1845-ci il martın 3-də Sankt-Peterburqda anadan olub və 11 yaşına qədər orada böyüyüb. Ailənin atası Sankt-Peterburq birjasının üzvü olub. O, xəstələnəndə ailə daha mülayim bir iqlimə güvənərək 1856-cı ildə Almaniyaya köçdü: əvvəlcə Visbadenə, sonra isə Frankfurta. 1860-cı ildə Georq Darmştadtdakı real məktəbini əla qiymətlərlə bitirdi; müəllimlər onun riyaziyyatda, xüsusən də triqonometriyada müstəsna qabiliyyətini qeyd ediblər. Sürixdə Federal Politexnik İnstitutunda təhsilini davam etdirib. Bir il sonra atasının ölümündən sonra Georq miras aldı və Berlin Universitetinə köçdü. Orada Kronecker, Weierstrass, Kummerin mühazirələrində iştirak edir. Kantor 1866-cı ilin yayını riyazi fikrin mühüm mərkəzi olan Göttingen Universitetində keçirdi. 1967-ci ildə “De aequationibus secundi gradus indeterminatis” say nəzəriyyəsi üzrə işinə görə Berlində doktorluq dərəcəsi almışdır.

Berlindəki qızlar məktəbində qısa müddət müəllim kimi fəaliyyət göstərdikdən sonra Kantor bütün karyerasını burada keçirəcək Galle Martin Lüter Universitetində vəzifə tutdu. 1872-ci ildə köməkçi professor oldu, eyni zamanda məzuniyyəti zamanı Richard Dedekind ilə dostluq münasibətləri qurdu. 34 yaşında Kantor riyaziyyat professoru oldu. 1879-84-cü illərdə o, sonsuzluq haqqında doktrinasını sistemli şəkildə izah edir; “məhdud nöqtə, törəmə çoxluq anlayışlarını təqdim etdi, mükəmməl çoxluq nümunəsini qurdu, nəzəriyyələrdən birini inkişaf etdirdi irrasional ədədlər, davamlılığın aksiomlarından birini tərtib etmişdir. Belə uğurlu karyerasına baxmayaraq, o, Berlin kimi daha prestijli bir universitetdə vəzifə tutmaq arzusundadır. Bununla belə, arzular gerçəkləşmir: bir çox müasirləri, o cümlədən indi konstruktiv riyaziyyatın yaradıcılarından biri kimi qəbul edilən Kroneker, Kantorun çoxluq nəzəriyyəsinə düşmən münasibət bəsləyir, çünki o, müəyyən xassələri qane edən çoxluqların mövcudluğunu təsdiqləyir - konkret nümunələr göstərmədən. elementləri faktiki olaraq bu xassələri təmin edən çoxluqlar.

1984-cü ildə Kantor dərin depressiya keçirdi və bir müddət riyaziyyatdan uzaqlaşaraq maraqlarını fəlsəfəyə çevirdi. Sonra işə qayıdır. 1897-ci ildə elmi işi dayandırır. Kantor 6 yanvar 1918-ci ildə Halledə vəfat etdi.

19-cu əsrin aktual problemlərindən biri də seqmentlərin sonsuz bölünməsi problemi və bütün belə müqavilə seqmentlərinə aid olan nöqtənin mövcudluğu idi. Bu problem real ədəd anlayışını tələb edirdi.

Cantorun real ədəd nəzəriyyəsinin qurulması 1872-ci ildə, demək olar ki, Weierstrass və Dedekind nəzəriyyəsi ilə eyni vaxtda nəşr olundu. Cantor öz tikintisində rasional ədədlərin mövcudluğundan çıxış edir. Sonra o, fundamental Koşi ardıcıllığını təqdim edir və onlara formal limit təyin edir. Sonra o, bütün ardıcıllıqları ekvivalentlik siniflərinə bölməyi düşünür. Ardıcıllıqlar eyni sinfə aiddir, o halda ki, onların fərqi sıfıra meyllidir, yəni. Bundan əlavə, formal məhdudiyyətlər bir-birinə bərabərdir, əgər onların bir-birinə ekvivalent olan iki belə fundamental ardıcıllığı varsa və ya. Sifariş əlaqəsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir.

Beləliklə, ekvivalentlik sinifləri bəzi real ədədləri təsvir edir. Onları birinci dərəcəli həqiqi ədədlər adlandıraq. Fundamental Koşi ardıcıllıqlarını tərtib etməklə daha yüksək səviyyəli həqiqi ədəd yaratmağa çalışsaq, yenə birinci dərəcəli həqiqi ədədlər toplusunu alacağıq. Başqa sözlə, həqiqi ədədlər çoxluğu bağlıdır.

Kantor, həqiqi ədədin tərifində faktiki olaraq sonsuz rasional ədədlər çoxluğunun mövcud olduğuna diqqət çəkir: “...rasional ədədlərin birinci kardinallığının müəyyən ciddi şəkildə müəyyən edilmiş çoxluğu həmişə hansısa irrasional ədədin tərifinə aiddir. "

Qeyd edək ki, Kantorun konstruksiyası digər obyektlər üçün ümumiləşdirilə bilər, bunu Kantor və onun ardıcılları həyata keçirmişlər, "həqiqi ədədlər nəzəriyyələrinin inkişafı çoxluqlar nəzəriyyəsinin yaradılması üçün kifayət qədər vacib ilkin şərt idi". Məsələn, Cantor real ədədin qurulması əsasında sonradan transfinit ədədlər nəzəriyyəsini inkişaf etdirdi.

Bundan əlavə, Kantor çoxluqların kardinallığı anlayışını təqdim etdi və irrasional və rasional ədədlərin qeyri-ekvivalentliyini sübut etdi.

Georg Ferdinand Lüdviq Filip Kantor 4 mart 1845-ci ildə Sankt-Peterburqda anadan olub. Valideynləri Georg-Voldemar Kantor və Maria Anna Boym idi. Kantor sadiq protestant kimi böyüdü və sənətə olan sevgisi ona valideynlərindən keçdi. Onun görkəmli skripkaçı olduğuna inanılır. Atası alman, anası isə Roma Katolik Kilsəsinə qatılan rus idi. FROM erkən illər Kantorun özəl müəllimi var idi və eyni zamanda Sankt-Peterburqda bir məktəbdə oxuyurdu. 1856-cı ildə Kantorun on bir yaşı olanda ailəsi Kantorun heç vaxt aşiq olmadığı Almaniyaya köçdü.

Kantorun atasının səhhəti pisləşməyə başladı və bu, ailənin yenidən Frankfurta köçməsinə səbəb oldu, iqlim istiliyi səbəbindən bu dəfə Frankfurta köçdü. Frankfurtda Kantor 1960-cı ildə fərqlənmə diplomu ilə bitirdiyi gimnaziyada oxudu. Müəllimləri onun riyaziyyatı, xüsusən də triqonometriyanı yaxşı bildiyini qeyd ediblər. 1962-ci ildə orta məktəbi bitirdikdən sonra Kantor daxil oldu federal universitet Sürixdə riyaziyyat oxudu. Valideynlərinin razılığını aldıqdan sonra bir-iki il, atasının ölümündən sonra təhsilinə son qoyulana qədər orada oxudu. Atasının ölümündən sonra Kantor Berlin Universitetinə köçdü, burada Hermann Şvartsla dost oldu və Kronecker, Weierstrass və Kummerin mühazirələrində iştirak etdi. Yayda o, Göttingen Universitetində də oxudu və 1867-ci ildə "De aequationibus secondi gradus indeterminatis" başlığı ilə rəqəmlər üzrə ilk dissertasiyasını tamamladı.

Həmin il o, riyaziyyat üzrə doktorluq dissertasiyası müdafiə etmişdir.

Karyera

Karyerasının əvvəlində Kantor riyazi birliklərin və icmaların fəal üzvü idi. 1865 və 1868-ci illərdə icmalardan birinin prezidenti oldu. O, həmçinin riyaziyyat üzrə Şellbax konfransında iştirak edib. 1869-cu ildə Halle Universitetinin professoru təyin edildi. O, ədədlər nəzəriyyəsi və təhlili üzrə müxtəlif dissertasiyalar üzərində işləməyə davam etmişdir. Eyni zamanda, Kantor triqonometriyanı öyrənməyə davam etmək qərarına gəldi və böyük həmkarı Heine tərəfindən ona təqdim olunan triqonometrik sıraların funksiyalarının həndəsi təsvirinin unikallığı haqqında düşünməyə başladı.

1870-ci ilə qədər Kantor həndəsi təsvirin unikallığını sübut edərək Heineni çox heyrətə gətirdi. 1873-cü ildə o, rasional ədədlərin hesablana bildiyini və natural ədədlərə uyğunlaşdırıla biləcəyini sübut etdi. 1873-cü ilin sonunda Cantor sübut etdi ki, həm həqiqi, həm də nisbi ədədlər də hesablana bilər. O, 1872-ci ildə fövqəladə professor, 1879-cu ildə isə ən yüksək kateqoriyalı professor vəzifəsinə təyin edilib. O, təyinat üçün minnətdar idi, amma yenə də daha nüfuzlu bir universitetdə vəzifə istəyirdi.

1882-ci ildə Kantor Gösta Mittaq-Leffler ilə yazışmağa başladı və tezliklə Lefflerin Acta Mathematica jurnalında əsərini dərc etməyə başladı. Kantın müasiri olan Kroneker Kantorun nəzəriyyələrini daim məsxərəyə qoyur və onları sıxışdırırdı.

Kantor əsərini dərc etməyə davam etdi, lakin 1884-cü ildə sinir böhranı keçirdi və tezliklə sağaldı və fəlsəfədən dərs deməyə qərar verdi. Tezliklə Yelizaveta dövrünün ədəbiyyatını öyrənməyə başladı.

1890-cı ildə o, Alman Riyaziyyat Cəmiyyətini qurdu, burada ilk dəfə diaqonal kəsimin rəsmlərini nəşr etdi və bununla da Kronecker ilə müəyyən əlaqələr qurdu. Lakin elm adamları ünsiyyət qurmağa başlamalarına baxmayaraq, heç vaxt barışmadılar, buna görə də münasibətlərindəki gərginlik Kantorun ömrünün sonuna qədər mövcud idi.

Şəxsi həyat

1874-cü ildə Kantor Wally Guttman ilə evləndi; cütlüyün altı övladı var idi. Kantorun məşhur riyaziyyatçı statusuna baxmayaraq, ailəsini dolandıra bilmədiyi güman edilir. Boş vaxtı olanda skripkada ifa edir, incəsənət və ədəbiyyatla məşğul olur. O, riyaziyyatdakı fəaliyyətinə görə Silvestr medalı ilə təltif edilib. 1913-cü ildə Kantor əqli cəhətdən qeyri-sabit olduğu üçün təqaüdə çıxdı, daimi psixi pozğunluqlardan əziyyət çəkdi və sonda kurortda qaldı və ölənə qədər burada qaldı.

Ölüm və miras

Georg Kantor 6 yanvar 1918-ci ildə Halledə uzun sürən psixi pozğunluqdan sonra vəfat edib. Kantor haqqında çoxlu nəşrlər dərc olunub ki, onlardan biri də “Riyaziyyatın yaradıcıları” kitabında dərc olunmuş məqalə və “Riyaziyyat tarixi”ndə məqalə olub. O, Alman Riyaziyyat Cəmiyyətini qurdu və onun elmi işlərinin əksəriyyəti bu gün də istifadə olunur.

Əsas işlər

"Sonsuz dəstlər"
"Sayısız dəstlər"
"kantor dəsti"
"Kardinallar və Ordinallar"
"Davamlılıq hipotezi"
"Ədədlər nəzəriyyəsi və funksiya nəzəriyyələri"
"Sonsuz kiçiklər"
Konvergent seriyası
"transsendental ədədlər"
Diaqonal Arqument
"Kantor-Bernşteyn-Şröder teoremi"
"Davamlı hipotez"

Nəşrlər

“Bütün həqiqi cəbri ədədlər toplusunun xassələri haqqında”
"Aqreqatların Ümumi Nəzəriyyəsinin Əsasları"
"Mathematische Annalen"
"Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre"
"İkinci dərəcə qeyri-müəyyənlik"

Bioqrafiya hesabı

Yeni xüsusiyyət! Bu tərcümeyi-halı aldığı orta reytinq. Reytinq göstərin

Georg Cantor (foto məqalədə sonra verilmişdir) çoxluq nəzəriyyəsini yaradan və sonsuz böyük, lakin bir-birindən fərqli olan transfinit ədədlər anlayışını təqdim edən alman riyaziyyatçısıdır. O, həmçinin sıra və kardinal ədədləri müəyyənləşdirmiş və onların hesabını yaratmışdır.

Georg Kantor: qısa tərcümeyi-halı

03/03/1845-ci ildə Sankt-Peterburqda anadan olub. Atası birja da daxil olmaqla ticarətlə məşğul olan protestant inanclı danimarkalı Georg-Valdemar Kantor idi. Anası Maria Bem katolik idi və görkəmli musiqiçilər ailəsindən idi. 1856-cı ildə Georqun atası xəstələnəndə ailə daha mülayim bir iqlim axtarmaq üçün əvvəlcə Visbadenə, sonra isə Frankfurta köçdü. Uşağın riyazi istedadı hələ 15 yaşından əvvəl Darmstadt və Wiesbadendəki özəl məktəblərdə və gimnaziyalarda oxuyarkən özünü göstərdi. Sonda Georg Cantor atasını mühəndis deyil, riyaziyyatçı olmaq niyyətinə inandırdı.

Sürix Universitetində qısa bir təhsil aldıqdan sonra 1863-cü ildə Kantor fizika, fəlsəfə və riyaziyyat üzrə təhsil almaq üçün Berlin Universitetinə keçdi. Orada ona öyrədilib:

• Karl Teodor Weierstrass, onun analiz üzrə ixtisası, ehtimal ki, Georgun ən böyük təsiri idi;
• Ali arifmetikadan dərs deyən Ernst Eduard Kummer;
• Leopold Kronecker, sonradan Kantora qarşı çıxan say nəzəriyyəçisi.

1866-cı ildə Göttingen Universitetində bir semestr keçirdikdən sonra, növbəti il ​​Georg Karl Fridrix Qaussun Disquisitiones Arithmeticae adlı əsərində həll edilməmiş bir problemlə bağlı "Riyaziyyatda sual vermək sənəti problemləri həll etməkdən daha dəyərlidir" adlı doktorluq dissertasiyası yazdı. (1801). Berlin Qızlar Məktəbində qısa müddət ərzində dərs dedikdən sonra Kantor Halle Universitetində işləməyə başladı və ömrünün sonuna qədər burada əvvəlcə müəllim, 1872-ci ildən dosent, 1879-cu ildən isə professor kimi çalışdı.

Araşdırma

1869-cu ildən 1873-cü ilə qədər 10 məqalədən ibarət seriyanın əvvəlində Georg Cantor ədədlər nəzəriyyəsini nəzərdən keçirdi. Əsər onun bu mövzuya olan həvəsini, Qauss haqqında araşdırmalarını və Kroneckerin təsirini əks etdirirdi. Onun riyazi istedadını tanıyan Kantorun Halledəki həmkarı Heinrich Eduard Heinenin təklifi ilə o, həqiqi ədədlər anlayışını genişləndirdiyi triqonometrik sıralar nəzəriyyəsinə müraciət etdi.

1854-cü ildə alman riyaziyyatçısı Bernhard Riemannın kompleks dəyişən funksiyası ilə bağlı işinə əsaslanaraq, 1870-ci ildə Kantor belə bir funksiyanın yalnız bir şəkildə - triqonometrik sıra ilə təmsil oluna biləcəyini göstərdi. Belə bir təqdimata zidd olmayan bir sıra ədədlərin (nöqtələrin) nəzərdən keçirilməsi onu, ilk növbədə, 1872-ci ildə rasional ədədlər (tam ədədlərin fraksiyaları) baxımından tərifinə, sonra isə ömürlük işi, çoxluğu üzərində işin başlanğıcına gətirib çıxardı. transfinit ədədlər nəzəriyyəsi və anlayışı.

çoxluq nəzəriyyəsi

Çoxluq nəzəriyyəsi Braunşveyq Texniki İnstitutunun riyaziyyatçısı Riçard Dedekindlə yazışmalar nəticəsində yaranan Georg Cantor uşaqlıqdan onunla dost idi. Onlar belə nəticəyə gəliblər ki, çoxluqlar, istər sonlu, istərsə də sonsuz, öz fərdiliyini saxlamaqla müəyyən xüsusiyyətə malik olan elementlər toplusudur (məsələn, ədədlər, (0, ±1, ±2...)). Lakin Georg Cantor onların xüsusiyyətlərini öyrənmək üçün bir-bir yazışmadan (məsələn, (A, B, C) (1, 2, 3)) istifadə etdikdə, o, tez başa düşdü ki, onların üzvlüyünün dərəcələri ilə fərqlənirlər. hətta onlar sonsuz çoxluqlar, yəni bir hissəsi və ya alt çoxluğu özü qədər çoxlu obyektləri ehtiva edən çoxluqlar olsa belə. Onun metodu tezliklə heyrətamiz nəticələr verdi.

1873-cü ildə Georg Cantor (riyaziyyatçı) göstərdi ki, rasional ədədlər sonsuz olsalar da, hesablana bilirlər, çünki onları natural ədədlərlə (yəni 1, 2, 3 və s.) bir-bir uyğunlaşdırmaq olar. O göstərdi ki, irrasional və rasional ədədlərdən ibarət həqiqi ədədlər çoxluğu sonsuz və saysızdır. Daha paradoksal olaraq, Kantor sübut etdi ki, hamısının çoxluğu cəbri ədədlər bütün tam ədədlərin çoxluğu qədər elementi ehtiva edir və irrasional ədədlərin alt çoxluğu olan qeyri-cəbr transsendental ədədlər sayılmazdır və buna görə də onların sayı tam ədədlərin sayından çoxdur və belə hesab edilməlidir. sonsuz.

Müxaliflər və tərəfdarlar

Lakin Kantorun bu nəticələri ilk dəfə irəli sürdüyü məqaləsi Krell jurnalında dərc edilmədi, çünki rəyçilərdən biri Kronecker bunun qəti əleyhinə idi. Lakin Dedekindin müdaxiləsindən sonra o, 1874-cü ildə “Bütün həqiqi cəbri ədədlərin xarakterik xüsusiyyətləri haqqında” adı ilə nəşr olundu.

Elm və şəxsi həyat

Elə həmin il həyat yoldaşı Valli Qutman ilə bal ayı zamanı Kantor onun yeni nəzəriyyəsindən müsbət danışan Dedekindlə tanış oldu. Georgeun maaşı az idi, lakin 1863-cü ildə vəfat edən atasının pulu ilə arvadı və beş uşağı üçün ev tikdirdi. Onun məqalələrinin çoxu İsveçdə alman riyaziyyatçısının istedadını ilk tanıyanlardan biri olan Gesta Mittag-Leffler tərəfindən redaktə edilmiş və təsis edilmiş yeni Acta Mathematica jurnalında dərc edilmişdir.

Metafizika ilə əlaqə

Kantorun nəzəriyyəsi sonsuzluq riyaziyyatına (məsələn, 1, 2, 3 və s. seriyalar və daha mürəkkəb çoxluqlar) aid tamamilə yeni bir araşdırma predmetinə çevrildi, bu da bir-bir yazışmalardan çox asılıdır. Kantorun davamlılıq və sonsuzluqla bağlı sualların qoyulması üçün yeni metodların işlənməsi onun tədqiqatına qeyri-müəyyən xarakter verdi.

O, sonsuz ədədlərin həqiqətən mövcud olduğunu iddia edərkən, o, faktiki və potensial sonsuzluqla bağlı qədim və orta əsr fəlsəfəsinə, həmçinin valideynlərinin ona verdiyi ilk dini təhsilə müraciət etdi. 1883-cü ildə Kantor “Ümumi çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsasları” kitabında öz konsepsiyasını Platonun metafizikası ilə birləşdirdi.

Yalnız tam ədədlərin “mövcud olduğunu” (“Tam ədədləri Allah yaratdı, qalanı insanın işidir”) iddia edən Kroneker uzun illər onun mülahizələrini şiddətlə rədd etdi və Berlin Universitetinə təyin olunmasının qarşısını aldı.

transfinit ədədlər

1895-97-ci illərdə. Georg Cantor sonsuz sıra və kardinal ədədlər də daxil olmaqla, davamlılıq və sonsuzluq anlayışını "Transfinite ədədlər nəzəriyyəsinin qurulmasına töhfələr" (1915) adlı ən məşhur əsərində tam formalaşdırdı. Bu esse sonsuz çoxluğun alt çoxluqlarından biri ilə bir-bir yazışmada qoyula biləcəyini nümayiş etdirərək rəhbərlik etdiyi konsepsiyasını ehtiva edir.

Ən az transfinite kardinal ədəd dedikdə, o, natural ədədlərlə təkbətək uyğunluq təşkil edə bilən hər hansı çoxluğun kardinallığını nəzərdə tuturdu. Cantor bunu aleph-null adlandırdı. Böyük transfinit çoxluqlar işarələnir və s. O, sonlu arifmetikanın analoqu olan transfinit ədədlərin hesabını daha da inkişaf etdirdi. Beləliklə, o, sonsuzluq anlayışını zənginləşdirmişdir.

Qarşılaşdığı qarşıdurma və onun ideyalarının tam qəbul edilməsi üçün lazım olan vaxt rəqəmin nə olduğu ilə bağlı qədim sualı yenidən qiymətləndirməyin çətinliyi ilə izah olunur. Kantor göstərdi ki, xəttdəki nöqtələr çoxluğu alef-sıfırdan daha yüksək kardinallığa malikdir. Bu, kontinuum fərziyyəsinin məşhur probleminə gətirib çıxardı - alef-sıfır ilə xəttdəki nöqtələrin gücü arasında kardinal ədədlər yoxdur. Bu problem 20-ci əsrin birinci və ikinci yarısında böyük maraq doğurmuş və Kurt Gödel və Pol Koen də daxil olmaqla bir çox riyaziyyatçı tərəfindən öyrənilmişdir.

Depressiya

1884-cü ildən Georg Kantorun tərcümeyi-halı onun ruhi xəstəliyi ilə kölgədə qaldı, lakin o, fəal işləməyə davam etdi. 1897-ci ildə Sürixdə ilk beynəlxalq riyaziyyat konqresinin keçirilməsinə kömək etdi. Qismən Kronekerin ona qarşı çıxdığı üçün o, tez-tez gənc naşı riyaziyyatçılara rəğbət bəsləyir və onları yeni ideyalarla təhdid hiss edən müəllimlərin təqiblərindən xilas etmək üçün bir yol tapmağa çalışırdı.

Etiraf

Əsrin əvvəllərində onun işi funksiyalar nəzəriyyəsi, təhlili və topologiyası üçün əsas kimi tam tanındı. Bundan əlavə, Kantor Georqun kitabları riyaziyyatın məntiqi əsaslarının intuisiyaçı və formalist məktəblərinin gələcək inkişafı üçün təkan rolunu oynadı. Bu, tədris sistemini əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdi və çox vaxt "yeni riyaziyyat" ilə əlaqələndirilir.

1911-ci ildə Kantor Şotlandiyanın Sent-Endryus Universitetinin 500 illik yubileyinə dəvət olunanlar arasında idi. O, ora bu yaxınlarda dərc olunmuş Principia Mathematica əsərində dəfələrlə bir alman riyaziyyatçısına müraciət etdiyi görüş ümidi ilə getdi, lakin bu baş vermədi. Universitet Kantoru fəxri fərmanla təltif etdi, lakin xəstəlik səbəbindən o, mükafatı şəxsən qəbul edə bilmədi.

Kantor 1913-cü ildə təqaüdə çıxdı, yoxsulluq içində yaşadı və Birinci Dünya Müharibəsi zamanı ac qaldı. 1915-ci ildə onun 70 illik yubileyi şərəfinə keçirilən qeyd etmələr müharibə səbəbindən ləğv edilsə də, evində kiçik mərasim təşkil olunub. 01.06.1918-ci ildə Halledə, psixiatriya xəstəxanasında vəfat etdi və burada yatdı. son illəröz həyatı.

Georg Kantor: tərcümeyi-halı. Ailə

9 avqust 1874-cü ildə alman riyaziyyatçısı Valli Qutmanla evləndi. Cütlüyün 4 oğlu və 2 qızı olub. Son uşaq 1886-cı ildə Kantorun aldığı yeni evdə dünyaya gəlib. Atasının mirası ona ailəsini dolandırmağa kömək etdi. Kantorun sağlamlıq vəziyyətinə 1899-cu ildə kiçik oğlunun ölümü güclü təsir göstərdi - o vaxtdan bəri depressiya onu tərk etmədi.

Cantorun transfinite ədədlər nəzəriyyəsi ilkin olaraq o qədər məntiqsiz, paradoksal və hətta şokedici kimi qəbul edilmişdi ki, o, müasir riyaziyyatçılar, xüsusən də Leopold Kroneker və Henri Puankare tərəfindən kəskin tənqidlə üzləşdi; daha sonra - Hermann Weyl və Leutzen Brouwer və Lüdviq Wittgenstein fəlsəfi xarakterli etirazlar qaldırdılar (bax: Kantorun nəzəriyyəsi haqqında mübahisələr). Bəzi xristian ilahiyyatçıları (xüsusən neotomizmin nümayəndələri) Kantorun yaradıcılığında Tanrının təbiətinin mütləq sonsuzluğunun unikallığına meydan oxuyur, bir vaxtlar transfinite ədədlər nəzəriyyəsini panteizmlə eyniləşdirirdilər. Onun əsərlərinin tənqidi bəzən çox aqressiv olurdu: məsələn, Puankare öz fikirlərini riyaziyyat elminə təsir edən “ciddi xəstəlik” adlandırırdı; Kronekerin açıq bəyanatlarında və Kantora şəxsi hücumlarında isə bəzən “elmi şarlatan”, “mürtəd” və “gəncləri korlayan” kimi epitetlər səslənirdi. Kantorun ölümündən onilliklər sonra Vitgenşteyn acı bir şəkildə qeyd etdi ki, riyaziyyat "çoxluq nəzəriyyəsinin dağıdıcı deyimləri ilə aşağı-yuxarı tapdalanır". 1884-cü ildən Kantorun günlərinin sonuna qədər vaxtaşırı təkrarlanan depressiya hücumları bir müddət onun müasirlərini həddindən artıq aqressiv mövqe tutmaqda günahlandırırdı, lakin indi belə hesab olunur ki, bu döyüşlər bipolyar pozğunluğun təzahürü ola bilər.

Kəskin tənqidə dünya şöhrəti və təsdiqi qarşı çıxdı. 1904-cü ildə London Kral Cəmiyyəti Cantoru Silvestr medalı ilə təltif etdi ki, bu da onun verə biləcəyi ən yüksək mükafatdır. Kantorun özü inanırdı ki, transfinit ədədlər nəzəriyyəsi ona yuxarıdan çatdırılıb. Bir vaxtlar onu tənqiddən müdafiə edən Devid Hilbert cəsarətlə bəyan etmişdi: “Bizi Kantorun əsasını qoyduğu cənnətdən heç kim qovmayacaq”.

Bioqrafiya

Gənc illər və təhsil

Kantor 1845-ci ildə Sankt-Peterburqda Qərb tacir koloniyasında anadan olub və 11 yaşına kimi orada böyüyüb. Georg altı uşağın ən böyüyü idi. Valideynlərindən əhəmiyyətli bədii və musiqi istedadlarını miras alaraq skripka virtuozu çalırdı. Ailənin atası Sankt-Peterburq birjasının üzvü olub. O, xəstələnəndə ailə daha mülayim bir iqlimə güvənərək 1856-cı ildə Almaniyaya köçdü: əvvəlcə Visbadenə, sonra isə Frankfurta. 1860-cı ildə Georq Darmştadtdakı real məktəbini əla qiymətlərlə bitirdi; müəllimlər onun riyaziyyatda, xüsusən də triqonometriyada müstəsna qabiliyyətini qeyd ediblər. 1862-ci ildə gələcək məşhur alim Sürixdəki Federal Politexnik İnstitutuna (indiki İsveçrənin Sürix Ali Texniki Məktəbi) daxil olur. Bir il sonra atası öldü; möhkəm miras aldıqdan sonra Georg Berlin Humboldt Universitetinə köçürülür və burada Leopold Kronecker, Karl Weierstrass və Ernst Kummer kimi məşhur alimlərin mühazirələrində iştirak etməyə başlayır. O, 1866-cı ilin yayında riyazi düşüncənin çox mühüm mərkəzi olan Göttingen Universitetində keçirdi və indi də belədir. 1867-ci ildə Berlin Universiteti ona ədədlər nəzəriyyəsi üzrə "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" adlı işinə görə fəlsəfə doktoru elmi dərəcəsi verir.

Alim və tədqiqatçı

Berlindəki qızlar məktəbində qısa müddət müəllim kimi fəaliyyət göstərdikdən sonra Kantor bütün karyerasını burada keçirəcək Martin Lüter adına Qaul Universitetində vəzifə tutdu. O, ədədlər nəzəriyyəsi üzrə dissertasiya işi üçün tədris üçün tələb olunan habilitasiyanı almışdır.

1874-cü ildə Kantor Vally Guttmann ilə evləndi. Onların sonuncusu 1886-cı ildə doğulan 6 övladı olub. Təvazökar akademik maaşına baxmayaraq, Kantor atasından aldığı miras sayəsində ailəni rahat həyatla təmin edə bildi. Harz dağlarında bal ayı zamanı Kantor iki il əvvəl İsveçrədə tətil zamanı dostluq qurduğu Riçard Dedekindlə riyazi söhbətlərə çox vaxt sərf etdi.

Kantor 1872-ci ildə qonaq professor adını aldı və 1879-cu ildə tam professor oldu. 34 yaşında bu adı almaq böyük nailiyyət idi, lakin Kantor Berlin kimi daha prestijli bir universitetdə - o vaxt Almaniyanın aparıcı universitetində vəzifə tutmağı xəyal edirdi. Lakin onun nəzəriyyələri ciddi tənqid olunur və arzuları həyata keçmir. Berlin Universitetinin Riyaziyyat departamentinin rəhbəri Kronecker Kantor kimi həmkarına sahib olmaq perspektivinə getdikcə həvəssiz yanaşır, onu gənc riyaziyyatçılar nəslinin başını öz ideyaları ilə dolduran “gəncliyin korrupsioneri” kimi qəbul edirdi. . Üstəlik, riyaziyyat cəmiyyətinin görkəmli nümayəndəsi və Kantorun keçmiş müəllimi olan Kronecker, sonuncunun nəzəriyyələrinin məzmunu ilə əsaslı şəkildə razılaşmadı. Hal-hazırda konstruktiv riyaziyyatın banilərindən biri kimi qəbul edilən Kroneker Kantorun çoxluq nəzəriyyəsini bəyənmədi, çünki o, elementləri faktiki olaraq həmin xassələri təmin edəcək çoxluqların konkret nümunələrini təqdim etmədən müəyyən xassələri təmin edən çoxluqların mövcudluğunu təsdiq edirdi. Kantor başa düşdü ki, Kronekerin mövqeyi ona Qaul Universitetini tərk etməyə belə imkan verməyəcək.

1881-ci ildə Cantorun həmkarı Eduard Heine vəfat etdi və boş bir post buraxdı. Universitet rəhbərliyi Kantorun Richard Dedekind, Heinrich Weber və ya Franz Mertensi (bu ardıcıllıqla) bu vəzifəyə dəvət etmək təklifini qəbul etdi, lakin hamısı rədd edildi. Nəticədə Fridrix Vangerin bu vəzifəni tutdu, lakin o, heç vaxt Kantorun dostu olmayıb.

1882-ci ildə Dedekindlə elmi yazışmalar, ehtimal ki, sonuncunun Halledəki vəzifəsindən imtina etməsi nəticəsində kəsildi. Eyni zamanda, Kantor İsveçdə yaşayan Gösta Mittag-Leffler ilə daha bir mühüm yazışma qurdu və tezliklə Acta mathematica jurnalında nəşr etməyə başladı. Lakin 1885-ci ildə Mittaq-Leffler Kantorun nəşr üçün ona göndərdiyi məqalədəki fəlsəfi çalarlardan və yeni terminologiyadan narahat oldu. O, Kantordan məqaləsinin “zamanından yüz il qabaq” olduğunu yazaraq, hələ yoxlanılarkən məqaləsini geri götürməsini xahiş etdi. Kantor razılaşdı, lakin başqa şəxslə yazışmada qeyd etdi:

Bunun ardınca Kantor qəfildən Mittaq-Lefflerlə münasibətini və yazışmalarını dayandırdı, yaxşı niyyətli tənqidi dərin şəxsi təhqir kimi qəbul etmə meyli göstərdi.

Kantor ilk məlum depressiya hücumunu 1884-cü ildə yaşadı. Əsərinin tənqidi ağlına çox ağır gəlirdi: 1884-cü ildə Mattaq-Lefflerə yazdığı 52 məktubun hər biri Kronekerin hücumuna məruz qalır. Bir məktubdan bir parça Kantorun özünə inam hissinə dəymiş zərərin həcmini göstərir:

Bu emosional böhran onu marağını riyaziyyatdan fəlsəfəyə keçirməyə və bu mövzuda mühazirə oxumağa məcbur etdi. Bundan əlavə, Kantor Yelizaveta dövrünün ingilis ədəbiyyatını intensiv şəkildə öyrənməyə başladı; o, sübut etməyə çalışdı ki, Şekspirə aid edilən o pyeslər əslində Frensis Bekon tərəfindən yazılmışdır (bax: Şekspirin müəlliflik sualına); bu işin nəticələri nəhayət 1896 və 1897-ci illərdə iki prospektdə nəşr olundu.

Qısa müddətdən sonra Cantor sağaldı və dərhal nəzəriyyəsinə bir neçə mühüm əlavələr etdi, xüsusən də məşhur diaqonal arqument və teorem. Lakin o, 1874-1884-cü illərdəki əsərlərində olan yüksək səviyyəyə heç vaxt çata bilməyəcək. Sonda o, sülh təklifi ilə Kroneckerə üz tutdu və bunu müsbət qarşıladı. Lakin onları bir-birindən ayıran fəlsəfi fərqlər və çətinliklər qalırdı. Bir müddət inanılırdı ki, Kantorun vaxtaşırı depressiyaya düşməsi Kronekerin işini sərt şəkildə rədd etməsi ilə əlaqələndirilir. Lakin onun depressiyasının Kantorun riyazi narahatlığına və bəzi insanlarla problemlərinə böyük təsiri olsa da, çətin ki, bütün bunlar onun səbəbi olsun. Əksinə, onun gözlənilməz əhval-ruhiyyəsinin əsas səbəbi kimi ölümündən sonra manik-depressiv psixoz diaqnozu təsdiqləndi.

1890-cı ildə Kantor Alman Riyaziyyat Cəmiyyətinin (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) təşkilinə töhfə verdi və 1891-ci ildə Halledə onun ilk iclasının sədri oldu; o zaman onun nüfuzu Kronekerin müqavimətinə baxmayaraq, bu cəmiyyətin ilk prezidenti seçiləcək qədər güclü idi. Kronekeri bəyənmədiyi üçün gözlərini yuman Kantor onu hesabat verməyə dəvət etdi, lakin Kroneker həyat yoldaşının ölümü səbəbindən bunu edə bilmədi.

Kantorun adını daşıyan obyektlər

• Cantor dəsti - seqment üzrə sıfır ölçünün kontinuum çoxluğu;
• Cantor funksiyası (Cantor nərdivanı);
• Cantorun nömrələmə funksiyası - çoxluğun Dekart gücünü göstərmək natural ədədlərözünə;
• Cantor teoremi (həmçinin bax Kantor teoreminə (anlamsızlıq)) verilmiş çoxluğun bütün alt çoxluqlarının çoxluğunun kardinallığının çoxluğun özünün kardinallığından ciddi şəkildə böyük olması;
• A və B çoxluqlarının ekvivalentliyinə dair Kantor-Bernşteyn teoremi, bir şərtlə ki, A B-nin alt çoxluğuna, B isə A alt çoxluğuna bərabər olsun;
• Yığcam üzərində kəsilməz funksiyanın vahid davamlılığına dair Cantor-Heine teoremi;
• Kantor-Bendixon teoremi
• Kantor Medalı Alman Riyaziyyat Cəmiyyəti tərəfindən verilən riyazi mükafatdır;
• eləcə də digər riyazi obyektlər.

Kompozisiyalar

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Əlyazma kimi.

Popov N.A., Popov A.N.

Sadəlövh çoxluqlar nəzəriyyəsi
VƏ KANTOR PARADOKSUNUN HƏLLİ

MÜNDƏRİCAT
səhifə

Ön söz. . . . . . . . . 5

Fəsil I. Giriş. Çoxluqlar nəzəriyyəsindən əsas məlumatlar. . səkkiz

II fəsil. Cantorun sadəlövh çoxluq nəzəriyyəsi ziddiyyətlidirmi?
Kantor paradoksunun həlli. . . .19

III fəsil. Kantorun çoxluq nəzəriyyəsinin aksiomatikası. . . . . . . .60

IV fəsil. Z-teorem və onun iki sübutu. . . . . . . . . . .72

Fəsil V. Fərq məsələsi (Z-teoreminin ümumiləşdirilməsi). . . . . . . . .90

VI fəsil. Məntiqi paradokslar haqqında. . . . . . . . . . . . . . .87

ÖN SÖZ

Müasir riyaziyyatın ümumi məntiqi əsaslarını elə bir vəziyyətə gətirmək ki, onları məktəbdə 14-15 yaşlı yeniyetmələrə izah etmək mümkün olsun.
Kolmogorov A.N. Sadəlik - mürəkkəb // İzvestiya. 1962. 31 dekabr.

Cantorun intuitiv qondarma "sadəlövh" çoxluq nəzəriyyəsi riyaziyyatçılar arasında mübahisəli nəzəriyyə hesab olunur. Belə bir qiymətləndirməni əsaslandırmaq üçün adətən Kantorun çoxluq anlayışının çox qeyri-müəyyən, “kifayət qədər riyazi olmayan” tərifinə işarə edilir. Bəziləri sadəlövh nəzəriyyənin paradokslarını - Rassel paradoksunu və Kantor paradoksunu xatırlayacaq. Ancaq bu paradoksların nədən ibarət olduğunu çox az adam izah edə bilər.
“Sadəlövh” nəzəriyyəni ziddiyyətli hesab etmək üçün başqa heç bir əsas bilmirik. Bütün bunlar yalnız Kantorun çoxluq anlayışına və həcm prinsipinə verdiyi tərifdən çıxış edərək, sadəlövh çoxluqlar nəzəriyyəsinin qurulmasına haqq qazandırmağın mümkün olub-olmadığını öyrənmək üçün aşağıda təqdim edilən cəhdin motivi idi.
Bu iş üçün ilkin təkan qəribə bir vəziyyət idi ki, bəzi dərsliklərdə (məsələn, ) eyni dərsliklərdə qeyd olunan Kantor paradoksu ilə eyni vaxtda, bizə göründüyü kimi, məşhur Kantor teoreminin sübutu açıq-aşkar yanlışdır. Amma təəssüf ki, bir az sonra məlum olduğu kimi, sübutun məntiqi səhvinin aşkarlığı heç kəsə demək olar ki, aydın olmadı. Lakin sübut fərqli idi: 100 ildən artıqdır ki, heç bir ciddi riyaziyyatçı Kantor teoreminin sübutuna etiraz etməyib. Deməli, ola bilməz! Kantor teoreminə qarşı çıxanlara münasibət (və bunlar nadir təcrid olunmuş hallardır) əbədi hərəkət maşınının ixtiraçılarına münasibətlə təxminən eyni şəkildə inkişaf etmişdir.
Bu problemin müzakirəsi praktikasının göstərdiyi kimi, kağız üzərində düşünülmüş və tərtib edilmiş bütün mülahizələri dərk etmək olduqca çətindir və xeyli əqli səy və ən əsası, vaxt tələb edir. Ona görə də bizim işimizlə bağlı ciddi tənqid olmayıb. Müzakirə mövzusu çox nadir hallarda ciddi və vicdanlı bir münasibətlə qarşılanır. Heç bir rəqib (və onların sayı vahidlərlə hesablanır) yuxarıdakı mülahizələrə bircə dənə də tutarlı etiraz bildirə bilmədi.
Bununla belə, iş görülüb. Kantorun paradoksu araşdırılmış və həll edilmişdir. Onun araşdırmalarının nəticələri aşağıdakı kimidir.
Əsasən Kantor haqlı idi. Biz onun məşhur teoremini sübut etməyə və onun hansı aksiomalardan irəli gəldiyini öyrənə bildik. Və bizə məlum olan bütün ziddiyyətli misallar, onun teoreminə zidd olan çoxluq nümunələri, o cümlədən bütün çoxluqların çoxluğu əsassız çıxdı. O mənada ki, bu çoxluqlar daxili ziddiyyətli formalaşmalar oldu: çoxluq anlayışını müəyyən edən aksiomlardan biri, yəni III fəsildə ifadə olunmuş əminlik aksioması onlara uyğun gəlmir. Bununla belə, bütün dərsliklərdə təqdim olunan Kantor teoreminin ümumi qəbul edilmiş standart sübutu səhvdir. Sübutun yanlışlığı ondan ibarətdir ki, yalnız çoxluğun qeyri-ardıcıl tərifindən irəli gələn ziddiyyət standart sübutda əksinə olan fərziyyənin yanlış olduğuna sübut kimi ziddiyyətlə təqdim olunur.
Çoxluqlar nəzəriyyəsinin "əsaslarındakı böhran" haqqında kiçik bir sapma oxucuya əsərin məzmunu və onun çoxluqlar nəzəriyyəsinin mövcud vəziyyəti ilə əlaqəsi haqqında fikir verməlidir.
Riyaziyyatın əsaslarına dair müasir ədəbiyyatda, xüsusən də “Metamatematikaya giriş”, Kleen, “Çoxluq nəzəriyyəsinin əsasları”, Frenkel A.A., Bar-Hillel, kimi monoqrafiyalarda bu bilik sahəsinin vəziyyəti hələ də həll olunmamış kimi səciyyələndirilir. böhran. Ən əsaslar haqqında geniş fikir ayrılıqlarını və nöqteyi-nəzərləri müəyyən etməyə təkan riyazi anlayışlar 19-cu və 20-ci əsrlərin əvvəllərində çoxluqlar nəzəriyyəsinin yeni yaranmış təməlində olan antinomiyaların (paradoksların) kəşfi idi. Nəzəriyyəni qəbuledilməz görünən ziddiyyətlərdən təmizləmək cəhdi və onun əsaslarının yenidən nəzərdən keçirilməsi nəticəsində o dövrdə məlum olan paradokslardan azad, aksiomatik çoxluq nəzəriyyələri yarandı. Bu uğur nəzəriyyənin əsas konsepsiyasının - çoxluq anlayışının əhatə dairəsini azaltmaq bahasına əldə edilmişdir. Antinomiyaların səbəbi "çox geniş" (???) çoxluqların nəzərdən keçirilməsində göründü. Bütün dəstlər dəsti və ya bütün kardinallıqlar dəsti kimi bəzi intuitiv kolleksiyalar dəstlər deyil, siniflər elan edilmişdir. Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsi əslində onu ziddiyyətli elan edərək tərk edildi.
Fikrimizcə, tədqiqatın nəticələrinə və çoxluqlar nəzəriyyəsinin yuxarıda qeyd olunan paradokslarına və diaqonal sübutlar deyilənlərə əsaslanaraq, paradokslar məsələsinin düzgün həllinə nail olunmamışdır. Paradokslar nəzəriyyədən çıxarıldı, lakin həll edilmədi, yəni ziddiyyətlərin səbəbləri tam açıqlanmadı. Nəticədə, indi hamılıqla tanınan çoxluq nəzəriyyəsində (ZF), hətta riyazi məntiqin bəzi teoremlərində (A.Tarski teoreminin isbatı haqqında V fəslin V.7-ci bölməsinə bax) yanlış sübut üsullarından istifadə olunur. Çoxluq nəzəriyyəsi, riyazi məntiq və real dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi dərsliklərində (məsələn, bax) Kantor teoreminin bütün sübutlarının səhv olduğunu iddia edirik.
Çoxluq-nəzəri paradoksların diqqətlə öyrənilməsi onlarda olan ziddiyyətlərin səbəbini aşkar edərdi. Bunlar, Bölmə II.4 - II.11-də göstərildiyi kimi, çoxluqların ziddiyyətli təriflərindən başqa bir şey deyil. Bu səbəbin aydın şəkildə başa düşülməsi ilə riyaziyyatın təməllərində böhrandan söhbət gedə bilməzdi.
Ümumi iş planı aşağıdakı kimidir.
I fəsildə çoxluqlar nəzəriyyəsi haqqında əsas məlumatlar verilir. Fəsil çoxluqlar nəzəriyyəsi ilə tanış olmayan və ya bu sahədə biliklərini yeniləmək istəyən oxucular üçün nəzərdə tutulub. Çoxluq nəzəriyyəsi haqqında hətta səthi biliyə malik olan oxucular sonrakı materialı başa düşmələrinə xələl gətirmədən bu fəsli (I.7-ci Bölmə istisna olmaqla) ötürə bilərlər.
II fəslin məzmunu Kantor paradoksu probleminin problem üzərində diqqətlə düşünməklə öyrənilməsinin təqdimatı, yalnız sağlam düşüncə məntiqinə əsaslanan bir araşdırmadır. Bu tədqiqat uzun illər fasilələrlə davam etdi. İşin əsas nəticəsi odur ki, Kantor paradoksu araşdırılıb həll olunub.
III fəsildə Kantorun “sadəlövh” çoxluq nəzəriyyəsini aksiomatik şəkildə qurmağa cəhd edilir.
IV və V fəsillərdə diaqonal paradokslar ailəsini ümumiləşdirən və çoxluq nəzəri paradokslarını vahid nöqteyi-nəzərdən izah edən Z-teoremi təqdim olunur. VI fəsil ən məşhur paradoksların bir neçəsinin təhlilinə həsr edilmişdir.
Əsəri başa düşmək üçün heç bir xüsusi bilik tələb olunmur, hətta çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsas anlayışları ("çoxluq", "funksiya", "tərif sahəsi" və s. anlayışları) ilə səthi tanışlıq və riyazi mülahizəni dərk etmək üçün müəyyən vərdiş tələb olunmur. kifayətdir, buna görə də iş fizika tələbələri - riyaziyyat fakültələri və sadəcə universitet, ali texniki və ya ali pedaqoji təhsili olan bir şəxs üçün olduqca əlçatandır. Əsərin müəllifləri çoxluqlar nəzəriyyəsinin paradokslarına dair tədqiqatlarının nəticələrini hətta orta məktəb şagirdi üçün də başa düşülən dildə təqdim etməyi qarşılarına vəzifə qoyublar. Bu problemin həllinə nə dərəcədə müvəffəq olublar, qoy oxucu mühakimə etsin.
təşəkkür edirik
N.A. Dmitrieva
işin mövzusu üzrə dəyərli müzakirələr üçün, eləcə də VNIIEF əməkdaşları
M.I.Kaplunova,
Q.S.Klinkov, İ.V.Kuzmitski,
V.S. Lebedeva,
Əsərimizdən fraqmentləri əlyazmalarda oxuyan və müzakirə edən B.V.Pevnitski, V.İ.Filatov, V.A.Şerbakov və İ.T.Şmorin.
Bu nəşrdə istifadə olunan mənbələrin siyahıları hər fəsil üçün ayrıca verilmişdir.

I FƏSİL
GİRİŞ TOPLAR NƏZƏRİYYƏSİNDƏN ƏSAS MƏLUMAT

I.1. Çoxluq anlayışı haqqında. . . . . . . . . . . . . . . . . . səkkiz
I.2. Dəstələrin təsviri üsulları. . . . . . . . . . . . . . . . on
I.3. Çoxluq-nəzəri əməliyyatlar. . . . . . . . . . . . . on bir
I.4. Dəstlərin kəmiyyət müqayisəsi. . . . . . . . . . . . . on bir
I.5. Alt çoxluq anlayışı. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.6. Kantor teoremi (formalaşdırılması). . . . . . . . . . . . . . on dörd
I.7. Az müəyyən edilmiş dəstlər. . . . . . . . . . . . . . . . on dörd
I.8. Saysız-hesabsız dəstlərdə. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
İstifadə olunan mənbələrin siyahısı. . . . . . . . . . . . . . 19

Bu fəsil bu nəzəriyyə ilə tanış olmayan və ya bu sahədə biliklərini yeniləmək istəyən oxucuya çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsaslarını təqdim etmək məqsədi daşıyır. Ən azı pedaqoji universitetlərin fizika-riyaziyyat fakültələri üçün nəzərdə tutulan kurs çərçivəsində çoxluqlar nəzəriyyəsi haqqında məlumatı olan oxucular sonrakı materialın başa düşülməsinə xələl gətirmədən bu fəsli (I.7-ci bölmə istisna olmaqla) ötürə bilərlər.

I.1. Çoxluq anlayışı haqqında.

Gündəlik həyatda "dəst" termini saymaq mümkün olan bəzi obyektlərin böyük miqdarına istinad etmək üçün istifadə olunur. Biz deyirik: çox səhv, çox şəkil, çox insan.
Gündəlik "dəst" anlayışı olduqca qeyri-müəyyəndir, məsələn, inək dəsti adlandırılmalı olan inəklərin sayını göstərmək mümkün deyil. Bu mövzuda "yığın paradoksu" adlanan şey məlumdur: hansı miqdarda taxıldan başlayaraq taxıl yığını əmələ gəlir?
Bir nəzəriyyə qura bilmək üçün bu nəzəriyyənin anlayışları kifayət qədər aydın olmalıdır. Çoxluqlar nəzəriyyəsini qurmaq üçün çoxluq haqqında aydın anlayışa malik olmaq lazımdır. Çoxluq nəzəriyyəsinin dahiyanə banisi Georg Cantor (1845 - 1918) çoxluq anlayışının məşhur tərifini verdi. Bax budur.
““Topluluq” dedikdə, qavrayışımızın və ya təfəkkürümüzün (bunlar M çoxluğunun “elementləri” adlandırılacaq) tamamilə fərqlənən müəyyən obyektlərin m bir bütöv M-də birləşməsini nəzərdə tuturuq”.
Bu tərifin kifayət qədər aydın sayıla biləcəyini bir az sonra müzakirə edəcəyik və indi onun bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edəcəyik.
Başlamaq üçün qeyd edirik ki, birləşdirilmiş maddələrin sayı haqqında heç bir şey deyilmir. Bu o deməkdir ki, artıq iki element çoxluq təşkil edir. Bu həm də o deməkdir ki, ondan bir element çıxarılarsa, çoxluq çoxluq olaraq qalır. Bu prinsipi rəhbər tutaraq, vahid çoxluq anlayışına gəlirik ki, onlardan biri iki element çoxluğundan çıxarıldıqda əldə edilir. Və burada biz Kantorun çoxluğun tərifinin tam olmadığını görürük: tək çoxluq vəziyyətində biz heç bir birləşmə görmürük.
Daha çox. Onun yeganə elementini eynilik çoxluğundan çıxararaq, boş çoxluq anlayışına gəlirik. Bu abstraksiyanı hər kəs həzm edə bilmir. Çoxluq anlayışı ilə ilk tanışlıqda hər kəs boş çoxluğu çoxluq kimi tanımağa razılaşmır. Bu baxımdan, “Metamatematikaya giriş” monoqrafiyasının müəllifi S.Kleene, deyəsən, Kantorun çoxluq anlayışına verdiyi tərifi kifayət qədər tamamlanmamış hesab etmiş və onu aşağıdakı kimi tamamlamışdır:
“Təsmiyə elementləri olmayan boş çoxluq və hər birində bir element olan vahid dəstlər birləşdirilir.”
Doğrudan da, boş və tək dəstdə heç bir “bir bütövlükdə birləşmə” ilk baxışda görünmür. Bununla belə, V.A.Şerbakovun qeyd etdiyi kimi, əgər “birləşmə” hansısa xüsusiyyətə görə həyata keçirilirsə, onda bəzi xüsusiyyətlər üçün həm tək, həm də boş dəstlər yaranacaq və sonra Kleene tamamlayıcısı artıq tələb olunmur.
Vahid çoxluqları və qalanları ilə birlikdə boş çoxluğu nəzərdən keçirmək zərurəti ondan aydın olur ki, çoxluğu bu və ya digər şəkildə müəyyən edərkən, onun birdən çox və ya ən azı bir elementdən ibarət olub-olmadığını əvvəlcədən bilməyə bilərik.
Burada vurğulamaq lazımdır ki, vahidlər dəsti və onun yeganə elementi mahiyyətcə fərqli anlayışlar və fərqli şeylərdir. Fərq ondadır ki, vahid çoxluq çoxluqların bütün xassələrinə malikdir: onun alt çoxluqları var, ona çoxluq-nəzəri əməliyyatlar tətbiq oluna bilər, halbuki vahid çoxluğun elementi, əgər özü çoxluq deyilsə, bu xüsusiyyətlərə malik deyildir.
Bundan əlavə, Cantorun tərifi "bizim qavrayış və ya düşüncəmizin müəyyən və olduqca fərqli obyektlərindən" danışır. Burada biz bu fundamental anlayışı - obyekt anlayışını müzakirə etməyəcəyik, onun təhlilini bir müddət təxirə salıb çoxluq anlayışı ilə ilk tanışlıq üçün kifayət qədər aydın hesab edirik. İndi bizim üçün çoxluq anlayışının o tərəfini, çoxluğun xas xüsusiyyətini, Kantorun tərifində heç nə deyilmədiyini başa düşmək daha vacibdir. Bu əmlak aşağıdakı kimi ifadə edilir:
Çoxluq tamamilə onun elementləri ilə müəyyən edilir.
Aksiomatik, formal nəzəriyyələrdə çoxluq anlayışının bu tərəfi həcm aksiomu və ya genişlənmə aksiomu adlanan aksioma kimi formalaşır. Lakin Kantorun çoxluqlar haqqında mənalı (“sadəlövh”) nəzəriyyəsini təqdim edərkən belə, bu müddəa ya nəzərdə tutulur, ya da açıq şəkildə, məsələn, R.Stollun “Çoxluqlar. Məntiq. Aksiomatik nəzəriyyələr” dərsliyində “həcmin intuitiv prinsipi” kimi ifadə edilir.
Həcmin aksiomunda deyilir ki, çoxluq sadalanma və ya onun elementlərinin düzülmə ardıcıllığından asılı deyil. Yalnız bir çoxluq eyni elementlərdən ibarət ola bilər. Məsələn, eyni simvollardan ibarət müxtəlif permutasiyalar:

(a, b, c, d), (a, c, d, b), (b, d, c, a) və s.,

Onlar bir və eyni dəstdir və çoxluqlar fərqlənmir. Bu o deməkdir ki, müxtəlif dəstlər yalnız onlarda ən azı bir elementin olması və ya olmaması ilə fərqlənə bilər.
Buradan aydın olur ki, yalnız bir boş çoxluq var, çünki elementlər olmadıqda çoxluqlarda fərq əlamətləri yoxdur. Boş çoxluq ; ilə işarələnir.
Tərkibinə görə, Kantorun tərifindən göründüyü kimi, çoxluqlar həqiqi cisimlərdən (məsələn, Sarov şəhərindəki pişiklər toplusu) və ya təsəvvür edilə bilən konseptual varlıqlardan (təbii ədədlər çoxluğu) ibarət kimi düşünülə bilər. . Sonuncular arasında çox mühüm çoxluq növü sonsuz çoxluqlardır, yəni sonsuz sayda elementdən ibarət olanlardır.
Burada iki şeyi qeyd etmək lazımdır. Bir tərəfdən aydındır ki, bunlar sırf zehni abstraksiyalardır, real obyektlərin çoxluğu sonsuz ola bilməz. Digər tərəfdən, Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsinə xüsusi dəyər, gözəllik və orijinallıq verən məhz sonsuz çoxluqlardır. Cantor, sonsuz çoxluqları insan ağlı üçün əlçatan varlıqlar kimi nəzərdən keçirməyə başlayanda elmi cəsarətinə görə ədalətli hesab olunur.
Onu da qeyd edirik ki, çoxluq anlayışının özü sırf zehni anlayışdır, Kantorun sözləri ilə desək, düşüncəmizin obyektidir.

I.2. Çoxluqları təsvir etməyin yolları

Əgər M hərfi müəyyən bir çoxluğu ifadə edirsə və x hərfi hansısa “qavrayış və ya düşüncəmizin müəyyən və tamamilə seçilən obyektidirsə” onda “x; M” ifadəsi “x M-ə aiddir” və ya “x” kimi oxunur. M daxil olur" və ya "x M elementidir" və ya başqa oxşar şəkildə. Çapraz giriş işarəsi; giriş ifadəsinin inkarı deməkdir.
Əgər M çoxluğunun a, b, c, ... elementləri çox deyilsə, onda onun elementlərini qıvrımlı mötərizələrin içərisində sadalamaqla çoxluğu təsvir etmək olar:
M = (a, b, c, ... ).
Əks halda, dəst adətən P(x) üzvlük şərtindən istifadə etməklə təsvir edilir:
M = (x: P(x)).
Bu ifadə aşağıdakı kimi oxunur: M çoxluğu P(x) müddəasının doğru olduğu bütün belə və yalnız belə x-dən ibarətdir. Oxucu qeyd edə bilər ki, dəsti təyin etməyin ikinci yolu daha ümumidir və çoxluğu təsvir etməyin birinci forması ikinciyə endirilə bilər. Məsələn, məntiqi düsturdan istifadə etməklə:
M \u003d (x: x \u003d a, və ya x \u003d b, və ya x \u003d c, və ya ...),

Və əgər a, b, c,... ədədlərdirsə (nə olursa olsun), onda, məsələn, tənlikdən istifadə edərək:

M \u003d (x: (x-a) (x-b) (x-c) ... \u003d 0).

I.3. Çoxluq-nəzəri əməliyyatlar.

Əməliyyatlar dəstlər üzərində aparıla bilər. Ən çox istifadə edilən əməliyyatlar birləşmə və kəsişmə əməliyyatlarıdır.
İki çoxluğun birliyi hər iki birləşmiş çoxluğun elementlərini birləşdirən çoxluqdur. Bu əməliyyat ; simvolu ilə göstərilir. Məsələn, əgər A=(a,b,c) və B=(c,d,e) təyin edilirsə, onda
A;B=(a,b,c,d,e).
İki çoxluğun kəsişməsi bu çoxluqların ümumi elementlərindən ibarət çoxluqdur. Bu əməliyyat ; simvolu ilə göstərilir. Əvvəlki misalın iki dəsti üçün A;B=(c).
Dəstlər üzərində başqa, daha mürəkkəb əməliyyatlar da istifadə olunur.

I.4. Dəstlərin kəmiyyət müqayisəsi.

Sonlu çoxluqlar üçün onların ədədlərinin müqayisəsi məsələsi sadəcə olaraq həll edilir: bunun üçün müqayisə edilən çoxluqları saymaq kifayətdir və biz artıq natural ədədləri ilə müqayisə edə bilərik. orta məktəb. Bəs sonsuz dəstləri necə müqayisə etmək olar? Kantor sonsuz çoxluqları kəmiyyətcə bir-bir uyğunluq prinsipinə əsasən müqayisə etməyi təklif etdi.
TƏrif. Deyirik ki, A çoxluğu ilə B çoxluğu arasında bir-bir uyğunluq qurulur, əgər A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun bir və yalnız bir elementi ilə əlaqələndirilirsə, B çoxluğunun hər bir elementi bir və yalnız bir elementlə əlaqələndirilir. A dəstindən.
Birə-bir yazışma daha qısa “1-1-yazışma” termini ilə və ya daha da qısa olaraq bijection ilə işarələnəcək.
Bu prinsipə əsasən, iki çoxluq bərabər sayda, daha dəqiq desək, bərabər gücə malik və ya ekvivalent sayılır, əgər onlar arasında bijeksiya müəyyən edilə bilər. Əgər onlar arasında bijection yaratmaq mümkün deyilsə, onda ən güclüsü, digərinin tək-tək xəritələnə biləcəyi hesab olunur.
Aydındır ki, çoxluqlar arasında ekvivalentlik əlaqəsi simmetrik, refleksiv və keçid xarakterlidir. Həmçinin aydın olur ki, sonlu çoxluqlar 1-1 uyğunluq üsulu ilə də müqayisə oluna bilər və bu üsul sonlu çoxluqların yenidən hesablanması ilə adi müqayisə üsulunun ümumiləşdirilməsidir. Mahiyyət etibarı ilə, yenidən hesablama metodu standart çoxluq - natural ədədlər çoxluğu ilə 1-1 uyğunluğu ilə müqayisə üsuludur.
Sonsuz çoxluqların müqayisəsi nümunələri.
Hətta Galileo qeyd etdi ki, natural ədədlərin bütün kvadratlarının çoxluğu bütün natural ədədlər çoxluğu ilə 1-1 uyğunluqda yerləşdirilə bilər:

1, 2, 3, 4, 5, …
1, 4, 9, 16, 25, …

Və bu mənada natural ədədlərin kvadratları ədədlərin özləri olduğu qədərdir. Cüt ədədlərlə də vəziyyət eynidir: onların sayı tam olaraq eynidir. Kantorun təklif etdiyi çoxluqların kəmiyyət müqayisəsi üsulu ilə sonsuz çoxluğun bir hissəsinin kəmiyyətcə bütünə ekvivalent olduğunu görürük. Kantor sonsuz çoxluqların bu xassəsini sonsuz çoxluğun müəyyənedici atributu kimi qəbul etməyi təklif etdi.
Natural ədədlər çoxluğu ilə bijeksiya qurmaq, başqa sözlə, elementlərini yenidən nömrələmək mümkün olan çoxluqlara hesablana bilən çoxluqlar deyilir. Sayılan çoxluqlar açıq şəkildə həm tam ədədlərin bütün kvadratlarının çoxluğu, həm də bütün cüt ədədlərin çoxluğudur. Bütün tam ədədlərin (müsbət və mənfi) çoxluğu da hesablanır. Bunu bütün tam ədədlərin belə bir zəncir şəklində düzülə biləcəyindən görmək olar:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, . . .

Aydındır ki, bütün tam ədədlər bu zəncirə düşəcək və biz bütün bu zəncirin nömrələrini yenidən nömrələyə bilərik.
Ancaq burada daha mürəkkəb bir nümunə var. Bütün müsbət rasional ədədləri yenidən nömrələmək mümkündürmü? Kantor bütün müsbət rasional ədədlər çoxluğunu nömrələmənin aşağıdakı üsulunu təklif etdi. Gəlin bu çoxluğu sonsuz cədvəl - sonsuz sayda sonsuz cərgə şəklində təşkil edək. Birinci sətirdə məxrəci 1 olan bütün kəsrləri, yəni natural ədədləri artan ardıcıllıqla yerləşdiririk. İkinci sətirdə məxrəci 2 olan bütün kəsrləri payın artan sırası ilə, üçüncü sətirdə məxrəci 3 olan bütün kəsrləri eyni ardıcıllıqla və s. Bundan sonra biz ilk növbədə pay və məxrəcin cəmi 2-yə bərabər olan bütün kəsrləri nömrələyirik (bu, yalnız bir 1/1 kəsrdir), sonra - məxrəc və paylayıcının cəmi 3-ə bərabər olan bütün kəsrləri nömrələyirik (bu; və 2/1), sonra - məxrəc və 4-ə bərabər bir payın cəmi ilə (bunlar 1/3, 2/2 və 3/1) və s. Bu halda, azaldıla bilən fraksiyaları atlayacağıq, çünki onlar daha əvvəl nömrələnmişdir. Aydındır ki, bu nömrələmə üsulu ilə nömrə istənilən müsbət rasional ədəd alacaqdır. Əncirdə. I.1 Kantorun təklif etdiyi bütün rasional ədədlər çoxluğu üçün nömrələmə sxemini göstərir; oxlar nömrələmə sırasını göstərir.
1/1, ; 2/1, 3/1, ; 4/1, 5/1, ; …
; ; ; ;
1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, … .
; ; ; ;
1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 …
; ;
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4 …
; ;
1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, …

Bu nömrələmə sxemi Kantorun məzarındakı abidənin üzərində həkk olunub.
Eyni nömrələmə sxemindən istifadə edərək, bütün sıralanmış natural ədədlər cütlərinin çoxluğunu da yenidən nömrələmək olar (çünki hər bir müsbət rasional ədəd sıralı natural ədədlər cütünə uyğun gəlir - pay və məxrəc). Bundan əlavə, sıralı cütlərin nömrələnmiş çoxluğunu bir sətirdə yerləşdirərək, biz eyni hiyləni bütün sıralı üçlü natural ədədlər, sonra dördlüklər və ümumiyyətlə sıralanmış n-lər toplusunu nömrələmək üçün tətbiq edə bilərik, burada n istənilən natural ədəddir.

I.5. Alt çoxluq anlayışı.

M-də N-ə daxil olmayan elementlər yoxdursa, M çoxluğuna N çoxluğunun alt çoxluğu deyilir (xüsusən, M N ilə üst-üstə düşə bilər).
Başqa sözlə, əgər bu termin daha geniş (ümumi desək) N çoxluğundan kənar bütün elementləri xarakterizə edirsə, alt çoxluqda “kənar” elementlər olmamalıdır.
Bu tərif ona görə yaxşıdır ki, boş çoxluğu da əhatə edir: boş dəstdə heç bir, buna görə də “yad” elementlər yoxdur. Beləliklə, hər hansı bir çoxluğun alt çoxluğudur. Əgər alt çoxluq anlayışını daha başa düşülən şəkildə, yalnız əsas çoxluğun elementlərindən ibarət çoxluq kimi müəyyən etsək, boş çoxluq alt çoxluqlar arasında “ayrıca sətirdə” sayılmalı olacaq. Belə bir siyahıya ehtiyac, boş dəstlə əlavə etmək ehtiyacı ilə eyni mülahizələrdən aydın görünür. ümumi anlayış dəstlər (yuxarıya bax).
M çoxluğu N çoxluğunun alt çoxluğudursa, bu halı M çoxluğunun qeydində qısaca qeyd etmək olar:

M = (x;N: P(x))

(Oxuyur: M çoxluğu P(x) müddəasının doğru olduğu N-dən bütün belə və yalnız belə x-dən ibarətdir).

I.5.1. Öz və uyğun olmayan alt çoxluqlar.
Boş çoxluq, artıq qeyd edildiyi kimi, istənilən çoxluğun alt çoxluğudur. Bu mənada o, ayrı dayanır və buna görə də ona uyğun olmayan alt çoxluq deyilir.
Boş alt çoxluqdan əlavə, düzgün olmayan alt çoxluq da bütün çoxluqla üst-üstə düşən alt çoxluqdur. Qalan alt çoxluqlar müvafiq adlanır. Onlar əsas çoxluğun "düzgün" hissələrini təşkil edir, uyğun olmayan alt çoxluqlar isə "yanlış" hissələrdir: bu, tama bərabər olan hissə və ya sıfır hissədir.

I.5.2. Ən sadə çoxluğun neçə alt çoxluğu var?
Ən az sayda boş dəstdə 0 element var. Onun neçə alt çoxluğu var? Elementlərin olmamasına baxmayaraq, boş dəstdə hələ də bir alt çoxluq var. Bu özüdür, bu, onun ikiqat düzgün olmayan alt çoxluğudur: birincisi, boş olduğuna görə, ikincisi, bütün çoxluqla üst-üstə düşdüyünə görə. (Qeyd edək ki, 20=1.)
Yalnız bir elementin olduğu vahid çoxluğun artıq iki alt çoxluğu var, hər ikisi də düzgün deyil: bu boş çoxluq və bütün dəstlə üst-üstə düşən alt çoxluqdur. (Bir daha qeyd edin ki, 21 = 2.)
İki elementdən ibarət çoxluq üçün iki uyğun alt çoxluq iki uyğun olmayan alt çoxluğa əlavə edilir - hər bir çoxluğun elementlərindən birini ehtiva edən tək alt çoxluqlar. Cəmi 4-dür. (Yenə də qeyd edək ki, 22 = 4).
İnduksiya və ya başqa üsulla oxucu asanlıqla sübut edə bilər ki, n elementdən ibarət sonlu çoxluqda 2n alt çoxluq var.

I.6. Kantor teoremi (formula)

Görürük ki, istənilən n 2n > n üçün, yəni sonlu çoxluğun alt çoxluqlarının sayı həmişə daha çox nömrə elementləri. Sonlu çoxluqların bu aşkar xassəsini Kantor sonsuz çoxluqlara ümumiləşdirərək, özünün məşhur teoremini sübut etdi:
bütün alt çoxluqların çoxluğunun kardinallığı ilkin çoxluğun kardinallığından böyükdür.
İlk baxışdan bu ümumiləşdirmə o qədər təbiidir ki, Kantor teoreminin doğruluğuna heç bir şübhə yoxdur. Bununla belə, əks mülkün bir nümunəsini verəcəyik. Sonlu n elementli çoxluğun bütün mümkün sıralanmış element cütlərinin sayı n2 düsturu ilə verilir və n>1 n2>n üçün bunu görürük. Bununla belə, biz gördük ki (I.3-cü bölməyə baxın) sonsuz natural ədədlər çoxluğunun ardıcıl cütlər çoxluğunun kardinallığının ilkin çoxluğun kardinallığından çox olmadığını gördük.
Sonlu çoxluqların ədədləri arasındakı nisbətlərin hər iki nümunəsinə ümumi etiraz bənzətmənin sübut olmamasıdır.

I.7. Az müəyyən edilmiş dəstlər

Müəyyən edilməmiş çoxluqların mövcudluğu paradoksal, yəni ziddiyyətli mühakimələrin mövcudluğundan irəli gəlir. Bunun necə işlədiyini göstərək.
Çoxluqları təsvir etməyin ikinci üsulunu xatırlayaq (I.2 bölməsinə baxın). Bu üsul R.Stollun dərsliyində necə təsvir olunur
Abstraksiyanın intuitiv prinsipi. İstənilən forma P(x) bəzi A çoxluğunu A çoxluğunun elementlərinin P(a)-nın həqiqi müddəa olması şərti ilə təyin edir.
"Forma P(x)" ifadəsi bu obyektin adının verilmiş dəyərlər diapazonunda işləyən x dəyişəni ilə əvəz olunduğu bəzi obyekt haqqında bəzi ifadələr deməkdir. "Forma P(x)" anlayışının başqa bir termini bir yerli predikatdır. I.2-ci bölmədə eyni mənada “üzvlük şərti” ifadəsi işlədilir.
Bəs x-in bəzi dəyərləri üçün (bəzi obyektlər üçün a) P(x) mühakiməsi ziddiyyətli olarsa nə olar?
Belə bir üzvlük şərti olan dəstin konkret nümunəsi sualı daha başa düşülən edir.
Bəzi obyektlərin adlarını nəzərdən keçirəcəyik, ancaq birmənalı adları, yəni yalnız bir xüsusi obyektlə əlaqəli adları nəzərdən keçirəcəyik. Bu adla obyektdə olan ad (obyekt çoxluq ola bilər və ya, məsələn, kitab ola bilər) daxili ad adlandırılacaqdır. Daxili olmayan bir ad xarici adlanacaq. E çoxluğu S obyektlər çoxluğunun xarici adlar çoxluğudur, əgər o S çoxluğuna daxildirsə və ada malikdirsə, bizə az təyin olunmuş çoxluğa misal verir.
Doğrudan da, E çoxluğunun adı var, E hərfi ilə ifadə olunur. E çoxluğunun adı iki kateqoriyadan hansına aid edilməlidir? Əgər onu zahiri ad, yəni E çoxluğunun elementlərindən biri kimi tanısaq, onda daxili ad çıxacaq və əksinə. E çoxluğunun adının bu çoxluğa aid olmasına dair mühakimə həqiqət mənası daşımır.
Yuxarıdakı sualın cavabı aydındır. P(x)-i uyğunsuz təklifə çevirən x qiymətləri üçün müvafiq a obyektinin A çoxluğunun elementi olub-olmadığını müəyyən etmək mümkün deyil. Bu obyektə münasibətdə A çoxluğu az müəyyən edilmişdir.
Lakin az müəyyən edilmiş çoxluğun özəlliyi təkcə onun az təyin olunmasında deyil və o qədər də çox deyil. Daha da əhəmiyyətlisi, onun müəyyən edilməməsi onun tərifinin uyğunsuzluğunun nəticəsidir. Dərhal fərq etməyəcəyiniz belə bir uyğunsuzluq. Axı o, yalnız özünün vahid elementinə münasibətdə (bizim nümunəmizdə xarici adlar toplusunun xüsusi adına) özünü göstərir. Belə çoxluğa aid olma şərtinin nəzərə alınması ziddiyyətə gətirib çıxarır. Və biz bir ziddiyyətin ya səhvin, ya da arqumentin ilkin müddəalarından birinin yanlışlığının nəticəsi olduğuna öyrəşdiyimiz üçün nəyisə sübut etmək istəyi burada yaranır.
Bu arada, ziddiyyətli, daha doğrusu, qeyri-qənaətbəxş tərifdən irəli gələn ziddiyyət (bu tərifin qeyri-qənaətbəxş olması istisna olmaqla) tamamilə heç nəyi sübut etmir. Bu çox mürəkkəb olmayan vəziyyəti başa düşməmək yanlış teoremlərin yaranmasına səbəb olur.
Biz ziddiyyətli tərifləri olan çoxluqlara necə yanaşmalıyıq? Biz burada bu əlaqənin iki mümkün formasını (eyni məzmunla) görürük.
1) Yuxarıda təsvir olunan E çoxluğun növünün uyğunsuz çoxluqlarını çoxluqlar kimi nəzərdən keçirməyə davam etmək olar ki, bu da uyğunsuz çoxluqların mümkünlüyünə imkan verir ki, bu da Kantor tərəfindən artıq qeyd edilmişdir (o, bütün dəstlərin çoxluğunu uyğunsuz hesab edirdi) , lakin sonra teoremləri sübut edərkən belə çoxluqların baş vermə ehtimalını nəzərdən qaçırmaq olmaz.
Bu ehtimalı nəzərə alsaq, hər hansı bir müqəddimənin yalan olduğunu ziddiyyətlə sübut etməklə əldə edilən ziddiyyətdən belə nəticəyə gəlmək həmişə mümkün olmur: ziddiyyətli çoxluq üçün ziddiyyət onun qanuni atributudur və heç nə demir.
2) Kantorun çoxluq anlayışına aydınlıq gətirməklə, ziddiyyətli çoxluqlara (daha doğrusu, ziddiyyətli tərifli çoxluqlara) münasibətimizi formalaşdırmaq daha düzgün görünür ki, hər hansı bir obyektin çoxluğuna mənsub olmaq məsələsi birmənalı və birmənalı olmalıdır. ardıcıl cavab. Bu tələbi ödəməyən, E çoxluğu kimi ən azı bir element üçün bu suala belə cavab verməyə imkan verməyən kolleksiyalar tam çoxluq hesab edilməməlidir. Bunlar müəyyən edilməmiş dəstlərdir.
Artıq qeyd olunduğu kimi, az müəyyən edilmiş çoxluqların meydana çıxma ehtimalı teoremlərin sübutlarında nəzərə alınmalıdır.
Yuxarıda göstərilən mənada çoxluğun müəyyənlik xassəsi, əlbəttə ki, çoxluğun Kantor konsepsiyasında nəzərdə tutulur, baxmayaraq ki, görünür, Kantor tərəfindən açıq şəkildə ifadə edilməmişdir. Düzdür, Kantorun çoxluq anlayışının tərifini şərh edənlərdən biri (bax. bölmə I.1) Robert R. Stoll bu tərifdəki “müəyyən... obyektlər” sözlərini məhz bu cür şərh edir.
Çoxluq anlayışının bu mənada dəqiqləşdirilməsi çoxluqların tabe olmalı olduğu istisna edilmiş ortanın aksiomu şəklində tərtib edilə bilər.
Çıxarılan ortanın aksiomu, hər bir müddəanın ya doğru, ya da yanlış olduğunu və üçüncünün olmadığını bildirən xaric edilmiş orta qanununun xüsusi halıdır. Ancaq biz bilirik ki, kifayət qədər mənalı ziddiyyətli mühakimələr də mümkündür, nə doğru, nə də yalan, beləliklə, istisna edilmiş orta qanunu pozur, buna misal olaraq hər cür paradokslardan gələn mühakimələr var. Buna görə də, ziddiyyətli çoxluqları icazə verilənlərin sayından çıxarmaq üçün biz bu qanuna istinad etməklə məhdudlaşa bilmərik və onun pozulmasının xüsusi aksioma ilə mümkünlüyünü təmin etməliyik.
İSTİSNA EDİLƏN ÜÇÜNCÜNÜN AKSİOMU. Hər hansı bir çoxluq üçün hər hansı bir obyektin ona aid olması haqqında mühakimə doğru və ya yanlışdır.
Mövcud (və indiki kurikulumlar universitetlərin riyaziyyat fakültələri) çoxluq nəzəriyyələrində az müəyyən edilmiş çoxluqlar təkcə bu nəzəriyyələrdə paradoksal mühakimələrin mümkünlüyü nəzərə alınmadığı üçün yaranmır.

I.8. Saysız-hesabsız dəstlərdə.

Cantorun müqayisə edilən çoxluqlar arasında bijection yaratmaqla təklif etdiyi çoxluqların kəmiyyət müqayisəsi metodu (bax. Bölmə I.3.) dolayısı ilə belə sonsuz çoxluqların olduğunu (qarşılaşa biləcəyini) nəzərdə tutur ki, onlar arasında bijection yaratmaq mümkün deyil. Əgər belə olmasaydı, onda bütün sonsuz çoxluqlar bərabər gücə malik olardı və Kantorun çoxluqları müqayisə etmə metodu mənasız olardı.
Natural ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan, yəni onların bütün elementlərinin yenidən nömrələnə biləcəyi sonsuz çoxluqlar hesablana bilən çoxluqlar adlanır. Buradan belə nəticə çıxır ki, sayılmayan çoxluqlar (yəni sayıla bilməyən çoxluqlar) elə (o qədər çoxdur) ki, onların bütün elementlərini yenidən nömrələmək mümkün deyil.
Kantorun göstərdiyi kimi, sayılmayan 0 ilə 1 arasında olan bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur, adətən kontinuum adlanır. Kontinuumun kardinallığı adətən C hərfi ilə işarələnir. Kontinuumun kardinallığı olan çoxluqların aşağıdakı diqqətəlayiq xüsusiyyətlərini qeyd edək.
Birincisi, vahid seqmentin x həqiqi ədədləri çoxluğu həqiqi xəttin istənilən seqmentinin y həqiqi ədədləri çoxluğuna bərabərdir. Bu dəstlər arasındakı fərq düsturla müəyyən edilir:

Y \u003d a + x (b - a),

Burada a və b rəqəmləri ixtiyari seqmentin uclarına uyğun gəlir.
İkincisi, y=tg(x-0.5;) düsturu tək seqment (daha dəqiq desək, yarım interval) və bütün real xətt arasında bijection qurur. Bu o deməkdir ki, bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun kardinallığı vahid seqmentin ədədlər çoxluğu ilə eyni kardinallığa malikdir (seqment, intervaldan fərqli olaraq, onun uclarına uyğun gələn nömrələri ehtiva edir, lakin bu fərq fərqə səbəb olmur. kardinallıqlar).
Çoxluq nəzəriyyəsinin növbəti mühüm faktı ondan ibarətdir ki, C çoxluğu (davamlı) təbii sıraların bütün alt çoxluqlarının çoxluğuna ekvivalentdir. Həqiqətən də, birdən kiçik olan hər bir həqiqi ədəd, müvafiq sonsuz ikilik kəsrlə bir-bir göstərilə bilər. Bunun üçün razılaşırıq ki, biri sonsuz bir ardıcıllığı ilə bitən iki ikili təsvirə malik olan ikili rasional ədədlər ikili kəsrin sonsuz olduğu kimi təqdim olunur. Və hər bir belə kəsr təbii seriyanın alt çoxluğu ilə müəyyən edilir - ikili kəsrin bir olduğu rəqəmlərin nömrələri çoxluğu.
Və nəhayət, Kantorun özünü təəccübləndirən başqa bir tamamilə gözlənilməz nəticə Kantorun çoxluqların bərabərliyi və həqiqi ədədin sonsuz ikilik (və ya onluq) kəsrlə unikal təsvirinin mümkünlüyü tərifindən irəli gəlir. Bərabər güclü C dəsti eyni ədədlərin cütləri, yəni sıfırdan birinə qədər olan nömrələr toplusu oldu. Analitik həndəsə dilinə tərcümə edildikdə, bu, vahid seqmentin nöqtələr çoxluğunun vahid kvadratın nöqtələr çoxluğuna ekvivalent olduğu ortaya çıxdı.
Həqiqətən də, bu ədədin onluq (məsələn) rəqəmlərinin sonsuz dəyər ardıcıllığı ilə təmsil olunan vahid seqmentin hər bir həqiqi nömrəsi, eyni ədədlərin cütü ilə bir-bir əlaqələndirilə bilər, onlardan biri ilkin ədədin cüt, digəri isə tək rəqəmlərindən əmələ gəlir.
Ancaq bu o deməkdir ki, C gücü - hər hansı bir seqmentin həqiqi ədədlər çoxluğunun gücü - təyyarənin bütün nöqtələrinin çoxluğuna malikdir (vahid kvadrat və bütün müstəvi arasındakı bijeksiya vahid arasında olduğu kimi qurulur. interval və bütün həqiqi ədəd xətti).
Bənzər bir şəkildə, bir seqmentin nöqtələri dəstlərinin və üçölçülü fiqurun - bir kubun nöqtələrinin bərabərliyi və buna görə də bütün sonsuz 3 ölçülü və hətta n ölçülü fəzanın bütün nöqtələrinin çoxluğu qurulur.
Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsinə mənfi münasibət nəzərə alınmaqla bu heyrətamiz nəticəni bu nəzəriyyə ilə qınamaq olar: bunlar Kantorun çoxluqları tək-tək uyğunluq meyarına görə kəmiyyətcə müqayisə etmə metodunun gətirdiyi absurd nəticələrdir.

İSTİFADƏ EDİLƏN MƏNBƏLƏRİN SİYAHISI
(giriş və I hissəyə)

1. Kleene Stephen K. Metamatematikaya giriş. M: Xarici nəşriyyat
ədəbiyyat. 1957. 526c.
2. Frenkel A.A., Bar-Hillel. Çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsasları. M: Sülh. 1966. 556-cı illər.

3. Aleksandrov P.S. Çoxluqların və funksiyaların ümumi nəzəriyyəsinə giriş. Moskva,
Leninqrad. Gostekhizdat. 1948. 412c.
4. Kelly Con L. Ümumi topologiya. M: Elm. 1968. 384c.

5. Hausdorff F. Çoxluqlar nəzəriyyəsi. Moskva, Leninqrad. ONTI. 1937.

6. Natanson I.P. Həqiqi dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi. M: Gostekhizdat.
1957.552c.
7. Kolmoqorov A.N., Draqalin A.G. riyazi məntiq. Əlavə fəsillər
Sən. Moskva Universiteti Nəşriyyatı. 1984. 120-ci illər.
8. Arxangelski A.V. Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsi. Moskva nəşriyyatı
Universitet. 1988. 112s.
9. Burbaki N. Çoxluqlar nəzəriyyəsi. M: Sülh. 1965. 455c.

10. Yaşçenko İ.V. Çoxluqlar nəzəriyyəsinin paradoksları. Moskva nəşriyyatı
Davamlı Riyaziyyat Təhsili Mərkəzi. 2002. 40-cı illər.
11. Kantor Georg. Çoxluqlar nəzəriyyəsi üzərində işləyir. Ed. A.N. Kolmoqorov və
A.P.Yuşkeviç. M: Elm. 1985. 432s.
12. Robert R. Stoll, Dəstlər. Məntiqlər. aksiomatik nəzəriyyələr. M: Maarifçilik
yox. 1968. 230c.