Дисперсия света

Электромагнитные волны могут распространяться не только в пустоте, но и в различных средах. Но только в вакууме скорость распространения волн постоянна и не зависит от частоты. Во всех остальных средах скорости распространения волн различной частоты неодинаковы. Так как абсолютный показатель преломления зависит от скорости света в веществе (), то экспериментально наблюдается зависимость показателя преломления от длины волны – дисперсия света.

Отсутствие дисперсии света в вакууме с большой достоверностью подтверждается наблюдениями за астрономическими объектами, так как межзвездное пространство является наилучшим приближением к вакууму. Средняя плотность вещества в межзвездном пространстве составляет 10 -2 атомов на 1 см 3 , тогда как в лучших вакуумных приборах она не меньше 10 4 атомов на 1 см 3 .

Убедительными доказательствами отсутствия дисперсии в космосе являются исследования затмения удаленных двойных звезд. Излучаемый звездой световой импульс не является монохроматическим. Предположим, что он состоит из красных и синих лучей, и красные лучи распространяются быстрее синих. Тогда при начале затмения свет звезды должен изменяться от нормального до синего, а при выходе из него – от красного до нормального. При огромных расстояниях, которые проходит свет от звезды, даже ничтожная разница в скоростях красных и синих лучей не могла быть незамеченной. Тем не менее, результаты опытов показали, что никаких изменений в спектральном составе излучения до и после затмения нет. Араго, наблюдая за двойной звездой Альголь, показал, что разница в скоростях красных и синих волн не может превышать одной стотысячной скорости света. Эти и другие эксперименты убеждают, что следует признать отсутствие дисперсии света в межзвездном пространстве (с точностью, которую достигает современный эксперимент).

Во всех остальных средах дисперсия имеет место. Среды, обладающие дисперсией, называются диспергирующими. В диспергирующих средах скорость световых волн зависит от длины волны или частоты.

Таким образом, дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества или зависимость фазовой скорости световых волн от частоты или длины волны. Эту зависимость можно охарактеризовать функцией

,

(4.1)

где – длина световой волны в вакууме.

Для всех прозрачных бесцветных веществ функция (4.1) в видимой части спектра имеет вид, представленный на рис. 4.1. С уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается со все возрастающей скоростью. В этом случае дисперсия называется нормальной.

Если вещество поглощает часть лучей, то в области поглощения и вблизи нее ход дисперсии обнаруживает аномалию. На некотором интервале длин волн показатель преломления растет с увеличением длины волны. Такой ход зависимости от называется аномальной дисперсией.

На рис. 4.2 участки 1–2 и 3–4 соответствуют нормальной дисперсии. На участке 2–3 дисперсия аномальна.

Первые экспериментальные исследования дисперсии света принадлежат Ньютону (1672 г.). Они были выполнены по способу преломления солнечного луча в призме.

Рис. 4.2

Луч света от Солнца проходил через отверстие в ставне и, преломившись в призме, давал изображение на листе белой бумаги. При этом изображение круглого отверстия растягивалось в окрашенную полосу от красного цвета до фиолетового. В своем труде «Оптика» Ньютон описал свои исследования так: «Я поместил в очень темной комнате у круглого отверстия около трети дюйма шириной в ставне окна стеклянную призму, благодаря чему пучок солнечного света, входившего в это отверстие, мог преломляться вверх к противоположной стене комнаты и образовывал там цветное изображение солнца… Зрелище живых и ярких красок, получившееся при этом, доставляло мне очень приятное удовольствие ».

Получившуюся в результате преломления света в призме цветную полосу Ньютон назвал спектром. В спектре условно различают семь главных цветов, постепенно переходящих из одного в другой, занимая в нем участки различного размера (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Это объясняется тем, что цветные лучи, входящие в состав белого света, неодинаково преломляются призмой. Наименьшее отклонение от первоначального направления имеет красная часть спектра, наибольшее – фиолетовая, следовательно, наименьший показатель преломления – у красных лучей, наибольший – у фиолетовых, то есть свет с разными длинами волн распространяется в среде с разными скоростями: фиолетовый – с наименьшей, красный – с наибольшей.

Вышедшие из призмы цветные лучи спектра можно собрать линзой или второй призмой и получить на экране пятно белого света. Если же из спектра выделить цветной пучок лучей одного какого-либо цвета, например, красного и пропустить его через вторую призму, то пучок вследствие преломления отклонится, но уже не разлагаясь на составные тона и не изменяя цвета. Отсюда следует, что призма не меняет белый свет, а разлагает его на составные части. Из белого света можно выделить пучки различных цветов, и лишь совместное действие их вызывает у нас ощущение белого света.

Метод Ньютона и сейчас является хорошим методом исследования и демонстрации дисперсии. При сравнении спектров, полученных с помощью призм с равными преломляющими углами, но из разных веществ, можно увидеть отличие спектров, которое состоит не только в том, что спектры отклонены на разный угол из-за разного показателя преломления для одной и той же длины волны, но и растянуты неодинаково из-за разной дисперсии, то есть разной зависимости показателя преломления от длины волны.

Рис. 4.4

Наглядным методом, позволяющим исследовать дисперсию в призмах из различного материала, является метод скрещенных призм, который также впервые применялся Ньютоном. В этом методе свет проходит последовательно через две призмы Р 1 и Р 2 , преломляющие ребра которых расположены перпендикулярно друг другу (рис. 4.4). С помощью линз L 1 и L 2 свет собирается на экране AB. Если бы была только одна призма Р 1 , то на экране получилась бы цветная горизонтальная полоска . При наличии второй призмы каждый луч будет отклонен вниз и тем сильнее, чем больше его показатель преломления в призме Р 2 . В результате получится изогнутая полоска . Красный конец будет смещен менее всего, фиолетовый – больше всего. Вся полоска наглядно представит ход дисперсии в призме Р 2 .

На рис. 4.5 представлено преломление белого света на плоской границе раздела вакуума и прозрачного вещества с очень большим показателем преломления. Для наглядности спектр, получившийся в результате дисперсии, представлен отдельными лучами, соответствующими основным цветам спектра. Проведенный расчет позволяет увидеть, какие из лучей будут отклоняться на большие, а какие – на меньшие углы.

Рис. 4.5

В 1860 г. французский физик Леру, проводя измерения показателя преломления для ряда веществ, неожиданно обнаружил, что пары йода преломляют синие лучи в меньшей степени, чем красные. Леру назвал обнаруженное им явление аномальной дисперсией света. Если при нормальной дисперсии показатель преломления с ростом длины волны уменьшается, то при аномальной дисперсии показатель преломления, наоборот, увеличивается. Явление аномальной дисперсии было детально исследовано немецким физиком Кундтом в 1871–1872 гг. При этом Кундт воспользовался методом скрещенных призм, который был предложен в свое время Ньютоном.

Систематические экспериментальные исследования Кундтом аномальной дисперсии показали, что явление аномальной дисперсии связано с поглощением, то есть аномальный ход дисперсии наблюдается в области длин волн, в которой свет сильно поглощается веществом.

Наиболее отчетливо аномальная дисперсия наблюдается в газах (парах), имеющих резкие линии поглощения. Все вещества поглощают свет, однако для прозрачных веществ область поглощения, а следовательно, и область аномальной дисперсии лежит не в видимой, а в ультрафиолетовой или инфракрасной области.

Согласно электромагнитной теории света фазовая скорость электромагнитной волны связана со скоростью света в вакууме соотношением

где – диэлектрическая проницаемость, – магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ очень близко к 1. Поэтому показатель преломления вещества будет равен

и, следовательно, дисперсия света объясняется зависимостью от частоты. Эта зависимость связана с взаимодействием электромагнитного поля световой волны с атомами и молекулами вещества.

С классической точки зрения дисперсия света возникает в результате вынужденных колебаний заряженных частиц – электронов и ионов – под действием переменного поля электромагнитной волны. Переменное поле электромагнитной волны периодически ускоряет многочисленные микроскопические заряды вещества. Ускоренные полем заряды теряют полученный избыток энергии двумя путями. Во-первых, они передают энергию среде, а во-вторых, как всякие ускоренные заряды, они излучают новые волны. В первом случае происходит поглощение излучения, а во втором – распространение излучения в среде вследствие непрерывного поглощения и переизлучения электромагнитных волн зарядами вещества.

Все электроны, входящие в атом, можно разделить на периферийные, или оптические, и электроны внутренних оболочек. На излучение и поглощение света оказывают влияние только оптические электроны. Собственные частоты электронов внутренних оболочек слишком велики, так что их колебания полем световой волны практически не возбуждаются. Поэтому в теории дисперсии можно ограничиться рассмотрением одних только оптических электронов.

Дисперсия света в веществе объясняется тем, что оптические электроны в атомах совершают под действием электрического поля электромагнитных волн вынужденные колебания с частотой падающих волн. Колеблющиеся электроны излучают вторичные электромагнитные волны той же частоты. Эти волны, складываясь с приходящей волной, образуют распространяющуюся в среде результирующую волну, которая распространяется в среде с фазовой скоростью, отличающейся от скорости света в вакууме.

Особым образом волна ведёт себя в области частот, близких к собственной частоте колебаний электронов. В этом случае имеет место явление резонанса, в результате которого сдвиг фаз первичной волны и вторичных волн равен нулю, резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний электронов и наблюдается значительное поглощение средой энергии падающих волн.

Вдали от резонанса фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, а показатель преломления увеличивается, и, следовательно, наблюдается нормальная дисперсия. В области частот, близких к собственным колебаниям оптических электронов, фазовая скорость увеличивается с ростом частоты, а показатель преломления уменьшается, то есть наблюдается аномальная дисперсия.

Рис. 4.6

Дисперсия света в призме. Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n . После двукратного преломления на гранях призмы луч отклоняется от первоначального направления на угол (рис. 4.6). Из рис. 4.6 видно, что . Так как , то . Если угол падения луча на левую грань мал и преломляющий угол призмы также невелик, то малыми будут и углы . Тогда, записывая закон преломления для каждой грани призмы, можно вместо синусов углов использовать их величину, поэтому , . Отсюда следует, что преломляющий угол призмы , а угол отклонения лучей призмой .

Так как показатель преломления зависит от длины волны, то лучи разных длин волн после прохождения призмы отклонятся на разные углы, что и наблюдал Ньютон.

Разлагая свет в спектр с помощью призмы, можно определить его спектральный состав, так же, как и с помощью дифракционной решетки. Цвета в спектрах, полученных с помощью призмы и с помощью дифракционной решетки, располагаются по-разному. Дифракционная решетка, как следует из условия для главного максимума , сильнее отклоняет лучи с большей длиной волны. Призма же разлагает свет в спектр в соответствии с показателем преломления, который в области нормальной дисперсии уменьшается с увеличением длины волны. Поэтому красные лучи отклоняются призмой меньше, чем фиолетовые.

Принципиальная схема простейшего спектрального прибора, действие которого основано на явлении дисперсии, представлена на рис. 4.7. Источник излучения S находится в фокальной плоскости линзы . Выходящий из линзы параллельный пучок света падает на призму. Вследствие дисперсии света в веществе призмы лучи, соответствующие разным длинам волн, выходят из призмы под разными углами. В фокальной плоскости линзы находится экран, на котором отображается спектр падающего излучения.

Это интересно!

Радуга

Радуга

Радуга – это красивое небесное явление, возникающее во время дождя, – всегда привлекала внимание человека. У радуги различают семь основных цветов, плавно переходящих один в другой. Вид дуги, яркость цветов, ширина полос зависят от размеров капелек воды и их количества.

Впервые теория радуги была дана в 1637 г. Рене Декартом. Он объяснил возникновение радуги отражением и преломлением света в дождевых каплях. Образование цветов и их последовательность были объяснены позже, после разгадки сложной природы белого света и его дисперсии в среде. Попадая внутрь капли, солнечный луч преломляется и вследствие дисперсии разлагается в спектр; отраженные от задней полусферы капли цветные лучи спектра солнечного излучения выходят обратно через переднюю поверхность капли. Поэтому видеть радугу можно лишь тогда, когда Солнце находится с одной стороны от наблюдателя, а дождь идет с другой стороны.

Из-за дисперсии каждый цвет в отраженных лучах собирается под своим углом, поэтому радуга образует в небе дугу. Цвета в дождевой радуге разделены не очень четко, поскольку капли имеют разный диаметр, и на одних каплях дисперсия проявляется сильнее, на других – слабее. Большие капли создают более узкую радугу, с резко выделяющимися цветами, малые – дугу расплывчатую и неяркую. Поэтому летом после грозового дождя, во время которого падают крупные капли, видна особенно яркая и узкая радуга.

Гало

Гало

Гало – это группа оптических явлений в атмосфере. Возникают они вследствие преломления и отражения света ледяными кристаллами, образующими перистые облака и туманы. Термин произошел от французского halo и греческого halos – световое кольцо вокруг Солнца или Луны. Гало обычно появляется вокруг Солнца или Луны, иногда вокруг других мощных источников света, таких как уличные фонари. Проявления гало весьма разнообразны: в случае преломления они имеют вид радужных полос, пятен, дуг и кругов на небесном своде, при отражении полосы белые.

Вид наблюдаемого гало зависит от формы и расположения кристаллов. Преломленный ледяными кристаллами свет вследствие дисперсии разлагается в спектр, что делает гало похожим на радугу.

Гало следует отличать от венцов, которые внешне схожи с ним, но имеют другое, дифракционное, происхождение.

Зеленый луч

Зеленый луч

Зеленый луч – редкое оптическое явление, которое представляет собой вспышку зелёного света в момент исчезновения солнечного диска под горизонтом или появления его из-за горизонта. Для наблюдения зелёного луча необходимы три условия: открытый горизонт (в степи или на море в отсутствие волнения), чистый воздух и свободная от облаков сторона горизонта, где происходит заход или восход Солнца. Обычная продолжительность зелёного луча всего несколько секунд. Причина этого явления – рефракция (преломление) солнечных лучей в атмосфере, сопровождающаяся их дисперсией, то есть разложением в спектр.

Рефракция света в атмосфере – оптическое явление, вызываемое преломлением световых лучей в атмосфере и проявляющееся в кажущемся смещении удалённых объектов, а иногда и в кажущемся изменении их формы. Некоторые проявления рефракции, например, сплюснутая форма дисков Солнца и Луны у горизонта, мерцание звёзд, дрожание далёких земных предметов в жаркий день, были замечены уже в древности. Причина этого в том, что атмосфера является средой оптически неоднородной, лучи света распространяются в ней не прямолинейно, а по некоторой кривой линии. Поэтому наблюдатель видит объекты не в направлении их действительного положения, а вдоль касательной к траектории луча в точке наблюдения. При этом сила рефракции зависит от длины волны луча: чем короче длина волны луча, тем сильнее он будет приподниматься за счет рефракции. Вследствие различия рефракции для лучей с разной длиной волны, особенно большой вблизи горизонта, у диска восходящего или заходящего Солнца может наблюдаться цветная кайма (сверху сине-зелёная, снизу красная). Этим и объясняется явление зелёного луча.

Красная и оранжевая части диска Солнца заходят за горизонт раньше зелёной и голубой. Дисперсия солнечных лучей в наиболее явном виде проявляется в самый последний момент захода Солнца, когда над горизонтом остается небольшой верхний сегмент, а затем только самая верхушка солнечного диска. Когда Солнце погружается под горизонт, последним лучом мы должны были бы увидеть фиолетовый. Однако самые коротковолновые лучи – фиолетовые, синие, голубые – настолько сильно рассеиваются, что не доходят до земной поверхности. Кроме того, к лучам этой части спектра меньше чувствительны глаза человека. Поэтому в последний момент захода происходит быстрая смена цветов от красного через оранжевый и жёлтый к зелёному и последний луч заходящего Солнца оказывается яркого изумрудного цвета. Это явление и получило название зелёного луча.

При восходе Солнца имеет место обратная смена цветов. Первый луч восходящего Солнца – зелёный – сменяется жёлтым, оранжевым и, наконец, из-за горизонта показывается красный край восходящего светила.

Поглощение света

При прохождении электромагнитных волн через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение колебаний электронов в атомах и молекулах. В идеальной однородной среде периодически колеблющиеся диполи излучают когерентные вторичные электромагнитные волны той же частоты и при этом полностью отдают поглощенную долю энергии. Соответствующий расчет дает, что в результате интерференции вторичные волны полностью гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны, и изменяют ее фазовую скорость. Поэтому в случае идеальной однородной среды поглощения света и перераспределения света по направлениям, то есть рассеяния света, не происходит.

В реальном веществе не вся энергия колеблющихся электронов испускается обратно в виде электромагнитной волны, а часть ее переходит в другие формы энергии и, главным образом, – в тепловую. Возбужденные атомы и молекулы взаимодействуют и сталкиваются друг с другом. При этих столкновениях энергия колебаний электронов внутри атомов может переходить в энергию внешних хаотических движений атомов в целом. В металлах электромагнитная волна приводит в колебательное движение свободные электроны, которые затем при столкновениях отдают накопленный избыток энергии ионам кристаллической решетки и тем самым нагревают ее. В некоторых случаях энергия, поглощенная молекулой, может сконцентрироваться на определенной химической связи и полностью затратиться на ее разрыв. Это так называемые фотохимические реакции, то есть реакции, происходящие за счет энергии световой волны.

Поэтому интенсивность света при прохождении через обычное вещество уменьшается – свет поглощается в веществе. Поглощение света можно описать с энергетической точки зрения.

Рассмотрим широкий пучок параллельных лучей, распространяющихся в поглощающей среде (рис. 4.8). Обозначим начальную интенсивность лучистого потока в плоскости через . Пройдя в среде путь z, лучистый пучок в результате поглощения света ослабляется, и его интенсивность становится меньше .

Выделим в среде участок толщиной . Интенсивность света, прошедшего путь , равная , будет меньше , то есть . Величина представляет собой уменьшение интенсивности падающего излучения вследствие поглощения на участке . Эта величина пропорциональна толщине участка и интенсивности падающего на этот участок света , то есть , где – коэффициент поглощения, который зависит как от природы вещества (его химического состава, агрегатного состояния, концентрации, температуры), так и от длины волны света, взаимодействующего с веществом. Функцию, определяющую зависимость коэффициента поглощения от длины волны, называют спектром поглощения.

Выражение для интенсивности света, прошедшего через среду определенной толщины z , носит название закона Бугера:

где – интенсивность света при , – основание натурального логарифма.

Для всех веществ поглощение имеет избирательный характер. Для жидких и твердых веществ зависимость имеет вид, подобный изображенному на рис. 4.9. В этом случае сильное поглощение наблюдается в широком интервале длин волн. Наличие таких полос поглощения лежит в основе действия светофильтров – пластин, содержащих добавки солей или органических красителей. Фильтр прозрачен для тех длин волн, которые он не поглощает.

Металлы практически непрозрачны для света. Это связано с наличием в них свободных электронов, которые под действием электрического поля световой волны приходят в движение. Согласно закону Джоуля–Ленца возникающие при этом в металле быстропеременные токи сопровождаются выделением тепла. В результате энергия световой волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию металла.

Рис. 4.10

В случае газов или паров при невысоком давлении лишь для очень узких спектральных интервалов (рис. 4.10). В этом случае атомы практически не взаимодействуют друг с другом, и максимумы соответствуют резонансным частотам колебаний электронов внутри атомов. Внутри полосы поглощения наблюдается аномальная дисперсия, то есть показатель преломления убывает с уменьшением длины волны.

В случае многоатомных молекул возможно также поглощение на частотах, соответствующих колебаниям атомов внутри молекул. Но так как массы атомов в десятки тысяч раз больше массы электронов, то эти частоты соответствуют инфракрасной области спектра. Поэтому многие вещества, прозрачные для видимого света, обладают поглощением в ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра. Так, обычное стекло поглощает ультрафиолетовые лучи и инфракрасные лучи с большими частотами. Прозрачными для ультрафиолетовых лучей являются кварцевые стекла.

Избирательным поглощением стекла или полиэтиленовой пленки обусловлен так называемый парниковый эффект: инфракрасное излучение, испускаемое нагретой землей, поглощается стеклом или пленкой и, следовательно, задерживается внутри парника.

Биологические ткани и некоторые органические молекулы сильно поглощают ультрафиолетовое излучение, губительное для них. Живую природу на Земле от ультрафиолетового излучения защищает слой озона в верхних слоях атмосферы, интенсивно поглощающий ультрафиолетовое излучение. Вот почему человечество так обеспокоено появлением озоновой дыры в районе Южного полюса.

Рис. 4.12

Зависимость коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенностью поглощающих тел. Так, лепестки розы (рис. 4.11) при освещении ее солнечным светом слабо поглощают красные лучи и сильно поглощают лучи, соответствующие другим длинам солнечного спектра, поэтому роза красная. Лепестки белой орхидеи (рис. 4.12) отражают все длины волн солнечного спектра. А листья у обоих цветков зеленые, это значит, что из всего диапазона волн они отражают в основном волны зелёной части спектра, а остальные поглощают.

Рассеяние света

С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходя через вещество, возбуждает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны становятся источниками вторичных волн. Вторичные волны являются когерентными и поэтому должны интерферировать. В случае однородной среды вторичные волны гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны. Поэтому рассеяние света, то есть перераспределение его по разным направлениям, отсутствует. В направлении первичной волны вторичные волны, интерферируя с первичной волной, образуют результирующую волну, фазовая скорость которой отлична от скорости света в вакууме. Этим объясняется дисперсия света.

Рис. 4.13

Следовательно, рассеяние света возникает только в неоднородной среде. Такие среды называются мутными. Примерами мутных сред могут быть дымы (взвеси мельчайших частиц в газах); туманы (взвеси капелек жидкости в газах); суспензии, образованные мелкими твердыми частичками, плавающими в жидкости; эмульсии, то есть взвеси частиц одной жидкости в другой (например, молоко – взвесь капелек жира в воде).

Если бы неоднородности располагались в определенном порядке, то при распространении волны получилась бы дифракционная картина с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов интенсивности. Однако чаще всего их координаты не только случайны, но еще изменяются со временем. Поэтому вторичное излучение, возникшее на неоднородностях, дает довольно равномерное распределение интенсивности по всем направлениям. Это явление и называют рассеянием света. В результате рассеяния энергия первичного пучка света постепенно уменьшается, как и при переходе энергии возбужденных атомов в другие формы энергии. Так свет уличного фонаря в тумане распространяется не прямолинейно, а рассеивается во всех направлениях, и интенсивность его быстро убывает при удалении от фонаря, как вследствие поглощения, так и из-за рассеяния (рис. 4.13)

Закон Рэлея. Рассеяние света в мутных средах на неоднородностях, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, можно наблюдать, например, при прохождении солнечного света через сосуд с водой, в которую добавлено немного молока. При наблюдении сбоку в рассеянном свете среда кажется голубой, то есть в рассеянном излучении преобладают волны, соответствующие коротковолновой части спектра солнечного излучения. Свет же, прошедший через толстый слой мутной среды, кажется красноватым.

Это можно объяснить тем, что электроны, совершающие вынужденные колебания в атомах, эквивалентны диполю, который колеблется с частотой падающей на него световой волны. Интенсивность излучаемого им света пропорциональна четвертой степени частоты, или обратно пропорциональна четвертой степени длины волны:

Это утверждение и составляет содержание закона Рзлея.

Из закона Рэлея следует, что коротковолновая часть спектра рассеивается значительно сильнее длинноволновой. Так как частота голубого света примерно в 1,5 раза больше, чем красного, то и рассеивается он в 5 раз интенсивнее, чем красный. Этим и объясняется голубой цвет рассеянного света и красный свет прошедшего.

Электроны, не связанные в атомах, а свободные – например, в плазме – тоже раскачиваются светом и рассеивают его в стороны. В частности, именно благодаря этому эффекту мы можем наблюдать свечение солнечной короны и, следовательно, получать информацию о стратосфере Солнца.

Молекулярное рассеяние . Даже очищенные от примесей жидкости и газы рассеивают свет. Роль оптических неоднородностей в этом случае играют флуктуации плотности. Под флуктуациями плотности понимаются отклонения плотности в пределах малых объемов от ее среднего значения, возникающие в процессе хаотического теплового движения молекул среды. Рассеяние света, обусловленное флуктуациями плотности, называют молекулярным рассеянием

Рис. 4.14

Рис. 4.15

Вот почему небо выглядит синим, а Солнце желтоватым! Наслаждаясь видом безоблачного неба, мы вряд ли склонны вспоминать о том, что небесная синева – это одно из проявлений рассеяния света. Непрерывно возникающие в атмосфере флуктуации плотности в соответствии с законом Рэлея приводят к тому, что синие и голубые составляющие солнечного света рассеиваются сильнее, чем желтые и красные. Когда мы смотрим на небо, то видим там рассеянный солнечный свет, где преобладают короткие волны синей части спектра (рис. 4.14). Когда же вы смотрим на Солнце, то наблюдаем спектр его излучения, из которого вследствие рассеяния удалена часть синих лучей. Особенно хорошо этот эффект проявляется при низком положении Солнца над горизонтом. Ну кто не любовался ярко красным восходящим или заходящим Солнцем! На закате, когда солнечные лучи совершают значительно более длительное путешествие сквозь атмосферу, Солнце кажется нам особенно красным, поскольку в этом случае рассеиваются и исчезают из его спектра не только синие, но и зеленые, и желтые лучи (рис. 4.15).

Это интересно!

Голубое Солнце

Как часто можно встретить в фантастических романах «голубое Солнце»! Возможно ли такое явление?

Мы уже выяснили, что из-за рассеяния Рэлея в атмосфере Солнце должно быть красноватое. Однако рэлеевское рассеяние имеет место только тогда, когда длина волны проходящего через среду света много больше неоднородностей, на которых происходит рассеяние. В случае частиц большего размера рассеяние практически не зависит от длины волны света. Вот почему туман, облака белые, а в жаркий день при высокой влажности воздуха небо из голубого превращается в белесое.

Оказывается, Солнце тоже можно иногда, очень редко, видеть голубым. В сентябре 1950 г. такое явление наблюдали над североамериканским континентом. Небо над южными районами Канады, над Онтарио и другими великими озерами, над восточным побережье США в ясный безоблачный день приобрело красновато-коричневый оттенок. И в небе светило туманное голубое Солнце! А ночью на небо взошла голубая Луна.

Однако ничего мистического на самом деле не происходило. Связано это с оптическими эффектами в земной атмосфере. Если в атмосфере много частиц размером около микрона (миллионная доля метра), то воздух начинает играть роль голубого фильтра. Неважно, что именно это за частицы: капельки воды, ледяные кристаллики, частички дыма от горящего леса, вулканический пепел или просто поднятая ветром пыль. Важно, чтобы они были одинаковые, микронного размера.

Причина появления голубого Солнца над Канадой заключалась в том, что в провинции Альберта уже много лет тлели торфяники. Внезапно пожар вырвался наружу и чрезвычайно усилился. Сильный ветер понес продукты горения на юг, накрывая огромные площади. При пожаре возникало большое число масляных капелек, которые висели в атмосфере не один день. Они-то и виновны в необычном небесном явлении. Если размеры рассеивающих частиц близки к длине волны падающего света, возникает резонанс, и рассеяние на этой длине волны резко возрастает. Осенью 1950 г. размеры капелек как раз и были порядка длины волны красно-оранжевого света. Вот поэтому небо из голубого и превратилось в красное, а Луна и Солнце из красноватых превратились в голубые.

Подобные странные оптические явления наблюдались в XIX в. после извержения вулкана Кракатау. Так что голубые Луна и Солнце – явление очень редкое, но не уникальное, а тем более не невозможное.

Свет и цвет

Окружающий нас мир всегда полон разнообразнейших красок. Как же возникает это цветовое богатство? Почему каждое вещество окрашено в свой цвет? Изумрудная зелень лугов, золотистые цветы одуванчиков, яркое оперение птиц, крылья бабочек, рисунки и иллюстрации – все это создается особенностями взаимодействия света с веществом и цветовым зрением человека. Окружающие нас предметы, будучи освещенными одним и тем же белым солнечным светом, представляются нашему взору различно окрашенными.

Падая на освещаемый предмет, волна обычно разделяется на три части: одна часть отражается от поверхности предмета и рассеивается в пространстве, другая часть поглощается веществом, и третья проходит сквозь него.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Если отраженная и прошедшая компоненты отсутствуют, то есть вещество поглощает упавшее на него излучение, то глаз наблюдателя ничего не воспримет, и рассматриваемое вещество будет выглядеть черным. При отсутствии прошедшей компоненты оно будет непрозрачным. Ясно, что в этом случае окраска вещества определяется балансом между поглощением и отражением падающих на него лучей. Скажем, синий василек поглощает красные и желтые лучи, а синие отражает – этим и обусловлен его цвет. Цветы подсолнуха желтые, это значит, что из всего диапазона волн они отражают в основном волны желтой части спектра, а остальные поглощают.

Верхняя часть яблока, изображенного на рис. 4.16, имеет красный цвет. Это означает, что она отражает волны, соответствующие длине волны красной части спектра. Нижняя часть яблока не освещена, и потому поверхность его кажется черной. А вот яблоко на рис. 4.17, освещенное светом с тем же спектральным составом, отражает зеленую часть спектра, поэтому мы видим его зеленым.

Таким образом, если мы говорим, что объект имеет какой-то цвет, это значит, что поверхность этого объекта имеет свойство отражать волны определённой длины, и отражённый свет воспринимается как цвет объекта. Если объект полностью поглощает падающий свет, он будет казаться нам чёрным, а если отражает все падающие лучи – белым. Правда, последнее утверждение будет верным только в том случае, если падающий свет будет белым. Если же падающий свет приобретает какой-то оттенок, то и отражающая поверхность будет иметь такой же оттенок. Это можно наблюдать на закатном солнце, которое делает всё вокруг багровым (рис. 4.18), или в сумеречный зимний вечер, когда снег кажется синим (рис. 4.19).

А как изменится цвет вещества, если заменить солнечное излучение, например, на излучение обычной электрической лампочки?

В спектре лампы накаливания по сравнению с солнечным спектром заметно больше доля желтых и красных лучей. Поэтому и в отраженном свете возрастет их доля по сравнению с тем, что получается при солнечном свете. Значит, освещаемые лампочкой предметы будут выглядеть «желтее», чем при солнечном освещении. Лист растения станет уже желто-зеленым, а синий василек – сине-зеленым или даже совсем зеленым.

Таким образом, понятие «цвет вещества» не является абсолютным, цвет зависит от освещения. Поэтому лишены смысла сообщения о способностях некоторых людей узнавать цвет предмета, помещенного в светонепроницаемую кассету. Понятие цвета в темноте лишено всякого смысла.

Механизм формирования цвета подчиняется вполне конкретным законам, которые открыли сравнительно недавно – около 150 лет назад. Дисперсия света приводит к тому, что, когда белый свет проходит через призму, он разлагается на семь основных спектральных цветов – красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий. И наоборот, если смешать цвета спектра, получится луч белого света. Cемь основных спектральных цветов и составляют тот довольно узкий диапазон электромагнитных волн (примерно от 400 до 700 нанометров), которые способен улавливать наш глаз, но и этих трехсот нанометров оказывается достаточно для того, чтобы породить цветовое многообразие окружающего нас мира.

Световые волны попадают на сетчатку глаза, где воспринимаются светочувствительными рецепторами, передающими сигналы в мозг, и уже там складывается ощущение цвета. Это ощущение зависит от длины волн и интенсивности излучения. Длина волны формирует ощущение цвета, а интенсивность – его яркость. Каждому цвету соответствует определённый диапазон длины волн.

Рис. 4.20. Формирование оттенка из трех базовых цветов

Важнейшим законом создания цвета является закон трехмерности, который гласит, что любой цвет можно создать тремя линейно независимыми цветами. Наиболее яркое практическое использование этого закона – цветное телевидение. Вся плоскость экрана представляет собой крошечные ячейки, в каждой из которых есть три луча – красный, зеленый и синий. Цвет изображения на экране формируется с помощью этих трех независимых цветов. Этот принцип синтеза цвета также используется в сканерах и цифровых фотоаппаратах. Механизм формирования цвета отражен на рис. 4.20.

Цвета, с помощью которых воспроизводится цветное изображение, называются основными цветами. В качестве основных цветов могут быть выбраны самые различные сочетания из трех независимых цветов. Однако в соответствии со спектральной чувствительностью глаза в качестве основных цветов чаще всего принимают или синий, зеленый и красный, или желтый, пурпурный и голубой. Цвета, которые при смешивании дают белый цвет, называются дополнительными цветами. В смешанном цвете мы не можем увидеть отдельные его составляющие.

Рис. 4.21

Экспериментально наблюдать эффект смешения цветов можно с помощью диска Ньютона. Цветовой диск Ньютона представляет собой стеклянный диск, разбитый на секторы, которые окрашены в различные цвета (от красного до фиолетового) (рис. 4.21).

Будем вращать диск вокруг его оси. По мере увеличения скорости вращения заметим, что границы между секторами размываются, цвета становятся смешанными и блеклыми. И при какой-то скорости вращения диска наши глаза воспринимают проходящий сквозь него свет белым, то есть перестают различать цвета.

Это можно объяснить так. На сетчатке глаза расположены рецепторы, которые и воспринимают световые сигналы. Пусть вначале глаз воспринимает, например, синий цвет. При этом рецепторы находятся в соответствующем возбужденном состоянии. Выключим синий свет. Рецепторы перейдут в основное состояние за некоторый интервал времени. Цветовое ощущение исчезнет. Если теперь включить, например, красный свет, то рецепторы его воспримут как один цвет. Если же синий и красный свет будут чередоваться через очень малый интервал времени, то рецепторы будет воспринимать эти цвета одновременно. Следовательно, вращая диск Ньютона со скоростью, при которой глаз перестает различать отдельные цвета секторов, мы «заставляем» глаз суммировать все эти цвета, и видим белый свет.

Таким образом, при совместном воздействии на глаз двух или более световых волн разной частоты, соответствующих разным цветам, получается качественно новый субъективно воспринимаемый цвет. Ощущение цвета складывается в мозге человека, куда идет сигнал из глаза. В глаз же свет попадает, проникнув через роговую оболочку и зрачок, «регистрируясь» на сетчатке, на которой расположены нервные клетки. Получая сигнал, нейроны отправляют электрические импульсы в мозг, где из информации о пропорциях и интенсивности основных цветов складывается полноцветная картина мира с огромным количеством оттенков.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Скачать с Depositfiles

3.2.6 Дисперсия электромагнитных волн. Показатель преломления воздуха

(Параграф не доработан. Материал изучить самостоятельно. См указание ниже)

Монохроматические волны с различными частотами (длинами волн) распространяются в среде, строго говоря, с различной скоростью. Зависимость скорости электромагнитных волн от частоты называется дисперсией .

Скорость электромагнитных волн в реальной среде связана со скоростью света в вакууме через одну из важнейших характеристик среды — показатель преломления :

(3.30)

Показетель преломления в электродинамике определяется из соотношения

(3.31)

где — диэлектрическая проницаемость среды;

— магнитная проницаемость среды.

На основании вышесказанного можно сказать, что дисперсией света называются явления, обусловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны

(4.30)

Для радиоволн нижний слой атмосферы, примерно до 11 км, является недиспергирующей средой. Для оптического и УКВ диапазона атмосфера является диспергирующей средой.

Для большинства прозрачных веществ показатель преломления возрастает с увеличением длины волны . Такой характер дисперсии называют нормальным .

Зависимость от в области нормальной дисперсии описывается формулой Коши

(4.31)

где , , — постоянные коэффициенты, которые для каждого вещества находят экспериментально.

Если вещество поглощает часть светового потока, то в области поглощения может наблюдаться аномальная дисперсия, т.е. уменьшение показателя преломления с уменьшением длины волны.

В прозрачных средах в результате изменения направления распространения света при преломлении дисперсия света приводит к разложению света в спектр. Опыт показывает, что если луч белого света пропустить через преломляющую призму – прозрачное тело, ограниченное плоскими пересекающимися поверхностями, то на экране за призмой получим цветную полосу в следующей последовательности цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Характер дисперсии для различных прозрачных сред, в том числе и разных сортов стекла, различен.

Для волн ультракороткого и светового диапазонов показатель преломления зависит от метеорологических параметров атмосферы: температуры t , давления P и влажности воздуха e . В сочетании с вышеотмеченной зависимостью показателя преломления от длины волны или частоты , в общем виде зависимость показателя преломления от указанных параметров может быть записана как

. (4.31)

В связи с этим для определения показателя преломления или, что то же самое, скорости распространения электромагнитной волны с длиной волны , необходимо определять температуру, давление и влажность воздуха. Последний параметр оказывает влияние на скорость распространения ЭМВ оптического диапазона в гораздо меньшей степени, чем температура и давление. Поэтому основными определяемыми параметрами для дальномеров, работающих на волнах оптического диапазона, являются только температура и давление.

Во всех современных дальномерах предусмотрен ввод поправки за атмосферные параметры. Формулы, по которым вычисляется указанная поправка, зашиты в программное обеспечение приборов.

(На самостоятельное изучение: Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с. — Параграф 8. Скорость распространения электромагнитных волн. Стр. 68-78).

Список литературы

1. Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и электрооптические измерения. – М.: Недра, 1985. – 303 с.

2. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. – М.: Изд. Физ.-мат. лит-ры. 1959. – 572 с.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Том 3. Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика. – М.: Высшая школа. 1979. – 511 с.

4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. III .. Оптика. Физика атомов и молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц – М.: Наука. 1970 – 495 с.

5. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том III . Колебания, волны. Оптика. Строение атома. – М.: Наука. 1970 – 640 с.

6. Шредер Г., Трайбер Х. Техническая оптика. – М.: Техносфера,2006. – 424 с.

В наши дни количественное знание электронной структуры атомов и молекул, а также построенных из них твердых тел базируется на экспериментальных исследованиях оптических спектров отражения, поглощения и пропускания и их квантовомеханической интерпретации. Весьма интенсивно изучается зонная структура и дефектность различных типов твердых тел (полупроводников, металлов, ионных и атомных кристаллов, аморфных материалов). Сопоставление полученных в ходе этих исследований данных с теоретическими расчетами позволило надежно определить для целого ряда веществ особенности строения энергетических зон и величины межзонных промежутков (ширины запрещенной зоны Е g) в окрестностях главных точек и направлений первой зоны Бриллюэна. Эти результаты позволяют, в свою очередь, надежно интерпретировать такие макроскопические свойства твердых тел, как электропроводность и ее температурная зависимость, показатель преломления и его дисперсия, цвет кристаллов, стекол, керамики, ситаллов и его вариация при радиационном и тепловом воздействиях.

2.4.2.1. Дисперсия электромагнитных волн, показатель преломления

Дисперсия есть явление взаимосвязи показателя преломления вещества, а, следовательно, и фазовой скорости распространения волн, с длиной волны (или частотой) излучения. Так, пропускание видимого света через стеклянную трехгранную призму сопровождается разложением в спектр, причем фиолетовая коротковолновая часть излучения отклоняется наиболее сильно (рис.2.4.2).

Дисперсия называется нормальной, если с ростом частоты n(w) показатель преломления n также возрастает dn/dn>0 (или dn/dl<0). Такой характер зависимости n от n наблюдается в тех областях спектра, где среда прозрачна для излучения. Например, силикатное стекло прозрачно для видимого света и обладает в этом интервале частот нормальной дисперсией.

Дисперсия называется аномальной, если с ростом частоты излучения показатель преломления среды уменьшается (dn/dn<0 или dn/dl>0). Аномальная дисперсия соответствует частотам, отвечающим полосам оптического поглощения, физическое содержание явления поглощения будет кратко рассмотрено ниже. Например, для натрийсиликатного стекла полосы поглощения соответствуют ультрафиолетовой и инфракрасной областям спектра, кварцевое стекло в ультрафиолетовой и видимой части спектра обладает нормальной дисперсией, а в инфракрасной - аномальной.

Рис. 2.4.2. Дисперсия света в стекле: а – разложение света стеклянной призмой, б – графики n = n(n) и n = n(l 0) для нормальной дисперсии, в – при наличии нормальной и аномальной дисперсии В видимой и инфракрасной части спектра нормальная дисперсия характерна для многих щелочно-галоидных кристаллов, что и обусловливает широкое их использование в оптических приборах для инфракрасной части спектра.

Физическая природа нормальной и аномальной дисперсии электромагнитных волн становится понятной, если рассмотреть это явление с позиций классической электронной теории. Рассмотрим простой случай нормального падения плоской электромагнитной волны оптического диапазона на плоскую границу однородного диэлектрика. Связанные с атомами электроны вещества под действием переменного поля волны напряженностью совершают вынужденные колебания с той же круговой частотой w, но с фазой j, отличающейся от фазы волн. С учетом возможного затухания волны в среде с собственной частотой колебании электронов w 0 , уравнение вынужденных поперечных колебаний в направлении - направлению распространения плоскополяризованной волны - имеет вид

(2.4.13)

известный из курса общей физики (q и m - заряд и масса электрона).

Для оптической области w 0 » 10 15 с -1 , а коэффициент затухания g может быть определен в идеальной среде при условии нерелятивистской скорости движения электрона (u<

(2.4.14)

При w 0 = 10 15 с -1 величина g » 10 7 с -1 . Пренебрегая сравнительно непродолжительной стадией неустановившихся колебаний, рассмотрим частное решение неоднородного уравнения (2.4.13) на стадии установившихся колебаний. Решение ищем в форме

(2.4.15)

Тогда из уравнения (2.4.13) получим

или , где амплитуда колебаний равна

(2.4.16)

здесь

Тогда решение для координаты (2.4.15) можно переписать в виде

(2.4.17)

Таким образом, вынужденные гармонические колебания электрона происходят с амплитудой A и опережают по фазе колебания в падающей волне на угол j. Вблизи резонансного значения w = w 0 зависимость A и j от w/w 0 представляет особый интерес.

На рис. 2.4.3 представлены графики зависимостей амплитуды и фазы вблизи резонансной частоты.

Рис. 2.4.3. Графики амплитуды (а) и фазы (б) колебаний электронов вблизи резонансной частоты (при g » 0,1w 0)

В реальных случаях обычно g меньше, чем g » 0,1 w 0 , выбранная для наглядности на рис.2.4.3, амплитуда и фаза меняются более резко. Если падающий на диэлектрик свет не является монохроматическим, то вблизи резонанса, на частотах w®w 0 , он поглощается, электроны вещества рассеивают эту энергию в объеме. Так возникают в спектрах полосы поглощения. Ширина линий спектра поглощения определяется формулой

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ 1, поэтому

Из формулы данной выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной, остается в то же время равной определенной постоянной - . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости от частоты световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества равна

где ж - диэлектрическая восприимчивость среды, 0 - электрическая постоянная, Р - мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

т. е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (v 10 15 Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны - оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех, где е - заряд электрона, х - смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n 0 то мгновенное значение поляризованности

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны будем считать функцией частоты со, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E = E 0 cost.

Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

где F 0 = eE 0 - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, - собственная частота колебаний электрона, m - масса электрона. Решив уравнение, найдем = n 2 в зависимости от констант атома (е, m, 0) и частоты внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения можно записать в виде

Если в веществе имеются различные заряды eh совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами еа0|, то

где m 1 - масса i-го заряда.

Из выражений и вытекает, что показатель преломления л зависит от частоты внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений и следует, что в области от = 0 до = 0 n 2 больше единицы и возрастает с увеличением (нормальная дисперсия); при = 0 n 2 = ± ; в области от = 0 до = n 2 меньше единицы и возрастает от - до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n 2 к n, получим, что график зависимости n от имеет вид, изображенный на рис. 3.

Такое поведение n вблизи 0 - результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции л (со) вблизи too задается штриховой линией АВ. Область АВ - область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании), остальные участки зависимости n от описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием).

Российскому физику Д.С. Рождественскому (1876-1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула

правильно характеризует зависимость n от, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.

В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зависимость скорости распространения света в среде от его частоты Так как [см. (38.4)]

то показатель преломления среды также зависит от частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оптическом диапазоне, но и для электромагнитных волн любых других частот. Первое удовлетворительное объяснение явления дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.

Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде волны на дипольные моменты молекул: Для упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением со временем. Таким образом, будем учитывать лишь индуцированный дипольный момент

В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон с зарядом и массой те, смещенный на относительно положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, т. е. то в выражении для силы Лоренца можно пренебречь вкладом магнитной индукции В волны, поскольку В Принимая еще, что электрон удерживается в молекуле квазиупругой силой - и учитывая силу реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде

Решение этого уравнения можно использовать для вычисления полной плотности тока в среде, если предположить, что основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая среду однородной с электронной концентрацией имеем

Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла-Лоренца (57.6):

Учитывая, что, по закону сохранения заряда,

Поляризованность, запишем уравнения Максвелла в виде

Для нахождения поляризованности воспользуемся уравнениями (61.1) и (61.2). Именно: рассматривая лишь установившееся движение электрона, т. е. полагая

и считая, что напряженность мало меняется в пределах молекулы, из (61.2) выводим

Наконец, принимая напряженность действующего поля равной

и учитывая (61.6) и (61.7), находим из (61.1)

Здесь где у - коэффициент лучистого трения; собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме; собственная частота электронных колебаний в атоме в среде (т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); плазменная частота, соответствующая колебаниям свободных электронов в квазинейтральной среде (плазменные или ленг-мюровские колебания).

(см. скан)

Имея выражение (61.8) для поляризованности, нетрудно найти и вектор электрической индукции:

где введена комплексная диэлектрическая проницаемость

Здесь уместно заметить, что у в (61.10) можно считать коэффициентом лучистого трения только в предположении, что столкновения молекул друг с другом и со свободными электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений часть энергии электронов переходит в энергию движения самих молекул, т. е. в теплоту. Эти потери энергии электронами необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на излучение. Феноменологически это делается добавлением к у некоторой не зависящей от части.

Полученное выше выражение для характерно для однорезонансной осцилляторной модели вещества, в которой предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы и равны На самом же деле это не так, тем более что нужно учитывать еще и колебания ионов, собственные частоты которых обычно лежат в инфракрасной области. Для того чтобы учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию распределения дисперсионных электронов по частотам Нормируя ее на единицу, т. е. полагая

Можно интерпретировать как концентрацию электронов, собственные частоты которых лежат в интервале В таком случае выражение (61.10) принимает вид

Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой теории, где называется силой осциллятора.

Каков физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную и мнимую части Тогда

Из (61.12) следует, что является четной, а - нечетной функциями частоты:

и, кроме того, справедливо неравенство

Как было показано еще в § 50, связано с тепловыми потерями. Для того чтобы убедиться, что это действительно так и что тепловые потери пропорциональны явно положительному значению подсчитаем среднюю за период мощность силы «трения» действующей на отдельный электрон:

Выделяемая тепловая мощность получается умножением этого выражения на концентрацию электронов и интегрированием по

Учитывая выражения для вытекающие из (61.7) и (61.8), получаем

Сравнивая (61.15) с выражением для джоулевых потерь

приходим к выводу, что электропроводимость среды и связаны между собой:

В частности, для металлов, в которых основной вклад в проводимость дают свободные электроны с имеем

Это соотношение называется формулой Друде - Зинера и выражает зависимость электропроводимости металлов от частоты.

Заметим, что с помощью (61.16) выражение для в приводится к виду

откуда следует, что для металлов в статическом пределе в имеет полюсную особенность типа

где а - статическая электропроводимость.

Особый интерес представляет структура в для плазмы, в которой основную роль играют свободные электроны с т. е. можно положить согласно (61.11),

Очевидно, что такое поведение диэлектрической проницаемости характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот, поскольку при все электроны можно считать свободными. Если в (61.20) пренебречь потерями, т. е. положить то получим

Изучим теперь распространение электромагнитных волн в диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских монохроматических волн, т. е. положим в уравнениях (61.4)

где постоянные векторы. Тогда с учетом (61.9) имеем:

Исключая из этих уравнений приходим к волновому уравнению

которое допускает два типа решений, соответствующих поперечным и продольным волнам.

Поперечные волны удовлетворяют условию т. е. векторы к образуют правую ортогональную тройку (рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения (61.23) выводим, что

т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна распространяется вдоль оси т.е. полагая имеем

комплексный показатель преломления.

Для выяснения физического смысла рассмотрим плоскую электромагнитную волну:

где длина волны в вакууме. Отсюда следует, что определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка длины волны и поэтому называется коэффициентом поглощения. Что же касается то это обычный показатель преломления, определяющий скорость перемещения поверхности постоянной фазы т. е. фазовую скорость волны

Разделяя действительную и мнимую части в соотношении находим:

Зависимость в простейшем случае, когда вблизи частоты имеется лишь одна изолированная собственная частота и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением, дана на рис. 61.2 [ - кривая кривая 2]. Анализ зависимости показывает, что коэффициент у, обычно удовлетворяющий условию имеет смысл ширины линии поглощения.

В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда и можно положить в однорезонансном приближении

Вспоминая, что и разрешая (61.29) относительно приходим к соотношению

(формула Лоренца - Лоренца). Она была выведена независимо друг от друга в 1869 г. датчанином Лоренцем, в 1873 г.- Дж. К. Максвеллом и в 1879 г.- Г. А. Лоренцем (результат

Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно (61.30), при заданной частоте оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца - Лоренца является обобщением соотношения Клаузиуса - Мосотти (58.26).

Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде - продольных. В этом случае поэтому из уравнений (61.22) следует, что

т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот которые являются корнями уравнения

Если со достаточно велико, то в пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.21), из которого следует, что Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризации или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движущейся в среде.

(см. скан)

В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись поперечными волнами, имеем:

где решение дисперсионного уравнения (61.24).

Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем, что функция имеет резко выраженный максимум в некоторой точке Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно

где усреднение производится по периоду

(см. скан)

Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой В этом случае, дифференцируя по к соотношение (61.24), находим

Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда групповая скорость не превосходит фазовую, т. е. Однако в области аномальной дисперсии, когда будет а так как при этом возможны значения то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны.

(см. скан)

Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивиты (1913)]. Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но, согласно (61.21), поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум. Очевидно, что это связано с инертностью заряженных частиц.

Структура фронта сигнала в диспергирующей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между фронтом и основной группой можно выделить две области с заметно повышенной интенсивностью поля. Бриллюэн назвал их первым и вторым предвестниками. Как и следовало ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости вычисленной по формуле (61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели).

Интересное явление, связанное с влиянием вещества на электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г. советскими физиками П. А. Черенковым и С. И. Вавиловым. Они наблюдали узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами в среде при условии, что их скорость превышала фазовую скорость света, т. е. при