А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске?

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе - два, за третье - четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Определение

Геометрическая прогрессия - последовательность чисел (членов прогрессии ) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии ):

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">

Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

(если же , то )

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число и

Примеры

Пример 1 .

Последовательность {} –геометрическая прогрессия.

Найдите , если ,

Решение:

Согласно формуле имеем:

Приметр 2.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой

Необходимое условие сходимости ряда.

Гармонический ряд

Теорема о необходимом условии сходимости ряда.

Если ряд сходится, то предел последовательности общих членов этого ряда равен нулю:

. (1.11)

Другая формулировка. Для того чтобы ряд сходился, необходимо (но недостаточно!), чтобы предел последовательности общих членов ряда был равен нулю.

Замечание. Иногда для краткости слово «последовательность» опускают и говорят: «предел общего члена ряда равен нулю». То же для последовательности частичных сумм («предел частичной суммы»).

Доказательство теоремы . Представим общий член ряда в виде (1.10):

.

По условию ряд сходится, следовательно, Очевидно, что и , т.к. п и п -1 стремятся к бесконечности одновременно . Найдем предел последовательности общих членов ряда:

Замечание. Обратное утверждение неверно. Ряд, удовлетворяющий условию (1.11), не обязательно сходится. Поэтому условие, или признак (1.11) является необходимым, но не является достаточным признаком сходимости ряда.

Пример 1 . Гармонический ряд . Рассмотрим ряд

(1.12)

Этот ряд называется гармоническим, т.к. каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов:

.

Например:

Рис.1.3.1 Рис.1.3.2

Общий член гармонического ряда удовлетворяет необходимому условию сходимости ряда (1.11): (рис.1.3.1). Однако в дальнейшем будет показано (с помощью интегрального признака Коши), что этот ряд расходится, т.е. его сумма равна бесконечности. На рис.1.3.2 показано, что частичные суммы неограниченно возрастают при увеличении номера.

Следствие . Из необходимого условия сходимости ряда вытекает достаточный признак расходимости ряда: если или не существует, то ряд расходится.

Доказательство. Предположим противное, т.е. (или не существует), но ряд сходится. Но согласно теореме о необходимом условии сходимости ряда предел общего члена должен быть равен нулю: . Противоречие.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд с общим членом .

Данный ряд имеет вид:

Найдем предел общего члена ряда:

. Согласно следствию данный ряд расходится.

Ряд, образованный геометрической прогрессией

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии. Напомним, что геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю и называемое знаменателем этой прогрессии. Геометрическая прогрессия имеет вид:

а ряд, составленный из ее членов:

Такой ряд называется геометрическим рядом, но иногда для краткости его называют просто геометрической прогрессией. Название «геометрическая» прогрессия получила потому, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов:

, или .

Теорема. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

расходится при и сходится при , причём при сумма ряда

Доказательство. Общий член ряда, как и общий член геометрической прогрессии, имеет вид: .

1) Если , то , т.к. в этом случае – бесконечно большая величина.

2) При ряд ведёт себя по-разному, т.к. приобретает различные виды.

При ;

Т.к. предел константы равен самой константе. Т.к. по условию теоремы , общий член ряда не стремится к нулю.

При ; предела не существует.

Таким образом, при не выполняется необходимое условие сходимости ряда:

.

Следовательно, ряд (1.13) расходится.

3) Если , то прогрессия называется бесконечно убывающей. Из школьного курса известно, что n -ю частичную сумму ряда (1.13) можно представить в виде:

Найдём сумму ряда. Так как при (бесконечно малая величина), то

.

Таким образом, при ряд (1.13) сходится и имеет сумму, равную

. (1.16)

Это и есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 1º.

Рис.1.4.1

=2.

Оценим его сумму, т.е. попробуем определить, к чему стремится последовательность его частичных сумм.

Видно, что последовательность частичных сумм стремится к числу 2 (рис.1.4.1).

А теперь докажем это. Воспользуемся тем, что данный ряд - это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, где . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

.

Пример 2º.

.

Вычисляется аналогично. Поскольку многие из членов ряда в отличие от предыдущего примера имеют знак минус, то сумма оказалась меньше.

Пример 3º.

Это геометрический ряд, где >1. Такой ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим два сходящихся ряда:

, (1.17)

. (1.18)

1. Ряд, полученный почленным сложением (вычитанием) двух сходящихся рядов, также сходится, а его сумма равна алгебраической сумме исходных рядов, т.е.

. (1.19)

Доказательство. Составим частичные суммы рядов (1.17) и (1.18):

Т.к. по условию данные ряды сходятся, существуют пределы этих частичных сумм:

, .

Составим частичную сумму ряда (1.19) и найдём её предел:

Пример.

;

.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости ряда, стоящего в левой части равенства (1.19), не следует сходимость рядов и . Например, ряд, рассмотренный в примере 4, сходится, и его сумма равна 1; общий член этого ряда был преобразован к виду:

.

Следовательно, ряд можно записать в виде:

.

Рассмотрим теперь отдельно ряды:

Эти ряды расходятся, так как являются гармоническими рядами. Таким образом, из сходимости алгебраической суммы рядов не следует сходимость слагаемых.

2. Если все члены сходящегося ряда с суммой S умножить на одно и то же число с , то полученный ряд также будет сходиться и иметь сумму cS :

. (1.20)

Доказательство аналогично первому свойству (доказать самостоятельно).

Пример. с= 10000;

Оба ряда сходятся, т.к. их суммы конечны.

Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянный множитель.

3. Теорема об отбрасывании нескольких первых членов ряда.

Отбрасывание (или добавление) нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. Иными словами, если сходится ряд

то сходится и ряд

. (1.22)

(но сумма может быть другой). И наоборот, если сходится ряд (1.22), то сходится и ряд (1.21).

Замечание 1. В математике термин «несколько» означает «конечное число», т.е. это может быть и 2, и 100, и 10 100 , и больше.

Замечание 2. Из данного свойства следует, что ряды с общими членами и эквивалентны в смысле сходимости. Например, гармонический ряд имеет общий член , и ряды с общими членами и - также гармонические.

4. Остаток ряда. Его свойство. Если у ряда отбросить первые k членов, то получится новый ряд, называемый остатком ряда после k- го члена.

Определение. k -м остатком ряда

называется ряд

(1.23),

полученный отбрасыванием первых k членов исходного ряда.

Индекс k означает, сколько первых членов ряда отброшено. Таким образом,

и т.д.

Рис.1.5.2

Можно построить последовательность остатков и исследовать её на сходимость при , в отличие от предыдущей теоремы, где к бесконечности стремилось п . В каждом последующем члене этой последовательности «меньше» слагаемых (на самом деле в каждом остатке их бесконечное число). Можно также сказать, что здесь имеет место динамика в начале ряда, а не в его конце.

Остаток ряда можно определить также как разность между суммой ряда и его частичной суммой (рис.1.5.1):

. (1.24)

Рис.1.5.2

Найдём предел последовательности для сходящегося ряда с суммой S при . Из определения суммы ряда следует:

.

Тогда из (1.24) следует:

Получили, что остаток сходящегося ряда есть величина бесконечно малая при , т.е. когда число отбрасываемых членов ряда стремится к бесконечности. Это видно и из рисунков 1.5.1 и 1.5.2.

Замечание. Теорему об отбрасывании нескольких членов ряда можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его остаток стремился к нулю.

§1.6. Знакоположительные ряды

Рассмотрим ряд с неотрицательными членами

Такие ряды будем называть знакоположительными . Рассмотрим последовательность частичных сумм знакоположительного ряда (1.26). Поведение этой последовательности особенно простое: она монотонно возрастает при возрастании n , т.е. . (т.к. к каждой последующей частичной сумме прибавляется неотрицательное число).

Согласно теореме Вейерштрасса любая монотонная ограниченная последовательность сходится (см. I семестр I курса). Исходя из этого, сформулируем общий критерий сходимости рядов с положительными членами.

Теорема (общий критерий сходимости знакоположительных рядов). Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Напомним определение ограниченности последовательности: последовательность называется ограниченной, если существует М >0 такое, что для (рис.1.6.1). Для знакоположительных рядов , и можно говорить об ограниченности сверху, т.к. снизу ограничена нулём.

Доказательство . 1) Необходимость. Пусть ряд (1.26) сходится Þ последовательность частичных сумм имеет предел, т.е. сходится. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности любая сходящаяся последовательность ограничена Þ ограничена.

2) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда (1.26) ограничена.

Т.к. , т.е. монотонна. По теореме Вейерштрасса о монотонных ограниченных последовательностях она сходится Þ сходится ряд (1.26).

ТЕМА 8. РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Основные понятия числового ряда.

2. Ряд геометрической прогрессии.

3. Основные свойства сходящихся рядов. Остаток ряда.

4. Необходимый признак сходимости числового ряда.

5. Гармонический ряд.

Ряды являются одним из важнейших инструментом математического анализа. С помощью рядов находят приближенные значения функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений. Все таблицы, которые вы встречаете в приложениях, составлены с помощью рядов.

Историческая справка

Теория числовых и функциональных рядов получила своё развитие в 17-18 столетиях. В те времена еще отсутствовали точные определения основных понятий математического анализа. С рядом, независимо от его сходимости и расходимости, считали возможным обращаться, как с простой суммой. Хотя эта сумма считалась «состоящей из бесконечного числа членов», с ней оперировали как с суммой, состоящей из некоторого (конечного) числа слагаемых. Это приводило подчас к ошибкам в вычислениях, необъяснимым при тогдашнем состоянии математической науки.

Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаменателем меньшим единицы производилось уже в древности (Архимед).

Расходимость гармонического ряда была установлена итальянским ученым Менгом в 1650 году, а затем более строго братьями Яковом и Николаем Бернулли. Степенные ряды появились у Ньютона (1665 г.), который показал, что с их помощью можно представить любую функцию. Дальнейшей разработке теории рядов много сил отдавали Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Больцано, Коши, Вейерштрасс, Риман и многие другие выдающиеся математики.

К числу этих ученых, без сомнения, должен быть отнесен и ученик Ньютона - Тейлор, который опубликовал в 1715 году свой основной труд «Метода приращений, прямая и обратная». В этой книге Тейлор впервые дает вывод разложения в ряд произвольной аналитической функции. Благодаря этому степенной ряд стал тем «мостом», который позволил из области рациональных функций перейти к изучению функций трансцендентных.

Однако фундаментальное значение этого вклада в математику было осознано не сразу. В 1742 году вышел знаменитый «Трактат о флюксиях» Колина Маклорена, в котором Маклорен получил новым способом ряд, носящий его имя, и указал, что этот ряд имеется в «Методе приращений». Поскольку Маклорен показал на большом числе функций, что применение этого ряда неизмеримо упрощает задачу разложения функций, то этот ряд, а значит и ряд Тейлора, стали пользоваться большой известностью.

Еще больше выросло значение ряда Тейлора, когда в 1772 году Лагранж положил его в основу всего дифференциального исчисления. Он считал, что теория разложения функций в ряды содержит истинные принципы дифференциального исчисления, освобожденные от бесконечно малых и пределов.

Вопрос 1. Основные понятия числового ряда

Само понятие бесконечного ряда по существу не является принципиально новым. Бесконечный ряд представляет собой лишь своеобразную форму числовой последовательности. Однако эта новая форма имеет некоторые особенности, благодаря которым применение рядов более удобно.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

a 1 , a 2 , …, a n ,…

О.1.1 . Выражение вида

(1)

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа a 1 , a 2 , …, a n ,… называются членами ряда , а число a n с произвольным номером n называется общим членом ряда (1).

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда a n , выраженный как функция его номера n:

a n = f(n), n=1,2,…

Пример 1 . Ряд с общим членом имеет вид

О.1.2 . Сумма первых n членов ряда (1) называется n -й частичной суммой ряда и обозначается через S n , т.е.

S n = a 1 + a 2 + …+ a n .

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (1):

S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , ……., S n = a 1 + a 2 + …+ a n , …… (2)

О.1.3 . Ряд (1) называется сходящимся , если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм (2), т.е. . В этом случае число S называется суммой ряда (1).

Записывается:

Из определения О.1.3 следует, что сумма ряда не обязательно существует. В этом состоит основное отличие бесконечных рядов от конечных сумм: у любой конечной совокупности чисел обязательно существует сумма, «сложить же бесконечное множество чисел оказывается далеко не всегда возможным».

Если не существует или то ряд (1) называется расходящимся . Такой ряд суммы не имеет.

Пример 2.

1. Ряд сходится и его сумма S = 0.

2. Ряд расходится, так как

Вопрос 2. Ряд геометрической прогрессии

О.2.1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, т.е. ряд вида

, a ¹ 0,(3)