Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;

3) найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t.

Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.

Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не

числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.

Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14

вершину угла совместим с центром

окружности (с началом системы координат),

а одну сторону угла совместим с

положительным лучом оси абсцисс. Точку

пересечения второй стороны угла с

окружностью обозначим буквой М. Ордина-

рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .

Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.

Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

Таким образом,

Например,

Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:

В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.

Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция углового аргумента, градусная мера угла и радиан"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Вспомним геометрию.
2. Определение углового аргумента.
3. Градусная мера угла.
4. Радианная мера угла.
5. Что такое радиан?
6. Примеры и задачи для самостоятельного решения.

Повторение геометрии

Ребята, в наших функциях:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Переменная t может принимать не только числовые значения, то есть быть числовым аргументом, но ее можно рассматривать и как меру угла – угловой аргумент.

Давайте вспомним геометрию!
Как мы определяли синус, косинус, тангенс, котангенс там?

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Определение тригонометрической функции углового аргумента

Давайте определим тригонометрические функции, как функции углового аргумента на числовой окружности:
С помощью числовой окружности и системы координат мы всегда с легкостью можем найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла:

Поместим вершину нашего угла α в центр окружности, т.е. в центр оси координат, и расположим одну из сторон так, чтобы она совпадала с положительным направлением оси абсцисс (ОА)
Тогда вторая сторона пересекает числовую окружность в точке М.

Ордината точки М: синус угла α
Абсцисса точки М: косинус угла α

Заметим, что длина дуги АМ составляет такую же часть единичной окружности что и наш угол α от 360 градусов: где t длина дуги АМ.

Градусная мера угла

1) Ребята мы получили формулу для определения градусный меры угла через длину дуги числовой окружности, давайте посмотрим внимательнее на нее:

Тогда запишем тригонометрические функции в виде:

Например:

Радианная мера углов

При вычисление градусной или радианной меры угла следует запомнить! :
Например:

Кстати! Обозначение рад. можно опускать!

Что такое радиан?

Дорогие друзья мы с вами с толкнулись с новым понятием - Радиан . Так что же это такое?

Существуют различные меры длины, времени, веса например: метр, километр, секунда, час, грамм, килограмм и другие. Так вот Радиан – эта одна из мер угла. Стоит рассматривать центральные углы, то есть расположенные в центре числовой окружности.
Угол в 1 градус – это центральный угол опирающийся на дугу равную 1/360 части длины окружности.

Угол в 1 радиан - это центральный угол опирающийся на дугу равную 1 в единичной окружности, а в произвольной окружности на дугу равную радиусу окружности.

Примеры:

Примеры перевода из градусной меры угла в радианную, и наоборот

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите радианную меру углов:
а) 55° б) 450° в) 15° г) 302°

2. Найти:
а) sin(150°) б) cos(45°) в) tg(120°)

3. Найдите градусную меру углов:

Видеоурок «Тригонометрические функции углового аргумента» представляет наглядный материал для проведения урока математики по соответствующей теме. Видео составлено так, чтобы изучаемый материал был подан максимально удобно для понимания учеников, легко запоминался, хорошо раскрывал связь имеющихся сведений о тригонометрических функциях из раздела изучения треугольников и их определения с помощью единичной окружности. Оно может стать самостоятельной частью урока, так как полностью охватывает данную тему, дополнено важными комментариями в ходе озвучивания.

Чтобы наглядно продемонстрировать связь различных определений тригонометрических функций, используются анимационные эффекты. Выделение текста цветным шрифтом, четкие понятные построения, дополнение комментариями помогает быстрее освоить, запомнить материал, быстрее достичь целей урока. Связь между определениями тригонометрических функций наглядно продемонстрирована с помощью анимационных эффектов и выделения цветом, способствуя пониманию и запоминанию материала. Пособие направлено на повышение эффективности обучения.

Урок начинается с представления темы. Затем напоминаются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Определение, выделенное в рамке, напоминает, что синус и косинус формируются как отношение катета к гипотенузе, тангенс и котангенс образуются отношением катетов. Также ученикам напоминается недавно изученный материал о том, что при рассмотрении точки, принадлежащей единичной окружности, абсцисса точки является косинусом, а ордината - синусом числа, соответствующего этой точке. Связь данных понятий демонстрируется с помощью построения. На экране изображается единичная окружность, размещенная так, чтобы ее центр совпадал с началом координат. Из начала координат строится луч, составляющий с положительной полуосью абсцисс угол α. Этот луч пересекает единичную окружность в точке О. От точки опускаются перпендикуляры на ось абсцисс и ось ординат, демонстрируя, что координаты этой точки определяют косинус и синус угла α. Отмечается, что длина дуги АО от точки пересечения единичной окружности с положительным направлением оси абсцисс до точки О составляет такую же часть от всей дуги, как угол α от 360°. Это позволяет составить пропорцию α/360=t/2π, которая отображается тут же и выделена красным цветом для запоминания. Из этой пропорции выводится значение t=πα/180°. Учитывая это, определяется связь определений синуса и косинуса sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Для примера приведено нахождение sin60°. Подставив градусную меру угла в формулу, получаем sin π·60°/180°. Сократив дробь на 60, получаем sin π/3, который равен √3/2. Отмечается, что если 60° является градусной мерой угла, то π/3 называется радианной мерой угла. Представляется две возможные записи отношения градусной меры угла к радианной: 60°=π/3 и 60°=π/3 рад.

Определяется понятие угла в один градус как центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой 1/360 представляет часть длины окружности. Следующее определение раскрывает понятие угла в один радиан - центрального угла, опирающегося на дугу длиной в единицу, или равной радиусу окружности. Определения отмечены как важные и выделены для запоминания.

Для перевода одного градусной меры угла в радианную и наоборот используется формула α°=πα/180 рад. Эта формула выделена в рамке на экране. Из этой формулы следует, что 1°=π/180 рад. При этом одному радиану соответствует угол 180°/π≈57,3°. Отмечается, что при нахождении значений тригонометрических функций от независимой переменной t, ее можно считать как числовым аргументом, так и угловым.

Далее демонстрируются примеры использования полученных знаний в ходе решения математических задач. В примере 1 требуется перевести значения из градусной меры в радианную 135° и 905°. В правой части экрана напоминается формула, отображающая связь градуса и радиана. После подстановки значения в формулу получается (π/180)·135. После сокращения данной дроби на 45, получаем значение 135°=3π/4. Для перевода угла 905° в радианную меру, используется та же формула. После подстановки в нее значения, получается (π/180)·905=181π/36 рад.

Во втором примере решается обратная задача - находится градусная мера углов, выраженных в радианах π/12, -21π/20, 2,4π. В правой части экрана напоминается изученная формула связи между градусной и радианной мерой угла 1 рад =180°/π. Каждый пример решается подстановкой радианной меры в формулу. Подставив π/12, получаем (180°/π)·(π/12)=15°. Аналогично находятся значения остальных углов -21π/20=-189° и 2,4π=432°.

Видеоурок «Тригонометрические функции углового аргумента» рекомендуется использовать на традиционных уроках математики для повышения эффективности обучения. Материал поможет обеспечить наглядность обучения в ходе дистанционных занятий по данной теме. Подробное понятное объяснение темы, решения по ней задач может помочь ученику самостоятельно освоить материал.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

«Тригонометрические функции углового аргумента».

Нам уже известно из геометрии, что синус (косинус) острого угла прямоугольного треугольника - это отношение катета к гипотенузе, а тангенс (котангенс) - это отношение катетов. А в алгебре мы называем абсциссу точки единичной окружности косинусом, а ординату этой точки - синусом. Убедимся, что все это тесно взаимосвязано.

Расположим угол с градусной мерой α°(альфа градусов), как показано на рисунке 1: вершину угла совместим с центром единичной окружности(с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Вторая сторона угла пересекает окружность в точке О. Ордината точки О - это синус угла альфа, а абсцисса этой точки - косинус альфа.

Заметим, что дуга АО составляет такую же часть длины единичной окружности, какую угол альфа составляет от угла трехсот шестидесяти градусов. Обозначим длину дуги АО через t(тэ), тогда составим пропорцию =

(альфа относится к трестам шестидесяти как тэ к двум пи).Отсюда найдем тэ: t = = (тэ равно пи альфа деленное на сто восемьдесят).

Таким образом, для нахождения синуса или косинуса угла альфа градусов можно воспользоваться формулой:

sin α° = sint = sin (синус альфа градусов равен синусу тэ и равен синусу частного пи альфа к ста восьмидесяти),

cosα° = cost = cos (косинус альфа градусов равен косинусу тэ и равен косинусу частного пи альфа к ста восьмидесяти).

Например, sin 60° = sin = sin = (синус шестидесяти градусов равен синусу пи на три, согласно таблицы основных значений синусов, равно корень из трех на два).

Считают, что 60° - это градусная мера угла, а (пи на три) - радианная мера того же угла, то есть 60°= рад (шестьдесят градусов равно пи на три радиан). Для краткости условились обозначение рад опускать, то есть допустима следующая запись: 60°= (показать сокращения радианная мера = рад.)

Угол в один градус - это центральный угол, который опирается на дугу, составляющую (одну трехсот шестидесятую) часть дуги. Угол в один радиан - это центральный угол, который опирается на дугу длиной единица, то есть на дугу, длина которой равна радиусу окружности (мы рассматриваем центральные углы единичной окружности показать на окружности угол в пи радиан).

Запомним важную формулу перевода градусной меры в радианную:

α° = рад . (альфа равен пи альфа, деленное на сто восемьдесят, радиан) В частности, 1° = рад (один градус равен пи, деленное на сто восемьдесят, радиан).

Отсюда можно найти, что один радиан равен отношению ста восьмидесяти градусов к пи и приблизительно равен пятьдесят семь целых три десятых градуса: 1 рад = ≈ 57,3 °.

Из выше сказанного: когда мы говорим о любой тригонометрической функции, например о функции s= sint (эс равно синус тэ), независимую переменную t(тэ) можем считать как числовым аргументом, так и угловым аргументом.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР1. Перевести из градусной меры в радианную: а)135° ; б) 905°.

Решение. Воспользуемся формулой перевода градусной меры в радианную:

а) 135° = 1° ∙ 135 = рад ∙ 135 = рад

(сто тридцать пять градусов равно пи на сто восемьдесят радиан умножить на сто тридцать пять, и после сокращения равно три пи на четыре радиан)

б) Аналогично, воспользовавшись формулой перевода градусной меры в радианную, получим

905° = рад ∙ 905 = рад.

(девятьсот пять градусов равно сто восемьдесят один пи на тридцать шесть радиан).

ПРИМЕР 2. Выразить в градусах: а) ; б) - ; в) 2,4π

(пи на двенадцать; минус двадцать один пи на двадцать; две целые четыре десятых пи).

Решение. а) Выразим в градусах пи на двенадцать, воспользуемся формулой перевода радианную меру угла в градусную в 1 рад =, получим

рад = 1 рад ∙ = ∙ = 15° (пи на двенадцать радиан равно произведению одного радиана и пи на двенадцать. Подставив вместо одного радиана сто восемьдесят на пи и сократив, получим пятнадцать градусов)

Аналогично б) - = 1 рад ∙ (-) = ∙ (-)= - 189°(минус двадцать один пи на двадцать равно минус сто восемьдесят девять градусов),

в) 2,4π = 1 рад ∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432°(две целые четыре десятых пи равно четыреста тридцать два градуса).

Тригонометрические функции числового аргумента мы разбирали . Брали точку А на круге и искали синусы и косинусы от полученного угла β.

Мы обозначили точку за А, но в алгебре её часто обозначают за t и приводят все формулы/функции с ней. Мы тоже не будем отходить от канонов. Т.е. t - это будет некое число, поэтому и функция числовая (например, sin t)

Логично, что так как круг у нас с радиусом единица, то и

Тригонометрические функции углового аргумента мы тоже успешно разобрали - по канонам мы будем писать для таких функций: sin α°, поздразумевая под α° любой угол с нужным нам количеством градусов.

Луч этого угла даст нам вторую точку на круге (OA - точка А) и соответствующие точки С и В для функции числового аргумента, если она нам потребуется: sin t = sin α°

Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Никогда не забывайте, что ось Y - это линия синусов , ось X - это линия косинусов ! Точки, полученные с круга, отмечаются на этих осях.

А линии тангенсов и котангенсов параллельны им и проходят через точки (1; 0) и (0; 1) соответственно.