» » Найти кубический корень из комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа

Найти кубический корень из комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа

Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.

Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:

\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):

\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}=r^{\frac{1}{k}}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi n}{k}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi n}{k}\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус \(\ r^{\frac{1}{k}} \)

Примеры решения проблем

  • Задача

    Найти корень третьей степени из числа \(\ z=-1 \).

  • Решение.

    Вначале мы выражаем число \(\ z=-1 \) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\ z=-1 \) является число \(\ z=-1 \), мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=0 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

    Модуль комплексного числа \(\ z \) - это число:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \)

    Аргумент вычисляется по формуле:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{0}{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)

    Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:

    \(\ =\cos \frac{\pi+2 \pi n}{3}+i \sin \frac{\pi+2 \pi n}{3} \), \(\ n=0,1,2 \)

    \(\ \omega_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

    При \(\ n=1 \) получаем:

    \(\ \omega_{2}=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

    При \(\ n=2 \) получаем:

    \(\ \omega_{3}=\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \omega_{1}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \omega_{2}=-1, \omega_{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

  • Задача

    Чтобы извлечь корень 2-й степени из числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \)

  • Решение.

    Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=1 \) , мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=-\sqrt{3} \) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

    Модуль комплексного числа \(\ r \) - это число:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2 \)

    Аргумент:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=\frac{2 \pi}{3} \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    \(\ z=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right) \)

    Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:

    \(\ z^{\frac{1}{2}}=\left(2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{\frac{1}{2}}= \)

    \(\ =\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)\right), n=0,1 \)

    При \(\ \mathrm{n}=0 \) получаем:

    \(\ \omega_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+0\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+0\right)\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

    При \(\ \mathrm{n}=1 \) получаем:

    \(\ \omega_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \omega_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} ; \omega_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

  • числами в тригонометрической форме.

    Формула Муавра

    Пусть z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) и z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

    Тригонометрическую форму записи комплексного числа удобно использовать для выполнения действий умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня степени n.

    z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

    При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются.

    Следствием правила умножения комплексного числа является правило возведения комплексного числа в степень.

    z = r(cos  + i sin ).

    z n = r n (cos n + isin n).

    Это соотношение называется формулой Муавра.

    Пример 8.1 Найти произведение и частное чисел:

    и

    Решение

    z 1 ∙z 2

    =

    ;

    Пример 8.2 Записать в тригонометрической форме число


    –i) 7 .

    Решение

    Обозначим
    и z 2 =
    – i .

    r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctg;

    z 1 =
    ;

    r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
    ;

    z 2 = 2
    ;

    z 1 5 = (
    ) 5
    ; z 2 7 = 2 7

    z = (
    ) 5 ·2 7
    =

    2 9

    § 9 Извлечение корня из комплексного числа

    Определение. Корнем n -й степени из комплексного числа z (обо­значают
    ) называется комплексное число w такое, что w n = z. Если z = 0, то
    = 0.

    Пусть z  0, z = r(cos + isin). Обозначим w = (cos + sin), тогда уравнение w n = z запишем в cледующем виде

     n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

    Отсюда  n = r,

     =

    Таким образом, w k =
    ·
    .

    Среди этих значений ровно n различных.

    Поэтому k = 0, 1, 2, …, n – 1.

    На комплексной плоскос-ти эти точки являются вершинами правильного n-угольника, вписан-ного в окружность радиусом
    с центром в точке О (рисунок 12).

    Рисунок 12

    Пример 9.1 Найти все значения
    .

    Решение.

    Представим это число в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

    w k =
    , где k = 0, 1, 2, 3.

    w 0 =
    .

    w 1 =
    .

    w 2 =
    .

    w 3 =
    .

    На комплексной плоскости эти точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность радиусом
    с центром в начале координат(рисунок 13).

    Рисунок 13 Рисунок 14

    Пример 9.2 Найти все значения
    .

    Решение.

    z = – 64 = 64(cos +isin);

    w k =
    , где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

    w 0 =
    ; w 1 =
    ;

    w 2 =
    w 3 =

    w 4 =
    ; w 5 =
    .

    На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в точке О (0; 0) – рисунок 14.

    § 10 Показательная форма комплексного числа.

    Формула Эйлера

    Обозначим
    = cos  + isin  и
    = cos  - isin  . Эти соотношения называются формулами Эйлера .

    Функция
    обладает обычными свойствами показательной функции:

    Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r(cos + isin).

    Используя формулу Эйлера, можно записать:

    z = r ·
    .

    Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Используя ее, получаем правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

    Если z 1 = r 1 ·
    и z 2 = r 2 ·
    ?то

    z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
    ;

    ·

    z n = r n ·

    , где k = 0, 1, … , n – 1.

    Пример 10.1 Записать в алгебраической форме число

    z =
    .

    Решение.

    Пример 10.2 Решить уравнение z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

    Решение.

    При любых комплексных коэффициентах это уравнение имеет два корня z 1 и z 1 (возможно, совпадающих). Эти корни могут быть найдены по той же формуле, что и в вещественном случае. Так как
    принимает два значения, отличающихся только знаком, то эта формула имеет вид:

    Поскольку –9 = 9 · е  i , то значениями
    будут числа:

    Тогда
    и
    .

    Пример 10.3 Решить уравнения z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.

    Решение.

    Искомыми корнями уравнения будут значения
    .

    Для z = –1 имеем r = 1, arg(–1) = .

    w k =
    , k = 0, 1, 2.

    Упражнения

    9 Представить в показательной форме числа:

    б)
    + i;

    г)
    .

    10 Записать в показательной и алгебраической формах числа:

    а)

    в)

    б)

    г) 7(cos0 + isin0).

    11 Записать в алгебраической и геометрической формах числа:

    а)

    б)

    в)

    г)

    12 Даны числа


    Представив их в показательной форме, найти
    .

    13 Используя показательную форму комплексного числа, выполнить действия:

    а)
    б)

    в)
    г)

    д)

    .