım bölmə metodunun mahiyyəti belədir:
- - F(x) funksiyası verilmişdir;
- - icazə verilən səhv Q müəyyən edilir;
- - tənliyin həllini dəqiq ehtiva edən bəzi [ a , b ] intervalı müəyyən edilmişdir.
1) Seqmentin ortasını götürərək E koordinatının dəyərini hesablayırıq, yəni.
E \u003d (a + b) / 2 (3.2)
- 2) F(a), F(b), F(E) qiymətlərini hesablayın və aşağıdakı yoxlamanı aparın: Əgər F(E)>Q olarsa, kök müəyyən olunmuş dəqiqliklə tapılır. Əgər F(E)
- 3) 1-ci nöqtəyə keçin.
Metod sadə təkrarlamalar(ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu). (2.1) tənliyini ekvivalent tənliklə əvəz edirik
x=(x) (3.3)
məsələn, müxtəlif yollarla edilə bilər
x=x+cf(x), c0. (3.4)
Fərz edək ki, (3.3) tənliyinin kökünün hansısa ilkin yaxınlaşması seçilib. Düsturlarla ədədi ardıcıllığı təyin edirik
X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)
Belə bir ardıcıllığa iterativ deyilir.
Əgər x 0 və bütün sonrakı təxminlər x n , nN olan seqmentdə (x) funksiyası davamlı "(x) və |"(x)|q törəməsinə malikdir.<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством
Bu bərabərsizlikdən, xüsusən də belə nəticə çıxır ki, sadə iterasiya metodunun yaxınlaşma sürəti q qiymətindən asılıdır: q nə qədər kiçik olarsa, yaxınlaşma da bir o qədər tez olar.
Buna görə də praktikada sadə təkrarlama üsulu ilə kökləri taparkən (2.1) tənliyini (3.3) formasında elə təqdim etmək məqsədəuyğundur ki, kökün qonşuluğunda olan “(x) törəməsi mümkün olsun. mütləq qiymətindən kiçikdir.Bunun üçün bəzən düsturdan c parametrindən istifadə olunur (3.4).
Nyuton üsulu (tangens üsulu). Aşağıdakı bərabərsizliyin mövcud olduğu kifayət qədər yaxşı ilkin yaxınlaşma məlumdursa:
onda Nyuton düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablaya bilərsiniz
İlkin yaxınlaşma olaraq, intervalın sərhədlərindən istifadə edə bilərsiniz və:
Əgər varsa.
Bu metodun hər iterasiyası zamanı hesablamaların miqdarı bisection və iterasiya üsullarından daha çox olur, çünki təkcə funksiyanın qiymətini deyil, həm də onun törəməsini tapmaq lazımdır. Lakin Nyuton metodunun yaxınlaşma dərəcəsi daha yüksəkdir.
teorem. Tənliyin kökü olsun, yəni. , və davamlıdır. Sonra kökün elə qonşuluğu var ki, ilkin yaxınlaşma bu məhəlləyə aiddirsə, Nyuton metodu üçün dəyərlər ardıcıllığı at-a yaxınlaşır. Kökün yaxınlaşdırılmasının səhvini düsturla qiymətləndirmək olar:
burada seqment üzrə ikinci törəmənin modulunun ən böyük qiyməti, seqment üzrə birinci törəmənin modulunun ən kiçik qiymətidir.
Dayanma qaydası:
Akkordlar və tangenslər üsulu (birləşdirilmiş). Bu üsul funksiyanın sxematik qrafikinin qurulmasına, onun absis oxu ilə kəsişmə intervallarının təyin edilməsinə və sonra bu funksiyanın qrafikinə qurulmuş akkordlar və tangenslərdən istifadə edərək bu intervalın “sıxılmasına” əsaslanır.
Qeyd etmək lazımdır ki, ayrıca akkordlar (çatışmazlıqla kökün qiymətini verir) və tangenslər (artı ilə) üsulu da var. Bununla birlikdə, birləşdirilmiş metodun üstünlüyü nəzərdən keçirilən seqmentin "iki tərəfli sıxılması"ndadır.
Aşağıdakı halı nəzərdən keçirin:
- - F(x) funksiyası verilmiş və onun qrafiki qurulmuşdur;
- - icazə verilən xəta Q müəyyən edilir
- - qrafik əsasında funksiyanın qrafikinin absis oxunu kəsdiyi seqment müəyyən edilir, buna görə də bu seqmentdə nəzərdən keçirilən polinomun kökü var (onu A ilə işarə edirik)
Növbəti alqoritm aşağıdakı hərəkətlərə endirilir:
- 1) F(b) nöqtəsində funksiyanın qrafikinə tangens qururuq.
- 2) (3.9) düsturuna uyğun olaraq tangensin absis oxu ilə kəsişməsinin x koordinatını hesablayırıq və onu b " ilə işarə edirik.
- 3) F(a) və F(b) nöqtələrindən keçən funksiyanın qrafikinə akkord qururuq.
- 4) Akkordun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini (2) düsturuna əsasən hesablayırıq və a" ilə işarə edirik.
Beləliklə, (akkord və tangensin təriflərinə görə) hələ də A tənliyinin həllini ehtiva edən yeni bir seqment alırıq.
İndi biz seqmenti yeni seqment kimi götürürük və F (b) - F (a) fərqi ilkin daxil edilmiş səhv Q-dan az olana qədər 1-4-cü addımları təkrarlayırıq. Həmçinin qeyd edirik ki, bundan sonra arifmetik ortanı götürmək tövsiyə olunur. İstənilən həll (a) və F(b) kimi F.
Beləliklə, akkord (tangens) kökün qiymətini artıqlığı ilə verirsə, bu kök yeni sağ sərhəd kimi, çatışmazlıq varsa, sol sərhəd alınır. Hər iki halda, dəqiq kök akkordun kəsişmə nöqtələri ilə absis oxu ilə tangens arasında yerləşir.
Akkordlar və tangenslər üsuluna dair qeydlər. Məsələnin həlli F(x) funksiyasının törəməsinin tapılmasını tələb etdiyindən akkordlar və tangenslər metodunu proqram səviyyəsində həyata keçirmək kifayət qədər çətindir, çünki törəmələrin ümumi formada hesablanması qaydaları kompüterin "anlanması" üçün kifayət qədər çətin olur; polinomun hər dərəcəsi üçün törəmə birbaşa göstərildikdə, kompüter yaddaşı ciddi şəkildə yüklənir, bu da işi xeyli ləngidir və funksiyanın və müvafiq olaraq onun törəməsinin birbaşa proqram kodunda qurulması qəbuledilməzdir. Bununla belə, bu üsuldan istifadə edərək, intervalın kökə yaxınlaşması ən tez baş verir, xüsusən də akkordlar və tangenslər üsulu biseksiya üsulu ilə birləşdirildikdə, çünki yeni seqmentin ortası tez-tez tamamilə qənaətbəxş bir həll verir.
Sekant üsulu. Sekant metodu Nyuton metodundan törəməni təxmini ifadə ilə - fərq düsturu ilə əvəz etməklə əldə edilə bilər:
Formula (3.8) əvvəlki iki təxmini u istifadə edir. Buna görə də, verilmiş ilkin dəyər üçün, məsələn, düsturla törəmənin təxmini dəyişdirilməsi ilə Nyuton üsulu ilə növbəti yaxınlaşmanı hesablamaq lazımdır.
Sekant metodunun alqoritmi:
1) ilkin qiymət və xəta verilir. Hesablayın
2) üçün n= 1,2, ….. şərt ödənildikdə (3.8) düsturla hesablayırıq.
Bir neçə törəməsi ilə birlikdə fasiləsiz olan funksiya verilsin. Tənliyin bütün və ya bəzi həqiqi köklərini tapmaq tələb olunur
Bu tapşırıq bir neçə alt vəzifəyə bölünür. Birincisi, köklərin sayını müəyyən etmək, onların təbiətini və yerini araşdırmaq lazımdır. İkincisi, köklərin təxmini dəyərlərini tapın. Üçüncüsü, onlardan bizi maraqlandıran kökləri seçmək və lazımi dəqiqliklə hesablamaq. Birinci və ikinci vəzifələr, bir qayda olaraq, analitik və ya qrafik üsullarla həll edilir. (1) tənliyinin yalnız həqiqi kökləri axtarıldığı halda, funksiya qiymətlərinin cədvəlini tərtib etmək faydalıdır. Cədvəlin iki qonşu qovşağında funksiyanın fərqli işarələri varsa, bu qovşaqlar arasında tənliyin tək sayda kökü (ən azı bir) yerləşir. Bu qovşaqlar yaxındırsa, çox güman ki, onların arasında yalnız bir kök var.
Köklərin tapılmış təxmini dəyərləri müxtəlif iterativ üsullardan istifadə edərək dəqiqləşdirilə bilər. Üç üsulu nəzərdən keçirək: 1) dixotomiya üsulu (yaxud seqmentin yarıya bölünməsi); 2) sadə təkrarlama metodu və 3) Nyuton üsulu.
Problemin həlli üsulları
Biseksiya üsulu
Qeyri-xətti tənliyin (1) kökünü tapmaq üçün ən sadə üsul yarımbölmə üsuludur.
Seqmentdə davamlı funksiya verilsin.Seqmentin sonunda funksiyanın qiymətləri fərqli işarələrə malikdirsə, yəni. onda bu o deməkdir ki, verilmiş seqmentin daxilində tək sayda kök var. Qoy, dəqiqlik üçün, yalnız bir kök olsun. Metodun mahiyyəti hər iterasiyada seqmentin uzunluğunu yarıya endirməkdir. Seqmentin ortasını tapırıq (şək. 1-ə baxın) Funksiyanın qiymətini hesablayın və funksiyanın işarəsini dəyişdiyi seqmenti seçin. Yeni seqmenti yenidən yarıya bölün. Və bu prosesi seqmentin uzunluğu kökün hesablanmasında əvvəlcədən müəyyən edilmiş xətaya bərabər olana qədər davam etdiririk. Formula (3) uyğun olaraq bir neçə ardıcıl yaxınlaşmanın qurulması Şəkil 1-də göstərilmişdir.
Beləliklə, dixotomiya metodunun alqoritmi:
1. Interval və xətanı təyin edin.
2. Əgər f(a) və f(b) işarələri eynidirsə, kökü tapmağın mümkünsüzlüyü barədə xəbər verin və dayandırın.
Şəkil 1.
3. Əks halda c=(a+b)/2 hesablayın
4. Əgər f(a) və f(c) fərqli işarələrə malikdirsə, b=c, əks halda a=c qoyun.
5. Əgər yeni seqmentin uzunluğu, onda c=(a+b)/2 kökünün qiymətini hesablayın və dayandırın, əks halda 3-cü addıma keçin.
N addımda seqmentin uzunluğu 2 N dəfə azaldığından, iterasiyalarda kökün tapılmasında verilmiş xətaya çatılacaq.
Göründüyü kimi, yaxınlaşma sürəti aşağıdır, lakin metodun üstünlüklərinə təkrarlanan prosesin sadəliyi və qeyd-şərtsiz yaxınlaşması daxildir. Seqmentdə birdən çox kök varsa (lakin tək ədəd), onda biri həmişə tapılacaq.
Şərh. Kökün yerləşdiyi intervalı müəyyən etmək üçün ya analitik təxminlərə, ya da qrafik həll metodunun istifadəsinə əsaslanan funksiyanın əlavə təhlili tələb olunur. Funksiya işarəsinin dəyişdirilməsi şərti yerinə yetirilənə qədər müxtəlif nöqtələrdə funksiya dəyərlərinin axtarışını təşkil etmək də mümkündür
Məqsəd
Qeyri-xətti tənliklərin həllinin əsas üsulları və onların MathCAD paketində həyata keçirilməsi ilə tanış olmaq.
Təlimatlar
Mühəndis tez-tez qeyri-xətti tənlikləri yazmalı və həll etməlidir ki, bu da müstəqil tapşırıq və ya daha mürəkkəb tapşırıqların bir hissəsi ola bilər. Hər iki halda həll metodunun praktiki dəyəri alınan həllin sürəti və səmərəliliyi ilə müəyyən edilir və müvafiq metodun seçimi baxılan problemin xarakterindən asılıdır. Qeyd etmək vacibdir ki, kompüter hesablamalarının nəticələrinə həmişə tənqidi yanaşmaq, inandırıcılıq üçün təhlil etmək lazımdır. Ədədi metodları tətbiq edən hər hansı bir standart paketdən istifadə edərkən "tələbələrin" qarşısını almaq üçün müəyyən bir problemi həll etmək üçün hansı ədədi metodun tətbiq olunduğu barədə ən azı minimal təsəvvürə sahib olmalısınız.
Qeyri-xətti tənlikləri 2 sinfə bölmək olar - cəbri və transsendental. Cəbri tənliklər yalnız cəbri funksiyaları (bütün - xüsusilə, bir çoxhədli, rasional, irrasional) ehtiva edən tənliklər adlanır. Digər funksiyaları (triqonometrik, eksponensial, loqarifmik və s.) ehtiva edən tənliklər adlanır. transsendent. Qeyri-xətti tənliklər həll edilə bilər dəqiq və ya təxminiüsulları. Dəqiq üsullar kökləri hansısa sonlu əlaqə (düstur) şəklində yazmağa imkan verir. Təəssüf ki, əksər transsendental tənliklərin, eləcə də dörddən yuxarı dərəcəyə malik ixtiyari cəbr tənliklərinin analitik həlləri yoxdur. Bundan əlavə, tənliyin əmsalları yalnız təqribən bilinə bilər və buna görə də köklərin dəqiq təyini probleminin özü mənasını itirir. Buna görə də həll yolu üçün iterativ üsullar ardıcıl yaxınlaşma. Əvvəlcə birinci izləyir kökləri ayırın(yəni onların təxmini dəyərini və ya onları ehtiva edən seqmenti tapın) və sonra ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə onları dəqiqləşdirin. Funksiyanın işarələrini təyin etməklə kökləri ayıra bilərsiniz f(x) və onun mövcud olduğu bölgənin sərhəd nöqtələrində törəməsi, problemin fiziki mənasından və ya oxşar problemin digər ilkin məlumatlarla həllindən təxmini dəyərləri qiymətləndirir.
Geniş yayılmış qrafik üsul həqiqi köklərin təxmini dəyərlərini təyin etmək - funksiyanın qrafikini qurmaq f(x) və ox ilə kəsişmə nöqtələrini qeyd edin OH. Tez-tez tənliyi əvəz etməklə qrafiki sadələşdirmək olar f(x)= 0 ekvivalent tənliklə , burada funksiyalar f 1 (x) Və f 2 (x) - funksiyadan daha sadə f(x). Bu vəziyyətdə, bu qrafiklərin kəsişmə nöqtəsini axtarmalısınız.
Misal 1 Tənliyin köklərini qrafik şəkildə ayırın x lg x= 1. Onu lg bərabərliyi kimi yenidən yazın x= 1/x və loqarifmik əyrinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapın y= log x və hiperbola y= 1/x (Şəkil 5). Tənliyin tək kökü olduğu görülə bilər.
MathCAD paketində klassik təxmini həll üsullarının tətbiqi.
Yarım bölmə üsulu
Sonlarında funksiyanın müxtəlif işarələrin dəyərlərini qəbul etdiyi seqment yarıya bölünür və kök mərkəzi nöqtənin sağında yerləşirsə, sol kənar mərkəzə çəkilir və əgər sol, sonra sağ kənar. Yeni daralmış seqment yenidən yarıya bölünür və prosedur təkrarlanır. Bu üsul sadə və etibarlıdır, həmişə birləşir (baxmayaraq ki, tez-tez yavaş-yavaş - sadəliyin dəyəri!). Onun proqram təminatının MathCAD paketində tətbiqi bu təlimatın 7 saylı laboratoriya işində nəzərdən keçirilir.
akkord üsulu
Tənliyin kökünə ardıcıl yaxınlaşmalar olaraq, dəyərlər alınır X 1 , X 2 , ..., x n akkordun kəsişmə nöqtələri AB absis oxu ilə (şək. 6).
Akkord tənliyi AB formasına malikdir: . Onun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi üçün ( x=x 1 ,y= 0) bizdə:
Qoy, dəqiqlik üçün əyri olsun saat = f(x) aşağıya doğru qabarıq olacaq və buna görə də akkordunun altında yerləşir AB, yəni. seqmentdə f²( x)>0. İki hal mümkündür: f(Amma)>0 (Şəkil 6, Amma) Və f(Amma)<0 (рис. 6, b).
Birinci halda, bitir Amma hərəkətsiz. Ardıcıl təkrarlamalar məhdud monoton azalan ardıcıllıq əmələ gətirir və tənliklərə əsasən müəyyən edilir:
x 0 = b; . (4.1)
İkinci halda, son sabitlənir b, ardıcıl təkrarlamalar məhdud monoton artan ardıcıllıq əmələ gətirir: və tənliklərə əsasən müəyyən edilir:
x 0 = Amma; . (4.2)
Beləliklə, funksiyanın işarəsi olan sabit son seçilməlidir f(X) və onun ikinci törəməsi f²( X) üst-üstə düşür və ardıcıl yaxınlaşmalar x n bu işarələrin əks olduğu x kökünün o biri tərəfində yatır. İterativ proses iki ardıcıl yaxınlaşmanın fərqinin modulu həllin verilmiş dəqiqliyindən az olana qədər davam edir.
Misal 2 Tənliyin müsbət kökünü tapın f(x) º x 3 –0,2x 2 –0,2X e= 0,01 dəqiqliyi ilə –1,2 = 0. (Tənliyin dəqiq kökü x = 1.2-dir).
MathCAD sənədində iterativ hesablamaları təşkil etmək üçün funksiyadan istifadə olunur qədər( a, z), kəmiyyətin dəyərini qaytarır z ifadə edərkən a mənfiyə çevrilmir.
Nyuton üsulu
Bu metodun əvvəlkindən fərqi ondan ibarətdir ki, hər addımda akkord əvəzinə əyriyə bir tangens çəkilir. y=f(x)at x=x i və onun absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi axtarılır (şək. 7):
Bu halda, tənliyin kökünü ehtiva edən [a, b] seqmentini təyin etmək lazım deyil), ancaq eyni olması lazım olan x \u003d x 0 kökünün ilkin yaxınlaşmasını təyin etmək kifayətdir. [a, b] intervalının sonu, burada funksiyanın işarələri və onun ikinci törəməsi uyğun gəlir.
Əyriyə çəkilmiş tangensin tənliyi y=f(x) nöqtəsi vasitəsilə IN 0 koordinatları ilə X 0 və f(X 0) formaya malikdir:
Buradan kökün aşağıdakı yaxınlaşmasını tapırıq X 1 ox ilə tangensin kəsişmə nöqtəsinin absisi kimi Oh(y= 0):
Eynilə, sonrakı təxminləri nöqtələrdə çəkilmiş tangenslərin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri kimi tapmaq olar. 1-də, IN 2 və s. üçün düstur ( i + 1) yaxınlaşma aşağıdakı formada olur:
İterativ prosesin dayandırılmasının şərti ï bərabərsizliyidir f(x i)ï Misal 3.
Nyutonun iterativ metodunun həyata keçirilməsi. Sadə təkrarlama üsulu ( ardıcıl təkrarlamalar)
Orijinal qeyri-xətti tənliyi əvəz edək f(X)=0 formasının ekvivalent tənliyi ilə x=j( x). Kökün ilkin yaxınlaşması məlumdursa x = x 0 , onda düsturla yeni bir yaxınlaşma əldə edilə bilər: X 1 =j( X 0). Bundan əlavə, hər dəfə kökün yeni dəyərini orijinal tənliyə əvəz edərək, dəyərlər ardıcıllığını əldə edirik: Metodun həndəsi şərhi ondan ibarətdir ki, tənliyin hər bir həqiqi kökü kəsişmə nöqtəsinin absisidir. Məyri y= j( X) düz xətt ilə y=x(şək. 8). İxtiyari t-dən ayrılaraq. AMMA 0 [x 0 ,j( x 0)] ilkin yaxınlaşma ,
qırıq bir xətt çəkirik AMMA 0 IN 1 AMMA 1 IN 2 AMMA 2 .., "nərdivan" şəklində olan (şək. 8, Amma) j’(x) törəməsi müsbətdirsə və “spiral” forması (şək. 8, b) əks halda. Qeyd edək ki, j( əyrisinin düzlüyünü əvvəlcədən yoxlamaq lazımdır. X), çünki kifayət qədər düz deyilsə (>1), onda iterasiya prosesi divergent ola bilər (şək. 8, in). Misal 4 .
Tənliyi həll edin x 3 – x– 1 = 0 sadə təkrarlama üsulu ilə e = 10 -3 dəqiqliyi ilə. Bu tapşırığın icrası aşağıdakı MathCAD sənədində təqdim olunur. Daxili MathCAD funksiyaları ilə təxmini həll üsullarının həyata keçirilməsi Funksiyadan istifadəkök Formanın tənlikləri üçün f(x) = 0 funksiyadan istifadə edərək həll tapılır: kök ( f(X
),x,a,b)
, bir dəyər qaytarır X
, seqmentinə aiddir [a, b]
ifadəsi və ya funksiyası olan f(X)
0 olur. Bu funksiyanın həm x, həm də f(x) arqumentləri skalyar olmalıdır və arqumentlər a, b
– isteğe bağlıdır və istifadə olunarsa, həqiqi ədədlər olmalıdır, ilə a< b.
Funksiya tənliyin təkcə real deyil, həm də mürəkkəb köklərini tapmağa imkan verir (mürəkkəb formada ilkin yaxınlaşmanı seçərkən). Tənliyin kökləri yoxdursa, onlar ilkin yaxınlaşmadan çox uzaqda yerləşirlər, ilkin yaxınlaşma real idi və köklər mürəkkəbdirsə, funksiya f(X)
kəsilmələrə malikdir (kökün ilkin yaxınlaşmaları arasında yerli ekstremal), sonra bir mesaj görünəcək (konvergensiya yoxdur). Xətanın səbəbini qrafiki araşdıraraq tapmaq olar f(x).
Bu, tənliyin köklərinin mövcudluğunu tapmağa kömək edəcəkdir f(x) =
0 və əgər varsa, onların təxmini dəyərlərini təyin edin. Kökün ilkin yaxınlaşması nə qədər dəqiq seçilsə, funksiya bir o qədər tez birləşəcək. kök. İfadə üçün f(x) kökü məlumdur Ammaəlavə köklərin tapılması f(x) tənliyin köklərinin tapılmasına bərabərdir h(x)=f(x)/(x-a). İfadənin kökünü tapmaq daha asandır h(x) tənliyin başqa kökünü tapmağa çalışmaqdansa f(x Müxtəlif ilkin təxminləri seçməklə )=0. Bənzər bir hiylə bir-birinə yaxın olan kökləri tapmaq üçün faydalıdır və aşağıdakı sənəddə həyata keçirilir. Misal 5. Kök funksiyasından istifadə edərək cəbri tənliyi həll edin: Qeyd. TOL (tolerantlıq) sistem dəyişəninin dəyərini artırsanız, o zaman funksiya kök daha sürətli yaxınlaşacaq, lakin cavab daha az dəqiq olacaq və TOL azaldıqca daha yavaş yaxınlaşma müvafiq olaraq daha yüksək dəqiqliyi təmin edir. Sonuncu, bir-birinə yaxın olan iki kökü ayırd etmək tələb olunduqda və ya funksiya f(x) istədiyiniz kökün yaxınlığında kiçik bir yamac var, çünki bu halda iterativ proses kökdən kifayət qədər uzaq bir nəticəyə yaxınlaşa bilər. Sonuncu halda, dəqiqliyi artırmaq üçün alternativ tənliyi əvəz etməkdir f(x) = 0 açıqdır g(x) = 0, burada. Funksiyadan istifadəpoliköklülər Əgər f(x) funksiyası n dərəcə çoxhədlidirsə, f(x)=0 tənliyini həll etmək üçün funksiyadan istifadə etmək daha yaxşıdır. poliköklülər(a) daha kök, çünki o, ilkin yaxınlaşma tələb etmir və həm real, həm də mürəkkəb bütün kökləri bir anda qaytarır. Onun arqumenti ilkin çoxhədlinin əmsallarından ibarət a vektorudur. Əl ilə və ya əmrdən istifadə etməklə yaradıla bilər Simvollar Þ Polinom əmsalları(x çoxhədli dəyişəni kursor tərəfindən vurğulanır). Funksiya tətbiqi nümunəsi polyroots: Funksiyadan istifadəhəll etməkvə qərar bloku Açar söz qərar bloku ( Verilmiş - Tap və ya Verilmiş – Minerr) və ya funksiya həll etmək ilkin yaxınlaşma ilkin olaraq verildiyi halda ixtiyari qeyri-xətti tənliyin həllini tapmağı mümkün etmək. Qeyd edək ki, funksiyalar arasında tapmaq Və kök bir növ rəqabət var. bir tərəfdən, tapmaq həm tənliklərin, həm də sistemlərin köklərini axtarmağa imkan verir. Bu mövqelərdən funksiya kök lazım deyilmiş kimi. Ancaq digər tərəfdən, dizayn Verilmiş Tap MathCAD proqramlarına yapışdırıla bilməz. Buna görə də proqramlarda əvəzetmələrlə sistemi bir tənliyə endirmək və funksiyadan istifadə etmək lazımdır kök. MathCAD paketində tənliklərin simvolik həlli Bir çox hallarda MathCAD sizə tənliyin analitik həllini tapmağa imkan verir. Tənliyin analitik formada həllini tapmaq üçün ifadəni yazmaq və orada dəyişəni seçmək lazımdır. Bundan sonra, menyu elementindən seçin simvolik yarımbənd Dəyişən üçün həll edin .
Simvolik formada həll tapmaq üçün digər variantlar (eyni tənliyin həlli nümunələri verilmişdir) - funksiyadan istifadə etməklə həll etmək riyazi əməliyyatlar palitrasından Simvollar (simvolik). həll blokundan istifadə etməklə (açar sözlərlə verilmiş - tapmaq) F(x)=0 və ya x=f(x) kimi tənliyə qeyri-xətti deyilir. Tənliyi həll etmək, tənliyin eyniliyə çevrildiyi belə bir x tapmaq deməkdir. Ümumiyyətlə, tənlik 0-a malik ola bilər; bir; 2;...∞ kökləri. Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün aşağıda nəzərdən keçirilən ədədi üsullar verilmiş intervalda bir kök tapmağa imkan verir. Bu halda intervalda yalnız bir kök mövcud olmalıdır. Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün bir neçə üsula nəzər salın. |b-a|>ε isə F(a)∙F(c)<0 düyü. Bölmə üsulu üçün struktoqram |F(c)|>ε isə F(a)∙F(c)<0 düyü. Akkord metodu üçün struktur Nəzarət tapşırığı. Laboratoriya işi 4. Qeyri-xətti tənliklərin həlli. Tapşırıq. Cədvəldə göstərilən qeyri-xətti tənliyi həll edin. üsulları, tənliyin həllinin mövcud olduğu intervalın əvvəlcədən müəyyən edilməsi. Həllini yoxlayın. Tənliklərin variantları və onların həlli üsulları cədvəldə verilmişdir. Tənliklərin variantları və onların həlli üsulları tənlik Həll üsulları busting və akkord Busting və tangents Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü busting və akkord Busting və tangents Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü busting və akkord Busting və tangents Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü busting və akkord Busting və tangents Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü busting və akkord Busting və tangents x2=exp(-x2)-1 Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü busting və akkord Busting və tangents Busting və akkord-tangents Qəddar qüvvə və yarım bölgü
in)
düyü. 8. Sadə təkrarlama üsulu: a, b konvergent iterasiyadır, in divergent iterasiyadır.
(düsturu özünüz almağa çalışın) Akkord metodunun strukturqramı şəkildə göstərilmişdir.
(düsturu özünüz alın). F(x 0)∙F""(x 0)>0 tangens üsulu üçün yaxınlaşma şərti. Qeyri-xətti tənliklərin tangens üsulu ilə həllinin strukturqramı Şəkildə göstərilmişdir. 
. Bu üsulda hesablamaların aparılması proseduru əvvəllər nəzərdən keçirilənə bənzəyir.