Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½ = 1/8 что в сущности тоже самое что и

Буквенное возведение в степень x^y

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени (т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень, т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей - это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Возведение алгебраической дроби в степень

1. Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1. .

Как видно из примера, возведение дроби в степень - это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2. а) , б) - минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

- произведение степеней;

- деление степеней;

Возведение степени в степень;

Степень произведения.

Пример 3. - это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: не существует.

2. Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

Пример 5. Возвести дробь в степень .

Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

.

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Пример 6. Выполнить действия .

Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

Пример 7. Выполнить действия .

Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

Пример 8. Выполнить действия .

Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

3. Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)

Пример 9. Выполнить действия .

Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками - в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

Пример 10. Выполнить действия .

Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½ = 1/8 что в сущности тоже самое что и

(1/2)^3 = 1/8.

Буквенное возведение в степень x^y

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 - степени (т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень, т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ - область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Пришло время ознакомиться с возведением алгебраической дроби в степень . Это действие с алгебраическими дробями по смыслу степени сводится к умножению одинаковых дробей. В этой статье мы дадим соответствующее правило, и рассмотрим примеры возведения алгебраических дробей в натуральную степень.

Навигация по странице.

Правило возведение алгебраической дроби в степень, его доказательство

Прежде чем говорить о возведении в степень алгебраической дроби, не помешает вспомнить, что представляет собой произведение одинаковых множителей, стоящих в основании степени, а их количество определяется показателем. Например, 2 3 =2·2·2=8 .

А теперь вспомним правило возведения в степень обыкновенной дроби – для этого нужно отдельно возвести в указанную степень числитель, и отдельно – знаменатель. К примеру, . Указанное правило распространяется на возведение алгебраической дроби в натуральную степень.

Возведение алгебраической дроби в натуральную степень дает новую дробь, в числителе которой указанная степень числителя исходной дроби, а в знаменателе – степень знаменателя. В буквенном виде этому правилу соответствует равенство , где a и b – произвольные многочлены (в частных случаях одночлены или числа), причем b – ненулевой многочлен, а n – .

Доказательство озвученного правила возведения алгебраической дроби в степень основано на определении степени с натуральным показателем и на том, как мы определили умножение алгебраических дробей : .

Примеры, решения

Полученное в предыдущем пункте правило сводит возведение алгебраической дроби в степень к возведению в эту степень числителя и знаменателя исходной дроби. А так как числителем и знаменателем исходной алгебраической дроби являются многочлены (в частном случае одночлены или числа), то исходное задание сводится к возведению в степень многочленов . После выполнения этого действия будет получена новая алгебраическая дробь, тождественно равная указанной степени исходной алгебраической дроби.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Возведите алгебраическую дробь в квадрат.

Решение.

Запишем степень . Теперь обращаемся к правилу возведения алгебраической дроби в степень, оно нам дает равенство . Осталось преобразовать полученную дробь к виду алгебраической дроби, выполнив возведение одночленов в степень . Так .

Обычно при возведении алгебраической дроби в степень ход решения не поясняют, а решение записывают кратко. Нашему примеру отвечает запись .

Ответ:

.

Когда в числителе и/или в знаменателе алгебраической дроби находятся многочлены, особенно двучлены, то при ее возведении в степень целесообразно использовать соответствующие формулы сокращенного умножения .

Пример.

Возведите алгебраическую дробь во вторую степень.

Решение.

По правилу возведения дроби в степень имеем .

Для преобразования полученного выражения в числителе воспользуемся формулой квадрата разности , а в знаменателе – формулой квадрата суммы трех слагаемых :

Ответ:

В заключение отметим, что если мы возводим в натуральную степень несократимую алгебраическую дробь, то в результате тоже получится несократимая дробь. Если же исходная дробь сократима, то перед возведением ее в степень целесообразно выполнить сокращение алгебраической дроби , чтобы не выполнять сокращение после возведения в степень.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислите значение степени .

Решение.

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Пример.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Решение.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Ответ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).