Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.
Определение параллелограмма
Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.
Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.
Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.
Стороны и углы: особенности соотношения
Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:
- Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
- Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.
Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).
Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.
Характеристики диагоналей фигуры
Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.
Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.
AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.
Особенности смежных углов
У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Свойства биссектрисы:
- , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
- противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
- треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.
Определение характерных черт параллелограмма по теореме
Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.
Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.
Вычисление площади фигуры
Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.
Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:
Другие способы нахождения площади
Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.
,
Sпр-ма - площадь;
a и b - его стороны
α - угол между отрезками a и b.
Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.
Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.
Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.
Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:
.
Применение в векторной алгебре
Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.
Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .
Формулы для вычисления параметров параллелограмма
Тождества приведены при следующих условиях:
- a и b, α - стороны и угол между ними;
- d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
- h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр | Формула |
Нахождение сторон | |
по диагоналям и косинусу угла между ними | |
по диагоналям и стороне | |
через высоту и противоположную вершину | |
Нахождение длины диагоналей | |
по сторонам и величине вершины между ними | |
по сторонам и одной из диагоналей | ВыводПараллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни. |
Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.
Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.
Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.
Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:
1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);
Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.
Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:
Модуль вектора обозначается так:
или - модуль вектора ,
или - модуль вектора ,
или - модуль вектора ,
На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.
2.2. Действия с векторами
Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.
2.2.1 Сравнение векторов
Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:
равные модули,
одинаковые направления.
Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:
равные модули,
противоположные направления.
2.2.2 Сложение векторов
Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.
Пусть заданы два вектора и(см. рис.). Найдем сумму этих векторов+=. Величиныи- это составляющие векторы, вектор- это результирующий вектор.
Правило параллелограмма для сложения двух векторов:
1. Нарисуем вектор.
2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора; угол между векторами равен(см. рисунок).
3. Через конец вектора .
4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору.
Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и.
5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора.
6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:
начало вектора совпадает с началом вектораи началом вектора(направление векторапоказано на рисунке).
Правило треугольника для сложения двух векторов:
1. Нарисуем составляющие векторы итак, что начало векторасовпадает с концом вектора. При этом угол между векторами равен.
2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора, а конец совпадает с концом вектора.
3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:
2.2.3 Вычитание векторов
Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:
Найти разность
вектора
и вектора- это тоже самое, что найти сумму вектораи вектора
,
противоположного вектору.
Мы можем найти вектор разности
геометрически по правилу параллелограмма
или по правилу треугольника (см. рис.).
Правило параллелограмма.
Стороны параллелограмма
- вектор
и вектор -;
диагональ параллелограмма - вектор
разности
.
Правило треугольника.
Вектор разности соединяет конец вектораи конец вектора(начало векторасовпадает с концом вектора).
2.2.4 Умножение вектора на скаляр
Пусть заданы вектор и скалярn. Найдем произведение вектора и скалярного вектораn.
В
результате умножения вектора на скаляр
мы получаем новый вектор
:
Направление
вектора
такое же, как направление векторапри
.
Направление
вектора
противоположно направлению векторапри
.
Модуль
вектора
вn
раз больше модуля вектора,
если
.
2.3. Скалярное и векторное произведения
2.3.1 Скалярное произведение
Из двух векторов иможно образовать скаляр по правилу:
Это
выражение называется скалярным
произведением векторов
и
,
или
.
Следовательно,
. =
.
По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
,
2)
,
3)
2.3.2 Векторное произведение
Из двух векторов
и
можно
образовать новый вектор:
, где
Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:
.
Эта операция
называется векторным произведением
векторов
ии обозначается одним из символов
или
.
Также общеизвестна формула
,
где - угол между векторамии.
Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называетсяправилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).
В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.
Сложение сил производят, используя правило сложения векторов. Или так называемое правило параллелограмма. Так как сила изображается в виде вектора, то есть это отрезок, длинна которого показывает числовое значение силы, а направление указывает направление действия силы. То складывают силы, то есть вектора, с помощью геометрического суммирования векторов.
С другой стороны сложение сил это нахождение равнодействующей нескольких сил. То есть когда на тело действует несколько разных сил. Разных как по величине, так и по направлению. Необходимо найти результирующую силу, которая буде действовать на тело в целом. В этом случае можно силы складывать попарно использую правило параллелограмма. Сначала складываем две силы. К их равнодействующей прибавляем еще одну. И так до тех пор, пока не сложатся все силы.
Рисунок 1 - Правило параллелограмма.
Правило параллелограмма можно описать так. Для двух сил выходящих из одной точки, и имеющих между собой угол отличный от нуля или 180 градусов. Можно построить параллелограмм. Путем переноса начала одного вектора в конец другого. Диагональ этого параллелограмма и будет равнодействующей этих сил.
Но также можно использовать и правило многоугольника сил. В этом случае выбирается начальная точка. Из этой точки выходит первый вектор силы действующей на тело, далее к его концу добавляется следующий вектор, методом параллельного переноса. И так далее до тех пор, пока не будет получен многоугольник сил. В конце концов, равнодействующей всех сил в такой системе будет вектор, проведенный из начальной точки в конец последнего вектора.
Рисунок 2 - Многоугольник сил.
В случае если тело движется под действием нескольких сил приложенных к разным точкам тела. Можно считать, что оно движется под действием равнодействующей силы приложенной к центру масс данного тела.
Наряду со сложением сил, для упрощения расчетов движения, применяется и метод разложения сил. Как видно из названия, суть метода заключается в том, что одну силу, действующую на тело, раскладывают на составляющие силы. В этом случае составляющие силы оказывают на тело такое же воздействие, как и изначальная сила.
Разложение сил также производится по правилу параллелограмма. Они должны выходить из одной точки. Из той же точки, из которой выходит разлагаемая сила. Как правило, разлагаемую силу представляют в виде проекций на перпендикулярные оси. К примеру, как сила тяжести и сила трения, действующие на брусок, лежащий на наклонной плоскости.
Рисунок 3 - Брусок на наклонной плоскости.
Для того чтобы совершить операцию сложения векторов, существует несколько способов, которые, в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов, могут быть более удобны в применении. Давайте рассмотрим правила сложения векторов:
Правило треугольника
Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два вектора х, y нужно построить вектор х так, чтобы его начало совпадало с концом вектора у. Тогда их суммой будет являться значение вектора z, при этом начало вектора z будет совпадать с началом вектора х, а конец - с концом вектора у.
Правило треугольника помогает, в случае если количество векторов, которые необходимо просуммировать, не более двух.
Правило многоугольника
Правило многоугольника наиболее простое и удобно для сложения любого количества векторов на плоскости или в пространстве. Суть правила заключается в следующем: при сложении векторов нужно последовательно пристраивать их один за другим, так чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, при этом вектор, который замыкает образовавшуюся кривую, является суммой слагаемых векторов. Наглядно это отображает равенство w= x + y + z, где вектор w является суммой указанных векторов. Кроме того, необходимо отметить, что от перемены мест слагаемых векторов сумма не меняется, то есть (x +y) + z = x + (y +z).
Правило параллелограмма
Правило параллелограмма используется для сложения векторов, которые исходят из одной точки. В этом правиле говорится о том, что суммой векторов x и y, имеющих начало в одной точке, будет являться третий вектор z, исходящий также из этой точки и при этом векторы x и y являются сторонами параллелограмма, а вектор z - его диагональю. В этом случае также не имеет значения, в каком порядке будут складываться векторы.
Таким образом, правило многоугольника, правило треугольника и правило параллелограмма помогают решать задачи сложения векторов абсолютно любой сложности, как на плоскости, так и в пространстве.
Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.
Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.
Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.
Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:
1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);
Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.
Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:
Модуль вектора обозначается так:
или - модуль вектора ,
или - модуль вектора ,
или - модуль вектора ,
На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.
2.2. Действия с векторами
Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.
2.2.1 Сравнение векторов
Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:
равные модули,
одинаковые направления.
Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:
равные модули,
противоположные направления.
2.2.2 Сложение векторов
Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.
Пусть заданы два вектора и(см. рис.). Найдем сумму этих векторов+=. Величиныи- это составляющие векторы, вектор- это результирующий вектор.
Правило параллелограмма для сложения двух векторов:
1. Нарисуем вектор.
2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора; угол между векторами равен(см. рисунок).
3. Через конец вектора .
4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору.
Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и.
5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора.
6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:
начало вектора совпадает с началом вектораи началом вектора(направление векторапоказано на рисунке).
Правило треугольника для сложения двух векторов:
1. Нарисуем составляющие векторы итак, что начало векторасовпадает с концом вектора. При этом угол между векторами равен.
2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора, а конец совпадает с концом вектора.
3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:
2.2.3 Вычитание векторов
Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:
Найти разность
вектора
и вектора- это тоже самое, что найти сумму вектораи вектора
,
противоположного вектору.
Мы можем найти вектор разности
геометрически по правилу параллелограмма
или по правилу треугольника (см. рис.).
Правило параллелограмма.
Стороны параллелограмма
- вектор
и вектор -;
диагональ параллелограмма - вектор
разности
.
Правило треугольника.
Вектор разности соединяет конец вектораи конец вектора(начало векторасовпадает с концом вектора).
2.2.4 Умножение вектора на скаляр
Пусть заданы вектор и скалярn. Найдем произведение вектора и скалярного вектораn.
В
результате умножения вектора на скаляр
мы получаем новый вектор
:
Направление
вектора
такое же, как направление векторапри
.
Направление
вектора
противоположно направлению векторапри
.
Модуль
вектора
вn
раз больше модуля вектора,
если
.
2.3. Скалярное и векторное произведения
2.3.1 Скалярное произведение
Из двух векторов иможно образовать скаляр по правилу:
Это
выражение называется скалярным
произведением векторов
и
,
или
.
Следовательно,
. =
.
По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
,
2)
,
3)
2.3.2 Векторное произведение
Из двух векторов
и
можно
образовать новый вектор:
, где
Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:
.
Эта операция
называется векторным произведением
векторов
ии обозначается одним из символов
или
.
Также общеизвестна формула
,
где - угол между векторамии.
Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называетсяправилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).
В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.