При исследовании систем управления они обычно представляются в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Динамическим звеном называют устройство любого физического вида и конструктивного оформления, имеющее вход и выход, как показано на рисунке 2.1, и для которого задано уравнение (обычно дифференциальное), связывающее сигналы на входе и выходе.

Рисунок 2.1 – Схема динамического звена

Классификация динамических звеньев производится по виду дифференциального уравнения. Одними и теми же дифференциальными уравнениями могут описываться устройства любого типа (электрические, электромеханические, гидравлические, тепловые и т.п.), что позволяет использовать для проектирования различных устройств одинаковые подходы.

Если уравнение, связывающее сигналы , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий вид:

где – постоянные коэффициенты; .

Однако вид дифференциального уравнения не является единственным признаком, по которому проводится сравнение динамических звеньев.

Основными характеристиками звеньев являются:

Дифференциальные уравнения движения;

Передаточные функции;

Временные характеристики (переходная функция, импульсная (весовая) функция;

Частотные характеристики (амплитудно-частотные характеристики, амлитудно-фазовые частотные характеристики, логарифмические частотные характеристики).

Передаточной функцией звенаназывается отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях. Подвергнем уравнение (2.1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями:

Отсюда получим

Отношение (2.2) не зависит от изображений сигналов и определяется только параметрами самого динамического звена , , имеет вид дробно-рациональной функции.

Уравнение вида

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Временные характеристики обусловливают динамические свойства звена. Они определяются на выходе звена при подаче на вход типовых сигналов.

Переходная функция или переходная характеристика представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равного единице (рисунок 2.2). Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия можно отнести мгновенное изменение нагрузки электрогенератора, возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы.

Рисунок 2.2 – Единичная ступенчатая (а) и переходная (б) функции

Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции определяется как

Чтобы определить изображение переходной функции при известной передаточной функции звена необходимо выполнить следующую операцию:

Оригинал находят с помощью обратного преобразования Лапласа (приложение Б), применяемого к (1.5).

импульсная переходная функция или весовая функция – это реакция звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или – функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

Дельта-функция определяется выражением

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что

то есть она имеет единичную площадь. Эту функцию можно описать как короткий, но мощный импульс. Дельта-функция также является распространенным входным воздействием в автоматических системах. Например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый предохранителями и т.п.

Нетрудно установить, что изображение -функции определяется

Изображение функции веса есть передаточная функция:

Поэтому для нахождения оригинала импульсной переходной функции необходимо применить обратное преобразование Лапласа к передаточной функции звена (системы).

Дельта-функция и функция веса некоторого звена изображены на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 – Дельта функция (а) и функция веса (б)

Переходная и импульсная функции связаны соотношениями

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции. Частотные характеристики получают при рассмотрении движения звена (системы) при подаче на его вход гармонического воздействия.

Функцию , которую получают из передаточной функции (2.2):

называют частотной передаточной функцией.

Частотная передаточная функция, как функция комплексного аргумента, может быть представлена в виде

где – действительная (вещественная) часть ; – мнимая часть ; – модуль (амплитуда) ; – аргумент (фаза) .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части функции являются функциями частоты, поэтому частотная передаточная функция используется и представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Таким образом, в ТАУ рассматривают следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф вектора (кривая, описываемая концом этого вектора), построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Физический смысл частотных характеристик можно определить следующим образом. При гармоническом воздействии в устойчи­вых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – ар­гументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изме­нение отношения амплитуд, а фазовая частотная харак­теристика – сдвиг фазы выходной величины относительно вход­ной в зависимости от частоты входного гармонического воздей­ствия.

Общий вид частотных характеристик представлен на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Частотные характеристики:

амплитудно-фазовая (а), амплитудно-частотная (б), фазо-частотная (в), вещественная частотная (г), мнимая частотная (д)характеристики

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе:

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют график зависимости фазо-частотной характеристики (ФЧХ) от логарифма частоты. При построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а на отметке, соответствующей значению , пишут само значение . Довольно часто ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта.

Единицей является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

При построении ЛФЧХ отсчет углов идет по оси ординат в обычном масштабе в градусах или радианах.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произво­льную точку, а не через точку (частоте соответ­ствует бесконечно удаленная точка: при ). Так как , то начало координат чаще всего берется в точке .

8. Интегрирующее звено с замедлением

Здесь – коэффициент усиления звена, – постоянная времени, с.

1.3.1 Особенности классификации звеньев САУ Основная задача теории автоматического управления ТАУ -разработать методы, с помощью которых можно было бы находить или оценивать показатели качества динамических процессов в САУ. Другими словами, рассматриваются не все физические свойства элементов системы, а только те, которые влияют, связаны с видом динамического процесса. Не рассматриваются конструктивное ис­полнение элемента, его габаритные размеры, способ подведения

энергии, особенности дизайна, номенклатура используемых мате­риалов и т.д. Однако, важными будут такие, например, параметры, как масса, момент инерции, теплоемкость, сочетания RC, LC и т.д., напрямую определяющие вид динамического процесса. Особеннос­ти физического исполнения элемента важны только в той степени, в которой они будут влиять на его динамические показатели. Рас­сматривается, таким образом, только одно выделенное свойство эле­мента - характер его динамического процесса. Это позволяет свести рассмотрение физического элемента к его динамической модели в виде математической модели. Решение модели, т.е. дифференциаль­ного уравнения, описывающего поведение элемента, дает динами­ческий процесс, подлежащий качественной оценке.

В основу классификации элементов САУ положены не осо­бенности конструктивного выполнения или особенности их функ­ционального назначения (объект управления, элемент сравнения, регулирующий орган и т.д.), а тип математической модели, т.е. мате­матические уравнения связи между выходной и входной переменны­ми элемента. Причем эта связь может быть задана, как в виде диффе­ренциального уравнения, так и в другой трансформированной форме, например с помощью передаточных функций (ПФ). Дифференциаль­ное уравнение даёт исчерпывающую информацию о свойствах звена. Решив его, при том или ином заданном законе входной величины, по­лучаем реакцию, по виду которой оцениваем свойства элемента.

Введение понятия передаточной функции позволяет получить связь между выходной и входной величинами в операторной форме и при этом воспользоваться некоторыми свойствами передаточной функции, позволяющими существенно упростить математическое представление системы и воспользоваться некоторыми их свойства­ми. Для объяснения понятия ПФ рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1.3.2 Некоторые свойства преобразования Лапласа Решение моделей динамических звеньев САУ дает измене­ние переменных во временной плоскости. Мы имеем дело с функ­циями X(t). Однако, с помощью преобразования Лапласа их можно трансформировать в функции [Х(р)] с другим аргументом р и новы­ми свойствами.

Преобразование Лапласа есть частный случай соответствия типа: одной функции ставится в соответствие другая функция. Обе функции связаны между собой определённой зависимостью. Соот­ветствие напоминает зеркало, отображающее различным образом, в зависимости от формы, находящийся перед ней объект. Вид отобра­жения (соответствия) может быть выбран произвольным образом, в зависимости от решаемой задачи. Можно, например, искать со­ответствие между совокупностью чисел, смысл которого сводится к тому, как по выбранному числу у из области Y найти число х из области X. Такая связь может быть задана аналитически, в виде таб­лицы, графика, правила и т.д.

Аналогично может быть установлено соответствие между группами функций (рис. 3.1 а), например, в виде:

В качестве соответствия между функциями x(t) и х(р) (рис.3.1 б) может быть использован интеграл Лапласа:

при соблюдении условий: x(t) = 0 при и при t.

В САУ исследуются не абсолютные изменения переменных, а их отклонения от установившихся значений. Следовательно, x(t) - класс функций, описывающих отклонения переменных в САУ и для них выполняется оба условия преобразования Лапласа: первое - так как до приложения возмущения изменения переменных не происхо­дит, второе - так как с течением времени любое отклонение в рабо­тоспособной системе стремится к нулю.

Это условия существования интеграла Лапласа. Получим, в качестве примера изображения простейших функций но Лапласу.

Рис. 3.1. Виды отображения функций

Так, если дана единичная функция x(t) = 1, то

Для экспоненциальной функции x(t) = e -α t изображение по

Лапласу будет иметь вид:

Окончательно:

Полученные функции не сложнее исходных. Функция x(t) называется оригиналом, а х(р) - ее изображением. Условно прямое и обратное преобразование Лапласа можно представить в виде:

L=x(p),L -1 <=x(t).

При этом существует однозначная связь между оригиналом и изображением, и наоборот, оригиналу соответствует только единс­твенное изображение функции. Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

Изображение дифференциала функции. Пусть функции x(t) соответствует изображение х(р): x(t)-> х(р)- Необходимо найти изображение ее производной x(t) :

Таким образом

При нулевых начальных условиях

Для изображения производной n-го порядка:

Таким образом, изображение производной функции есть изоб­ражение самой функции, умноженное на оператор p в степени n , где п - порядок дифференцирования.

Элементарным динамическим звеном (ЭДЗ) называется мате­матическая модель элемента в виде дифференциального уравнения, не подлежащего дальнейшему упрощению.

1.3.3 Инерционное апериодическое звено первого порядка

Такое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка, связывающего входную и выходную величины:

Примером такого звена кроме термопары, электродвигателя постоянного тока, RL-цепочки, может служить пассивная RC - цепочка (рис. 3.2 г).

Используя основные законы описания электрических цепей получим математическая модель апериодического звена в диффе­ренциальной форме:

Получим связь между входной и выходной величинами звена в форме преобразования Лапласа:

Рис. 3.2. Примеры апериодических звеньев

Отношение выходной величины к входной дает оператор вида.

Что такое динамическое звено? На предыдущих занятиях мы рассматривали отдельные части системы автоматического управления и называли их элементами системы автоматического управления. Элементы могут иметь различный физический вид и конструктивное оформление. Главное, что на такие элементы подается некоторый входной сигнал х( t ) , и как отклик на этот входной сигнал, элемент системы управления формирует некоторый выходной сигнал у( t ) . Далее мы установили, что связь между выходным и входным сигналами определяется динамическими свойствами элемента управления, которые можно представить в виде передаточной функции W(s). Так вот, динамическим звеном называется любой элемент системы автоматического управления, имеющий определенное математическое описание, т.е. для которого известна передаточная функция.

Рис. 3.4. Элемент (а) и динамическое звено (б) САУ.

Типовые динамические звенья – это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. К типовым звеньям относятся:

пропорциональное звено;

апериодическое звено I-ого порядка;

апериодическое звено II-ого порядка;

колебательное звено;

интегрирующее звено;

идеальное дифференцирующее звено;

форсирующее звено I-ого порядка;

форсирующее звено II-ого порядка;

звено с чистым запаздыванием.

Пропорциональное звено

Пропорциональное звено иначе еще называется безынерционным .

1. Передаточная функция.

Передаточная функция пропорционального звена имеет вид:

W (s ) = K где К – коэффициент усиления.

Пропорциональное звено описывается алгебраическим уравнением:

у(t ) = K · х(t )

Примерами таких пропорциональных звеньев могут служить, рычажный механизм, жесткая механическая передача, редуктор, электронный усилитель сигналов на низких частотах, делитель напряжения и др.

4. Переходная функция .

Переходная функция пропорциональное звена имеет вид:

h(t) = L -1 = L -1 = K · 1(t)

5. Весовая функция.

Весовая функция пропорционального звена равна:

w(t) = L -1 = K ·δ(t)

Рис. 3.5. Переходная функция, весовая функция, АФЧХ и АЧХ пропорционального звена.

6. Частотные характеристики .

Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ пропорционального звена:

W(j ω ) = K = K +0 ·j

A(ω ) =
= K

φ(ω) = arctg(0/K) = 0

L(ω) = 20·lg = 20·lg(K)

Как следует из представленных результатов, амплитуда выходного сигнала не зависит от частоты. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ¥, как правило на высоких частотах, коэффициент усиления становится меньше и стремиться к нулю при ω → ∞. Таким образом, математическая модель пропорционального звена является некоторой идеализацией реальных звеньев .

Апериодическое звено I -ого порядка

Апериодические звенья иначе еще называются инерционными .

1. Передаточная функция.

Передаточная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:

W (s ) = K /(T · s + 1)

где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. Поскольку постоянная времени характеризует некоторый временной интервал , то ее величина должна быть всегда положительной, т.е. (T > 0).

2. Математическое описание звена.

Апериодическое звено I-ого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

T · d у(t )/ dt + у(t ) = K ·х(t )

3. Физическая реализация звена.

Примерами апериодического звена I-ого порядка могут служить: электрический RC-фильтр; термоэлектрический преобразователь; резервуар с сжатым газом и т.п.

4. Переходная функция .

Переходная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:

h(t) = L -1 = L -1 = K – K·e -t/T = K·(1 – e -t/T )

Рис. 3.6. Переходная характеристика апериодического звена I-го порядка.

Переходный процесс апериодического звена I-ого порядка имеет экспоненциальный вид. Установившееся значение равно: h уст = K. Касательная в точке t = 0 пересекает линию установившегося значения в точке t = T. В момент времени t = T переходная функция принимает значение: h(T) ≈ 0.632·K, т.е. за время T переходная характеристика набирает только около 63% от установившегося значения.

Определим время регулирования T у для апериодического звена I-ого порядка. Как известно из предыдущей лекции, время регулирования – это время, после которого разница между текущим и установившимся значениями не будет превышать некоторой заданной малой величины Δ. (Как правило, Δ задается как 5 % от установившегося значения).

h(T у) = (1 – Δ)·h уст = (1 – Δ)·K = K·(1 – e - T у/ T), отсюда е - T у/ T = Δ, тогда T у /T = -ln(Δ), В итоге получаем T у = [-ln(Δ)]·T.

При Δ = 0,05 T у = - ln(0.05)·T ≈ 3·T.

Другими словами, время переходного процесса апериодического звена I-ого порядка приблизительно в 3 раза превышает постоянную времени.

Звеном САУ называют математическую модель элемента или соединения элементов любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями высокого порядка и в общем случае ихпередаточные функции могут быть представлены как

Но их можно представить как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.

Из курса алгебры на основании теоремы Безу известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители вида

,
. (4.64)

Поэтому передаточную функцию (4.63) можно представить, как произведение простых множителей вида (4.64) и простых дробей вида

,
,
. (4.65)

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей (4.63) или простых дробей (4.64), называют типовыми или элементарными звеньями.

Прежде чем переходить к изучению элементарных звеньев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Пусть комплексное число представлено в виде отношения двух произведений комплексных чисел

Так как
,
, то для модуля и аргумента комплексного числа имеем

,
.

Таким образом, справедливо следующее правило модулей и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа, представленного в виде отношения двух произведений комплексных чисел, равен отношению произведения модулей сомножителей числителя к произведению модулей сомножителей знаменателя, а его аргумент - разности суммы аргументов сомножителей числителя и суммы аргументов сомножителей знаменателя.

Пропорциональное звено . Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением
или передаточной функцией
.

Частотные и временные функции этого типового эвена имеют вид:

,
,
,

,
,
,
.

Ha рис. 4.5 представлены некоторые из характеристик пропорционального звена: амплитудно-фазовая частотная характеристика (4.5 а) - это точка К на действительной оси; фазовая частотная

jV а) L (w ) б) h (t ) в)

20 lgK K

K U w t

Рис.4.5 Характеристики пропорционального звена

характеристика (или АФЧХ) совпадает с положительной осью частот; логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис. 4.56) параллельна оси частот и проходит на уровне. Переходная характеристика (рис.4.5в) параллельна оси времени и проходит на уровне
.

Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением
или передаточной функцией
. Частотная передаточная функция
.

Остальные частотные и временные функции имеют вид:

,
,
,
,

,
,
.

АФЧХ (рис.4.6а) интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис.4.66) параллельна оси частот и проходит на уровне : сдвиг фазы не зависит от частоты и равен.

ЛАЧХ (рис.4.6б) - наклонная прямая, проходящая через точку с координатами
и
. Как видно из уравнения при увеличении частоты наI декаду ордината
, уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек (читается: минус двадцать децибел на декаду).

Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k . (рис.4.6в).

а) б) в)

jV U L (w ) (w) h (t )

0.1 1.0 w arctgK

-
/2 t

Рис 4.6 Характеристики интегрирующего звена

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением
или передаточной функцией
.

Частотные и временные функции этого звена имеют вид

,
,
,
,
,

,
,
.

jV а) L (w ) (w ) б)

+
/2

0,1 1,0 10

Рис.4.7 Характеристики дифференцирующего звена

АФЧХ (рис 4.7а) совпадает с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис 4.7б) параллельна оси частот и проходит на уровне
, то есть сдвиг фазы не зависит от частоты и равен
/2.

ЛАЧХ есть прямая линия, проходящая через точку с координатами
=1,
и имеющая наклон 20 дБ/дек (читается: плюс двадцать децибел на декаду):
увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.

Апериодическое звено . Апериодическим эвеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

(4.66)

или передаточной функцией

. (4.67)

Это звено также называют инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от выше рассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .

. (4.68)

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим

,
. (4.69)

Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить, используя правило модулей и аргументов.

Так как модуль числителя частотной передаточной функции (4.68) равен k , а модуль знаменателя
,то

(4.70)

Аргумент числителя
равен нулю, а аргумент знаменателя
. Поэтому

Решив дифференциальное уравнение (4.66) при
и нулевом начальном условии
, получим переходную характеристику
. Весовая функция или импульсная переходная характеристика

.

АФЧХ апериодического эвена (рис. 4.8а) есть полуокружность, в чем не трудно убедиться, исключив из параметрических уравнений (4.69) АФЧХ частоту
.

ЛАЧХ представлена на рис 4.8б. На практике обычно ограничиваются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия на том же рис 4.86). В критических случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на выводы о состоянии исследуемой системы, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ, если воспользоваться следующей зависимостью (L - разность между асимптотической и точной ЛАЧХ):

T= 0,10 0,25 0,40 0,50 1,0 2,0 2,5 4,0 10,0

L = 0,04 0,25 0,62 0,96 3,0 0,96 0,62 0,25 0,04

Частоту
, при которой пересекаются асимптоты, называют сопрягающей частотой. Точная и асимптотическая ЛАЧХ

Рио.4.8 Характеристики апериодического звена

наиболее сильно отличаются при сопрягающей частоте; отклонение при этой частоте примерно 3 дБ.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

Оно получается из уравнения (4.71), если в нем под корнем при
пренебречь первым слагаемым, а при
- вторым слагаемым.

Согласно полученному уравнению, асимптотическую ЛАЧХ можно строить следующим образом: на уровне
частоты
провести прямую, параллельно оси частот, а далее через точку с координатами
и
- прямую под наклоном - -20 дБ/дек.

По АФЧХ или ЛАЧХ легко определить параметры Т и k аперио­дического звена (рис.4.86).

ЛФЧХ изображена на рис. 4.86. Эта характеристика асимптотически стремится к нулю при
и к
при
. При
фазо- частотная функция принимает значение -
, то есть
. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть получены на основе одной характеристики параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от значения постоянной времени T. Поэтому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно воспользоваться шаблоном, представленном на рис.4.8г.

Переходная характеристика апериодического звена (рис.4.8в) представляет собой экспоненциальную кривую, по которой можно определить параметры этого звена: передаточный коэффициент k определяется по установившемуся значению
; постоянная времениT равна значению t, соответствующему точке пересечения касательной, построенной на переходной характеристике в начале координат, с ее асимптотой (рис 4.8в).

Форсирующее звено . Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

,

или передаточной функцией

.

Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .

Частотная передаточная функция

.

Остальные частотные и временные функции имеют вид:

,
,
,
,

,
,
.

АФЧХ есть прямая, параллельная мнимой оси и пересекающая действительную ось в точке U = k .(рис. 4.9а). Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ. Частоту
, соответствующую точке излома этой характеристики, называют сопрягающей частотой. Асимптотическая ЛАЧХ при
параллельна оси частот и пересекает ось ординат при
, а при
имеет наклон +20дБ/дек.

ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным отображением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена и для ее построения можно воспользоваться тем же шаблоном и номограммой, которые используются для построения последней.

Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья . Звено, которое можно описать уравнением

(4.72)

или в другой форме

где,
,
.

Передаточная функция этого звена

(4.74)

Это звено является колебательным, если
;-консервативным, если

;- апериодическим звеном второго порядка, если
. Коэффициент называют коэффициентом демпфирования.

Колебательное звено
. Частотная передаточная функция этого звена

.

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции колебательного звена:

,

Фазовая частотная функция, как это видно из АФЧХ (рис 4.10б), изменяется монотонно от 0 до -и выражается формулой

(4.75)

ЛФЧХ (рис.410б) при
асимптотически стремится к оси частот, а при
к прямой
. Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования.

Амплитудная частотная функция

и логарифмическая амплитудно-частотная функция

Уравнение асимптотической ЛФЧX имеет вид

(4.75)

где
- сопрягающая частота. Асимптотическая ЛАЧХ (рис.4.106) при
параллельна оси частот, а при
имеет наклон- -40 дБ/дек.

Рис. 4.10 .Характеристики колебательного звена

Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ (рис 4.10б) при малых значениях коэффициента демпфирования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических (рис.4.10г). Решив дифференциальное уравнение (4.72) колебательного звена при
и нулевых начальных условиях
найдем переходную функцию.

,

,
,

.

Весовая функция

.

По переходной характеристике (рис.4.10в) можно определить параметры колебательного звена следующим образом.

На первом этапе проектирования САУ решаются задачи синтеза системы на основании данных о назначении системы и конструктивных особенностях объекта управления. При формировании структуры САУ на этом этапе используют функционально необходимые элементы систем, так называемые звенья САУ (датчики величин, преобразователи сигналов, регуляторы, исполнительные устройства и т.д.).

Вторым этапом проектирования САУ является анализ соответствия качественных характеристик проектируемой системы требуемым. Для проведения всех видов анализа САУ, рассмотренных в разделе 3, необходимо иметь ее модель в виде дифференциального уравнения вида (1) или передаточной функции вида (2).

Для получения моделей САУ вводят понятие типового элементарного звена . Под типовым элементарным звеном понимают совокупность элементов САУ, динамические процессы в которых описываются линейным дифференциальным уравнением вида (1) не выше второго порядка (n £ 2). Введение элементарных звеньев дает возможность свести все многообразие технических устройств к небольшому количеству типовых звеньев, что позволяет использовать общие методы анализа для любых САУ. Типы элементарных звеньев САУ приведены в Приложении 1.

Усилительное безынерционное звено

К звеньям этого типа относится любой элемент САУ, у которого в каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между выходной величиной y (t ) и входным воздействием x (t ), т.е. это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением вида:

y (t ) = k × x (t ),

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) звена.

Строго говоря усилительное звено не является динамическим, поскольку изменение y (t ) происходит мгновенно, сразу вслед за изменением x (t ). Говорят, что дифференциальное уравнение звена имеет нулевой порядок. Передаточная функция звена имеет вид W (p ) = k .

При подаче на вход единичной ступеньки x (t ) = 1(t ) на выходе мгновенно будет получен такой же сигнал, усиленный в k раз (рис. 35).

Рис. 35

Понятно, что ни одно реальное техническое устройство не может мгновенно преобразовывать входное воздействие, однако быстродействие некоторых элементов САУ столь велико (длительность переходного процесса составляет величину менее секунды), что их можно считать звеньями этого типа. Примерами таких элементов является потенциометр, рычаг, электронный усилитель. В первом приближении, без учета явления скручивания и люфта, усилительным безынерционным звеном можно считать редуктор.

В литературе встречаются и другие названия усилительного безынерционного звена: усилитель , идеальное усилительное или пропорциональное звено .

Апериодическое звено первого порядка

Звено этого типа (см. Приложение 1) описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

,

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) звена; Т – некоторая постоянная, имеющая размерность времени (постоянная времени звена).

На рис. 36 показаны переходные характеристики апериодических звеньев первого порядка с k = 10 и разными постоянными времени Т . Видно, что при увеличении Т выходная величина звена y (t k , т.е. постоянная времени Т характеризует инерционность звена, и определяет время переходного процесса t p . В практических расчетах t p для апериодического звена первого порядки принимают приближенно равным 3×Т .

Рис. 36

.

Апериодическими звеньями первого порядка являются такие устройства САУ, как электрические RL - и RC -контуры (используются в качестве корректирующих устройств САУ), электрический генератор постоянного тока (используется в качестве управляющего устройства САУ), датчик температуры – термопара, проточный резервуар с жидкостью или газом (объекты управления в химико-технологических САУ) и многое другое.

Получим модель динамики RC -контура теоретическим способом: запишем уравнения входной и выходной цепей (рис. 37) по закону Кирхгофа:

Рис. 37

U вх (t ) и выходную – U вых (t ) переменные RC i (t

,

i (t ) в уравнение входной цепи:

.

Полученное уравнение соответствует дифференциальному уравнению апериодического звена первого порядка, для которого постоянная времени Т = R ×C , т.е. определяется номиналами резистора и конденсатора, используемых в RC -контуре; k = 1; y (t ) = U вых (t ); x (t ) = U вх (t ).

В литературе встречаются и другие названия апериодического звена первого порядка: инерционное звено первого порядка или релаксационное звено .

4.3. Апериодическое звено второго порядка и колебательное
устойчивое

Апериодическое звено второго порядка и колебательное устойчивое звено имеют общую форму дифференциального уравнения (см. Приложение 1):

,

но апериодическим второго порядка звено с таким уравнением называется при условии , а колебательным – при условии .

Общий вид передаточной функции для обоих звеньев:

.

Заметим, что при условии уравнение
будет иметь положительный дискриминант и, соответственно, действительные корни. Это позволяет разложить знаменатель передаточной функции апериодического звена второго порядка на множители вида:

где
.

Если учесть, что при последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются, то получается, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом статического преобразования k и постоянными времени Т 3 и Т 4 .

На рис. 38 показаны переходные характеристики двух апериодических звеньев второго порядка с k = 5 и разными постоянными времени Т 1 и Т 2 . Видно, что при увеличении Т 1 и Т 2 выходная величина звена y (t ) медленнее достигает установившегося значения, равного k , т.е. постоянные времени и для этого звена определяют время переходного процесса.

Важно! Обратите внимание: несмотря на визуальное сходство переходных характеристик апериодических звеньев первого и второго порядков они имеют принципиальные отличия. Характеристика 2-го порядка имеет точку перегиба: в нулевой момент времени скорость изменения y (t ) минимальна, затем она возрастает до точки перегиба, а после нее убывает. Начальный участок переходных характеристик звеньев второго порядка (для t от 0 до 0,5 секунд) показан на рис. 38 в выделенном увеличенном фрагменте. Там же для сравнения приведен аналогичный участок характеристик звеньев первого порядка, показанных на рис. 36. Видно, что для них скорость изменения y (t ) максимальна в момент времени t = 0. Далее, за время t р скорость изменения y (t ) убывает до нуля (см. рис. 36).

Интервал времени до точки перегиба переходной характеристики апериодического звена второго порядка рассчитывается по формуле:

.

При условии , т.е. для колебательного устойчивого звена, знаменатель передаточной функции
будет иметь отрицательный дискриминант и, соответственно, комплексно-сопряженные корни. Из теории дифференциальных уравнений известно, что свободное движение такой системы содержит гармонические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выходной величины при изменении входного сигнала.

Передаточную функцию колебательного звена принято записывать в виде:

где Т – постоянная времени колебательного звена; x – коэффициент затухания (для колебательного устойчивого звена 0 < x < 1). Чем больше x, тем быстрее затухают колебания переходной характеристики звена. При x = 0 получается колебательное гармоническое звено, которое дает незатухающие колебания на выходе (см. Приложение 1). При x ³ 1 имеем апериодическое звено второго порядка.

На рис. 39 показаны переходные характеристики двух колебательных звеньев с одинаковыми k = 8 и постоянной времени Т = 1, и разными коэффициентами затухания x. Видно, что колебательность переходной характеристик и перерегулирование у звена с x = 0,25 больше, чем у звена с x = 0,5.

На рис. 40 показаны переходные характеристики двух колебательных звеньев с одинаковыми значениями коэффициента статического преобразования k = 8 и коэффициента затухания x = 0,3, и разными значениями постоянной времени Т . Видно, что время переходного процесса у звена с Т = 2 больше, чем у звена с Т = 1.

Рис. 39

Рис. 40

Колебательными или апериодическими звеньями второго порядка (в зависимости от значений технических характеристик, определяющих соотношение постоянных времени Т 1 и Т 2) являются такие устройства САУ, как электрический RLC -контур; двигатель постоянного тока (см. вывод модели динамики в разделе 2.3.1), упругие механические передачи, например для передачи вращательного движения с упругостью, моментом инерции и коэффициентом скоростного трения, дифманометр (датчик для измерения перепада давления) и другие устройства.

Получим модель динамики RLC -контура теоретическим способом: запишем уравнения входной и выходной цепей (рис. 41) по закону Кирхгофа:

Рис. 41

Целью моделирования является получение дифференциального уравнения вида (1), связывающего входную – U вх (t ) и выходную – U вых (t ) переменные RC -контура. Для этого нужно в уравнениях входной и выходной цепей избавиться от промежуточной внутренней переменной контура – тока i (t ). Продифференцируем уравнение выходной цепи:

,

и подставим результат выражения i (t ) в уравнение входной цепи:

Т 1 = R ×C и , т.е. определяются номиналами резистора, конденсатора и катушки индуктивности, используемых в RLC -контуре; k = 1; y (t ) = U вых (t ); x (t ) = U вх (t ). Конкретный тип звена – апериодическое второго порядка или колебательное – зависит от соотношения постоянных времени Т 1 и Т 2 ( или соответственно), т.е. в конечном счете определяется номиналами R , L и C . Примеры переходных характеристик RLC -контуров показаны на рис. 42.

Рис. 42

Получим модель динамики механической системы с линейным перемещением, параметрами механических элементов которой являются масса, демпфирование (трение) и упругость (рис. 43). Заметим, что в рассматриваемой системе движение происходит только в одном направлении, перемещение в поперечном направлении не допускается.

Рассмотрим действие внешней силы F (t ) на изолированные механические элементы по отдельности. Для массы М по второму закону Ньютона:

,

где v (t ) – скорость; а (t ) – ускорение, а s (t ) – выходное линейное перемещение (см. рис. 43).

Скорость перемещения поршня демпфера под действием силы F (t ) определяется следующим образом:

,

где G – коэффициент сопротивления (демпфирования).

Рис. 43

Для упругой пружины в соответствии с законом Гука уравнение движения имеет вид:

,

где H – коэффициент упругости пружины.

В системе в целом (см. рис. 43) на тело массы М действуют три силы – внешняя сила F (t ), сила трения и упругая сила, следовательно, для суммы сил справедливо:

Полученное уравнение динамики имеет второй порядок, однако для приведения к форме стандартного дифференциального уравнения колебательного или апериодического звена второго порядка (см. Приложение 1) постоянный коэффициент слагаемого s (t ) в левой части должен быть равен 1. Приведем уравнение динамики к типовому виду, разделив левую и правую часть на коэффициент упругости пружины H :

Полученное уравнение соответствует дифференциальному уравнению, для которого постоянные времени Т 1 = G / H и , т.е. определяются массой, а также величинами G и H ; k = 1 / Н ; y (t ) = s (t ); x (t ) = F (t ).

Т.о., мы показали, что механическая система вида, приведенного на рис. 43, также является колебательным или апериодическим звеном второго порядка. Конкретный тип звена зависит от соотношения постоянных времени Т 1 и Т 2 ( или соответственно), т.е. в конечном счете определяется величинами M , G и H . Рассмотренная механическая система может быть использована, например, в качестве звена модели тормозной системы автомобиля в расчете на одно колесо (кроме рассмотренного звена в такой модели требуется учет массы автомобиля и упругости шины).

Из рассмотренных примеров видно, что, несмотря на различие устройств САУ и их назначения, их математические модели имеют вид одного и того же дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотренные типы звеньев в литературе иногда называют инерционными звеньями второго порядка .

Интегрирующие звенья

Идеальным интегрирующим звеном называется такое звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу по времени от входной величины (см. Приложение 1):

,

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) идеального интегрирующего звена, равный отношению скорости изменения выходной величины к входной.

Передаточная функция звена имеет вид:

.

Переходная характеристика идеального интегрирующего звена имеет вид наклонной прямой, так как интеграл геометрически представляет собой площадь, ограничиваемую графиком ступенчатого входного воздействия x (t ), которая возрастает с течением времени t . Решение дифференциального уравнения идеального интегрирующего звена имеет вид:

,

откуда для единичной ступеньки (x (t ) = 1 при t ³ 0) при нулевых начальных условиях y (0) = 0 получаем линейно возрастающую переходную характеристику y (t ) = k ×t . На рис. 44 показаны переходные характеристики идеальных интегрирующих звеньев с различными значениями k .

Рис. 44

Простейший бытовой пример идеального интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входное воздействие x (t ) для этого объекта это приток (расход) воды через кран, а выходная величина y (t ) – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, т.е. система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.

Примерами идеальных интегрирующих звеньев являются такие устройства САУ, как операционный усилитель, используемый в режиме интегрирования (рис. 45–а ) и гидравлический демпфер (рис. 45–б ).

Уравнение операционного усилителя, используемого в режиме интегрирования, имеет вид:

,

что соответствует уравнению идеального интегрирующего звена, для которого k = 1/R ×C , U вх = x (t ), U вых = y (t ).

Рис. 45

а )

б )

Для гидравлического демпфера входным воздействием является сила F , действующая на поршень, а выходной величиной – перемещение поршня s . Так как скорость движения поршня пропорциональна приложенной силе:

,

где G – коэффициент сопротивления (демпфирования), то перемещение поршня будет пропорционально интегралу от приложенной силы:

.

Полученное уравнение соответствует уравнению идеального интегрирующего звена, для которого k = 1/G , F (t ) = x (t ), s (t ) = y (t ).

Рассмотренная разновидность интегрирующих звеньев называется идеальной , т.к. его уравнение не учитывает инерционность описываемого звеном устройства САУ. В литературе этот тип звена иногда называют астатическим звеном.

Все реальные устройства вносят некоторое замедление в работу, поэтому более точной моделью реальных интегрирующих устройств является интегрирующее звено с замедлением

,

т.е. представляет собой произведение передаточных функций идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Т.о., интегрирующее звено с замедлением можно представить последовательным соединением этих двух разновидностей типовых звеньев. Таким звеном может быть описан двигатель, если в качестве выходной величины рассматривать не угловую скорость, а угол поворота, являющийся интегралом от угловой скорости, а также демпфер, если более точно рассматривать его уравнение движения .

Дифференцирующие звенья

Идеальное дифференцирующее дает на выходе величину, пропорциональную производной входного сигнала, т.е. скорости изменения входного воздействия (см. Приложение 1):

,

где k – коэффициент статического преобразования (коэффициент усиления) идеального дифференцирующего звена. Передаточная функция звена имеет вид: .

Дифференцирующее звено реагирует не на изменение самой входной величины, а на изменение ее производной, то есть на тенденцию развития событий. Поэтому говорят, что дифференцирующее звено обладает упреждающим, прогнозирующим действием. С его помощью можно ускорить реакцию САУ на изменяющиеся входные воздействия.

Проанализируем форму переходной характеристики идеального дифференцирующего звена (см. Приложение 1). При подаче на вход звена единичной ступеньки x (t ) = 0 для t < 0 и x (t ) = 1 для t > 0. Производная постоянной величины равна нулю, следовательно, y (t ) = 0 для t < 0 и для t > 0. И только в момент непосредственного изменения входного воздействия с нуля на единицу, т.е. в момент времени t = 0, производная входного сигнала dx (t )/dt не равна нулю:

В результате переходная характеристика идеального дифференцирующего звена в момент времени t = 0 теоретически имеет форму импульса с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малой длительностью. Понятно, что такую переходную характеристику невозможно получить с использованием реального устройства САУ. Поэтому идеальное дифференцирующие звено, а также звенья этого типа первого и второго порядков (см. Приложение 1) являются модельными и относятся к физически нереализуемым звеньям.

Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель, включенный в режиме дифференцирования (рис. 46–а ), и тахогенератор постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора a(t ), а в качестве выходной – напряжение якоря U я (t ) (рис. 46–б ).

В тахогенераторе постоянного тока при неизменном потоке возбуждения напряжение якоря можно считать пропорциональным угловой скорости вращения. В свою очередь скорость вращения есть производная от угла поворота:

,

что соответствует дифференциальному уравнению идеального дифференцирующего звена с коэффициентом статического преобразования k , y (t ) = U я (t ); x (t ) = a(t ).

Практически дифференцирующие устройства САУ вносят некоторое замедление в работу (обладают инерционностью), поэтому более точной моделью реальных устройств является дифференцирующее звено с замедлением , передаточная функция которого имеет вид:

,

т.е. представляет собой произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка. Т.о., дифференцирующее звено с замедлением можно представить последовательным соединением этих двух разновидностей типовых звеньев. Примерами дифференцирующего звена с замедлением могут служить трансформатор, емкостной дифференцирующий контур (рис. 47–а ) и механическое дифференцирующее устройство, состоящее из пружины и демпфера (рис. 47–б ).

Рис. 47

а )

б )

Получим модель динамики емкостного дифференцирующегоконтура (см. рис. 47–а ). Запишем уравнения входной и выходной цепей по закону Кирхгофа:

Продифференцируем уравнение входной цепи:

,

и подставим в него ток i (t ), выразив его из уравнения выходной цепи:

Выведем передаточную функцию емкостного дифференцирующегоконтура:

Полученная W (p k = T = R ×C .

Получим модель динамики механического дифференцирующего устройства (см. рис. 47–б ) для y (t ) = s вых (t ); x (t ) = s вх (t ) в предположении, что элемент трения (демпфер) и упругости (пружина) имеют нулевую массу. Уравнение движение демпфера для данного случая имеет вид:

,

где G – коэффициент сопротивления (демпфирования). Для пружины с коэффициентом упругости H уравнение движения имеет вид:

,

следовательно, после подстановки:

Выведем передаточную функцию механического дифференцирующего устройства:

Полученная W (p ) соответствует передаточной функции дифференцирующего звена с замедлением, у которого k = T = G /H .