Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.
Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:
\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):
\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}=r^{\frac{1}{k}}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi n}{k}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi n}{k}\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус \(\ r^{\frac{1}{k}} \)
Примеры решения проблем
Найти корень третьей степени из числа \(\ z=-1 \).
Вначале мы выражаем число \(\ z=-1 \) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\ z=-1 \) является число \(\ z=-1 \), мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=0 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\ z \) - это число:
\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \)
Аргумент вычисляется по формуле:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{0}{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi \)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:
\(\ =\cos \frac{\pi+2 \pi n}{3}+i \sin \frac{\pi+2 \pi n}{3} \), \(\ n=0,1,2 \)
\(\ \omega_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
При \(\ n=1 \) получаем:
\(\ \omega_{2}=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
При \(\ n=2 \) получаем:
\(\ \omega_{3}=\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\ \omega_{1}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \omega_{2}=-1, \omega_{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Чтобы извлечь корень 2-й степени из числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \)
Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=1 \) , мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=-\sqrt{3} \) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\ r \) - это число:
\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2 \)
Аргумент:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=\frac{2 \pi}{3} \)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
\(\ z=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right) \)
Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:
\(\ z^{\frac{1}{2}}=\left(2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{\frac{1}{2}}= \)
\(\ =\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)\right), n=0,1 \)
При \(\ \mathrm{n}=0 \) получаем:
\(\ \omega_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+0\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+0\right)\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)
При \(\ \mathrm{n}=1 \) получаем:
\(\ \omega_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)
\(\ \omega_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} ; \omega_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)
числами в тригонометрической форме.
Формула Муавра
Пусть z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) и z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
Тригонометрическую форму записи комплексного числа удобно использовать для выполнения действий умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня степени n.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Следствием правила умножения комплексного числа является правило возведения комплексного числа в степень.
z = r(cos + i sin ).
z n = r n (cos n + isin n).
Это соотношение называется формулой Муавра.
Пример 8.1 Найти произведение и частное чисел:
и
Решение
z 1 ∙z 2 
∙
=
;
Пример 8.2 Записать в тригонометрической форме число
∙
–i) 7 .
Решение
Обозначим
и
z 2
=
–
i
.
r 1
= |z 1 |
= √ 1 2
+ 1 2
= √ 2;
1
= arg z 1
= arctg
;
z 1
=
;
r 2
= |z 2 |
= √(√ 3) 2
+ (–
1) 2
= 2; 2
= arg z 2
= arctg
;
z 2
= 2
;
z 1 5
= (
) 5 
;
z 2 7
= 2 7
z
= (
) 5
·2 7
=
2 9 
§ 9 Извлечение корня из комплексного числа
Определение.
Корнем
n
-й
степени из комплексного числа
z
(обозначают
)
называется комплексное число w
такое, что w n
= z.
Если z
= 0,
то
= 0.
Пусть z 0, z = r(cos + isin). Обозначим w = (cos + sin), тогда уравнение w n = z запишем в cледующем виде
n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
Отсюда n = r,
=
Таким
образом, w k
=
·
.
Среди этих значений ровно n различных.
Поэтому k = 0, 1, 2, …, n – 1.
На
комплексной
плоскос-ти
эти точки являются вершинами правильного
n-угольника,
вписан-ного в окружность радиусом
с центром в точке О (рисунок 12).
Рисунок 12
Пример
9.1
Найти все
значения
.
Решение.
Представим это число в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.
w k
=
,
где k
= 0, 1, 2, 3.
w 0
=
.
w 1
=
.
w 2
=
.
w 3
=
.
На
комплексной плоскости эти точки являются
вершинами квадрата,
вписанного в окружность радиусом
с
центром в начале координат(рисунок
13).
Рисунок 13 Рисунок 14
Пример
9.2
Найти все
значения
.
Решение.
z = – 64 = 64(cos +isin);
w k
=
,
где k
= 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0
=
;
w 1
=
;
w 2
=
w 3
=
w 4
=
;
w 5
=
.
На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в точке О (0; 0) – рисунок 14.
§ 10 Показательная форма комплексного числа.
Формула Эйлера
Обозначим
=
cos
+ isin
и
=
cos
- isin .
Эти
соотношения называются формулами
Эйлера
.
Функция
обладает обычными свойствами показательной
функции:
Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r(cos + isin).
Используя формулу Эйлера, можно записать:
z
= r ·
.
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Используя ее, получаем правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Если
z 1
= r 1
·
и
z 2
= r 2
·
?то
z 1
·
z 2
=
r 1
·
r 2
·
;
·
z
n
= r n
·
,
где k
= 0, 1, … , n
– 1.
Пример 10.1 Записать в алгебраической форме число
z
=
.
Решение.
Пример 10.2 Решить уравнение z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Решение.
При
любых комплексных коэффициентах это
уравнение имеет два корня z 1
и z 1
(возможно,
совпадающих). Эти корни могут быть
найдены по той же формуле, что и в
вещественном случае. Так как
принимает два значения, отличающихся
только знаком, то эта формула имеет вид:
Поскольку
–9 = 9 · е i , то значениями
будут числа:
Тогда
и
.
|
Пример 10.3 Решить уравнения z 3 +1 = 0; z 3 = – 1. |
Решение.
Искомыми
корнями уравнения будут значения
.
Для z = –1 имеем r = 1, arg(–1) = .
w k
=
,
k
= 0, 1, 2.
Упражнения
9 Представить в показательной форме числа:
|
б)
|
г)
|
+ i;
.10 Записать в показательной и алгебраической формах числа:
|
а)
|
в)
|
|
б)
|
г) 7(cos0 + isin0). |
11 Записать в алгебраической и геометрической формах числа:
|
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
12
Даны числа
Представив
их в показательной форме, найти
.
13 Используя показательную форму комплексного числа, выполнить действия:
а)
б)
в)
г)
|
д)
|
|
|
|
|
.