Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: "Что можно нового открыть в математике?" А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

Думаю, что этот материал, опубликованный в блоге интересен не только студентам, но и школьникам, серьёзно занимающимся математикой. Есть над чем подумать, выбирая темы и направления исследовательских работ.

Лев Валентинович Руди, автор статьи «Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема»,прочитав публикацию об одном из 100 гениев современности математике , который был назван гением благодаря своему решению теоремы Ферма, предложил опубликовать свое альтернативное мнение на эту тему. На что мы охотно откликнулись и публикуем его статью без сокращений.

Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема

В этом году исполнилось 410 лет со дня рождения великого французского математика Пьера Ферма. Академик В.М. Тихомиров пишет о П. Ферма: «Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если говорят «ферматист», значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601-1665), одному из самых светлых умов Франции.

П. Ферма - человек удивительной судьбы: один из величайших математиков мира, он не был «профессиональным» математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь, и именно эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье.

В бумагах и переписке Ферма сформулировал немало красивых утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно таких недоказанных утверждений становилось все меньше и, наконец, осталось только одно - его загадочная Великая теорема!

Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит о многом независимо от его Великой теоремы. Он был одним из самых проницательных умов своего времени, его считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в развитие аналитической геометрии, математического анализа. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности» (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).

Странная, однако, «признательность»!? Математический мир и просвещенное человечество проигнорировали 410-й юбилей Ферма. Все было, как всегда, тихо, мирно, буднично... Не было слышно фанфар, хвалебных речей, тостов. Из всех математиков мира только Ферма «удостоился» такой высокой чести, что при слове «ферматист», все понимают, что речь идет о полудурке, который «до безумия одержим несбыточной идеей» найти утерянное доказательство теоремы Ферма!

В своем замечании на полях книги Диофанта Ферма писал: «Я нашел поистине удивительное доказательство своему утверждению, но поля книги узки, чтобы его уместить». Так это же был «момент слабости математического гения XVII века». Этот тупица не понимал, что «ошибается», а, скорее всего, он просто «врал», «лукавил».

Если Ферма утверждал, значит, доказательство у него было!? Уровень знаний был не выше, чем у современного десятиклассника, но если какой-то инженер пытается найти это доказательство, то его высмеивают, объявляют безумцем. И совсем другое дело, если американский 10-летний мальчик Э. Уайлс «принимает в качестве исходной гипотезы, что Ферма не мог знать намного больше математики, чем он», и начинает «доказывать» эту «недоказуемую теорему». На такое, естественно, способен только «гений».

Случайно я попал на сайт (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), где студентка Читинского ГТУ Кушенко В.В. пишет о Ферма: «...Маленький городок Бомон и все его пять тысяч жителей не в силах осознать, что здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики... Ферма почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на Луизе де Лонг, дочери советника парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку «де». Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни...

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал математические кружки, не имел учеников и не печатался при жизни... Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает 12 января 1665 года».

Я был потрясен, шокирован... А кто был первым «математиком-алхимиком»!? Что это за «праздные задачи грядущих столетий»!? «Чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник»... Откуда у этих зеленых юнцов и юниц столько пренебрежения, презрения, цинизма к человеку, жившему за 400 лет до них!? Какое кощунство, вопиющая несправедливость!? Но, не сами же юнцы все это придумали!? Их надоумили математики, «цари наук», то самое «человечество», которое «лукавый сфинкс» Ферма «замучил своими загадками».

Однако, Ферма не может нести какую-либо ответственность за то, что спесивые, но бездарные потомки триста с лишним лет сшибали свои рога о его школьную теоремку. Унижая, оплевывая Ферма, математики пытаются спасти свою честь мундира!? Но никакой «чести» давно нет, даже «мундира» нет!? Детская задачка Ферма стала величайшим позором «отборной, доблестной» армии математиков мира!?

«Цари наук» опозорились тем, что семь поколений математических «светил» так и не смогли доказать школьную теоремку, которую доказали и П. Ферма, и арабский математик ал-Худжанди за 700 лет до Ферма!? Они опозорились и тем, что вместо признания своих ошибок, ославили П. Ферма обманщиком и стали раздувать миф о «недоказуемости» его теоремы!? Математики опозорились и тем, что уже целое столетие остервенело травят математиков-любителей, «бьют по голове своих братьев меньших». Эта травля стала самым позорным, после утопления Пифагором Гиппаса, деянием математиков во всей истории научной мысли! Они опозорились и тем, что под видом «доказательства» теоремы Ферма, подсунули просвещенному человечеству сомнительное «творение» Э. Уайлса, которое «не понимают» даже самые яркие светила математики!?

410-летний юбилей со дня рождения П. Ферма - это, несомненно, достаточно веский довод для того, чтобы математики, наконец, образумились и перестали бы наводить тень на плетень и восстановили бы доброе, честное имя великого математика. П. Ферма «не обнаружил никаких сознательных претензий на место в истории», но эта своенравная и капризная Дама сама внесла его на руках в свои анналы, зато многих рьяных и ретивых «претендентов» она выплюнула, как изжеванную жвачку. И ничего с этим не поделаешь, всего одна из многих его красивых теорем навечно вписала имя П. Ферма в историю.

Но это уникальное творение Ферма и само уже целое столетие загнано в «подполье», объявлено «вне закона», стало самой презренной и ненавистной задачей во всей истории математики. Но настало время этому «гадкому утенку» математики превращаться в прекрасного лебедя! Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора.

Такая уникальная, изящная задача просто не может не иметь и красивые, изящные решения. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства. Они есть, постепенно их станет больше!? Я считаю, что 410-летний юбилей П. Ферма - это самый подходящий повод или случай, для того, чтобы математикам-профессионалам образумиться и прекратить, наконец, эту бессмысленную, абсурдную, хлопотную и абсолютно бесполезную «блокаду» любителей!?

1. 1 Murad :

   Мы равенство Zn = Xn + Yn считали Диофанта уравнение или великой теоремой Ферма, а это есть решение уравнения (Zn- Xn) Xn = (Zn – Yn) Yn. Тогда Zn =-(Xn + Yn) есть решение уравнения (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Эти уравнения и решения связаны со свойствами целых чисел и действия над ними. Значит, не знаем свойства целых чисел?! Обладая такими ограниченными знаниями не раскроем истину.
   Рассмотрим решения Zn = +(Xn + Yn) и Zn =-(Xn + Yn), когда n = 1. Целые числа + Z образуются с помощью 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Они делиться на 2 целые числа +X – четные, последние правые цифры: 0, 2, 4, 6, 8 и +Y – нечетные, последние правые цифры: 1, 3, 5, 7, 9, т.е. + X = + Y. Количество Y = 5 – нечетных и X = 5 – четных чисел равно: Z = 10. Удовлетворяет уравнению: (Z – X) X = (Z – Y) Y, а решение +Z = +X + Y= +(X + Y).
   Целые числа -Z состоят из объединения -X – четные и -Y – нечетные, и удовлетворяет уравнению:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, а решение -Z = – X – Y = – (X + Y).
   Если Z/X = Y или Z / Y = X, то Z = XY; Z / -X = -Y или Z / -Y = -X, то Z = (-X)(-Y). Деление проверяется умножением.
   Однозначные положительные и отрицательные числа состоят из 5 нечетных и 5 нечетных чисел.
   Рассмотрим случай n = 2. Тогда Z2 = X2 + Y2 является решения уравнения (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 и Z2 = -(X2 + Y2) есть решение уравнения (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Мы Z2 = X2 + Y2 считали теоремой Пифагора и тогда решение Z2 = -(X2 + Y2) является этой же теоремой. Знаем, что диагональ квадрата делить его на 2 части, где диагональ является гипотенузой. Тогда справедливы равенства: Z2 = X2 + Y2, и Z2 = -(X2 + Y2) где X и Y катеты. И еще решения R2 = X2 + Y2 и R2 =- (X2 + Y2) являются круги, центры являются началом квадратной системы координат и с радиусом R. Их можно записать в виде (5n)2 = (3n)2 + (4n)2 , где n – целые положительные и отрицательные, и являются 3 последовательные числа. Также решениями являются 2-разрядные числа XY, которые начинается с 00 и заканчивается 99 и есть 102 =10х10 и считать 1 век = 100 годов.
   Рассмотрим решения, когда n = 3. Тогда Z3 = X3 + Y3 решения уравнения (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   3 -разрядные числа XYZ начинается с 000 и заканчивается 999 и есть 103 =10х10х10 =1000 годов=10веков
   Из 1000 кубиков одинакового размера и цвета можно составить рубик порядка 10. Рассмотрим рубик порядка +103=+1000 – красный и -103=-1000 – синий. Они состоят из 103= 1000 кубиков. Если разложим, и кубики поставить в один ряд или друг на друга, без промежутков, то получим горизонтальный или вертикальный отрезок длины 2000. Рубик – большой куб, покрыто маленькими кубами, начиная с размера 1бутто = 10ст.-21, и в него нельзя добавить или убавить одного куба.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Каждое целое число 1. Сложить 1(единицы) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, а произведения:
   111111111 х 111111111= 12345678987654321; 1111111111 х 111111111= 123456789987654321.
   0111111111х1111111110= 0123456789876543210; 01111111111х1111111110= 01234567899876543210.
   Эти операции можно выполнить 20-разрядных калькуляторах.
   Известно, что +(n3 – n) всегда делится на +6, а – (n3 – n) делится на -6. Знаем, что n3 – n = (n-1)n(n+1). Это есть 3 последовательные числа (n-1)n(n+1), где n – четное, то делится на 2, (n-1) и (n+1) нечетные, делятся на 3. Тогда (n-1)n(n+1) всегда делится на 6. Если n=0, то (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, то(n-1)n(n+1)=(19)(20)(21).
   Знаем, что 19 х 19 = 361. Это означает, что одного квадрата окружают 360 квадратов и тогда одного куба окружают 360 кубов. Выполняется равенство: 6 n – 1 + 6n. Если n=60, то 360 – 1 + 360, а n=61, то 366 – 1 + 366.
   Из вышеуказанных утверждений вытекают обобщения:
   n5 – 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 – 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) х (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! = n! (n +1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n+1)2.
   Если 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 х 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Любое целое число n есть степени 10, имеет: – n и +n, +1/ n и -1/ n, нечетное и четное:
   - (n + n +…+ n) =-n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Ясно, что если любое целое число сложить само себя, то увеличиться в 2 раза, а произведение будет квадратом: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Это считали теоремой Виета – ошибка!
   Если в данное число добавить и отнять число b, то сумма не меняется, а произведение меняется, например:
   X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a –b) = a2- b2.
   X = a +√b , Y = a -√b , X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
   X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
   X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Если вместо букв a и b поставить целые числа, то получим парадоксы, абсурды, и недоверия математике.

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...



Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.


То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?




И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):


А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:





А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.


Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:


Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау











В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.




В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.







Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?






На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда... - » Задачи человечества

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИКИ, НЕ РЕШЕННЫЕ ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ

Задачи Гильберта

23 важнейших проблем математики были представлены величайшим немецким математиком Давидом Гильбертом на Втором Международном конгресе математиков в Париже в 1990 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, вариационное исчисление и теорию вероятностей, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев

Задачи Ландау

До сих пор существует много открытых вопросов, связанных с простыми числами (простое число - это число, которое имеет отлько два делителя: единицу и само это число). Наиболее важные вопросы были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Междунанародном математическом конгресе:

Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?

Вторая проблема Ландау : бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Третья проблема Ландау (гипотеза Лежандра): верно ли, что для всякого натурального числа n между и всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау : бесконечно ли множество простых чисел вида , где n — натуральное число?

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems)

Это семь математических задач, з а решение каждой из которых инcтитут Клея предложил приз в 1 000 000 долларов США. Вынося на суд математиков эти семь задач, иститут Клея сравнил их с 23 задачами Д.Гильберта, которые оказали большое влияние на на математику ХХ века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия. По состоянию на декабрь 2012 года только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена. Приз за её решение присуждён российскому математику Григорию Перельману, который от него отказался.

Вот список этих семи задач :

№1. Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классуц NP, второго — классу Р. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

№2. Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы комогологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

№3. Гипотеза Пуанкаре (доказана Г.Я.Перельманом)

Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий 3D «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г.Я.Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

№4. Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта.

№5. Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для четырехмарного пространства существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

№6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

№7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.