Bu prinsip olduqca qəribə görünsə də, mahiyyət etibarı ilə olduqca sadədir. IN kvant nəzəriyyəsi, cismin mövqeyi amplitüdün kvadratı ilə və onun impulsunun böyüklüyü müvafiq dalğa funksiyasının dalğa uzunluğu ilə xarakterizə olunduğunda, bu prinsip dalğalar üçün xarakterik olan sadə bir faktdan başqa bir şey deyil: lokallaşdırılmış dalğa. kosmosun bir dalğa uzunluğu ola bilməz. Çaşqın olan odur ki, biz zərrəcik haqqında danışarkən onun klassik görüntüsünü zehni olaraq təsəvvür edirik və sonra kvant hissəciyinin klassik sələfindən fərqli davrandığını aşkar etdikdə təəccüblənirik.

Əgər biz kvant zərrəciyinin davranışının klassik təsvirində israr etsək (xüsusən də ona həm məkanda, həm də impulsda mövqe aid etməyə çalışsaq), onda onun mövqeyinin və impulsunun eyni vaxtda təyin edilməsinin maksimum mümkün dəqiqliyi əlaqəli olacaqdır. Heisenberg tərəfindən ilk dəfə təklif edilən və qeyri-müəyyənlik prinsipi adlanan təəccüblü sadə əlaqədən istifadə edərək bir-birlərinə:

hissəciyin momentum və mövqeyi dəyərlərində qeyri-dəqiqliklər və ya qeyri-müəyyənliklər haradadır. İmpuls və mövqe qeyri-dəqiqliklərinin məhsulu

Plank sabitinin miqyasında olduğu ortaya çıxır. Kvant nəzəriyyəsində, klassik nəzəriyyədən fərqli olaraq, eyni vaxtda kvant zərrəciyini lokallaşdırmaq və ona müəyyən bir impuls təyin etmək mümkün deyil. Biz ümumiyyətlə psixoloji qeyri-müəyyənliyi nəzərdə tutmuruq. Bu qeyri-müəyyənlik eyni vaxtda iki xüsusiyyətə - mövqe və impulsa sahib ola bilməyən belə bir obyektin təbiətini xarakterizə edir; atmosferdə fırtınaya bənzəyən qeyri-müəyyən bir obyekt: uzun məsafələrə uzanırsa, zəif küləklər əsir; kiçik bir ərazidə cəmləşərsə, qasırğa və ya tayfun baş verir.

Qeyri-müəyyənlik prinsipi, Schrödinger dalğasından istifadə edərək formalaşdırmaq çox çətin olanı təəccüblü sadə formada ehtiva edir. Əgər verilmiş dalğa uzunluğuna və ya impulsuna malik bir dalğa funksiyası varsa, onda onun mövqeyi tamamilə qeyri-müəyyəndir, çünki hissəciyi tapma ehtimalı müxtəlif nöqtələr boşluqlar bir-birinə bərabərdir. Digər tərəfdən, əgər hissəcik tamamilə lokallaşdırılıbsa, onun dalğa funksiyası bütün mümkün dövri dalğaların cəmindən ibarət olmalıdır ki, onun dalğa uzunluğu və ya impulsu tamamilə qeyri-müəyyən olsun. Dəqiq nisbət mövqe və impulsun qeyri-müəyyənlikləri arasında (birbaşa dalğa nəzəriyyəsindən irəli gəlir və kvant mexanikası ilə xüsusilə əlaqəli deyil, çünki hər hansı dalğaların təbiətini xarakterizə edir - səs dalğaları, suyun səthindəki dalğalar və ya uzanan bulaq boyunca hərəkət edən dalğalar) Heisenberg qeyri-müəyyənlik prinsipi ilə sadə formada verilmişdir.

Bir ölçülü hərəkəti bir-birindən uzaqda yerləşən iki divar arasında baş verən əvvəllər nəzərdən keçirilən hissəciyi xatırlayaq. Belə bir hissəciyin mövqeyində qeyri-müəyyənlik divarlar arasındakı məsafəni keçmir, çünki hissəciyin onların arasında qapalı olduğunu bilirik. Buna görə dəyər bərabər və ya daha azdır

Hissəciyin mövqeyi, əlbəttə ki, daha dar çərçivələrdə lokallaşdırıla bilər. Amma zərrəciyin sadəcə olaraq divarlar arasında bağlandığı nəzərə alınarsa, onun x koordinatı bu divarlar arasındakı məsafədən kənara çıxa bilməz. Bu səbəbdən qeyri-müəyyənlik və ya əskiklik

bilik, onun koordinatları x I dəyərini keçə bilməz. Onda hissəcik impulsunun qeyri-müəyyənliyi ondan böyük və ya ona bərabərdir.

Momentum düsturla sürətlə əlaqələndirilir

buna görə də sürət qeyri-müəyyənliyi

Əgər hissəcik elektrondursa və divarlar arasındakı məsafə sm-ə bərabərdirsə, onda

Beləliklə, əgər elektron kütləsi olan bir hissəcik ölçüləri miqyasda olan bir bölgədə lokallaşdırılıbsa, onda hissəciyin sürəti haqqında yalnız sm/s dəqiqliklə danışa bilərik,

Əvvəllər əldə edilmiş nəticələrdən istifadə edərək, iki divar arasında yerləşən hissəcik halında Şrödinger dalğası üçün qeyri-müəyyənlik əlaqəsini tapmaq olar. Belə bir sistemin əsas vəziyyəti momenta malik məhlulların bərabər paylarında qarışığa uyğundur

(Klassik vəziyyətdə elektron divardan divara qaçır və onun impulsu hər zaman eyni dəyərdə qalaraq, divarla hər toqquşma zamanı istiqamətini dəyişir.) İmpuls-dən -ə qədər dəyişdiyi üçün onun qeyri-müəyyənliyi bərabərdir.

De Broglie münasibətindən

və əsas dövlət üçün

Eyni vaxtda

Beləliklə,

Bu nəticə kvant sisteminin malik ola biləcəyi ən aşağı enerji dəyərini qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər. Sistemin impulsunun qeyri-müəyyən kəmiyyət olması səbəbindən bu enerji ümumiyyətlə sıfıra bərabər deyil, bu da kvant sistemini klassikdən kökündən fərqləndirir. Klassik halda nəzərdən keçirilən hissəciyin enerjisi onun kinetik enerjisi ilə üst-üstə düşür və zərrəcik sükunət vəziyyətində olduqda, bu enerji, yuxarıda göstərildiyi kimi, zərrəcikdə yerləşən zərrənin impulsunun qeyri-müəyyənliyi yox olur sistemidir

Belə bir hissəciyin impulsunu dəqiq müəyyən etmək mümkün deyil, çünki onun mümkün dəyərləri bir enlik intervalında yerləşirsə, aydındır ki, sıfır bu intervalın ortasında yerləşirsə (şəkil 127), onda impuls sıfırdan dəyərində dəyişəcəkdir. Buna görə də hissəciklərə aid edilə bilən minimum mümkün impuls qeyri-müəyyənlik prinsipinə görə bərabərdir

İmpulsun aşağı dəyərlərində qeyri-müəyyənlik prinsipi pozulur. Bu impulsa uyğun enerjidir

gəminin divarları arasında uyğun bir dayanan dalğa seçərək dəyərini Schrödinger tənliyi ilə hesabladığımız ən aşağı enerji ilə müqayisə edilə bilər:

Əldə edilən nəticənin dəyəri ədədi razılaşmada deyil, yalnız qeyri-müəyyənlik prinsipindən istifadə edərək minimum enerjinin dəyərini təxmini qiymətləndirməyi bacardığımızdadır. Bundan əlavə, biz kvant mexaniki sisteminin kinetik enerjisinin minimum dəyərinin (klassik sistemdən fərqli olaraq) niyə heç vaxt sıfıra bərabər olmadığını başa düşə bildik. Divarlar arasında bağlanmış müvafiq klassik hissəcik sıfır kinetikliyə malikdir

istirahət zamanı enerji. Kvant hissəciyi divarlar arasında tutularsa, sakit ola bilməz. Onun təcil və ya sürəti mahiyyət etibarilə qeyri-müəyyəndir, bu da özünü enerji artımında göstərir və bu artım Şrödinger tənliyinin ciddi həllindən əldə edilən dəyərlə tam üst-üstə düşür.

Bu çox ümumi nəticə kvant nəzəriyyəsinin klassik kinetik nəzəriyyəyə uyğun gələn hissəsində, yəni kvant statistikasında xüsusilə mühüm nəticələrə malikdir. Bildirildiyi kimi sistemin temperaturu geniş şəkildə məlumdur kinetik nəzəriyyə, sistemi təşkil edən atomların daxili hərəkəti ilə müəyyən edilir. Kvant sisteminin temperaturu yüksəkdirsə, əslində buna çox oxşar bir şey baş verir. Lakin aşağı temperaturda kvant sistemləri mütləq istirahətə gələ bilməz. Minimum temperatur müəyyən bir sistemin mümkün olan ən aşağı vəziyyətinə uyğundur. Klassik halda bütün zərrəciklər istirahətdədir, lakin kvant halda hissəciklərin enerjisi qalan hissəciklərə uyğun gəlməyən (41.17) ifadəsindən müəyyən edilir.

Bütün bunlardan belə görünə bilər ki, biz iki divar arasında yerləşən elektronlara çox diqqət yetiririk. Elektronlara diqqətimiz tamamilə haqlıdır. Bəs divarlar? Əvvəllər nəzərdən keçirilən bütün halları təhlil etsək, əmin ola bilərik ki, bir elektronun kosmosun məhdud bir bölgəsində tutulması istər gəmi olsun, istərsə də başqa bir şey olsun, güc sisteminin növü o qədər də əhəmiyyətli deyil.

İki divar, mərkəzi qüvvə və ya müxtəlif maneələr (Şəkil 128) təxminən eyni nəticələrə gətirib çıxarır. Elektronu saxlayan xüsusi sistemin növü o qədər də vacib deyil. Elektronun ümumiyyətlə tutulması, yəni dalğa funksiyasının lokallaşdırılması daha vacibdir. Nəticədə, bu funksiya dövri dalğaların cəmi kimi təmsil olunur və hissəciyin impulsu qeyri-müəyyən olur və

İndi qeyri-müəyyənlik prinsipindən istifadə edərək, bir tipik dalğa hadisəsini, yəni dalğanın kiçik bir dəlikdən keçdikdən sonra genişlənməsini təhlil edək (şək. 129). Biz artıq bu hadisəni həndəsi şəkildə, məsafələri hesablayaraq təhlil etdik

hansı donqarların çökəkliklərlə kəsişdiyi indi nəticələrin oxşar olacağı təəccüblü deyil. Sadəcə olaraq, eyni nəzəri model müxtəlif sözlərlə təsvir olunur. Fərz edək ki, elektron soldan sağa hərəkət edərək ekranda bir dəliyə daxil olur. Bizi x istiqamətində (hərəkət istiqamətinə perpendikulyar) elektronun mövqeyinin və sürətinin qeyri-müəyyənliyi maraqlandırır. (Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi üç istiqamətin hər biri üçün ayrıca təmin edilir: Ah-Arkhzhk,

Yarığın enini bu qiymətlə işarə edək ki, elektron ekrana keçmək üçün dəlikdən keçərkən x istiqamətində mövqeyini təyin edərkən maksimum xətadır. Buradan i istiqamətində hissəciyin impulsunun və ya sürətinin qeyri-müəyyənliyini tapa bilərik:

Buna görə də, bir elektronun eni ekranda bir dəlikdən keçdiyini fərz etsək, onun sürətinin dəyərinə qədər qeyri-müəyyən olacağını qəbul etməliyik.

Klassik hissəcikdən fərqli olaraq, kvant hissəciyi dəlikdən keçdikdən sonra ekranda aydın görüntü yarada bilməz.

Əgər ekran istiqamətində sürətlə hərəkət edirsə və ekranla dəlik arasındakı məsafə bərabərdirsə, o zaman bu məsafəni vaxtında qət edəcək.

Bu müddət ərzində hissəcik x istiqamətində müəyyən qədər hərəkət edəcək

Bucaq yayılması, yerdəyişmənin uzunluğa nisbəti kimi müəyyən edilir

Beləliklə, bucaq yayılması (birinci difraksiya minimumuna qədər bucaq məsafəsinin yarısı kimi şərh olunur) işıq üçün əvvəllər əldə edilən nəticə ilə eyni olan diyaframa eni ilə bölünən dalğa uzunluğuna bərabərdir.

Adi kütləvi hissəciklər haqqında nə demək olar? Onlar kvant hissəcikləridir, yoxsa Nyuton tipli hissəciklər? Normal ölçülü obyektlər üçün Nyuton mexanikasından, ölçüləri kiçik olan obyektlər üçün kvant mexanikasından istifadə edilməlidirmi? Biz bütün hissəcikləri, bütün cisimləri (hətta Yer kürəsini) kvant hesab edə bilərik. Bununla belə, əgər hissəciyin ölçüsü və kütləsi adətən makroskopik hadisələrdə müşahidə olunanlarla mütənasibdirsə, onda kvant effektləri - dalğa xüsusiyyətləri, mövqe və sürət qeyri-müəyyənlikləri - normal şəraitdə aşkar edilə bilməyəcək qədər kiçik olur.

Məsələn, yuxarıda bəhs etdiyimiz hissəciyi nəzərdən keçirək. Fərz edək ki, bu hissəcik qramın mində biri kütləsi (çox kiçik bir top) olan rulmandan metal topdur. Əgər onun mövqeyini mikroskop sahəsində görmə qabiliyyətimiz üçün əlçatan bir dəqiqliklə, məsələn, santimetrin mində biri dəqiqliyi ilə lokallaşdırsaq, sonra sm uzunluğunda lokallaşdırılarsa, sürətdəki qeyri-müəyyənlik çox kiçik bir dəyərə çevrilir. adi müşahidələrlə aşkarlanmalıdır.

Heisenberg qeyri-müəyyənlik əlaqələri yalnız sistemin mövqeyi və impulsunu deyil, həm də onun digər parametrlərini də əlaqələndirir. klassik nəzəriyyə müstəqil hesab olunurdular. Məqsədlərimiz üçün ən maraqlı və faydalı əlaqələrdən biri enerji və zamanın qeyri-müəyyənlikləri arasındakı əlaqədir. Adətən formada yazılır

Əgər sistem uzun müddət müəyyən vəziyyətdə olarsa, bu sistemin enerjisi böyük dəqiqliklə məlumdur; çox qısa zaman intervalı bu vəziyyətdə qalsa, onda onun enerjisi qeyri-müəyyən olur; bu fakt yuxarıda verilmiş əlaqə ilə dəqiq təsvir edilir.

Bu münasibət adətən kvant sisteminin bir vəziyyətdən digər vəziyyətə keçidini nəzərdən keçirərkən istifadə olunur. Məsələn, fərz edək ki, hansısa zərrəciyin ömrü bərabərdir, yəni bu zərrəciyin doğulduğu andan parçalanma anı arasında s sıralı bir zaman keçir. O zaman bu hissəciyin enerjisinin bilinə biləcəyi maksimum dəqiqlikdir

bu çox kiçik bir məbləğdir. Daha sonra görəcəyimiz kimi, elə elementar zərrəciklər adlanır ki, onların ömrü c dərəcəsindədir (zərrəciyin doğulduğu andan məhv olması anı arasındakı vaxt). Beləliklə, bir hissəciyin müəyyən bir vəziyyətdə olduğu müddət çox kiçikdir və enerji qeyri-müəyyənliyi belə qiymətləndirilir.

Bu dəyər, 4-106 eV (bir milyon elektron volt qısaldılmış MeV) çox böyükdür; buna görə də, sonra görəcəyimiz kimi, belədir elementar hissəciklər, bəzən rezonanslar adlanır, dəqiq enerji dəyəri deyil, kifayət qədər geniş diapazonda bir sıra dəyərlər təyin olunur.

(41.28) münasibətindən kvant sisteminin səviyyələrinin təbii eni deyilən şeyi də əldə etmək olar. Əgər, məsələn, atom 1-ci səviyyədən 0-a keçirsə (şək. 130), onda səviyyənin enerjisi

Sonra bu səviyyənin enerji dəyərlərinin yayılması ifadədən müəyyən edilir:

Bu, atom sisteminin enerji səviyyələrinin tipik təbii genişliyidir.

Qeyri-müəyyənlik prinsipi mikro dünyanın əsas qanunudur. Bu, tamamlayıcılıq prinsipinin xüsusi ifadəsi sayıla bilər.

Klassik mexanikada hissəcik müəyyən trayektoriya üzrə hərəkət edir və istənilən an onun koordinatlarını və impulsunu dəqiq müəyyən etmək mümkündür. Mikrohissəciklərə gəlincə, bu fikir düzgün deyil. Mikrohissəcik aydın müəyyən edilmiş trayektoriyaya malik deyil, həm hissəcik xüsusiyyətlərinə, həm də dalğanın xüsusiyyətlərinə malikdir (dalğa-hissəcik ikiliyi). Bu vəziyyətdə, "müəyyən bir nöqtədə dalğa uzunluğu" anlayışının fiziki mənası yoxdur və mikrohissəciyin impulsu dalğa uzunluğu ilə ifadə edildiyi üçün - səh=üçün/ l, onda belə çıxır ki, müəyyən impulslu mikrohissəcik tamamilə qeyri-müəyyən koordinata malikdir və əksinə.

V.Heyzenberq (1927) mikrohissəciklərin ikili təbiətini nəzərə alaraq belə nəticəyə gəldi ki, mikrohissəciyi eyni vaxtda həm koordinatları, həm də impulsu ilə hər hansı əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə xarakterizə etmək mümkün deyil.

Aşağıdakı bərabərsizliklər Heisenberg qeyri-müəyyənlik əlaqələri adlanır:

Δx Δ səh x ≥ h,Δ yΔp y ≥ h,Δ zΔp z ≥ h.

Burada Δx, Δy, Δz mikrohissəciyin lokallaşdırıla bildiyi koordinat intervalları deməkdir (bu intervallar koordinat qeyri-müəyyənlikləridir), Δ səh x , Δ səh y , Δ səh z koordinat oxlarına impuls proyeksiyalarının intervalları deməkdir x, y, z, h- Plank sabiti. Qeyri-müəyyənlik prinsipinə görə, impuls nə qədər dəqiq qeydə alınarsa, koordinatda qeyri-müəyyənlik bir o qədər çox olar və əksinə.

Yazışma prinsipi

Elm inkişaf etdikcə və toplanmış biliklər dərinləşdikcə yeni nəzəriyyələr daha doğru olur. Yeni nəzəriyyələr maddi dünyanın getdikcə daha geniş üfüqlərini əhatə edir və əvvəllər öyrənilməmiş dərinliklərə nüfuz edir. Dinamik nəzəriyyələr statik nəzəriyyələrlə əvəz olunur.

Hər bir fundamental nəzəriyyənin müəyyən tətbiq məhdudiyyətləri var. Ona görə də yeni nəzəriyyənin yaranması köhnənin tam inkarı demək deyil. Beləliklə, makrokosmosdakı cisimlərin işıq sürətindən əhəmiyyətli dərəcədə aşağı sürətlə hərəkəti həmişə Nyutonun klassik mexanikası tərəfindən təsvir ediləcəkdir. Bununla belə, işıq sürəti ilə müqayisə edilə bilən sürətlərdə (relativistik sürətlər) Nyuton mexanikası tətbiq olunmur.

Obyektiv olaraq, fundamental fiziki nəzəriyyələrin davamlılığı mövcuddur. Bu, aşağıdakı kimi formalaşdırıla bilən yazışma prinsipidir: heç bir yeni nəzəriyyə eyni hadisələrə aid köhnə nəzəriyyəni məhdudlaşdırıcı hal kimi ehtiva etmədikcə etibarlı ola bilməz, çünki köhnə nəzəriyyə artıq öz sahəsində özünü sübut etmişdir.

3.4. Sistemin vəziyyəti haqqında anlayış. Laplas determinizmi

Klassik fizikada sistem müəyyən şəkildə bir-biri ilə əlaqəli bəzi hissələrin toplusu kimi başa düşülür. Sistemin bu hissələri (elementləri) bir-birinə təsir göstərə bilər və belə güman edilir ki, onların qarşılıqlı əlaqəsi həmişə sistemin qarşılıqlı təsir edən elementləri arasında səbəb-nəticə əlaqələri nöqteyi-nəzərindən qiymətləndirilə bilər.

Maddi və mənəvi aləm hadisələrinin təbii əlaqəsi və qarşılıqlı asılılığının obyektivliyi haqqında fəlsəfi doktrina adlanır. determinizm. Determinizmin mərkəzi anlayışı varlıqdır səbəb əlaqəsi; Səbəb əlaqəsi o zaman baş verir ki, bir hadisə başqa bir hadisəyə (təsir) səbəb olur.

Klassik fizika Laplas adlandırılan sərt determinizm mövqeyində dayanır - səbəbiyyət prinsipini təbiətin əsas qanunu kimi elan edən Pyer Simon Laplas idi. Laplas hesab edirdi ki, əgər sistemin elementlərinin (bəzi cisimlərinin) yeri və ona təsir edən qüvvələrin yeri məlumdursa, bu sistemin hər bir cismin indi və gələcəkdə necə hərəkət edəcəyini tam əminliklə proqnozlaşdırmaq olar. O yazırdı: “Biz Kainatın indiki vəziyyətini əvvəlki vəziyyətin nəticəsi və sonrakı vəziyyətin səbəbi kimi qəbul etməliyik. Müəyyən bir anda təbiətdə fəaliyyət göstərən bütün qüvvələri və onu təşkil edən bütün varlıqların nisbi mövqelərini bilən bir ağıl, bütün bu məlumatları nəzərə alacaq qədər geniş olsaydı, hərəkətləri eyni düsturla əhatə edərdi. Kainatın ən böyük cisimlərindən və ən yüngül atomlarından. Onun üçün heç nə qeyri-müəyyən olmayacaq və gələcək də keçmiş kimi onun gözləri qarşısında dayanacaqdı”. Ənənəvi olaraq, (Laplasa görə) Kainatın inkişafını proqnozlaşdıra bilən bu hipotetik məxluq elmdə “Laplasın iblisi” adlanır.

Təbiət elminin inkişafının klassik dövründə təbiətdəki səbəb əlaqəsini yalnız dinamik qanunların tam səciyyələndirdiyi ideyası təsdiq edilmişdir.

Laplas bütün dünyanı, o cümlədən fizioloji, psixoloji və sosial hadisələri mexaniki determinizm nöqteyi-nəzərindən izah etməyə çalışırdı ki, onu istənilən elmin qurulması üçün metodoloji prinsip hesab edirdi. Laplas səma mexanikasında elmi bilik formasının nümunəsini gördü. Beləliklə, Laplas determinizmi təsadüfün obyektiv mahiyyətini, hadisənin baş vermə ehtimalı anlayışını inkar edir.

Təbiət elminin sonrakı inkişafı səbəb-nəticə haqqında yeni ideyaların yaranmasına səbəb oldu. Bəzi təbii proseslər üçün səbəbi müəyyən etmək çətindir - məsələn, radioaktiv parçalanma təsadüfi baş verir. α- və ya β-zərrəciyin nüvədən “çıxma” vaxtını və onun enerjisinin dəyərini birmənalı şəkildə əlaqələndirmək mümkün deyil. Bu cür proseslər obyektiv olaraq təsadüfi olur. Xüsusilə biologiyada belə nümunələr çoxdur. Mövcud təbiət elmində müasir determinizm müxtəlif, obyektiv təklif edir mövcud formalar proseslərin və hadisələrin qarşılıqlı əlaqələri, bir çoxu açıq-aydın səbəb əlaqələri olmayan əlaqələr şəklində ifadə olunur, yəni bir-birinin əmələ gəlməsi anlarını ehtiva etmir. Bunlar məkan-zaman əlaqələri, simmetriya münasibətləri və müəyyən funksional asılılıqlar, ehtimal əlaqələri və s.. Bununla belə, hadisələrin real qarşılıqlı əlaqəsinin bütün formaları universal aktiv səbəb əlaqəsi əsasında formalaşır, ondan kənarda bir dənə də olsun reallıq hadisəsi mövcud deyildir. məcmusunda statik qanunların təzahür etdiyi təsadüfi hadisələr də daxil olmaqla.

Elm inkişaf etməyə davam edir və yeni anlayışlar, qanunlar və prinsiplərlə zənginləşir ki, bu da Laplas determinizminin məhdudiyyətlərini göstərir. Bununla belə, klassik fizikanın, xüsusən də klassik mexanikanın bu gün də öz tətbiq sahəsi var. Onun qanunları sürəti işıq sürətindən əhəmiyyətli dərəcədə az olan nisbətən yavaş hərəkətlər üçün olduqca uyğundur. Müasir dövrdə klassik fizikanın əhəmiyyətini kvant mexanikasının yaradıcılarından biri Nils Bor yaxşı müəyyən etmişdir: “Hadisələr klassik fiziki izahatdan nə qədər kənara çıxsa da, bütün eksperimental məlumatlar klassik anlayışlardan istifadə etməklə təsvir edilməlidir. Bunun səbəbi sadəcə olaraq “təcrübə” sözünün dəqiq mənasını ifadə etməkdir. "Təcrübə" sözü ilə biz başqalarına nə etdiyimizi və dəqiq nəyi öyrəndiyimizi deyə biləcəyimiz bir vəziyyəti göstəririk. Buna görə də eksperimental qurğu və müşahidə nəticələri klassik fizikanın dilində birmənalı şəkildə təsvir edilməlidir”.

Klassik mexanikada dövlət maddi nöqtə(klassik hissəcik) koordinatların, impulsun, enerjinin və s.-nin qiymətləri göstərilməklə müəyyən edilir. Sadalanan kəmiyyətlər dinamik dəyişənlər adlanır. Düzünü desək, müəyyən edilmiş dinamik dəyişənlər mikroobyektə təyin edilə bilməz. Lakin biz mikrohissəciklər haqqında məlumatı onların makroskopik cisimlər olan cihazlarla qarşılıqlı təsirini müşahidə edərək əldə edirik. Buna görə də, ölçmələrin nəticələri qaçılmaz olaraq makrocisimləri xarakterizə etmək üçün hazırlanmış terminlərlə, yəni dinamik dəyişənlərin dəyərləri ilə ifadə edilir. Müvafiq olaraq, dinamik dəyişənlərin ölçülmüş dəyərləri mikrohissəciklərə aid edilir. Məsələn, elektronun filan enerji dəyərinə malik olduğu vəziyyətdən və s.

Mikrohissəciklərin xassələrinin özəlliyi onda özünü göstərir ki, ölçmələr zamanı bütün dəyişənlər müəyyən dəyərlər əldə etmir. Beləliklə, məsələn, bir elektron (və ya hər hansı digər mikrohissəcik) eyni vaxtda x koordinatının və impuls komponentinin dəqiq qiymətlərinə malik ola bilməz. Dəyərlərin qeyri-müəyyənliyi əlaqəni təmin edir

(- Plank sabiti). (20.1)-dən belə nəticə çıxır ki, dəyişənlərdən birinin qeyri-müəyyənliyi nə qədər kiçik olarsa və ya digərinin qeyri-müəyyənliyi bir o qədər çox olar. Dəyişənlərdən birinin dəqiq qiymətə malik olduğu, digərinin isə tamamilə qeyri-müəyyən olduğu bir vəziyyət mümkündür (onun qeyri-müəyyənliyi sonsuzluğa bərabərdir).

(20.1)-ə bənzər əlaqə y və , z və üçün, eləcə də bir sıra digər kəmiyyət cütləri üçün (klassik mexanikada belə kəmiyyət cütləri kanonik konyuqa adlanır). Kanonik birləşmiş kəmiyyətləri A və B hərfləri ilə ifadə edərək yaza bilərik

(20.2)

Münasibət (20.2) A və B kəmiyyətləri üçün qeyri-müəyyənlik münasibəti adlanır. Bu münasibət 1927-ci ildə V.Heyzenberq tərəfindən kəşf edilmişdir.

İki birləşən dəyişənin qiymətlərinin qeyri-müəyyənliklərinin məhsulunun Plank sabitindən daha kiçik bir sıra ola bilməyəcəyi ifadəsi Heisenberg qeyri-müəyyənlik prinsipi adlanır.

Enerji və vaxt kanonik birləşmiş kəmiyyətlərdir. Beləliklə, qeyri-müəyyənlik əlaqəsi onlar üçün də etibarlıdır:

Bu əlaqə o deməkdir ki, enerjinin dəqiqliklə müəyyən edilməsi -ə bərabər, lakin ondan kiçik bir zaman intervalı almalıdır.

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi, xüsusən də aşağıdakı nümunəyə baxılmaqla müəyyən edilmişdir. Sərbəst uçan mikrohissəciyin x koordinatının qiymətini onun yoluna hissəciyin hərəkət istiqamətinə perpendikulyar olan eni yarıq qoyaraq təyin etməyə çalışaq (şək. 20.1). Hissəcik boşluqdan keçməzdən əvvəl onun impuls komponenti sıfıra bərabər dəqiq qiymətə malikdir (boşluq şərti olaraq impulsa perpendikulyardır), beləliklə hissəciyin x koordinatı tamamilə qeyri-müəyyəndir. Hissəcik yarıqdan keçdiyi anda mövqeyi dəyişir. X koordinatının tam qeyri-müəyyənliyi əvəzinə qeyri-müəyyənlik yaranır, lakin bu, dəyərin əminliyini itirmək bahasına əldə edilir. Həqiqətən, difraksiya səbəbindən hissəciyin bucaq daxilində hərəkət etməsi ehtimalı var. birinci difraksiya minimumuna uyğundur (daha yüksək sifarişlərin maksimumlarına laqeyd yanaşmaq olar, çünki onların intensivliyi mərkəzi maksimumun intensivliyi ilə müqayisədə kiçikdir). Beləliklə, qeyri-müəyyənlik yaranır:

Yarığın genişliyindən yaranan mərkəzi difraksiya maksimumunun (birinci minimum) kənarı bucağa uyğundur.

(2-ci cildin düsturuna (129.5) bax). Beləliklə,

Beləliklə, (18.1) nəzərə alınmaqla, əlaqəni əldə edirik

(20.1) ilə uyğundur.

Bəzən qeyri-müəyyənlik əlaqəsi aşağıdakı şərhi alır: əslində mikrohissəcik koordinatların və momentlərin dəqiq qiymətlərinə malikdir, lakin belə bir hissəcik üçün nəzərə çarpan bir ölçmə cihazının təsiri bu dəyərləri dəqiq müəyyən etməyə imkan vermir. Bu təfsir tamamilə yanlışdır. O, mikrohissəciklərin difraksiyasının eksperimental olaraq müşahidə edilmiş hadisələri ilə ziddiyyət təşkil edir.

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi klassik mexanikanın anlayışlarının mikrohissəciklərə münasibətdə nə dərəcədə istifadə oluna biləcəyini, xüsusən də mikrohissəciklərin trayektoriyalarından hansı dərəcədə dəqiqliklə danışa biləcəyimizi göstərir. Trayektoriya boyunca hərəkət zamanın hər anında koordinatların və sürətin dəqiq müəyyən edilmiş dəyərləri ilə xarakterizə olunur. (20.1)-dəki hasili hasil yerinə qoyaraq, əlaqəni əldə edirik

Görürük ki, hissəciyin kütləsi nə qədər çox olarsa, onun koordinatlarında və sürətində qeyri-müəyyənlik bir o qədər azdır və buna görə də traektoriya anlayışı bir o qədər dəqiq tətbiq oluna bilər. Onsuz da yalnız 1 mikron ölçüsü olan bir makrohissəcik üçün dəyərlərdəki qeyri-müəyyənliklər bu kəmiyyətlərin ölçülməsinin dəqiqliyindən kənardadır, belə ki, onun hərəkəti traektoriya boyunca hərəkətdən praktiki olaraq fərqlənməyəcəkdir.

Müəyyən şəraitdə hətta mikrohissəciklərin hərəkəti də təqribən trayektoriya boyunca baş verən kimi qəbul edilə bilər. Nümunə olaraq, bir katod şüası borusunda bir elektronun hərəkətini nəzərdən keçirək. Bu hal üçün elektron koordinatının və impulsunun qeyri-müəyyənliklərini qiymətləndirək. Elektron şüasının ekranda izi radius düzənli olsun, borunun uzunluğu 10 sm düzən olsun (şək. 20.2). Onda elektron impulsu sürətləndirici gərginlik U ilə əlaqə ilə bağlıdır

Buna görə də gərginlik altında. B elektron enerjisi bərabərdir İmpulsun böyüklüyünü təxmin edək:

Beləliklə, nəhayət, (20.1) əlaqəsinə görə:

Alınan nəticə göstərir ki, katod şüası borusunda elektronun hərəkəti trayektoriya boyunca hərəkətdən praktiki olaraq fərqlənmir.

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi kvant mexanikasının əsas prinsiplərindən biridir. Təkcə bu əlaqə bir sıra mühüm nəticələri əldə etmək üçün kifayətdir, xüsusən də elektronun atomun nüvəsinə düşməməsi faktını izah etməyə, həmçinin ən sadə atomun ölçüsünü və minimumunu təxmin etməyə imkan verir. belə bir atomda elektronun mümkün enerjisi.

Elektron bir nöqtə nüvəsinə düşsəydi, onun koordinatları və impulsu qeyri-müəyyənlik prinsipi ilə uyğun gəlməyən müəyyən (sıfır) qiymətlər alacaqdı. Bu prinsip tələb edir ki, elektron koordinatının qeyri-müəyyənliyi və impulsun qeyri-müəyyənliyi şərtlə əlaqələndirilməlidir (20.1). Formal olaraq, enerji minimum olacaqdır. Bu dəyərləri (20.1) ilə əvəz edərək, əlaqəni əldə edirik

QEYRİYYƏT PRİNSİPİ:

Qeyri-müəyyənlik prinsipi - hər hansı bir kvant nəzəriyyəsinin əsas mövqeyi fiziki sistem onun ətalət mərkəzinin və impulsunun koordinatlarının eyni vaxtda dəqiq müəyyən edilmiş, dəqiq qiymətlər aldığı vəziyyətlərdə ola bilməz. Kəmiyyət baxımından qeyri-müəyyənlik prinsipi aşağıdakı kimi formalaşdırılır. Əgər ∆x sistemin ətalət mərkəzinin x koordinatının qiymətində qeyri-müəyyənlikdirsə və ∆p x impulsun p-nin x oxuna proyeksiyasında qeyri-müəyyənlikdirsə, onda bu qeyri-müəyyənliklərin hasili aşağıdakı ardıcıllıqla olmalıdır. böyüklüyü Plank sabitindən az olmayan ħ. Oxşar bərabərsizliklər sözdə hər hansı bir cüt üçün təmin edilməlidir kanonik konyuqasiya dəyişənləri, məsələn, y koordinatı və impuls p y-nin y oxuna proyeksiyası, z koordinatı və impulsun p z proyeksiyası üçün. Mövqe və impuls qeyri-müəyyənlikləri dedikdə, bu fiziki kəmiyyətlərin orta dəyərlərindən kənarlaşmalarını nəzərdə tuturuqsa, onda onlar üçün qeyri-müəyyənlik prinsipi aşağıdakı formaya malikdir:

∆p x ∆x ≥ ħ/2, ∆p y ∆y ≥ ħ/2, ∆p z ∆z ≥ ħ/2

Eyni ölçülü makroskopik kəmiyyətlərlə müqayisədə ħ-nin kiçikliyinə görə qeyri-müəyyənlik prinsipinin təsiri əsasən atomik (və daha kiçik) miqyaslı hadisələr üçün əhəmiyyətlidir və makroskopik cisimlərlə aparılan təcrübələrdə görünmür.

Qeyri-müəyyənlik prinsipindən belə çıxır ki, bərabərsizliyə daxil olan kəmiyyətlərdən biri nə qədər dəqiq müəyyən edilərsə, digərinin dəyəri bir o qədər az müəyyən edilir. Heç bir eksperiment eyni vaxtda belə dinamik dəyişənləri dəqiq ölçə bilməz; Üstəlik, ölçmələrdə qeyri-müəyyənlik eksperimental texnologiyanın qeyri-kamilliyi ilə deyil, maddənin obyektiv xüsusiyyətləri ilə əlaqələndirilir.

1927-ci ildə alman fiziki V.Heyzenberq tərəfindən kəşf edilən qeyri-müəyyənlik prinsipi atomdaxili hadisələrin qanunauyğunluqlarının aydınlaşdırılmasında və kvant mexanikasının qurulmasında mühüm addım oldu. Mikroskopik obyektlərin əsas xüsusiyyəti onların hissəcik-dalğa təbiətidir. Hissəciyin vəziyyəti tamamilə dalğa funksiyası (mikro obyektin (elektron, proton, atom, molekul) və ümumiyyətlə, istənilən kvant sisteminin vəziyyətini tam təsvir edən kəmiyyət) ilə müəyyən edilir. Dalğa funksiyasının sıfırdan fərqli olduğu fəzanın istənilən nöqtəsində hissəcik aşkar edilə bilər. Buna görə də, məsələn, koordinatları müəyyən etmək üçün aparılan təcrübələrin nəticələri ehtimal xarakteri daşıyır.

(Məsələn: elektronun hərəkəti öz dalğasının yayılmasını ifadə edir. Əgər siz elektron şüasını divardakı dar dəlikdən keçirsəniz: dar şüa oradan keçəcək. Amma bu dəliyi daha da kiçik etsəniz, elə ki, onun diametri elektronun dalğa uzunluğuna bərabərdir, onda elektronların şüası bütün istiqamətlərə dağılacaq və bu, aradan qaldırıla bilən divarın ən yaxın atomlarının səbəb olduğu bir sapma deyil: bu dalğa səbəbindən baş verir. elektronun təbiəti, divardan keçən elektronun yanında nə baş verəcəyini təxmin etməyə çalışın və onun divarı hansı nöqtədə kəsdiyini görəcəksən, ancaq onun eninə istiqamətdə hansı impuls olacağını deyə bilməzsən əldə etmək, əksinə, elektronun ilkin istiqamətdə belə və belə bir impulsla görünəcəyini dəqiq müəyyən etmək üçün dəliyi böyütmək lazımdır ki, elektron dalğası bütün istiqamətlərdə yalnız bir az fərqlənsin difraksiyaya Lakin o zaman elektron zərrəciyinin divardan keçdiyini dəqiq söyləmək mümkün deyil: dəlik genişdir. İmpulsun təyin edilməsinin dəqiqliyində nə qədər qazanırsansa, onun mövqeyinin bilinmə dəqiqliyində də itirirsən.

Bu Heisenberg qeyri-müəyyənlik prinsipidir. O, atomlarda hissəcik dalğalarını təsvir edən riyazi aparatın qurulmasında son dərəcə mühüm rol oynamışdır. Elektronlarla aparılan təcrübələrdə onun sərt təfsiri belədir: işıq dalğaları kimi elektronlar da ölçüləri həddindən artıq dəqiqliklə yerinə yetirmək cəhdlərinə müqavimət göstərirlər. Bu prinsip Bor atomunun mənzərəsini də dəyişir. Bəzi orbitlərdə elektronun impulsunu (və buna görə də onun enerji səviyyəsini) dəqiq müəyyən etmək mümkündür, lakin onun yeri tamamilə naməlum olacaq: onun harada olması barədə heç nə demək olmaz. Buradan aydın olur ki, elektronun aydın orbitini çəkmək və onun üzərində dairə şəklində işarələmək heç bir məna kəsb etmir.)

Nəticə etibarı ilə, bir sıra eyni təcrübələr apararkən, eyni koordinat tərifinə uyğun olaraq, eyni sistemlərdə hər dəfə fərqli nəticələr alınır. Bununla belə, bəzi dəyərlər digərlərindən daha çox olacaq, yəni daha tez-tez görünəcəklər. Müəyyən koordinat dəyərlərinin meydana gəlməsinin nisbi tezliyi kosmosdakı müvafiq nöqtələrdə dalğa funksiyasının modulunun kvadratına mütənasibdir. Buna görə də, çox vaxt əldə edilən koordinat dəyərləri dalğa funksiyasının maksimumuna yaxın olanlar olacaqdır. Lakin koordinat dəyərlərində bəzi səpilmələr, bəzi qeyri-müəyyənliklər (maksimumun yarısının eni sırası ilə) qaçılmazdır. Eyni şey impulsun ölçülməsinə də aiddir.

Beləliklə, klassik mənada koordinat və impuls anlayışlarını mikroskopik obyektlərə tətbiq etmək olmaz. Mikroskopik sistemi təsvir etmək üçün bu kəmiyyətlərdən istifadə edərkən, onların şərhinə kvant düzəlişləri daxil etmək lazımdır. Bu düzəliş qeyri-müəyyənlik prinsipidir.

Enerji ε və zaman t üçün qeyri-müəyyənlik prinsipi bir qədər fərqli məna daşıyır:

∆ε ∆t ≥ ħ

Əgər sistem stasionar vəziyyətdədirsə, qeyri-müəyyənlik prinsipindən belə nəticə çıxır ki, sistemin enerjisi, hətta bu vəziyyətdə belə, yalnız ħ/∆t-dən çox olmayan dəqiqliklə ölçülə bilər, burada ∆t-in müddətidir. ölçmə prosesi. Bunun səbəbi sistemin ölçü cihazı ilə qarşılıqlı əlaqəsidir və bu halda tətbiq edilən qeyri-müəyyənlik prinsipi o deməkdir ki, ölçmə cihazı ilə tədqiq olunan sistem arasında qarşılıqlı təsir enerjisi yalnız ħ/ dəqiqliyi ilə nəzərə alına bilər. ∆t.

Maddənin hissəciklərinin ikili korpuskulyar-dalğa təbiətinə uyğun olaraq mikrohissəcikləri təsvir etmək üçün ya dalğa, ya da korpuskulyar anlayışlardan istifadə olunur. Buna görə də onlara hissəciklərin bütün xassələrini və dalğaların bütün xüsusiyyətlərini aid etmək mümkün deyil. Təbii ki, klassik mexanika anlayışlarının mikrodünya obyektlərinə tətbiqində bəzi məhdudiyyətlər qoymaq lazımdır.

Klassik mexanikada maddi nöqtənin vəziyyəti (klassik hissəcik) koordinatların, impulsun, enerjinin və s. (sadalanan kəmiyyətlər dinamik dəyişənlər adlanır). Düzünü desək, müəyyən edilmiş dinamik dəyişənlər mikroobyektə təyin edilə bilməz. Lakin biz mikrohissəciklər haqqında məlumatı onların makroskopik cisimlər olan cihazlarla qarşılıqlı təsirini müşahidə edərək əldə edirik. Buna görə də, ölçmələrin nəticələri qaçılmaz olaraq makrocisimləri xarakterizə etmək üçün hazırlanmış terminlərlə ifadə edilir, yəni. dinamik xüsusiyyətlərin dəyərləri vasitəsilə. Müvafiq olaraq, dinamik dəyişənlərin ölçülmüş dəyərləri mikrohissəciklərə aid edilir. Məsələn, elektronun filan enerji dəyərinə malik olduğu vəziyyətdən və s.

Hissəciklərin dalğa xassələri və yalnız bir hissəcik üçün ehtimal təyin etmək qabiliyyəti bunda qalsın kosmosdakı nöqtə anlayışların özlərinə səbəb olur hissəciklərin koordinatları və sürəti (və ya impuls) -də istifadə oluna bilər kvant mexanikası məhdud dərəcədə. Ümumiyyətlə, bunda təəccüblü heç nə yoxdur. Klassik fizikada koordinat anlayışı bəzi hallarda cismin kosmosdakı mövqeyini təyin etmək üçün də yararsızdır. Məsələn, bunu deməyin mənası yoxdur elektromaqnit dalğası fəzada müəyyən bir nöqtədə yerləşir və ya dalğa səthinin ön hissəsinin su üzərindəki mövqeyi koordinatlarla xarakterizə olunur. x, y, z.

Kvant mexanikasında tədqiq edilən hissəciklərin xassələrinin dalğa-korpuskul ikililiyi ona gətirib çıxarır ki, bir sıra hallarda qeyri-mümkün olduğu ortaya çıxır , klassik mənada, eyni zamanda hissəciyi kosmosdakı mövqeyi ilə xarakterizə edin (koordinatları) və sürət (və ya impuls). Beləliklə, məsələn, bir elektron (və hər hansı digər mikrohissəcik) eyni vaxtda dəqiq koordinat qiymətlərinə malik ola bilməz. x və impulsun komponentləri. Qeyri-müəyyənlik dəyərləri x və əlaqəni təmin edin:

.

(4.2.1)

(4.2.1)-dən belə çıxır ki, bir kəmiyyətin qeyri-müəyyənliyi nə qədər kiçik olarsa ( x və ya ), digərinin qeyri-müəyyənliyi nə qədər böyük olarsa. Ola bilsin ki, dəyişənlərdən birinin dəqiq dəyəri () olduğu bir vəziyyət var, digər dəyişən isə tamamilə qeyri-müəyyən olur (- onun qeyri-müəyyənliyi sonsuzluğa bərabərdir) və əksinə. Beləliklə, mikrohissəcik üçün heç bir vəziyyət yoxdur,onun koordinatları və impulsunun eyni vaxtda dəqiq dəyərləri olacağı. Bu, hər hansı əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə mikro-obyektin koordinatının və impulsunun eyni vaxtda ölçülməsinin faktiki qeyri-mümkünlüyünü nəzərdə tutur.

(4.2.1) ilə oxşar əlaqə üçün uyğundur y və üçün z və , həmçinin digər kəmiyyət cütləri üçün (klassik mexanikada belə cütlər adlanır) kanonik birləşir ). Hərflərlə kanonik birləşmiş kəmiyyətləri ifadə etmək A Və B, yaza bilərik:

.

(4.2.2)

Münasibət (4.2.2) adlanır nisbət qeyri-müəyyənliklər miqdarlar üçün A Və B. Bu əlaqə 1927-ci ildə Verner Heisenberg tərəfindən təqdim edilmişdir.

Bəyanatda deyilir iki konjugat dəyişənin qiymətlərinin qeyri-müəyyənliklərinin məhsulu Plank sabitindən az ola bilməzh,çağırdı Heisenberg qeyri-müəyyənlik əlaqəsi .

Enerji və vaxt var kanonik birləşən kəmiyyətlər. Beləliklə, qeyri-müəyyənlik əlaqəsi onlar üçün də etibarlıdır:

.

(4.2.3)

Bu əlaqə o deməkdir ki, enerjinin dəqiqliklə müəyyən edilməsi ən azı bərabər zaman intervalı almalıdır

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi hissəciyin hərəkətinin klassik xüsusiyyətlərindən (koordinat, impuls) və dalğa xassələrinin mövcudluğundan eyni vaxtda istifadə etməklə əldə edilmişdir. Çünki klassik mexanikada koordinatların və impulsun ölçülməsinin istənilən dəqiqliklə aparıla biləcəyi qəbul edilir, onda qeyri-müəyyənlik əlaqəsi buna görə də klassik mexanikanın mikroobyektlərə tətbiqi üzrə kvant məhdudiyyəti.

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsi mikrohissəciklərə münasibətdə klassik mexanikanın anlayışlarından nə dərəcədə istifadə etməyin mümkün olduğunu, xüsusən də mikrohissəciklərin trayektoriyalarından hansı dərəcədə dəqiqliklə danışmaq olar. Trayektoriya boyunca hərəkət zamanın hər anında koordinatların və sürətin dəqiq müəyyən edilmiş dəyərləri ilə xarakterizə olunur. (4.2.1) məhsulunu əvəz edərək, əlaqəni əldə edirik:

.

(4.2.4)

Bu münasibətdən belə nəticə çıxır hissəcik kütləsi nə qədər böyük olarsa, onun koordinatlarının və sürətinin daha az qeyri-müəyyənliyi,Nəticə etibarilə, trayektoriya anlayışı bu hissəciyə daha böyük dəqiqliklə tətbiq oluna bilər. Beləliklə, məsələn, artıq çəkisi kq və xətti ölçüləri m olan, koordinatı ölçülərinin (m) 0,01 dəqiqliyi ilə təyin olunan bir toz hissəciyi üçün, sürətin qeyri-müəyyənliyi (4.2.4),

olanlar. toz zərrəsinin hərəkət edə biləcəyi bütün sürətlərdə təsirlənməyəcəkdir.

Beləliklə, makroskopik üçün cisimlər, onların dalğa xassələri heç bir rol oynamır; koordinatları və sürətləri olduqca dəqiq ölçmək olar. Bu o deməkdir ki, klassik mexanikanın qanunlarından makrocisimlərin hərəkətini mütləq əminliklə təsvir etmək üçün istifadə etmək olar.

Fərz edək ki, elektron şüası ox boyunca hərəkət edir x m/s sürətlə, 0,01% (m/s) dəqiqliklə müəyyən edilir. Elektron koordinatının təyin edilməsinin dəqiqliyi nədir?

(4.2.4) düsturu ilə əldə edirik:

.

Beləliklə, elektronun mövqeyi millimetrin mində bir dəqiqliyi ilə müəyyən edilə bilər. Belə dəqiqlik bizə elektronların müəyyən trayektoriya üzrə hərəkətindən danışmağa, başqa sözlə, onların hərəkətlərini klassik mexanika qanunları ilə təsvir etməyə imkan verir.

Qeyri-müəyyənlik əlaqəsini hidrogen atomunda hərəkət edən elektrona tətbiq edək. Fərz edək ki, elektron koordinatının qeyri-müəyyənliyi m-dir (atomun özünün ölçüsünə görə), onda (4.2.4) uyğun olaraq,

.

Klassik fizikanın qanunlarından istifadə etməklə göstərmək olar ki, elektron təqribən m radiuslu dairəvi orbitdə nüvə ətrafında hərəkət etdikdə onun sürəti m/s olur. Beləliklə, sürətin qeyri-müəyyənliyi sürətin özündən bir neçə dəfə böyükdür. Aydındır ki, bu halda atomda elektronların müəyyən trayektoriya üzrə hərəkətindən danışa bilmərik. Başqa sözlə, klassik fizikanın qanunları atomdakı elektronların hərəkətini təsvir etmək üçün istifadə edilə bilməz.