Hesablama, törəməni, diferensialları və onların funksiyanın öyrənilməsində istifadəsini öyrənən hesablamanın bir qoludur.

Görünüş tarixi

Diferensial hesablama müstəqil bir fən kimi 17-ci əsrin ikinci yarısında diferensiallar hesabında əsas müddəaları formalaşdıran və inteqrasiya ilə diferensiallaşma arasındakı əlaqəni qeyd edən Nyuton və Leybnisin işi sayəsində meydana çıxdı. Bu andan etibarən intizam inteqralların hesablanması ilə birlikdə inkişaf etdi və bununla da riyazi analizin əsasını təşkil etdi. Bu hesablamaların meydana çıxması riyaziyyat aləmində yeni müasir dövr açdı və elmdə yeni fənlərin yaranmasına səbəb oldu. O, həmçinin riyaziyyat elminin təbiətşünaslıq və texnologiyada tətbiqi imkanlarını genişləndirdi.

Əsas anlayışlar

Diferensial hesablama riyaziyyatın fundamental anlayışlarına əsaslanır. Onlar: davamlılıq, funksiya və limitdir. Bir müddət sonra inteqral və diferensial hesablamalar sayəsində müasir görkəm aldılar.

Yaradılma prosesi

Tətbiq şəklində diferensial hesabın formalaşması, sonra elmi metod Nikolay Kuza tərəfindən yaradılmış fəlsəfi nəzəriyyənin yaranmasından əvvəl baş vermişdir. Onun əsərləri qədim elmin mühakimələrindən irəli gələn təkamül inkişafı hesab olunur. Filosofun özü riyaziyyatçı olmamasına baxmayaraq, onun riyaziyyat elminin inkişafındakı xidmətləri danılmazdır. Kuzanski o dövrün riyaziyyatını şübhə altına alaraq hesabın ən dəqiq elm sahəsi kimi nəzərdən keçirilməsini ilk tərk edənlərdən biri olmuşdur.

Qədim riyaziyyatçılar üçün vahid universal meyar idi, filosof isə dəqiq rəqəm əvəzinə yeni ölçü kimi sonsuzluğu təklif edirdi. Bu baxımdan riyaziyyat elmində dəqiqliyin təmsili tərsinə çevrilir. Elmi bilik, onun fikrincə, rasional və intellektual bölünür. İkincisi, alimin fikrincə, daha dəqiqdir, çünki birincisi yalnız təxmini nəticə verir.

İdeya

Diferensial hesablamada əsas fikir və konsepsiya müəyyən nöqtələrin kiçik məhəllələrindəki funksiya ilə bağlıdır. Bunun üçün müəyyən edilmiş nöqtələrin kiçik qonşuluğunda davranışı çoxhədli və ya xətti funksiyanın davranışına yaxın olan funksiyanı öyrənmək üçün riyazi aparat yaratmaq lazımdır. Bu, törəmə və diferensialın tərifinə əsaslanır.

Görünüş səbəb oldu böyük rəqəm təbiət elmləri və riyaziyyatdan problemlər, bu da eyni tipli hədlərin qiymətlərinin tapılmasına səbəb oldu.

Nümunə kimi verilən əsas vəzifələrdən biri də orta məktəbdən başlayaraq düz xətt boyunca hərəkət edən nöqtənin sürətini təyin etmək və bu əyriyə toxunan xətt çəkməkdir. Diferensial bununla əlaqədardır, çünki xətti funksiyanın nəzərdən keçirilən nöqtəsinin kiçik qonşuluğunda funksiyanı təxmini etmək mümkündür.

Həqiqi dəyişənin funksiyasının törəməsi anlayışı ilə müqayisədə diferensialların tərifi sadəcə olaraq ümumi xarakterli funksiyaya, xüsusən də bir Evklid fəzasının digərinə təqdim edilməsinə keçir.

törəmə

Nöqtə Oy oxu istiqamətində hərəkət etsin, anın müəyyən başlanğıcından hesablanan x-i aldığımız zaman üçün. Belə hərəkəti y=f(x) funksiyası ilə təsvir etmək olar, bu funksiya daşınan nöqtənin koordinatının hər an x ​​anına təyin edilir. Mexanikada bu funksiyaya hərəkət qanunu deyilir. Hərəkətin, xüsusən qeyri-bərabər xarakteristikası budur ki, bir nöqtə mexanika qanununa uyğun olaraq Oy oxu boyunca hərəkət etdikdə, x təsadüfi zaman anında f (x) koordinatını alır. Δx zamanın artımını ifadə etdiyi x + Δx anında onun koordinatı f(x + Δx) olacaqdır. Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) düsturu belə yaranır ki, bu da funksiyanın artımı adlanır. O, x-dən x + Δx-ə qədər zaman nöqtəsinin keçdiyi yolu təmsil edir.

Bu sürətin zaman anında baş verməsi ilə əlaqədar olaraq, bir törəmə təqdim olunur. İxtiyari funksiyada sabit nöqtədəki törəmə hədd adlanır (mövcud olmaq şərti ilə). Müəyyən simvollarla təyin edilə bilər:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Törəmənin hesablanması prosesinə diferensiallaşma deyilir.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı

Bu hesablama üsulu bir neçə dəyişəni olan funksiyanın öyrənilməsində istifadə olunur. İki dəyişən x və y olduqda, A nöqtəsində x-ə nisbətən qismən törəmə bu funksiyanın sabit y ilə x-ə nisbətən törəməsi adlanır.

Aşağıdakı simvollarla təmsil oluna bilər:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x və ya ∂f(x,y)'/∂x.

Tələb olunan Bacarıqlar

Diffuzları müvəffəqiyyətlə öyrənmək və həll etmək üçün inteqrasiya və diferensiallaşma bacarıqları tələb olunur. Diferensial tənlikləri başa düşməyi asanlaşdırmaq üçün siz törəmə mövzusunu yaxşı başa düşməlisiniz və dolayısı ilə verilmiş funksiyanın törəməsinin necə axtarılacağını öyrənmək də zərər vermir. Bu onunla əlaqədardır ki, öyrənmə prosesində çox vaxt inteqrallardan və diferensiallaşmadan istifadə etmək lazım gələcək.

Diferensial tənliklərin növləri

Demək olar ki, bütün testlərdə 3 növ tənlik var: homojen, ayrıla bilən dəyişənlər, xətti qeyri-bərabər.

Tənliklərin daha nadir növləri də var: ümumi diferensiallarla, Bernulli tənlikləri və s.

Həll əsasları

Əvvəlcə məktəb kursundan cəbri tənlikləri xatırlamaq lazımdır. Onların tərkibində dəyişənlər və rəqəmlər var. Adi tənliyi həll etmək üçün verilmiş şərti ödəyən ədədlər toplusunu tapmaq lazımdır. Bir qayda olaraq, belə tənliklərin bir kökü var idi və düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bu dəyəri naməlum ilə əvəz etmək kifayət idi.

Diferensial tənlik buna bənzəyir. Ümumiyyətlə, belə birinci dərəcəli tənliyə aşağıdakılar daxildir:

• müstəqil dəyişən.
• Birinci funksiyanın törəməsi.
• funksiya və ya asılı dəyişən.

Bəzi hallarda naməlumlardan biri, x və ya y əskik ola bilər, lakin bu o qədər də vacib deyil, çünki həllin və diferensial hesabın düzgün olması üçün daha yüksək dərəcəli törəmələri olmayan birinci törəmənin olması zəruridir.

Diferensial tənliyi həll etmək, verilmiş ifadəyə uyğun gələn bütün funksiyaların çoxluğunu tapmaq deməkdir. Belə funksiyalar toplusu çox vaxt diferensial tənliyin ümumi həlli adlanır.

İnteqral hesablama

İnteqral hesablama riyazi analizin inteqral anlayışını, xassələrini və hesablanması üsullarını öyrənən sahələrindən biridir.

Çox vaxt inteqralın hesablanması əyri bir fiqurun sahəsini hesablayarkən baş verir. Bu sahə, verilmiş bir rəqəmdə yazılmış çoxbucaqlının sahəsinin onun tərəfində tədricən artımla meyl etdiyi həddi ifadə edir, halbuki bu tərəflər əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı ixtiyari kiçik dəyərdən daha az edilə bilər.

İxtiyari həndəsi fiqurun sahəsini hesablamaqda əsas fikir düzbucaqlının sahəsini hesablamaq, yəni onun sahəsinin uzunluq və enin məhsuluna bərabər olduğunu sübut etməkdir. Həndəsə gəldikdə, bütün konstruksiyalar bir hökmdar və kompasdan istifadə edərək hazırlanır və sonra uzunluğun enə nisbəti rasional dəyərdir. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablayarkən müəyyən edə bilərsiniz ki, əgər onun yanına eyni üçbucağı qoysanız, onda düzbucaqlı yaranır. Paraleloqramda sahə oxşar, lakin bir az daha mürəkkəb üsulla, düzbucaqlı və üçbucaq vasitəsilə hesablanır. Çoxbucaqlılarda sahə ona daxil olan üçbucaqlar vasitəsilə hesablanır.

İxtiyari bir əyrinin mərhəmətini təyin edərkən, bu üsul işləməyəcəkdir. Əgər onu tək kvadratlara bölsəniz, doldurulmamış yerlər olacaq. Bu halda, yuxarıda və aşağıda düzbucaqlı olan iki örtükdən istifadə etməyə çalışır, nəticədə bunlar funksiyanın qrafikini ehtiva edir və etmir. Bu düzbucaqlılara bölmə üsulu burada mühüm olaraq qalır. Həmçinin, getdikcə azalan bölmələri götürsək, yuxarıda və aşağıda olan sahə müəyyən bir dəyərə yaxınlaşmalıdır.

Düzbucaqlılara bölmə metoduna qayıtmalısınız. İki məşhur üsul var.

Riemann, Leybniz və Nyuton tərəfindən yaradılmış inteqralın tərifini subqrafın sahəsi kimi rəsmiləşdirdi. Bu halda, müəyyən sayda şaquli düzbucaqlılardan ibarət olan və seqmenti bölmək yolu ilə əldə edilən rəqəmlər nəzərdən keçirilmişdir. Bölmə azaldıqca, oxşar fiqurun sahəsinin azaldığı bir hədd olduqda, bu hədd verilmiş intervalda funksiyanın Riemann inteqralı adlanır.

İkinci üsul Lebesq inteqralının qurulmasıdır ki, bu da müəyyən edilmiş sahəni inteqralın hissələrinə bölmək və sonra bu hissələrdə alınan dəyərlərdən inteqral cəmini tərtib etmək üçün onun qiymət diapazonunu təşkil edir. intervallara bölünür və sonra bu inteqralların tərs təsvirlərinin müvafiq ölçüləri ilə yekunlaşdırılır.

Müasir faydalar

Diferensial və inteqral hesablamaların öyrənilməsi üçün əsas dərsliklərdən biri Fixtenqolts tərəfindən yazılmışdır - "Diferensial və inteqral hesablama kursu". Onun dərsliyi bir çox nəşrlərdən və başqa dillərə tərcümələrdən keçmiş riyazi analizin öyrənilməsi üçün fundamental bələdçidir. Universitet tələbələri üçün yaradılmış və uzun müddətçoxlarında tətbiq edilir təhsil müəssisələriəsas tədris vasitələrindən biri kimi. Nəzəri məlumatlar və praktiki bacarıqlar verir. İlk dəfə 1948-ci ildə nəşr edilmişdir.

Funksiya tədqiqat alqoritmi

Diferensial hesablama metodları ilə funksiyanı araşdırmaq üçün artıq verilmiş alqoritmə əməl etmək lazımdır:

1. Funksiyanın əhatə dairəsini tapın.
2. Verilmiş tənliyin köklərini tapın.
3. Ekstremalları hesablayın. Bunu etmək üçün törəməni və onun sıfıra bərabər olduğu nöqtələri hesablayın.
4. Yaranan dəyəri tənliyə əvəz edin.

Diferensial tənliklərin növləri

Birinci dərəcəli DE (əks halda, bir dəyişənin diferensial hesabı) və onların növləri:

• Ayrılmış dəyişən tənliyi: f(y)dy=g(x)dx.
• Ən sadə tənliklər və ya bir dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı: y"=f(x).
• Birinci dərəcəli xətti qeyri-homogen DE: y"+P(x)y=Q(x).
• Bernulli diferensial tənliyi: y"+P(x)y=Q(x)y a .
• Tam diferensiallı tənlik: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

İkinci dərəcəli diferensial tənliklər və onların növləri:

• Əmsalın sabit qiymətləri olan ikinci dərəcəli xətti bircinsli diferensial tənliyi: y n +py"+qy=0 p, q R-ə aiddir.
• Əmsalların sabit qiyməti ilə ikinci dərəcəli xətti qeyri-bərabər diferensial tənlik: y n +py"+qy=f(x).
• Xətti bircins diferensial tənlik: y n +p(x)y"+q(x)y=0 və qeyri-bircins ikinci dərəcəli tənlik: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Yüksək tərtibli diferensial tənliklər və onların növləri:

• Aşağı sıraya imkan verən diferensial tənlik: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Daha yüksək dərəcəli xətti tənlik homojendir: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, və qeyri-homogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Diferensial tənliyi olan məsələnin həlli mərhələləri

Pultun köməyi ilə təkcə riyazi və ya fiziki suallar deyil, həm də biologiyadan, iqtisadiyyatdan, sosiologiyadan və digər məsələlərdən müxtəlif məsələlər həll olunur. Mövzuların müxtəlifliyinə baxmayaraq, bu cür problemləri həll edərkən vahid məntiqi ardıcıllığa riayət etmək lazımdır:

1. DU-nun tərtibi. Maksimum dəqiqlik tələb edən ən çətin addımlardan biri, çünki hər hansı bir səhv tamamilə yanlış nəticələrə səbəb olacaqdır. Prosesə təsir edən bütün amillər nəzərə alınmalı və ilkin şərtlər müəyyən edilməlidir. O, həm də faktlara və məntiqi nəticələrə əsaslanmalıdır.
2. Tərtib edilmiş tənliyin həlli. Bu proses ilk nöqtədən daha sadədir, çünki yalnız ciddi riyazi hesablamalar tələb olunur.
3. Alınan nəticələrin təhlili və qiymətləndirilməsi. Nəticənin praktiki və nəzəri dəyərini müəyyən etmək üçün əldə edilmiş həll qiymətləndirilməlidir.

Diferensial tənliklərin tibbdə istifadəsinə nümunə

Tibb sahəsində uzaqdan idarəetmənin istifadəsinə epidemioloji tikintidə rast gəlinir riyazi model. Eyni zamanda, unutmaq olmaz ki, bu tənliklərə tibbə yaxın olan biologiya və kimyada da rast gəlinir, çünki burada müxtəlif bioloji populyasiyaların öyrənilməsi mühüm rol oynayır. kimyəvi proseslər insan bədənində.

Yuxarıdakı epidemiya nümunəsində təcrid olunmuş bir cəmiyyətdə infeksiyanın yayılmasını nəzərdən keçirmək olar. Sakinlər üç növə bölünür:

• Yoluxmuş, x(t) sayı, fərdlərdən, infeksiya daşıyıcılarından ibarətdir, hər biri yoluxucudur (inkubasiya dövrü qısadır).
• İkinci növə yoluxmuş fərdlərlə təmas zamanı yoluxa bilən həssas fərdlər y(t) daxildir.
• Üçüncü növə immun olan və ya xəstəlik səbəbindən ölmüş immun fərdlər z(t) daxildir.

Fərdlərin sayı sabitdir, doğumlar, təbii ölümlər və miqrasiya nəzərə alınmır. O, iki fərziyyəyə əsaslanacaq.

Müəyyən bir zaman nöqtəsində insidentin faizi x(t)y(t) təşkil edir (halların sayının xəstə və həssas nümayəndələr arasındakı kəsişmələrin sayına mütənasib olması fərziyyəsinə əsaslanaraq, birinci yaxınlaşmada bu nisbətə mütənasib olacaqdır. x(t)y(t)),-da Buna görə də, ax(t)y(t) (a > 0) düsturu ilə hesablanan sürətlə xəstə insanların sayı artır, həssas insanların sayı isə azalır.

İmmunitet əldə etmiş və ya ölmüş immun fərdlərin sayı xəstələrin sayına mütənasib olan sürətlə artır, bx(t) (b > 0).

Nəticədə hər üç göstəricini nəzərə alaraq tənliklər sistemini tərtib etmək və onun əsasında nəticələr çıxarmaq mümkündür.

İqtisadiyyatda istifadə nümunəsi

Diferensial hesablamadan iqtisadi təhlildə tez-tez istifadə olunur. İqtisadi təhlildə əsas vəzifə iqtisadiyyatdan funksiya şəklində yazılan kəmiyyətlərin öyrənilməsidir. Bu, vergilərin artırılmasından dərhal sonra gəlirlərin dəyişməsi, rüsumların tətbiqi, istehsalın maya dəyəri dəyişdikdə şirkət gəlirlərinin dəyişməsi, təqaüdçü işçilərin hansı nisbətdə yeni avadanlıqla əvəz edilə biləcəyi kimi problemləri həll edərkən istifadə olunur. Bu cür sualları həll etmək üçün daxil olan dəyişənlərdən əlaqə funksiyası qurmaq tələb olunur, sonra diferensial hesablamadan istifadə edilərək öyrənilir.

İqtisadi sahədə çox vaxt ən optimal göstəriciləri tapmaq lazımdır: maksimum əmək məhsuldarlığı, ən yüksək gəlir, ən aşağı məsrəflər və s. Hər bir belə göstərici bir və ya bir neçə arqumentin funksiyasıdır. Məsələn, istehsala əmək və kapital daxilolmalarının funksiyası kimi baxmaq olar. Bu baxımdan uyğun dəyərin tapılması bir və ya bir neçə dəyişəndən funksiyanın maksimum və ya minimumunun tapılmasına qədər azaldıla bilər.

Bu qəbildən olan problemlər iqtisadi sahədə ekstremal problemlər sinfini yaradır ki, onların həlli diferensial hesablama tələb edir. İqtisadi göstəricini başqa bir göstəricinin funksiyası kimi minimuma endirmək və ya maksimumlaşdırmaq lazım olduqda, maksimum nöqtədə, arqumentin artımı sıfıra meyl edərsə, funksiyanın artımının arqumentlərə nisbəti sıfıra meyl edəcəkdir. Əks halda, belə bir nisbət hansısa müsbət və ya mənfi dəyərə meyl etdikdə, göstərilən nöqtə uyğun deyil, çünki arqumenti artırmaq və ya azaltmaqla asılı dəyəri lazımi istiqamətdə dəyişə bilərsiniz. Diferensial hesablama terminologiyasında bu o demək olacaq ki, funksiyanın maksimumu üçün tələb olunan şərt onun törəməsinin sıfır qiymətidir.

İqtisadiyyatda çox vaxt bir neçə dəyişəni olan funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün tapşırıqlar verilir, çünki iqtisadi göstəricilər bir çox amillərdən ibarətdir. Bu cür suallar diferensial hesablama üsullarını tətbiq etməklə bir neçə dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsində yaxşı öyrənilir. Belə problemlərə təkcə maksimum və minimuma endirilmiş funksiyalar deyil, həm də məhdudiyyətlər daxildir. Bu kimi suallar riyazi proqramlaşdırma ilə bağlıdır və onlar da bu elm sahəsinə əsaslanan xüsusi işlənmiş metodların köməyi ilə həll olunur.

İqtisadiyyatda istifadə olunan diferensial hesablama üsulları arasında mühüm bölmə marjinal təhlildir. İqtisadi sferada bu termin, onların marjinal göstəricilərinin təhlili əsasında yaradılması, istehlakı həcminin dəyişdirilməsi zamanı dəyişən göstəricilərin və nəticələrin öyrənilməsi üsullarının məcmusuna aiddir. Məhdudlaşdırıcı göstərici bir neçə dəyişənli törəmə və ya qismən törəmələrdir.

Bir neçə dəyişənin diferensial hesabı riyazi analiz sahəsində mühüm mövzudur. Ətraflı bir araşdırma üçün müxtəlif istifadə edə bilərsiniz tədris təlimatları ali təhsil müəssisələri üçün. Ən məşhurlarından biri Fikhtengolts tərəfindən yaradılmışdır - "Diferensial və inteqral hesablama kursu". Adından da göründüyü kimi, inteqrallarla işləmək bacarığı diferensial tənliklərin həlli üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bir dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı baş verdikdə, həlli daha sadə olur. Baxmayaraq ki, qeyd etmək lazımdır ki, eyni əsas qaydalara tabedir. Funksiyanı diferensial hesablama ilə praktikada öyrənmək üçün orta məktəbdə verilən və yeni dəyişənlər təqdim edildikdə bir qədər mürəkkəbləşən artıq mövcud olan alqoritmə əməl etmək kifayətdir.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı

Əsas tərif və anlayışlar.

1. İki dəyişənli funksiyanın təsviri, funksiyanın təyini və dəyişmə sahəsi.

2. Hissə törəmələr, onların həndəsi mənası.

3. Daha yüksək dərəcəli törəmələr.

4. İki dəyişənli funksiyanın diferensialı, diferensialdan istifadə edərək təxmini hesablamalar.

5. Tangens müstəvisi və səthə normal.

Dəyişən zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" eni="13" hündürlük="13">G qanunla (qayda) f : (x, y) → z(z = f(x, y) ) təkbətək yazışma qurulur.

Çoxlu Gçağırdı funksiyanın əhatə dairəsi z = f(x, y) və işarələnmişdir

Çoxlu Zçağırdı funksiyanın əhatə dairəsi z = f(x, y) və işarələnmişdir E(z).

İki dəyişənin funksiyası qeyd edilə bilər:

Amma) açıq şəkildə z = f(x, y); z = φ (x, y); z = z(x, y);

b) dolayısı ilə F(x, y, z(x, y))=0.

əgər ( x0,y0)https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" eni="76 hündürlük=24" hündürlük="24">; E(z) ≥ 0.

cədvəli funksiyaları dəyişənlərin ruhu fəzada bir səthdir .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; təyyarədə təsvir necə

bu funksiyaların təyini sahəsinin nöqtələr çoxluğu.

1) Funksiya və müstəqil dəyişən cütlərinin uyğunluğu qanunu (qaydası). z = f(x, y) loqarifmikdir, yəni (x - y)>0, yəni x > y. domen müstəvidəki nöqtələr çoxluğudur necə, xəttin altında uzanır y = x, xəttinə aid olan nöqtələr daxil edilmir, ona görə də nöqtəli xətt kimi göstərilir.

Ərazini dəyişdirin funksional asılılıq qanununa görə z .

2) Uyğunluq qanunu (qaydası). z = f(x, y) ,

buna görə də (y - x2) ≥ 0, yəni y ≥ x2. domen –

təyyarə nöqtələrinin dəsti necə içəridə yatmaq

parabolalar y ≥ x2 aid olan nöqtələr də daxil olmaqla

parabola (sahənin sərhədi). Ərazini dəyişdirin haqqında

funksional asılılıq qanunu z ≥ 0.

İki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrinin tərifi və onların həndəsi mənası.

Qismən törəmə funksiyalar z= f(x, y) funksiyanın artımlarının nisbətinin hədləri adlanır z = z(x, y) istiqamətlər üzrə müvafiq arqumentin artımına Oh və ya OU saat Δ x → 0 Və Δ y → 0 müvafiq olaraq:

X-ə görə qismən törəmə:

hesablayarkən x = const nəzərə alın.

Həndəsi olaraq

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , harada α x oxunun istiqaməti ilə nöqtədə səthə toxunan bucağıdır;

Harada β y oxunun istiqaməti ilə nöqtədə səthə toxunan bucaqdır.

Fərqləndirmə qaydaları Və cədvəl törəmələri bir dəyişənin funksiyaları tam ədalətli iki və bir neçə dəyişənli funksiya üçün.

İki dəyişənli funksiya üçün z = f(x, y) iki var

birinci dərəcəli qismən törəmələr : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, bunlar da iki dəyişənin funksiyalarıdır və dəyişənlərə görə fərqləndirilə bilər X Və y. Gəlin dörd tapaq ikinci dərəcəli qismən törəmələr :

Qeyd edək ki qarışıq törəmələr daha yüksək sifarişlər bərabərdir (Şvars teoremi): , yəni müxtəlif törəmələr

ikinci sıra - üç: , .

İki dəyişənli funksiya üçün üçüncü törəmələr ( z = f(x, y)) - səkkiz: lakin onlardan dördü fərqlidir, çünki hər hansı bir ardıcıllıqla diferensiasiya edərkən qarışıq törəmələr bərabərdir:

İlk törəmələri tapaq:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">İkinci qarışıq törəmələri tapın:

görürük ki, yəni Şvarts teoremini yoxladıq və göstərdik.

Diferensial və onun həndəsi mənası. Diferensialdan istifadə edərək təxmini hesablamalar. Tangens müstəvisi və səthi normal.

Funksiyanın tam diferensialı z= f(x, y) funksiyanın artımının xətti hissəsidir (nöqtədə səthə toxunan müstəviyə qədər (x0; y0)):

Bu düstur bir nöqtədə funksiyanın təxmini hesablamaları üçün istifadə olunur.

Misal üçün, burada funksiyanın qiymətini hesablamaq lazımdır

= 1.02 = 1 + 0.02 , Amma y0 = 2.97 = 3 - 0.03 : qəbul edin X= 1 , və üçün y = 3;

arxada Δ X Və Δ saat seçməlidir Δ x = 0,02 Və Δ y = – 0,03 hesablama xətasının ən kiçik olması üçün (bu misal üçün Δ saat dəyər seçin Δ y = 0,97, və üçün y = 2, bir məqamı təqdim edir y0 = 2.97 =2 + 0,97).

Misal 2 Dəyəri hesablayın https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> və qeyd edin ki, o nöqtədə hesablanmalıdır. x0 = 0,98; y0 = 1,05.

Diferensialdan istifadə edərək hesablamalar aparmaq fürsətindən istifadə edək. Bir nöqtəni təsəvvür edin x0 = 0,98 = 1 - 0,02; y0 = 1,05 = 1 + 0,05 və işarə edir x = 1; y = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

= funksiyasının qismən törəmələrini hesablayaq; . Sonra .

Üçün və hesablayırıq

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Bu dəyəri kalkulyatorda hesablayaraq https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003 əldə edirik. .

Diferensialın tərifindən onu da çıxarmaq olar həndəsi məna.

Əgər A(x, y)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" eni="13" hündürlük="13">təyyarəZ(x, y) = z(A) + a(x- xA) + b(y- yA), və funksiyanın qrafikinin səthi nöqtənin yaxınlığındakı müstəvi ilə birləşir A(x, y), onda belə bir təyyarə deyilir səthə toxunan müstəvi Bu nöqtədə.
Və ya tangens müstəvi tənliyi a(x-xA)+b(y-yA)+(-1)(z- zA)=0 Və normal vektor iman gətirənlərə səthə normal vektor nöqtədə A(x, y).

Belarus Respublikası Təhsil Nazirliyi

Rusiya Federasiyasının Təhsil və Elm Nazirliyi

DÖVLƏT MÜƏSSİSƏSİ

ALİ İXTİSAS TƏHSİL

BELARUS-RUS UNİVERSİTETİ

Ali riyaziyyat kafedrası

Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı.

Metodik göstərişlər və tapşırıqlar nəzarət işi №2

qiyabi təhsil alan tələbələr üçün

bütün ixtisaslar

Metodiki Şuranın komitəsi

Belarus-Rusiya Universiteti

“Ali riyaziyyat” kafedrası tərəfindən təsdiq edilmiş “_____” ____________ 2004,

protokol nömrəsi.

Tərtib edənlər: Chervyakova T.I., Romskaya O.I., Pleshkova S.F.

Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı. Qiyabi təhsil alan tələbələr üçün 2 saylı sınaq imtahanı üçün təlimat və tapşırıqlar. Sənəddə metodik tövsiyələr var, nəzarət tapşırıqları, “Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı” bölməsində məsələlərin həllinə dair nümunələr. Tapşırıqlar bütün ixtisasların tələbələri üçün nəzərdə tutulub məzuniyyət formasıöyrənmək.

Təhsil nəşri

Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı

Texniki redaktor A.A. Podoşevko

Kompüter tərtibatı N.P. Solaxay

Rəyçilər L.A. Novik

L.V.-nin sərbəst buraxılmasına cavabdehdir. Pletnev

Çap üçün imzalanmışdır. Format 60×84 1/16. Ofset kağızı. Ekranı çap etmək. Dövr. Soba l. . Üç.-red. l. . Tiraj nüsxələri. Sifariş nömrəsi._________

Nəşriyyat və çap dizaynı:

Dövlət Peşə Təhsili Müəssisəsi

"Belarus-Rusiya Universiteti"

Lisenziya LV No 243 11 mart 2003-cü il, Lisenziya LP No 165 8 yanvar 2003-cü il.

212005, Mogilyov, Mira prospekti, 43

© GUVPO "Belarus-Rus

Universitet”, 2004

Giriş

Bu təlimatlarda “Bir və bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensial hesabı” bölməsinin öyrənilməsi üçün material var.

Nəzarət işi ayrıca dəftərdə aparılır, onun üz qabığında tələbə nömrəni, fənnin adını aydın yazmalı, qrupunu, soyadını, adının baş hərflərini və qeydlər kitabının nömrəsini göstərməlidir.

Variant nömrəsi rekordlar kitabının son rəqəminə uyğundur. Qiymətləndirmə kitabının son rəqəmi 0-dırsa, seçim nömrəsi 10-dur.

Problemlərin həlli nəzarət işində göstərilən ardıcıllıqla aparılmalıdır. Bu zaman hər bir problemin vəziyyəti onun həllindən əvvəl tamamilə yenidən yazılır. Noutbukda kənarları qoymağınızdan əmin olun.

Hər bir məsələnin həlli ətraflı ifadə edilməli, istifadə olunan düsturlara istinadla yol boyu lazımi izahatlar verilməli, hesablamalar ciddi ardıcıllıqla aparılmalıdır. Hər bir problemin həllini şərtin tələb etdiyi cavaba gətirin. Nəzarət işinin sonunda nəzarət işinin yerinə yetirilməsində istifadə olunan ədəbiyyatı göstərin.

Inözünütədqiqat sualları

Funksiyanın törəməsi: tərifi, təyinatı, həndəsi və mexaniki mənaları. Müstəvi əyriyə normal və tangens tənliyi.

Diferensiallanan funksiyanın davamlılığı.

Bir dəyişənli funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydaları.

Mürəkkəb və tərs funksiyaların törəmələri.

Əsas elementar funksiyaların törəmələri. Törəmə cədvəli.

Parametrik və gizli təyin olunmuş funksiyaların diferensiallaşdırılması. Loqarifmik fərqləndirmə.

Funksiya diferensialı: tərif, qeyd, törəmə ilə əlaqə, xassələr, formanın dəyişməzliyi, həndəsi məna, funksiya qiymətlərinin təxmini hesablamalarda tətbiqi.

Daha yüksək dərəcəli törəmələr və diferensiallar.

Ferma, Rol, Laqranj, Koşi teoremləri.

Bernoulli-L'Hopital qaydası, onun limitlərin hesablanmasına tətbiqi.

Bir dəyişənli funksiyanın monotonluğu və ekstremallığı.

Bir dəyişənli funksiyanın qrafikinin qabarıqlığı və əyilmələri.

Funksiya qrafikinin asimptotları.

Bir dəyişənli funksiyanın tam tədqiqi və qrafiki.

Seqmentdəki funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri.

Bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı.

FNP-nin limiti və davamlılığı.

FNP-nin özəl törəmələri.

Diferensiallıq və FNP-nin ümumi diferensiallığı.

Mürəkkəb və dolayısı ilə verilmiş FNP-lərin fərqləndirilməsi.

Daha yüksək dərəcəli FNP-nin qismən törəmələri və ümumi diferensialları.

Həddindən artıq (yerli, şərti, qlobal) FNP.

İstiqamətli törəmə və gradient.

Tangens müstəvisi və səthi normal.

Tipik bir variantın həlli

Tapşırıq 1. Funksiyaların törəmələrini tapın:

	b) ;	in) ;
G)		e)

Həll. a)-c) tapşırıqlarını həll edərkən aşağıdakı fərqləndirmə qaydalarını tətbiq edirik:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) əgər , yəni.
mürəkkəb funksiyadır
.

Törəmənin tərifinə və diferensiallaşma qaydalarına əsasən əsas elementar funksiyaların törəmələri cədvəli tərtib edilmişdir.

1 ,	8 ,
2 ,	9 ,
3 ,	10 ,
4 ,	11 ,
5 ,	12 ,
6 ,	13 .
7 ,

Diferensiasiya qaydalarından və törəmələr cədvəlindən istifadə edərək bu funksiyaların törəmələrini tapırıq:

Cavab:

Cavab:

Cavab:

Bu funksiya eksponensialdır. Loqarifmik diferensiallaşdırma metodunu tətbiq edirik. Funksiyanı qeyd edək:

.

Loqarifmlərin xassəsini tətbiq edək:
. Sonra
.

Bərabərliyin hər iki tərəfini fərqləndirin :

;

;

;

.

Funksiya üstüörtülü şəkildə formada müəyyən edilir
. Fərz edərək, bu tənliyin hər iki tərəfini fərqləndirin funksiyasından:

tənlikdən ifadə edirik :

.

Funksiya parametrik olaraq təyin edilir
Belə bir funksiyanın törəməsi düsturla tapılır:
.

Cavab:

Tapşırıq 2. Funksiyanın dördüncü dərəcəli diferensialını tapın
.

Həll. Diferensial
birinci dərəcəli diferensial adlanır.

Diferensial
ikinci dərəcəli diferensial adlanır.

n-ci dərəcəli diferensial düsturla müəyyən edilir:
, burada n=1,2,…

Gəlin ardıcıl olaraq törəmələri tapaq.

Tapşırıq 3. Funksiya qrafikinin hansı nöqtəsində
ona tangens xəttə paraleldir
? Rəsm çəkin.

Həll.Şərtə görə, qrafikin və verilmiş xəttin tangensləri paraleldir, ona görə də bu xətlərin yamacları bir-birinə bərabərdir.

Düz xəttin yamacı
.

Bir nöqtədə əyriyə toxunan meyl törəmənin həndəsi mənasından tapırıq:

, burada  funksiyanın qrafikinə tangensin mailliyidir
nöqtədə.

.

İstədiyiniz xətlərin yamac əmsallarını tapmaq üçün tənliyi tərtib edirik

.

Onu həll edərək, iki təmas nöqtəsinin absislərini tapırıq:
Və
.

Əyri tənliyindən toxunma nöqtələrinin ordinatlarını təyin edirik:
Və
.

Gəlin rəsm çəkək.

Cavab: (-1;-6) və
.

Şərh : bir nöqtədə əyriyə toxunan tənliyi
oxşayır:

bir nöqtədə əyrinin normalının tənliyi belədir:

.

Tapşırıq 4. Funksiyanı tam tədqiq edin və onun qrafikini qurun:

.

Həll. Funksiyanı tam öyrənmək və onun qrafikini qurmaq üçün aşağıdakı nümunəvi sxemdən istifadə olunur:

funksiyanın əhatə dairəsini tapın;

davamlılıq funksiyasını araşdırmaq və kəsilmə nöqtələrinin xarakterini müəyyən etmək;

cüt və tək, dövrilik üçün funksiyanı araşdırmaq;

funksiyanın qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın;

funksiyanı monotonluq və ekstremum üçün yoxlamaq;

qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını, əyilmə nöqtələrini tapın;

funksiya qrafikinin asimptotlarını tapın;

qrafiki dəqiqləşdirmək üçün bəzən əlavə nöqtələr tapmaq məsləhət görülür;

alınan məlumatlara əsasən funksiyanın qrafikini qurun.

Bu funksiyanı öyrənmək üçün yuxarıdakı sxemi tətbiq edirik.

Funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Funksiya dövri deyil.

Nöqtə
- x oxu ilə kəsişmə nöqtəsi.

y oxu ilə:
.

Nöqtə (0;-1) - qrafikin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsi.

törəməni tapırıq.

saat
və mövcud deyil
.

Kritik məqamlar:
Və
.

Funksiyanın törəməsinin işarəsini intervallar üzərində araşdırırıq.

Funksiya fasilələrlə azalır
; artır - interval üzrə
.

İkinci törəməni tapırıq.

saat
və üçün mövcud deyil.

İkinci növ kritik məqamlar: və
.

Funksiya intervalda qabarıqdır
, funksiya intervallarda konkavdır
.

əyilmə nöqtəsi,
.

Bunu nöqtəyə yaxın funksiyanın davranışını tədqiq etməklə sübut edək.

Gəlin əyri asimptotları tapaq

Sonra
- üfüqi asimptot

Əlavə nöqtələri tapaq:

Alınan məlumatlara əsasən, funksiyanın qrafikini qururuq.

Tapşırıq 5. Bernoulli-L'Hopital qaydasını teorem kimi formalaşdıraq.

teorem: iki funksiya varsa
Və
:

.

Bernoulli-L'Hopital qaydasını tətbiq etməklə limitləri tapın:

Amma)
; b)
; in)
.

Həll. Amma) ;

in)
.

Gəlin şəxsiyyəti tətbiq edək
. Sonra

Tapşırıq 6. Funksiya verilmişdir
. Tapmaq , ,
.

Həll. Gəlin qismən törəmələri tapaq.

Funksiyanın tam diferensialı
düsturla hesablanır:

.

Cavab:
,
,
.

Tapşırıq 7 Fərqləndirin:

Həll. Amma) Mürəkkəb funksiyanın törəməsi düsturla tapılır:

;
;

Cavab:

b) Funksiya tənlik ilə dolayı verilmişdirsə
, onda onun qismən törəmələri düsturlarla tapılır:

,
.

,
,
.

;
.

Cavab:
,
.

Tapşırıq 8 Funksiyanın yerli, şərti və ya qlobal ekstremumlarını tapın:

Həll. Amma) Tənliklər sistemini həll etməklə funksiyanın kritik nöqtələrini tapaq:

- kritik nöqtə.

Ekstremum üçün kifayət qədər şərtlər tətbiq edirik.

İkinci qismən törəmələri tapaq:

;
;
.

Determinant (diskriminant) tərtib edirik:

Çünki
, onda M 0 (4; -2) nöqtəsində funksiya maksimuma malikdir.

Cavab: Z max \u003d 13.

b)
, bu şərtlə
.

Laqranj funksiyasını tərtib etmək üçün düsturu tətbiq edirik

- bu funksiya

Rabitə tənliyi. qısaldıla bilər. Sonra. Sol və sağ məhdudiyyətlər. Teoremlər... Sənəd

... DIFFERENSİALHESABLAMAFUNKSİYALARBİRDƏYİŞƏN 6 § 1. FUNKSİYABİRDƏYİŞƏN, ƏSAS KONSEPSİYALAR 6 1.Tərif funksiyalarıbirdəyişən 6 2. Tənzimləmə üsulları funksiyaları 6 3. Kompleks və tərs funksiyaları 7 4. İbtidai sinif funksiyaları 8 § 2. LİMİT FUNKSİYALAR ...

Riyaziyyat 4-cü hissə Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı diferensial tənliklər seriyası

Dərslik

Riyaziyyat. 4-cü hissə diferensialhesablamafunksiyalarıbir neçədəyişənlər. Diferensial tənliklər. Sıralar: Təhsil ... riyazi analiz", " diferensialhesablamafunksiyalarıbirdəyişən" və "İnteqral hesablamafunksiyalarıbirdəyişən". MƏQSƏDLƏR VƏ...

Dəyişən funksiyaların hesablamasının genişlənməsi çoxdəyişənli analizdir, zaman bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı- inteqrasiya olunmuş və diferensiallaşdırılmış funksiyalar bir deyil, bir neçə dəyişənə təsir edir.

Bir neçə dəyişənin funksiyalarının diferensial hesablanması aşağıdakı tipik əməliyyatları əhatə edir:

1. Davamlılıq və məhdudiyyətlər.

Bir dəyişənin funksiyası üçün xarakterik olmayan bir çox patoloji və məntiqsiz nəticələr çoxölçülü fəzalarda fasiləsizliyin və hədlərin öyrənilməsinin nəticəsidir. Məsələn, təyinetmə sahəsində nöqtələri olan iki dəyişən skalyar funksiya var ki, onlar düz xətt boyunca yaxınlaşdıqda xüsusi həddi, parabola boyunca yaxınlaşdıqda isə tamam fərqli həddi verirlər. Sıfıra, başlanğıcdan keçən hər hansı düz xətt boyunca keçərkən funksiya sıfıra meyl edir. Fərqli trayektoriyalar üzrə hədlər üst-üstə düşmədiyi üçün vahid məhdudiyyət yoxdur.

Dəyişənlər x meylli olduqda, limit funksiyası müəyyən sayda olur. Müəyyən bir nöqtədə funksiyanın limit qiyməti mövcuddursa və funksiyanın xüsusi qiymətinə bərabərdirsə, bu cür funksiya verilmiş nöqtədə davamlı adlanır. Əgər funksiya nöqtələr çoxluğunda fasiləsizdirsə, o zaman nöqtələr çoxluğunda davamlı adlanır.

2. Qismən törəmənin tapılması.

Bir neçə dəyişənin qismən törəməsi bir dəyişənin törəməsi deməkdir və bütün digər dəyişənlər sabit hesab olunur.

3. Çoxlu inteqrasiya.

Çoxsaylı inteqral inteqral anlayışını bir neçə dəyişənli funksiyalara genişləndirir. Kosmosda və müstəvidə rayonların həcmlərini və sahələrini hesablamaq üçün ikiqat və üçlü inteqrallardan istifadə olunur. Tonelli-Fubini teoreminə görə, çoxsaylı inteqral təkrarlanan inteqral kimi də hesablana bilər.

Bütün bunlar bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabını aparmağa imkan verir.

Səthə toxunan müstəvi z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , burada X, Y, Z - cari koordinatlar; x, y, z - toxunma nöqtəsinin koordinatları;
M(x, y, z) nöqtəsində səth normalı F(x, y, z) = 0

X-x F " x

n dəyişənin funksiyası u dəyişəni n dəyişənin (arqumentlərin) x, y, z, …, t funksiyası adlanır, əgər hər bir x, y, z, …, t dəyər sistemi onların dəyişmə diapazonundan ( tərif sahəsi), müəyyən bir dəyər u uyğun gəlir. Funksiya sahəsi müəyyən real qiymətlərə malik olduğu bütün nöqtələrin çoxluğudur. İki dəyişənli z=f(x, y) funksiyası üçün təyinetmə sahəsi müstəvidə müəyyən nöqtələr toplusunu, üç dəyişənli u=f(x, y, z) funksiyası üçün isə müəyyən bir funksiyanı təmsil edir. kosmosdakı nöqtələr toplusu.

İki dəyişənin funksiyası İki dəyişənin funksiyası qanundur ki, ona uyğun olaraq təyin sahəsindən müstəqil dəyişənlərin x, y (arqumentlər) hər bir cüt qiymətləri asılı dəyişənin z (funksiya) dəyərinə uyğun gəlir. Bu funksiya aşağıdakı kimi işarələnir: z = z(x, y) və ya z= f(x, y) , və ya başqa standart hərf: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Birinci dərəcəli qismən törəmələr z \u003d f (x, y) funksiyasının müstəqil x dəyişənə görə qismən törəməsi y sabitində hesablanan son hədddir y-ə münasibətdə qismən törəmə a sabit x Qismən törəmələr üçün adi qaydalar və fərqləndirmə düsturları etibarlıdır.

z =f(x, y) funksiyasının tam diferensialı düsturu ilə hesablanır Üç arqumentin funksiyasının tam diferensialı u =f(x, y, z) düsturu ilə hesablanır.

Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr z =f(x, y) funksiyasının ikinci dərəcəli törəmələri onun birinci dərəcəli qismən törəmələrinin qismən törəmələridir.Eyni şəkildə üçüncü və daha yüksək dərəcələrin qismən törəmələri müəyyən edilir və işarələnir.

Yüksək tərtibli diferensiallar z=f(x, y) funksiyasının ikinci dərəcəli diferensialı onun dayaz diferensialının diferensialıdır. Yüksək dərəcəli diferensiallar düsturla hesablanır Simvolik düstur var.

Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması z=f(x, y) olsun ki, burada x=φ(t), y=ψ(t) və f(x, y), φ(t), ψ(t) funksiyaları diferensiallanır. Sonra düsturla z=f[φ(t), ψ(t)] kompleks funksiyasının törəməsi hesablanır.

Gizli funksiyaların diferensiallaşdırılması F(x, y, z)=0 tənliyi ilə verilmiş z=f(x, y) iki dəyişənin gizli funksiyasının törəmələrini düsturlarla hesablamaq olar.

Funksiyanın ekstremumu z=f(x, y) funksiyası M 0(x 0; y 0) nöqtəsində maksimuma (minimum) malikdir, əgər funksiyanın bu nöqtədəki qiyməti onun qiymətindən böyük (kiçik) olarsa. M 0 nöqtəsinin hansısa qonşuluğunun hər hansı digər M(x; y ) nöqtəsində. Əgər z=f(x, y) diferensiallanan funksiya M 0(x 0; y 0) nöqtəsində ekstremuma çatırsa, onda onun birinci -sifarişli qismən törəmələr bu nöqtədə sıfıra bərabərdir, yəni (zəruri ekstremum şərtlər).

M 0(x 0; y 0) z=f(x, y) funksiyasının stasionar nöqtəsi olsun. Δ=AC B 2 diskriminantını təyin edək VƏ təşkil edək. Onda: Əgər Δ>0 olarsa, onda funksiyanın M 0 nöqtəsində ekstremumu var, yəni A 0-da (və ya C>0) maksimum; Əgər Δ

Antitörəmə funksiyası F(x) funksiyası X=(a, b) intervalında f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanırsa, əgər bu intervalın hər bir nöqtəsində f(x) F(x) üçün törəmədirsə, yəni From. bu tərifdən belə çıxır ki, əks törəmənin tapılması məsələsi diferensiallaşma məsələsinə tərsdir: verilmiş f(x) funksiyası üçün törəməsi f(x)-ə bərabər olan F(x) funksiyasını tapmaq tələb olunur.

Qeyri-müəyyən inteqral F(x)+C funksiyasının f(x) üçün bütün əks törəmələri çoxluğu f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı adlanır və simvolu ilə işarələnir. Beləliklə, tərifə görə, burada C ixtiyari sabitdir; f(x) inteqran; f(x) dx inteqranı; x inteqrasiya dəyişəni; qeyri-müəyyən inteqral işarəsi.

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri 1. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqrana, qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi isə inteqrana bərabərdir: 2. Bəzi funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı bunun cəminə bərabərdir. funksiya və ixtiyari sabit:

3. Sabit amili inteqral işarəsindən çıxarmaq olar: 4. Sonlu sayda fasiləsiz funksiyaların cəbri cəminin qeyri-müəyyən inteqralı funksiyaların hədlərinin inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir: 5. Əgər, onda və burada u=φ(x) davamlı törəmə olan ixtiyari funksiyadır

Əsas İnteqrasiya Metodları Birbaşa İnteqrasiya Metodu İnteqralın (və ya ifadənin) eyni çevrilmələri və qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinin tətbiqi yolu ilə verilmiş inteqralın bir və ya bir neçə cədvəl inteqralına endirildiyi inteqrasiya üsuluna birbaşa inteqrasiya deyilir.

Bu inteqralı cədvələ endirərkən tez-tez diferensialın aşağıdakı çevrilmələrindən istifadə olunur ("diferensialın işarəsi altına gətirmə" əməliyyatı):

Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişiklik (əvəzetmə inteqrasiyası) Əvəzetmə inteqrasiyası metodu yeni inteqrasiya dəyişəninin təqdim edilməsindən ibarətdir. Bu halda, verilmiş inteqral cədvəl şəklində olan və ya ona azalda bilən yeni inteqrala endirilir. İnteqralı hesablamaq tələb olunsun. X = φ(t) əvəzini aparaq, burada φ(t) davamlı törəmə olan funksiyadır. Sonra dx=φ "(t)dt və qeyri-müəyyən inteqral inteqrasiya düsturunun dəyişməzlik xassəsinə əsaslanaraq əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya düsturunu alırıq.

Hissələr üzrə inteqrasiya Hissələr üzrə inteqrasiya düsturu Düstur inteqralın hesablanmasını inteqralın hesablanmasına endirməyə imkan verir ki, bu da orijinaldan daha sadə ola bilər.

Rasional kəsrlərin inteqrasiyası Rasional kəsr P(x)/Q(x) formasında kəsrdir, burada P(x) və Q(x) çoxhədlidir. P(x) çoxhədlinin dərəcəsi Q(x) çoxhədlinin dərəcəsindən aşağı olarsa, rasional kəsr düzgün adlanır; əks halda kəsr natamam kəsr adlanır. Ən sadə (elementar) kəsrlər aşağıdakı formanın nizamlı kəsrləridir: burada A, B, p, q, a həqiqi ədədlərdir.

Tənliyin sağ tərəfindəki ən sadə tip IV kəsrin birinci inteqralı x2+px+q=t əvəz edilməklə asanlıqla tapılır və ikincisi aşağıdakı kimi çevrilir: x+p/2=t, dx=dt təyin edirik biz almaq və qp 2/4=a 2 ifadə etmək,

Ayrışmadan istifadə edərək rasional kəsrlərin sadə kəsrlərə inteqrasiyası P(x)/Q(x) rasional kəsrini inteqral etməzdən əvvəl aşağıdakı cəbri çevrilmələr və hesablamalar aparılmalıdır: 1) Əgər düzgün olmayan rasional kəsr verilmişdirsə, ondan tam hissə seçin. o, yəni M(x) çoxhədli, P 1(x)/Q(x) isə uyğun rasional kəsr olduğu formada; 2) Kəsirin məxrəcini xətti və kvadrat amillərə genişləndirin: burada р2/4 q

3) Düzgün rasional kəsri sadə kəsrlərə ayırın: 4) Qeyri-müəyyən A 1, A 2, ..., Am, ..., B 1, B 2, ..., Bm, ..., C əmsallarını hesablayın. 1, C 2, ..., Cm, ... , bunun üçün sonuncu bərabərliyi ortaq məxrəcə gətiririk, yaranan eyniliyin sol və sağ hissələrində x-in eyni güclərindəki əmsalları bərabərləşdiririk və sistemi həll edirik. istənilən əmsallara münasibətdə xətti tənliklərin.

Ən sadə irrasional funksiyaların inteqrasiyası 1. R-nin rasional funksiya olduğu formanın inteqralları; m 1, n 1, m 2, n 2, … tam ədədlər. ax+b=ts əvəzlənməsindən istifadə etməklə, burada s n 1, n 2, ... ədədlərinin ən kiçik ortaq qatıdır, göstərilən inteqral rasional funksiyanın inteqralına çevrilir. 2. Formanın inteqralı Belə inteqrallar kvadrat üçhəcmdən kvadrat seçməklə 15 və ya 16 cədvəl inteqrallarına endirilir.

3. Formanın inteqralı Bu inteqralı tapmaq üçün paylayıcıda kvadrat üçhəcmlinin kök işarəsi altında olan törəməsini seçirik və inteqralı inteqralların cəminə genişləndiririk:

4. Formanın inteqralları x α=1/t əvəz etməklə bu inteqral baxılan 2-ci bəndə endirilir. 5. Rn(х) n-ci dərəcəli çoxhədli olduğu formanın inteqralı. Qn 1(x) qeyri-müəyyən əmsallı ci dərəcəli çoxhədli (n 1), λ ədəd olduğu eynilikdən istifadə etməklə bu cür inteqral tapılır. Göstərilən eyniliyi diferensiallaşdıraraq və nəticəni ümumi məxrəcə endirərək, iki çoxhədlinin bərabərliyini əldə edirik, ondan Qn 1(x) polinomunun və λ ədədinin əmsallarını təyin edə bilərik.

6. Diferensial binomların inteqralları, burada m, n, p rasional ədədlərdir. P.L.Çebışev sübut etdiyi kimi, diferensial binomların inteqralları elementar funksiyalar baxımından yalnız üç halda ifadə olunur: 1) p tam ədəddir, onda bu inteqral x=ts əvəzlənməsindən istifadə edərək rasional funksiyanın inteqralına endirilir, burada s. m və n fraksiyalarının ən kiçik ortaq çoxsaylı məxrəcləri. 2) (m+1)/n tam ədəddir, bu halda bu inteqral a+bxn=ts əvəzlənməsindən istifadə etməklə rasionallaşdırılır; 3) (m+1)/n+р tam ədəddir, bu halda ax n+b=ts əvəzlənməsi eyni məqsədə aparır, burada s r kəsirinin məxrəcidir.

Triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası R-nin rasional funksiya olduğu formanın inteqralları. İnteqral işarəsi altında sinus və kosinusun rasional funksiyası var. Bu halda universal triqonometrik əvəzetmə tg(x/2)=t tətbiq edilir ki, bu da bu inteqralı yeni t arqumentinin rasional funksiyasının inteqralına endirir (cədvəl səh. 1). Aşağıdakı cədvəldə göstərildiyi kimi digər əvəzetmələr də var:

Seqmentdə f(x) funksiyasının müəyyən inteqralı inteqral cəmlərin həddidir, bu şərtlə ki, ən böyük qismən Δхi seqmentinin uzunluğu sıfıra meyllidir. a və b ədədləri inteqrasiyanın aşağı və yuxarı həddi adlanır. Koşi teoremi. Əgər f(x) funksiyası seqmentdə davamlıdırsa, onda müəyyən inteqral mövcuddur

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="(!LANG:Əgər f(x)>0 seqmentdə olarsa, onda müəyyən inteqral həndəsi olaraq ​əyri xətti"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0!}

Müəyyən inteqralların hesablanması qaydaları 1. Nyuton Leybniz düsturu: burada F(x) f(x) üçün əks törəmədir, yəni F(x)‘= f(x). 2. Hissələr üzrə inteqrasiya: burada u=u(x), v=v(x) seqmentdə davamlı diferensiallanan funksiyalardır.

3. Dəyişənin dəyişməsi burada x=φ(t) α≤t≤β seqmentində törəməsi φ' (t) ilə birlikdə fasiləsiz olan funksiyadır, a= φ(a), b= φ(β), f[φ( t)] – funksiya [α üzərində davamlıdır; β] 4. Əgər f(x) tək funksiyadırsa, yəni f(x)= f(x), onda f(x) cüt funksiyadırsa, yəni f(x)=f(x) , onda.

Uyğun olmayan inteqrallar Uyğun olmayan inteqrallar bunlardır: 1) sonsuz həddi olan inteqrallar; 2) qeyri-məhdud funksiyaların inteqralları. f (x) funksiyasının a-dan + sonsuzluq diapazonunda natamam inteqralı bərabərliklə müəyyən edilir. Əgər bu həddi mövcuddursa və sonludursa, düzgün olmayan inteqral konvergent adlanır; həddi yoxdursa və ya sonsuza bərabərdirsə, divergent Əgər f(x) funksiyası seqmentdən bir nöqtədə sonsuz kəsilməyə malikdirsə və a≤x üçün davamlıdırsa.

Uyğun olmayan inteqralların yaxınlaşmasının tədqiqində müqayisə əlamətlərindən birindən istifadə edilir. 1. Əgər f(x) və φ(x) funksiyaları bütün х≥а üçün müəyyən edilibsə və seqmentdə inteqral oluna bilirsə, burada A≥a və bütün x≥ üçün 0≤f(x)≤φ(x) olarsa. a, onda inteqralın yaxınlaşmasından inteqralın yaxınlaşması nəzərdə tutulur və 2. 1 Əgər x→+∞ üçün f(x)≤0 funksiyası 1/x ilə müqayisədə p>0 tərtibli sonsuz kiçikdirsə, onda inteqral yaxınlaşır. p>1 üçün və p≤1 2 üçün ayrılır. 2 Əgər f(x) ≥ 0 funksiyası a ≤ x intervalında müəyyən edilmiş və davamlıdırsa

Düz fiqurun sahəsinin hesablanması y=f(x) əyrisi, x=a və x=b düz xətləri və OX oxunun seqmenti ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi Sahə düsturu ilə hesablanır. y=f 1(x) və y=f 2( x) əyrisi və x=a və x=b düz xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun düsturu ilə tapılır və OX oxunun seqmenti hesablanır. t 1 və t 2 a = x (t 1), b = x (t 2) iki qütb radiusu θ=α, θ=β (α) tənliyindən təyin olunduğu düstur.

Düz əyrinin qövs uzunluğunun hesablanması Əgər seqmentdə y=f(x) əyrisi hamardırsa (yəni y'=f'(x) törəməsi davamlıdır), onda bu əyrinin müvafiq qövsünün uzunluğu belədir. (t) düsturu ilə tapılan y=y(t) [x(t) və y(t) davamlı diferensiallanan funksiyalardır] t parametrinin t 1-dən monoton dəyişməsinə uyğun gələn əyri qövsünün uzunluğu. t 2-ə qədər, düsturla hesablanır Əgər qütb koordinatlarında ρ=ρ(θ), α≤θ≤β tənliyi ilə hamar əyri verilirsə, qövsün uzunluğu bərabərdir.

Bədən həcminin hesablanması 1. Bədənin həcminin məlum olan kəsik sahələrindən hesablanması. Bədənin kəsik sahəsi, OX oxuna perpendikulyar olan müstəvi x funksiyası kimi, yəni S=S(x) (a≤x≤b) şəklində ifadə oluna bilərsə, həcm OX oxuna perpendikulyar olan x= a və x=b müstəviləri arasında qapalı olan bədən hissəsinin 2-ci düsturla tapılması. Dönmə cisminin həcminin hesablanması. Əgər y=f(x) əyrisi və y=0, x=a, x=b düz xətləri ilə hüdudlanan əyrixətti trapesiya OX oxu ətrafında fırlanırsa, onda inqilab cisminin həcmi düsturla hesablanır Əgər rəqəm y1=f 1(x) və y2=f 2(x) əyriləri və x=a, x=b düz xətləri ilə məhdudlaşır, OX oxu ətrafında fırlanır, onda fırlanma subyektinin həcmi bərabər olur.

Fırlanma səthinin sahəsinin hesablanması Əgər hamar əyrinin qövsü y=f(x) (a≤х≤b) OX oxu ətrafında fırlanırsa, onda fırlanma səthinin sahəsi düsturla hesablanır. Əgər əyri x=x(t), y=y(t ) (t 1≤t≤t 2) parametrik tənlikləri ilə verilmişdirsə, onda.

Əsas anlayışlar Diferensial tənlik müstəqil dəyişənləri, onların funksiyasını və bu funksiyanın törəmələrini (və ya diferensiallarını) əlaqələndirən tənlikdir. Bir müstəqil dəyişən varsa, tənlik adi adlanır, lakin iki və ya daha çox müstəqil dəyişən varsa, tənliyə qismən diferensial tənlik deyilir.

Birinci dərəcəli tənlik Müstəqil dəyişəni, arzu olunan y(x) funksiyasını və onun törəməsi y (x)-ni birləşdirən F(x, y, y) = 0 və ya y = f(x, y) funksional tənliyinə birinci tərtib deyilir. diferensial tənlik. Birinci dərəcəli tənliyin həlli hər hansı y= (x) funksiyasıdır ki, bu funksiya y = (x) törəməsi ilə birlikdə tənliyə əvəz edilərək onu x-ə münasibətdə eyniliyə çevirir.

Birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli Birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli y = (x, C) funksiyadır ki, C parametrinin istənilən qiyməti üçün bu diferensial tənliyin həlli olur. Ümumi həlli gizli funksiya kimi təyin edən Ф(x, y, C)=0 tənliyinə diferensial tənliyin ümumi inteqralı deyilir.

Törəmə ilə bağlı həll olunan tənlik Əgər 1-ci dərəcəli tənlik törəmə ilə həll edilirsə, o zaman onu belə təqdim etmək olar. Onun ümumi həlli həndəsi cəhətdən inteqral əyrilər ailəsidir, yəni müxtəlif qiymətlərə uyğun gələn xətlər dəstidir. sabit C.

Koşi məsələsinin ifadəsi Başlanğıc şərtini ödəyən diferensial tənliyin həllinin tapılması məsələsi birinci dərəcəli tənlik üçün Koşi məsələsi adlanır. Həndəsi olaraq bu o deməkdir: verilmiş nöqtədən keçən diferensial tənliyin inteqral əyrisini tapın.

Ayrılmış dəyişən tənliyi Diferensial tənliyə ayrılmış dəyişən tənliyi deyilir. 1-ci dərəcəli diferensial tənlik aşağıdakı formaya malikdirsə, ayrıla bilən dəyişənli tənlik adlanır: Tənliyi həll etmək üçün onun hər iki hissəsini funksiyaların hasilinə bölün və sonra inteqral edin.

Bircins tənliklər Birinci dərəcəli diferensial tənliyə, əgər y = formasına və ya eyni düzülüşlü bircins funksiyaların olduğu formaya endirilə bilsə, ona homojen deyilir.

Birinci dərəcəli xətti tənliklər Birinci dərəcəli diferensial tənlik o halda xətti adlanır ki, o, birinci dərəcədə y və y‘-dən ibarətdir, yəni formaya malikdir. Belə tənlik y=uv əvəzlənməsindən istifadə etməklə həll edilir, burada u və v köməkçi funksiyaları tənliyə əvəz etməklə tapılan köməkçi naməlum funksiyalardır və funksiyalardan birinə müəyyən şərtlər qoyulur.

Bernoulli tənliyi Bernulli tənliyi birinci dərəcəli tənlikdir və formasına malikdir.

2-ci dərəcəli diferensial tənliklər 2-ci dərəcəli tənliyin və ya ikinci dərəcəli tənliyin ümumi həlli, parametrlərin hər hansı bir dəyəri üçün bu tənliyin həlli olan bir funksiyadır.

2-ci tərtib tənliyi üçün Koşi məsələsi Əgər 2-ci tərtib tənliyi ikinci törəmə ilə bağlı həll edilirsə, belə bir tənlik üçün aşağıdakı məsələ baş verir: tənliyin ilkin şərtlərini ödəyən həllini tapın: və bu məsələ tənlik adlanır. 2-ci dərəcəli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi.

İkinci dərəcəli tənliyin həlli üçün mövcudluq və yeganəlik teoremi Əgər tənlikdə bir funksiya və onun arqumentlərə münasibətdə qismən törəmələri və bir nöqtəni ehtiva edən bəzi sahədə davamlıdırsa, onda bu tənliyin unikal həlli də mövcuddur. şərtlər və.

Sıranın azaldılmasına imkan verən 2-ci dərəcəli tənliklər Ən sadə 2-ci dərəcəli tənlik ikiqat inteqrasiya ilə həll edilir. Tərkibində açıq şəkildə y olmayan tənlik əvəzetmə yolu ilə, x olmayan tənlik isə əvəzetmə yolu ilə həll edilir, .

Xətti homojen tənliklər İkinci dərəcəli xətti bircins diferensial tənlik tənlikdir.Bu tənliyin bütün əmsalları sabitdirsə, onda tənliyə sabit əmsallı tənlik deyilir.

Xətti homojen tənlik teoreminin həllərinin xassələri 1. Əgər y(x) tənliyin həllidirsə, onda C sabiti olan Cy(x) də bu tənliyin həllidir.

Xətti homojen tənliklərin həllərinin xassələri 2. Əgər və tənliyin həllidirsə, onda onların cəmi də bu tənliyin həllidir. Nəticə. Əgər və tənliyin həllidirsə, funksiya da həmin tənliyin həllidir.

Xətti asılı və xətti müstəqil funksiyalar İki funksiya və hansısa intervaldan xətti asılı adlanır, əgər belə ədədləri seçmək mümkündürsə və eyni zamanda sıfıra bərabər deyilsə, bu funksiyaların xətti kombinasiyası bu intervalda eyni şəkildə sıfıra bərabərdir, yəni.

Əgər belə ədədləri seçmək mümkün deyilsə, o zaman funksiyalar və göstərilən intervalda xətti müstəqil adlanır. Funksiyalar yalnız və yalnız nisbəti sabit olduqda xətti asılı olacaqlar, yəni.

2-ci dərəcəli xətti bircinsli tənliyin ümumi həllinin strukturu haqqında teorem Əgər 2-ci dərəcəli LOE-nin xətti müstəqil qismən həlləri varsa, onda onların xətti birləşməsi burada və ixtiyari sabitlərdir, bu tənliyin ümumi həllidir.

Sabit əmsallı 2-ci dərəcəli xətti homojen tənlik Tənliyə xətti tənliyin xarakterik tənliyi deyilir. Törəməni sıraya uyğun gələn k gücü ilə əvəz etməklə LOE-dən alınır.