Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Сумма арифметической прогрессии.

Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.

Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.

Формула суммы выглядит просто:

Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.

S n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.)

a 1 - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.

a n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.

n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.

Определимся с понятием последнего члена a n . Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)

Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!)

В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.

Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n , определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)

Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.

Прежде всего, полезная информация:

Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.

1. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.

Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a 1 , последний член a n , да номер последнего члена n.

Где взять номер последнего члена n ? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a n в формулу будем подставлять a 10 , а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.

Осталось определить a 1 и a 10 . Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак.

a 1 = 2·1 - 3,5 = -1,5

a 10 =2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10 .

Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:

Вот и все дела. Ответ: 75.

Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:

2. Дана арифметическая прогрессия (a n), разность которой равна 3,7; a 1 =2,3. Найти сумму первых 15 её членов.

Сразу пишем формулу суммы:

Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:

a 15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1

Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:

Ответ: 423.

Кстати, если в формулу суммы вместо a n просто подставим формулу n-го члена, получим:

Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Как видим, тут не требуется n-й член a n . В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)

Теперь задание в виде краткой шифровки):

3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.

Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!?

Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым ? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут...

Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)

Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:

А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они.

Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.

Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:

Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:

a 1 = 12.

a 30 = 99.

S n = S 30 .

Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:

Ответ: 1665

Ещё один тип популярных задачек:

4. Дана арифметическая прогрессия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.

Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула.

Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?)

Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S 1-19 , да сложим с суммой членов второй части S 20-34 , получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S 1-34 . Вот так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Отсюда видно, что найти сумму S 20-34 можно простым вычитанием

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?

Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:

d = 1,5.

a 1 = -21,5.

Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:

a 19 = -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5

a 34 = -21,5 +(34-1)·1,5 = 28

Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Ответ: 262,5

Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S 20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S 1-19 . А уж потом определили и S 20-34 , отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.)

В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)

Практический совет:

При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.

Формулу n-го члена:

Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.

А теперь задачи для самостоятельного решения.

5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.

Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.

6. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.

Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.

7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?

Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.

Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
• развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
• выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.

Задачи:

• обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
• вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
• научить применять полученные формулы при решении различных задач;
• обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.

Оборудование:

• карточки с заданиями для работы в группах и парах;
• оценочный лист;
• презентация “Арифметическая прогрессия”.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Самостоятельная работа в парах.

1-й вариант:

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.

2-й вариант:

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член арифметической прогрессии {a n }: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами сдают).

2. Игровой момент.

Задание 1.

Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Вопросы учащихся.

1. Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
2. Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?

Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?

Задание 2.

На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?

Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .

II. Постановка учебной задачи.

Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.

Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.

• Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
• А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
• Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)

Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.

Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.

А решали её следующим образом:

1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя доля.
Удвоенная средняя доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого предыдущего и последующего человека.

Получим последовательность:

III. Решение поставленной задачи.

1. Работа в группах

I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.

В общем виде

II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Вывод:

III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Вывод:

IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.

Вывод:

Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.

2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.

3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n .

Найдем эту сумму рассуждая аналогично:

4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)

IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.

1. Проверка решения старинной задачи по формуле.

2. Применение формулы при решении различных задач.

3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.

А) №613

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;

(а n): 1, 2, 3, …, 1500

Найти: S 1500

Решение: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,

Б) Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Найти: n
Решение:

V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:

Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.

VI. Инструктаж по домашнему заданию.

1. п. 4.3 – выучить вывод формулы .
2. №№ 585, 623 .
3. Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

VII. Подведение итогов урока.

1. Оценочный лист

2. Продолжи предложения

• Сегодня на уроке я узнал …
• Изученные формулы …
• Я считаю что …

3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?

Список литературы.

1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.