В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее - в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а - с)² = а² - 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² - ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу "Сумма кубов", которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а - с)³ = а³ - 3а²с + 3ас² - с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов - формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 - с 3 = (а - с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную "Разность кубов" (или "Куб разности"), которае значительно упростит вычисления.

Разность квадратов

Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.

Для этого вспомним следующее правило:

Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.

Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:

Итого, получим:

То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.

Пример 1

Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$

\[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]

\[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Сумма кубов

Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.

Вынесем за скобки общие множители:

Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:

Итого, получим:

То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

Пример 2

Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

\[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]

Используя формулу разности квадратов, получим:

\[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Разность кубов

Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.

Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.

Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:

Вынесем за скобки общие множители:

Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:

Итого, получим:

То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

Пример 3

Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

\[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]

Используя формулу разности квадратов, получим:

\[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов

Пример 4

Разложить на множители.

а) ${(a+5)}^2-9$

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Решение:

а) ${(a+5)}^2-9$

\[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]

Применяя формулу разности квадратов, получим:

\[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]

Запишем данное выражение в виде:

Применим формулу кумы кубов:

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Запишем данное выражение в виде:

\[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]

Применим формулу кумы кубов:

\[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]