Устойчивость -это способность системы возвращаться к номинальному режиму, если она отклонилась по каким-то причинам от этого режима.

Требования к устойчивости обязательно для всех САУ.

Строгое определение устойчивости дано А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (конец 19 века)

Пусть динамика системы описывается уравнением

y - выходная величина

x - входная величина

y ( i ) , x ( j ) - производные.

Предположим, что в этой системе существует номинальный режим работы у н (t ), который однозначно определяется номинальным входным воздействием х н (t ) и номинальными начальными условиями.

(2)

Так как номинальные начальные условия (2) на практике трудно выдержать, в системе существует «отклоненные» начальные условия.

(3)

Для номинального режима справедливо уравнение:

Отклоненным начальным условиям соответствует отклоненный режим.

Для отклоненного режима справедливо уравнение:

(6)

Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим (7)

Введем определение.

Номинальный режим у н (t ) устойчив по Ляпунову , если при любых отклоненных начальных условиях (3) , достаточно мало отличающихся от номинальных номинальных начальных условий (2), при всех t > 0 будет мало z(t).

Если номинальный режим устойчив по Ляпунову и при этом предел
, то номинальный режим называетсяасимптотически устойчивым .

Если найдутся начальные условия (3), сколько угодно мало отличающиеся от номинальных начальных условий (2), и при этом
станет больше некоторой малой, наперед заданной величины, то номинальный режиму н (t ) называется неустойчивым.

Из (7) следует, что поведение z (t ) совершенно не зависит от вида входного воздействия х н (t ) .

Отсюда следует вывод: либо в системе (1) асимптотически устойчивы все номинальные режимы, соответствующие разным входным х н (t ), либо они все неустойчивы.

Поэтому можно говорить об устойчивости или неустойчивости системы, а не какого-либо одного ее режима.

Это важный вывод, сокращающий объем исследований САУ.

К сожалению, он справедлив только для линейных САУ.

Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных сау.

Для асимптотической устойчивости линейных систем необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения.

имела бы отрицательную вещественную часть.

Известно, что решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

1. Пусть корни вещественные .

При

- а это отклонение от номинального режима.

2. Если корни комплексные .

Необходимое условие устойчивости.

Для асимптотической устойчивости системы (1), (8) необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели один знак.

Геометрическая трактовка условия устойчивости

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения были бы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Критерии устойчивости САУ.

Это искусственные приемы, которые позволяют, не находя корней характерного уравнения, ответить на вопросы об устойчивости САУ, т.е. определять знаки вещественных частей корней.

Два вида критериев устойчивости:

1). Алгебраический критерий устойчивости (критерий устойчивости Гурвица).

Пусть заданно характерное уравнение.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно:

1). Чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели бы один знак -
(
система не устойчива)

2). Главный определитель Гурвица, составленный по определенному правилу, и все его диагонали миноры имели бы знак коэффициентов - были бы больше нуля.

Правила написания главного определения Гурвица.

1). По главной диагонали определителя располагаются все коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания индексов, начиная с a 1 .

2). Места в определителе над главной диагональю заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания индексов.

3). Места в определителе под главной диагональю заполняются коэффициентами характерного уравнения в порядке убывания индексов.

4). Места в определителе, где должны стоять коэффициенты с индексами больше n и меньше нуля, заполняются нулями

Таким образом, главный определитель Гурвица имеет вид:

A=
>0

САУ устойчива, если

1). Все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля (0!)

,
, ….

2). Главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры > 0.

,
,
, ….

Рассмотрим примеры.

1.

1.

2.

Для устойчивости САУ второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

1.
i=0…3

2.

Необходимым и достаточным условием устойчивости систем третьего порядка является положительность коэффициентов и произведение внутренних членов
должно быть больше произведения крайних членов
характеристического уравнения.

,

,
,

Есть еще алгебраический критерий Рауса. Это тот же критерий Гурвица, но организованный таким образом, что по нему удобно составлять программы для определения устойчивости.

Критерий устойчивости Вышнеградского для систем третьего порядка.

Вышнеградский И.А. предложил изображать границу устойчивости на так называемой плоскости параметров Вышнеградского.

Пусть имеем характеристическое уравнение третьей степени.

Преобразуем его с помощью подстановки:

Тогда оно примет вид:

A 1 и A 2 называются параметрами Вышнеградского (безразмерные величины), в плоскости которых строится граница устойчивости.

Применим к преобразованному уравнению критерий устойчивости Гурвица

или A 1 A 2 > 1

На границе устойчивости
.

Отсюда
- уравнение на границе устойчивости

По коэффициентам характеристического уравнения определяются А 1 и А 2 . Если точка оказалась ниже гиперболы – САУ устойчива, выше - неустойчива.

Система автоматического управления имеет инерционности различной физической природы, которые замедляют процессы. Единичный скачок, который обычно рассматривается в качестве тестового сигнала САУ (рисунок 1), может быть разложен в ряд:

Рисунок 1. Типовая структура САУ

Наличие инерционностей обуславливает сдвиг по фазе сигнала обратной связи
относительно входного, причем фазовый сдвиг зависит как от номера гармоники, так и от постоянных времени. Так для апериодического звена 1-го порядка фазовый сдвиг определяется:

. (2)

Рисунок 2. Фазовый сдвиг на выходе САУ

Поскольку на входе САУ действует бесконечный спектр гармонических составляющих, то среди них найдется такая гармоника, фазовый сдвиг которой равен
(рисунок 2), т.е. выходной сигнал будет в противофазе с входным.

Так как обратная связь отрицательная, то на входе системы он действует в фазе с входным (пунктир на рисунке 2), причем сигнал обратной связи действует в тот момент, когда
.

Пусть амплитуда гармонической составляющей, фазовый сдвиг которой
, равна 0.5, а коэффициент передачи системы по этой гармонике больше единице, например равен 2. Тогда на выходе сигнал после первого периода
, после второго периода
, после третьего
и т.д., т.е. процесс расходящийся (неустойчив) (рисунок 3).

Рисунок 3. Переходный процесс для гармоники
при k >1.

Если коэффициент передачи системы для гармоники, фазовый сдвиг которой
, меньше единицы, то процесс будет затухать (система устойчива).

Таким образом, замкнутая система будет устойчивой, если коэффициент передачи её для гармонической составляющей, фазовый сдвиг, которой равен
, меньше единицы.

Если коэффициент передачи для указанной гармоники равен единице, то система находится на границе устойчивости и выходная координата изменяется по гармоническому закону с постоянной амплитудой.

Для системы (рисунок 1) выходная координата определяется:

Причинами отклонения САУ от положения равновесия являются изменение входной величины
и возмущающих воздействий
.

Если
и
т.е. причины отклонения системы от положения равновесия отсутствуют, то
.

Если при отсутствии причин отклонения
,
знаменатель
, то это означает, что выходная координата
может принимать любые отличные от нуля значения, поскольку в этом случае имеем:

. (4)

Следовательно, в системе возникает незатухающие колебания при условии:

. (5)

Заметим, что это условие похоже на условие самовозбуждения усилителя с ООС Баркгаузена: самовозбуждение системы имеет место, когда усиливается столько напряжения или другой величины, сколько его (её) отводится по каналу обратной связи:

. (6)

1.2 Определение устойчивости систем автоматического управления

Любая система автоматического управления (САУ) должна быть работоспособной, т.е. нормально функционировать при воздействий возмущений различного рода. Работоспособность САУ определяется ее устойчивостью, которая является одной из основных динамиче­ских характеристик системы.

Устойчивость - свойство системы возвращаться в исходное положение равновесия или близкий к нему режим после окончания действия возмущения, вызвавшего отклонение системы от положения равновесия. Неустойчивая работа может возникнуть в любой САУ с обратной связью, при этом, система удаляется от положения равновесия.

Если известна функция веса системы ω(t ) , то линейная си­стема устойчива, если ω(t ) остается ограниченной при любых ограниченных по величине входных возмущениях:

, (7)

где с - const .

Следовательно, об устойчивости системы можно судить по общему решению линеаризованного однородного дифференциального уравнения замкнутой САУ, поскольку устойчивость не зависит от вида описываемого возмущения. Система устойчива, если переходная составляющая затухает во времени:

. (8)

Если
, то САУ неустойчива.

Если
не стремится ни к нулю, ни к бесконечности то система находится на границе устойчивости.

Поскольку общее решение дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения САУ, то определение устойчивости можно производить без непосредственного решения од­нородного дифференциального уравнения.

Если характеристическое уравнение линейного дифференциально­го уравнения с постоянными коэффициентами САУ имеет вид

то его решение, следующее:

, (10)

где c - постоянные интегрирования;

p t - корни характеристического уравнения.

Следовательно, САУ устойчива, если

(11)

Таким образом, для того, чтобы линейная САУ была устойчивая, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней ха­рактеристического уравнения системы были отрицательны

R e p i < 0, (12)

а) для вещественных корней p i < 0,

, (12.а)

для вещественных корней p i > 0;

; (12.б)

б) для комплексных корней типа p i =α± jβ при α< 0

, (12.в)

для комплексных корней p i =α± jβ при α> 0

, (12.г)

Следовательно, САУ устойчива, если все корни характеристического уравнения (9) располагаются в левой полуплоскости комплекс­ной плоскости корней. Система находится на границе устойчивости, если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных кор­ней находятся на мнимой оси. Различают апериодическую и колебательную границы устойчивости.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ равен нулю, то система находится на апериодической границе устой­чивости. Характеристическое уравнение в этом случае (a n = 0) име­ет следующий вид:

Система в том случае устойчива по отношению к скорости изменения регулируемой величины, по отношению же к реализуемой величи­не система нейтральна (нейтрально устойчивая система).

Если в характеристическом уравнении САУ имеется хотя бы па­ра чисто мнимых корней, то система находится на границе колебательной устойчивости. В этом случае в системе имеют место незатухающие гармонические колебания.

Таким образом, для выяснения устойчивости САУ следует решить характеристическое уравнение, т.е. найти его корни. Отыскание кор­ней характеристического уравнения возможно, поскольку W 3 (p ) обыч­но представляет собой отношение двух алгебраических полиномов. Од­нако такой прямой метод для определения устойчивости оказывается весьма трудоемким, особенно при n > 3. Кроме того, для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней и необязательно знать их значение, т.е. непосредственное решение характеристического уравнения дает “лишнюю информацию”. Поэтому для опре­деления устойчивости целесообразно иметь косвенные методы определения знаков корней характеристического уравнения, не решая его. Эти косвенные методы определения знаков корней характеристическо­го уравнения без непосредственного его решения - критерии устойчивости.

Устойчивость САУ

Нули и полюсы передаточной функции

Корни полинома в числителе передаточной функции называются ну­лями , а корни полинома в знаменателе – полюсами передаточной функции. Полюсы одновременно корни характеристического уравнения , или характеристические числа .

Если корни числителя и знаменателя передаточной функции ле­жат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и знаменателя лежат в верхней полуплоскости), то звено называется минимально-фазо­вым .

Соответствие левой полуплоскости корней р верхней полуплоскости корней (рис.2.2.1) объясняется тем, что , или , т.е. вектор получается из вектора поворотом на угол по часовой стрелке. В результате все векторы из левой полуплоскости приходят в векторы в верхней полуплоскости.

Неминимально-фазовые и неустойчивые звенья

Расмотренные выше звенья позиционного и дифферинцирующего типов относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием.

Под самовыравниванием понимается способность звена самопро-извольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Обычно термин самовыравнивание применяется для звеньев, являющихся объектами регулирования.

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К ним, например, относятся звенья интегрируюшего типа.

Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненом нулю), в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев .

Например, в случае дифференциального уравнения , имеем передаточная функция и характеристическое уравнение с положительным вещественным корнем . Это звено имеет одинаковую амплитудно-частотную характеристику с инерционным звеном с передаточной функцией. Но фазо-частотные характеристики этих звеньев совпадают. Для инерционного звена имеем . Для звена с передаточной функцией имеем

т.е. большее по абсолютной величине значение.

В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе не минимально-фазовых звеньев .

К не минимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (соответствующем правой части дифференци­ального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью.

Например, звено с передаточной функцией относится к группе не минимально–фазовых звеньев. Модуль частотной передаточной функции совпадает с модулем частотной передаточной функции звена, имеющего переда­точную функцию . Но фазовый сдвиг первого звена по абсо­лютной величине больше:

Минимально-фазовые звенья имеют меньшие фазовые сдвиги по сравнению с соответствующими звеньями, имеющими такие же амплитудные частотные характеристики.

Говорят, что система устойчива или обладает самовыравниванием, если после снятия внешнего возмущения она возвращается в исходное состояние.

Так как движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, то мате­матическое определение устойчивой системы можно cфоpмулировать следующим образом:

Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие (2.9.1)

Из анализа общего решения (1.2.10) вытекает необходимое и до­статочное условие устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Rep i , I = 1…n . (2.9.2)

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении не­обходимого и достаточн

Рис.8.12. Плоскость корней

характеристического

уравнения A (p ) = 0

ОУ- область устйчивости

Ого условия (2.9.2) все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим обра­зом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскос­ти.

Строгое общее опреде­ление устойчивости, методы исследования устойчивости нелинейных систем и возможность распространения заключения об устойчивости линеаризованной системы на исходную нелинейную систему даны рус­ским ученым А.М.Ляпуновым.

На практике устойчивость часто определяется косвенным пу­тем, с помощью так называемых критериев устойчивости без непос­редственного нахождения корней характеристического уравнения. К ним относятся алгебраические критерии: условие Стодолы, критерии Гурвица, Михайлова, а также частотный критерий Найквиста. При этом критерий Найквиста позволяет определять устойчивость замкнутой системы по АФХ или по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы.

Условие Стодолы

Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.

Запишем характеристическое уравнение системы в виде

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a 0 > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Необходимость можно сформировать так:

Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.

Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

Пусть , т.е действительное число, а – комплексно-сопряженные корни. Тогда

Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если , , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.

Недостаточность условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все . В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .

Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает . Если , то и , чтобы .

Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.

Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.

1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень – это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.

2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином. В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.

Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а , то в случае единичной отрицательной обратной связи . В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств.

Это подтверждает и следующий пример.

Пример 2.9.1. Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.

Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрица­тельной обратной связи системы равна и характеристичес­кое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.

D(p) = p 2 + k 1 k 2 = 0.

Так как отсутствует член с р в первой степени (a 1 = 0), то условие Стодолы не выполняется и система неустойчива. Данная система структурно неустойчива, так как ни при каких значениях параметров k 1 и k 2 не может быть устойчивой.

Чтобы сделать систему устойчивой, нужно ввести дополнительную связь или корректирующее звено, т.е. изменить структуру системы. Покажем это на примерах. На рис. 2.9.3. звено прямой цепи представлено последовательно включенными звеньями с передаточными функциями и . Параллельно первому введении дополнительная связь.

П
ередаточная функция разомкнутой по единичной отрицательной связи системы и характеристическое уравнение замкнутой системы соответственно равна

,

Теперь условие Стодолы выполняется при любых . Так как в случае уравнения второй степени оно не только необходимо, но и достаточно, то система устойчива при любых положительных коэффициентах усиления .

На рис.2.9.4 в схему введено последовательно форсирующее звено. Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной связи системы в этом случае равна и характеристическое уравнение замкнутой системы равно

Аналогично предыдущему система устойчива при любых положительных .

Критерий устойчивости Раусса-Гурвица

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, что­бы при a 0 > 0 определитель Гурвица  =  n и все его главные миноры  1 ,  2 ,...,  n -1 были строго положительны, т.е.

(2.9.4)

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а 1 ,… ,а n , в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Пример 2.9.2 . Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (2.9.5)

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):

Следовательно,

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид

с учетом a 0 > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает

(Т 1 Т 2 + Т 1 Т 3 +Т 2 Т 3 )(Т 1 +Т 2 +Т 3 ) > Т 1 Т 2 Т 3 (1+ k ) . (2.9.7)

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) переста­нет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k ). Следовательно, обнаруживается противоречие между ус­тойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k , но это приводит к потере устойчивости.

Принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова основан на так называемом принципе аргумента.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы, который по теореме Безу можно представить в виде

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…+ a n = a 0 (p - p 1 )…(p - p n ).

Сделаем подстановку p = j 

D(j  ) = a 0 (j  ) n + a 1 (j  ) n- 1 +…+ a n = a 0 (j  - p 1 )…(j  - p n ) = X( )+jY( ).

Для конкретного значения  имеет точку на комплексной плоскости, задаваемую параметрическими уравнениями

Е
сли изменять  в диапазоне от - до , то будет прочерчена кривая Михайлова, т. е. годограф. Изучим поворот вектора D(j  ) при изменении  от - до , т. е. найдем приращение аргумента вектора (аргумент равен сумме для произведения векторов): .

При  = -  разностный вектор, начало которого в точке р i , а конец на мнимой оси, направлен вертикально вниз. По мере роста  конец вектора скользит вдоль мнимой оси, а при  =  вектор направлен вертикально вверх. Если корень левый (рис. 2.9.19а), то  arg = +  , а если корень правый, то  arg = -  .

Если характеристическое уравнение имеет m правых корней (соответственно n - m левых), то .

Это и есть принцип аргумента. При выделении действительной части Х( ) и мнимой Y( ) мы отнесли к Х( ) все слагаемые, содержащие j  в четной степени, а к Y( ) – в нечетной степени. Поэтому кривая Михайлова симметрична относительно действительной оси (Х( ) – четная, Y( ) – нечетная функция). В результате, если изменять  от 0 до +, то приращение аргумента будет в два раза меньше. В связи с этим окончательно принцип аргумента формулируется следующим образом . (2.9.29)

Если система устойчива, т.е. m = 0, то получаем критерий устойчивости Михайлова.

По Михайлову для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы

, (2.9.30)

то есть кривая Михайлова должна последовательно проходить через n

Очевидно, что для применения критерия Михайлова не требуется точного и детального построения кривой. Важно установить, каким образом она огибает начало координат и не нарушается ли последовательность прохождения n четвертей против часовой стрелки.

Пример 2.9.6. Применить критерий Михайлова для проверки устойчи­вости системы, показанной на рис.2.9.20.

Характеристический полином замкнутой системы при k 1 k 2 > 0 соответствует устойчивой системе, так условие Сто­долы выполняется, а для n = 1 оно достаточно. Можно непосред­ственно найти корень р 1 = - k 1 k 2 и убедиться, что необходимое и достаточное условие устойчивости выполнено. Поэтому применение критерия Михайлова носит иллюстративный характер. Полагая p = j  , получим

D (j  ) = X ( )+ jY ( ),

где Х( ) = ; Y ( ) =  . (2.9.31)

По параметрическим уравнениям (2.9.31) построен годограф Ми­хайлова на рис.2.9.21, из которого видно, что при изменении  от 0 до  вектор D (j  ) поворачивается против часовой стрел­ки на + /2 , т.е. система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста

Как уже было отмечено, кри­терий Найквиста занимает особое положение среди критериев устойчивости. Это частотный критерий, позволяющий определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам ра­зомкнутой. При этом предполагается, что система разомкнута по цепи единичной отрицательной обратной связи (рис.2.9.22).

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что частотные характеристики разомкнутой системы могут быть получены экспери­ментально.

Вывод критерия основан на использовании принципа аргумента. Передаточная функция разомкнутой системы (по цепи единичной от­рицательной обратной связи на рис.2.9.22) равна

Рассмотрим . (2.9.32)

В случае реальной системы с ограниченной полосой про­пускания степень знаменателя передаточной функции разомкнутой системы п больше степени числителя , т.е. n > . Поэтому степени характеристических полиномов разомкнутой системы и замкнутой системы одинаковы и равны n . Переход от АФХ разомкнутой системы к АФХ по (2.9.32) означает увеличение вещественной части на 1, т.е. перенос начала координат в точку (-1, 0), как показано на рис.2.9.23.

Предположим теперь, что замкнутая система устойчива, а характеристическое уравнение разомкнутой системы А(р) = 0 имеет m правых корней. Тогда в соответствии с принципом аргумента (2.9.29) получим необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы по Найквисту

Т.е. для устойчивости замкнутой системы вектор W 1 (j  ) дол­жен делать m /2 полных оборотов против часовой стрелки, что равносильно повороту вектора W pa з (j  ) относительно крити­ческой точки (-1,0).

На практике, как правило, разомкнутая система устойчива, т.е. m = 0. В этом случае приращение аргумента равно нулю, т.е. АФХ разомкнутой системы не должна охватывать критическую точку (-1,0).

Критерий Найквиста для ЛАХ и ЛФХ

На практике чаще используются логарифмические характеристики разомкнутой системы. Поэтому целесообразно сформулировать критерий Найквиста для определения устойчивости замкнутой системы по ним. Количество оборотов АФХ относитель­но критической точки (-1,0) и охват или не охват ее

зависят от количества положительных и отрицательных пересечений интервала (-,-1) действительной оси и соответственно пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L ( )  0 . На рис.2.9.24 изображены АФХ и показаны знаки пересечений отрезка (-,-1) действительной оси.

Спра­ведливо правило

где - число положительных и отрицательных пересечений.

По АФХ рис.2.9.24в построены ЛАХ и ЛФХ, изображенные на рис.2.9.25, причем на ЛФХ отмечены положительные и отрицательные пересечения. На отрезке (-,-1) модуль больше единицы, чему соответствует L ( ) > 0. Поэтому Критерий Найквиста:

Для устойчивости замкнутой системы ЛФХ разомкнутой системы в области, где L ( ) > 0, должна иметь положительных пересечений линии -180° на больше, чем отрицательных.

Если разомкнутая система устойчива, то число положительных и отрицательных пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L ( ) > 0 для устойчивости замкнутой системы должно быть одинаковым или пересечений не должно быть.

Критерий Найквиста для астатической системы

Особо необходимо рассмотреть случай астатической системы порядка r с передаточной функцией разомкнутой системы, равной

.

В этом случае при 0, т. е. амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы уходит в бесконечность. Раньше мы строили АФХ при изменении  от - до  и это была непрерывная кривая, замкнутая при  =  0. Теперь она также замыкается при  = 0, но на бесконечности и при этом не ясно, с какой стороны действительной оси (на бесконечности слева или справа?).

Рис.2.9.19в иллюстрирует, что в этом случае возникает неопределенность в подсчете приращения аргумента разностного вектора. Он теперь все время расположен вдоль мнимой оси (совпадает с j  ). Только при переходе через нуль изменяется направление (при этом поворот вектора против часовой стрелки на  или по часовой стрелке на -?), Для определенности считаем условно, что корень левый и огибание начала координат происходит по дуге бесконечно малого радиуса против часовой стрелки (поворот на + ). Соответственно в окрестности  = 0 представим в виде

,

где  = +  при изменении  от – 0 до + 0. Последнее выражение показывает, что при таком раскрытии неопределенности АФХ поворачивается при изменении  от – 0 до + 0 на угол - по часовой стрелке. Соответственно построенную АФХ надо при  = 0 дополнить дугой бесконечности радиуса на угол , т. е. против часовой стрелки до положительной действительной полуоси.

Запасы устойчивости по модулю и фазе

Чтобы гарантировать устойчивость при изменениях параметров системы вводятся запасы устойчивости по модулю и фазе, определяемые следующим образом.

Запас устойчивости по модулю показывает во сколько раз или на сколько децибел допустимо увеличивать или уменьшать коэффи­циент усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказывалась на границе устойчивости). Он определяется как min(L 3 , L 4) на рис.2.9.25. Действительно, если не менять ЛФХ, то при подъеме ЛАХ на L 4 частота среза  ср переместится в точку  4 и система окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ на L 3 , то частота среза сместится влево в точку  3 и система также окажется на границе устойчивости. Если опустить ЛАХ еще ниже, то в области L ( ) > 0 останется только отрицательное пересечение ЛФХ линии -180°, т.е. по критерию Найквиста система станет неустойчивой.

Запас устойчивости по фазе показывает, на сколько допустимо увеличить фазовый сдвиг при неизменном коэффициенте усиления, чтобы система оставалась устойчивой (оказалась на границе устойчивости). Он определяется как дополнение  ( ср) до -180°.

На практике L  12-20 дБ,   20-30°.

10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ

САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72. При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .

Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD 1 p(p) = 0 , где n - порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

W(j) = = P() + jQ().

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P() - , Q() -j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73.

Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть W р (p) = , тогда АФЧХ САУ:

W(j) = = P() + jQ().

При 0 имеем P() -, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

10.2. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h 1 и h 2 , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).

10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 2 . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).

Если W 1 (p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W 2 (p) = KW 1 (p) , где K = K 2 /K 1 . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W 1 (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L 2 () = 20lgK + L 1 () ,

а ЛФЧХ: 2 () = 1 () .

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = - . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 () 2 () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L 1 () = 20lgA 1 () 2 () > 0 .

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = - , но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1 и c2 , при которых это происходит называют частотами среза .

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > - (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = - . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 -, поэтому при = c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = - . Угол 1 = c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ.

В каком квадранте уходит в бесконечность АФЧХ разомкнутой САУ если порядок астатизма равен трем? Является ли такая САУ структурно устойчивой в замкнутом состоянии:

Как сделать устойчивой структурно неустойчивую САУ?

Что называется запасом устойчивости по модулю?

Что называется запасом устойчивости по фазе?

В чем особенность определения запасов устойчивости для клювообразных САУ?

Как влияет коэффициент усиления САУ на запасы устойчивости?

Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛАЧХ оси w?

Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛФЧХ значения j = -p?

Что называется частотой среза?

Сформулируйте критерий Найквиста для логарифмических характеристик.

В чем особенность логарифмических характеристик, если АФЧХ имеет клювообразный характер?

6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления

Динамика САУ характеризуется переходным процессом, возникающим в ней под действием какого-либо возмущения (управляющего воздействия, помехи, изменения нагрузки и др.). Вид переходного процесса в САУ зависит как от свойств самой САУ, так и от вида действующего на неё возмущения. В зависимости от вида переходного процесса в САУ различают следующие их разновидности.

Устойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий спустя некоторый промежуток времени возвращается к установившемуся состоянию равновесия.

Неустойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий не возвращается к установившемуся состоянию равновесия. Отклонение системы от состояния равновесия будет либо всё время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме незатухающих постоянных колебаний.

Графики кривых переходных процессов, характерные для устойчивых и неустойчивых САУ, представлены на рис. 6.1. Очевидно, что работоспособная САУ должна быть устойчивой.

а)	Примеры устойчивости и неустойчивости некоторой системы можно также иллюстрировать на следующих примерах (рис. 6.2). На рис. 6.2а приведён пример неустойчивой системы – при малейшем отклонении шара от начального устойчивого положения он скатывается по склону поверхности и в исходное положение не возвращается; рис. 6.2б иллюстрирует пример устойчивой системы, поскольку при любом отклонении шар обязательно возвратится к первоначальному положению; рис. 6.2в показывает систему, устойчивую при некоторых малых возмущающих воздействиях. Как только возмущающее воздействие превышает некоторую величину, система теряет устойчивость. Такие системы называют устойчивыми в малом и неустойчивыми в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального возмущающего воздействия.
б)
Рис. 6.1. Виды кривых переходного процесса в устойчивой (а) и в неустойчивой (б) САУ: 1 – апериодический переходный процесс; 2 – колебательный переходный процесс

Анализ работоспособности или устойчивости линейной САУ можно провести с использованием её математической модели. Как было показано ранее, линейная САУ может быть описана дифференциальным уравнением (2.1). Решение данного дифференциального уравнения в общем случае имеет вид (2.3)

где – свободная составляющая решения уравнения (2.1), которая определяется начальными условиями и свойствами рассматриваемой САУ;

– вынужденная составляющая решения уравнения (2.1), определяемая возмущаемыми воздействиями и свойствами рассматриваемой САУ.

Устойчивость САУ характеризуется процессами, происходящими внутри самой САУ. Эти процессы определяются видом свободной составляющей решения уравнения (2.1). Следовательно, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо выполнение следующего условия:

В свою очередь, в общем виде может быть представлена как

где – корни, получаемые при решении характеристического уравнения (2.7). В табл. 6.1 приводятся некоторые разновидности переходных процессов в САУ, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (2.7).

Таблица 6.1

Разновидности переходных процессов в САУ в зависимости от вида корней

характеристического уравнения (2.7)

Окончание табл. 6.1

	m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых отрицательная:		колебательный затухающий	устойчивая
	корни де­й­­­ст­ви­те­льные, поло­жительные, при этом		апериодический расходящийся	неустойчивая
	среди корней (п.1) присутствует m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых положительная:		колебательный расходящийся	неустойчивая
	среди корней (п.1) присутствует пара комплексных корней, действительная часть которых равна нулю:		незатухающие колебания	система на грани устойчивости (чисто теоретический случай)

Для выполнения условия (6.1) необходимо, чтобы каждое слагаемое выражение (6.2) при t®¥ стремилось бы к нулю. Как следует из анализа приводимых в табл. 6.1 примеров переходных процессов в САУ, для этого необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (2.7) были отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной действительной частью. Если среди корней характеристического уравнения (2.7) будет хотя бы один положительный вещественный корень или пара сопряжённых комплексных корней с положительной действительной частью, тогда рассматриваемая САУ будет неустойчива, поскольку слагаемое уравнения (6.2), соответствующее данному корню, при t®¥ будет неограниченно увеличиваться.

На рис. 6.3 и 6.4 приведены примеры расположения корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующие устойчивой и неустойчивой САУ. Как следует из этих примеров, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения САУ находились слева от мнимой оси.

Для анализа устойчивости САУ по виду корней её характеристического уравнения требуется найти аналитическое решение дифференциального уравнения (2.1), что является достаточно трудоёмкой задачей, а в некоторых случаях – невозможной. Поэтому на практике широкое распространение получили критерии устойчивости, под которыми понимается следующее.

Критерий устойчивости – совокупность признаков, позволяющих иметь представление о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения. Существуют следующие разновидности критериев устойчивости:

− алгебраические критерии устойчивости (критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица). Для анализа устойчивости САУ в данном случае используются коэффициенты характеристического уравнения системы;

− частотные критерии устойчивости (критерии Найквиста, Михайлова). Данные критерии устойчивости предполагают применение частотных характеристик системы.

Применение того или иного критерия устойчивости позволяет судить об устойчивости САУ более просто и эффективно, чем при решении описывающего её дифференциального уравнения (2.1). Кроме этого, некоторые критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости САУ и наметить пути по достижению устойчивости системы.

6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Данный вид алгебраического критерия является наиболее распространённым на практике для исследования устойчивости САУ. Исходными данными для исследования устойчивости в данном случае является характеристическое уравнение замкнутой САУ

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.3) составляется матрица (6.4), размерность которой равна порядку характеристического уравнения (6.3). Матрица (6.4) составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с C 1 . Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени порядка характеристического уравнения n заменяются нулями.

Условия устойчивости по Гурвицу: для устойчивости САУ, имеющей характеристическое уравнение (6.3), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (6.3) были положительны, а также были положительны n определители, составленные из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Для составления определителя 1,2, …, n -го порядка берутся 1,2, …, n столбцов и строк. Приводимые ниже примеры иллюстрируют это правило.

Пример 1 . Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 2–го порядка:

матрица (6.4) запишется как

Определители D 1 , D 2 , составленные на основе (6.6), имеют вид

C 0 , C 1 , C 2 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.7) и (6.8).

Пример 2. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 3-го порядка:

матрица (6.4) запишется как

Определители D 1 – D 3 , составленные на основе (6.10), имеют вид

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 3 будут больше нуля, а также будет положительным определитель (6.12).

Пример 3. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 4-го порядка:

матрица (6.4) запишется как

Определители D 1 – D 4 , составленные на основе (6.15), имеют вид

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 4 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.16)–(6.19).

Алгебраический критерий Гурвица позволяет наглядно оценить влияние того или иного параметра на устойчивость САУ в целом. Предположим, что для рассматриваемой САУ, математическая модель которой имеет характеристическое уравнение (6.3), необходимо исследовать влияние значения параметра С n на устойчивость. Для этого, придавая ряд допустимых значений для С n , вычисляем n определителей, составленных из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Каждый из определителей D i где i=0,..,n будет представлять собой функцию, зависящую от параметра С n , которую можно представить в виде графика (рис. 6.5). Изобразив на одном графике функции D i (С n) , где i=0,.., n , определяем на оси абсцисс отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (на рис. 6.5 этот отрезок выделен жирной линией). Следовательно, согласно критерию Гурвица при значениях С n , которые принадлежат выделенному отрезку, система будет устойчивой. Если после построения графиков функции D i (С n) , где i=0,.., n , на оси абсцисс невозможно выделить отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (рис. 6.6), это говорит о том, что изменением значения С n привести САУ к состоянию устойчивости невозможно.

Применение алгебраического критерия устойчивости Гурвица предполагает, что дифференциальное уравнение, описывающее САУ (6.3), известно и достаточно точно известны его коэффициенты. В некоторых случаях на практике выполнить данные условия невозможно. Кроме этого, с увеличением порядка характеристического уравнения САУ (6.3) увеличивается сложность вычисления определителей, составляемых на основе матрицы (6.4). Поэтому на практике получили распространение также частотные критерии устойчивости, которые позволяют оценить устойчивость системы, даже если дифференциальное уравнение (2.1) неизвестно, а в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики рассматриваемой САУ.

6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста

Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Один из таких критериев – критерий Найквиста или частотный амплитудно-фазовый критерий. Данный вид критерия является следствием теоремы Коши. Доказательство справедливости критерия Найквиста приводится в . Рассматриваемый критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ этой САУ в разомкнутом состоянии, поскольку данное исследование выполнить проще.

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста является её АФЧХ, которая может быть получена либо экспериментально, либо с использованием известного выражения для передаточной функции разомкнутой САУ (3.6) путём замены p=jw .

Условия устойчивости по Найквисту:

1) если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от –¥ до +¥ j 0);

2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k корней в правой полуплоскости, то АФЧХ САУ при изменении w от –¥ до +¥ должна охватывать k раз точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Угол поворота вектора W(jw) должен составлять при этом 2p k .

Замкнутая САУ будет устойчива, если при изменении w от 0 до +¥ разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (–¥ , –1) будет равна k/2 , где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. За отрицательный переход годографа вектора W(jw) считается его переход из нижней полуплоскости в верхнюю при возрастании w . За положительный переход годографа вектора W(jw) принимается его переход из верхней полуплоскости в нижнюю при той же последовательности изменения частоты.

При отрицательном знаке у комплексной частотной характеристики указанные выше положения определяются точкой (+1, j 0).

Критерий Найквиста справедлив также для случая, когда полином С(p) в (3.6) САУ имеет нулевой корень, что соответствует значению АФЧХ, равному бесконечности. Для исследования устойчивости таких САУ необходимо мысленно дополнить годограф АФЧХ окружностью бесконечного радиуса и замкнуть годограф с вещественной полуосью в кратчайшем направлении. Далее проверить соблюдение условий устойчивости по Найквисту и сделать выводы.

Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ приведены на рис. 6.7, 6.8.

6.4. Логарифмический критерий устойчивости

Данный критерий устойчивости есть интерпретация частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Рассмотрим две АФЧХ (рис. 6.9), соответствующие разомкнутой САУ, при этом АФЧХ (1) соответствует САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии, АФЧХ (2) – САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Введём характерные точки рассматриваемых АФЧХ: w 1с , w 2с – точки, соответствующие частотам, при которых амплитуды векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными единице. Данная частота носит название частоты среза. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, центр которой находится в начале координат (на рис. 6.9 эта окружность изображена пунктирной линией). Эта же точка соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 6.10); w 1 p , w 2 p – точки, соответствующие частотам, при которых фазы векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными –180 О. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с вещественной отрицательной полуосью. Эта же точка соответствует точке пересечения ЛФЧХ с осью абсцисс при условии, что ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 6.10.

Рис. 6.9. АФЧХ САУ: 1 – неустойчивой в разомкнутом состоянии; 2 – устойчивой в разомкнутом состоянии	Рис. 6.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ

Согласно критерию устойчивости Найквиста, если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от –¥ до +¥ , не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Другими словами, как следует из рис. 6.9, система будет устойчива, если w p >w с , в противном случае (w p ) система будет неустойчива. Если проводить анализ об устойчивости системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 6.10), тогда можно утверждать, что если частота среза w с располагается на оси частот левее частоты w p , то такая САУ будет устойчива в разомкнутом состоянии, в противном случае САУ в разомкнутом состоянии будет неустойчивой.

Если число точек пересечения АФЧХ и отрицательной вещественной полуоси на отрезке (–¥ , –1) при изменении w от 0 до +¥ больше одной (рис. 6.11), тогда, для того чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы количество таких точек на отрезке (–¥ , –1) было чётным. При этом ЛФЧХ должна пересечь чётное количество раз ось абсцисс на отрезке от 0 до частоты среза w с (рис. 6.12).

Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которые в разомкнутом состоянии неустойчивы и имеют k -корней, лежащих справа от мнимой оси, логарифмический критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом: подобные САУ будут устойчивы, если разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение –180°, лежащих на отрезке от 0 до w С , будет равна k/2 . Напомним, что за положительный переход характеристики принимается её переход из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании w . За отрицательный переход характеристики принимается её переход из нижней полуплоскости в верхнюю при той же последовательности изменения частоты. Частотные характеристики САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, у которой k=1 , приведены на рис. 6.13, 6.14.

6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова является АФЧХ замкнутой системы, которая может быть получена с помощью характеристического полинома замкнутой САУ (3.35), имеющего порядок n :

Условия устойчивости по Михайлову: если вектор , характеризующий замкнутую САУ, при изменении w от –¥ до +¥ описывает в положительном направлении (не изменяя направления) угол, равный np (где n – степень характеристического полинома (6.20)), то такая САУ будет устойчивой. В противном случае САУ будет неустойчивой. Доказательство данного утверждения приводится в .

Поскольку годограф кривой вектора передаточной функции замкнутой САУ симметричен, допускается ограничиться рассмотрением лишь его части, соответствующей изменениям w от 0 до +¥ . При этом угол, описываемый вектором , при изменении w от 0 до +¥ уменьшится вдвое.

На рис. 6.15, 6.16 приведены примеры годографов вектора , соответствующие устойчивой, неустойчивой и нейтральной САУ (системы, находящейся на грани устойчивости).

6.6. Построение областей устойчивости САУ

Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить, устойчива рассматриваемая САУ при заданных параметрах или нет. Если САУ неустойчива, часто приходится искать ответ на вопрос: в чём причина неустойчивости, и определить пути её устранения. Кроме оценки устойчивости, на практике часто возникает необходимость определения путей повышения динамических показателей САУ. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью существующих критериев устойчивости САУ, однако наиболее эффективно они решаются путём построения областей устойчивости и неустойчивости САУ.

Предположим, что рассматриваемая САУ неустойчива и при этом она может быть представлена линейным дифференциальным уравнением (2.1), характеристическое уравнение которого будет иметь следующий вид (6.3):

Далее предположим, что коэффициенты С 0 –С n -1 данного характеристического уравнения заданы, а коэффициент С n может изменяться в диапазоне С n (min) –С n (max) . Задавая ряд значений для С n из указанного диапазона, находим в пределах этого диапазона отрезки, на протяжении которых С n имеет такие значения, при которых САУ будет устойчивой (рис. 6.17), т.е. все корни характеристического уравнения (6.21) будут лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Граничные точки «отрезков устойчивости» соответствуют значениям С n , при которых САУ находится на грани устойчивости.

В уравнении (6.21) могут изменяться два и более коэффициентов. Если в нём изменяются два коэффициента (предположим, что это С 0 и С n ), тогда проводится исследование зависимости устойчивости САУ от значений коэффици-

ентов С 0 и С n путем задания ряда значений этим коэффициентам из некоторых допустимых диапазонов и проверка устойчивости САУ при выбранных значениях С 0 и С n . В этом случае области устойчивости будут представлять собой некоторые участки на плоскости координат изменяемых коэффициентов С 0 и С n (рис. 6.18). Границей устойчивости системы в данном случае будет кривая, ограничивающая области устойчивости.

Если в характеристическом уравнении изменяются в некоторых допустимых пределах три параметра (например, С 0 , С 1 и С n ), тогда при исследовании зависимости устойчивости САУ от значений С 0 , С 1 и С n будет найдена область устойчивости САУ, которая будет представлять собой часть пространства, ограниченную некоторой сложной поверхностью (рис. 6.19). Эта сложная поверхность в данном случае будет границей устойчивости САУ.

Рис. 6.19. Область устойчивости САУ при изменении трёх параметров
(С 0 , С 1 и С n )

В общем случае, если предположить, что в характеристическом уравнении (6.21) все входящие в него коэффициенты С 0 -С n могут изменяться в некоторых допустимых пределах, тогда устойчивость САУ можно рассматривать как логическую функцию, определённую в некотором многомерном пространстве. В одних точках этого многомерного пространства эта функция будет принимать значение «Истина» (САУ устойчива), в других – «Ложь» (САУ неустойчива). Каждой точке такого пространства (пространства коэффициентов) будут соответствовать определённые значения С 0 -С n , которые являются его координатами. Гиперповерхность, ограничивающая область устойчивости САУ, будет являться границей области устойчивости в рассматриваемом пространстве коэффициентов.

При определении областей устойчивости САУ может быть выделена одна область устойчивости, может быть выделено несколько областей устойчивости, а может быть не выделено ни одной.