Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.

Содержание

См. также: Пределы монотонных функций

Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) неубывающей ограниченной последовательностью .

(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

• для всех n ,
  (1.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , так что
  (1.3) .

.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

• для всех n выполняются неравенства:
  (2.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
  (2.3) .

.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .

См. также:

Определение: если каждому n є N , поставлено в соответствие x n є N, то говорят, что

образуют числовую последовательность .

- члены последовательности

- общий член последовательности

Введённое определение подразумевает, что любая числовая последовательность должна быть бесконечна, но не означает, что все члены должны быть различные числа.

Числовая последовательность считается заданной , если указан закон, по которому можно найти любой член последовательности.

Члены или элементы последовательности (1) занумерованы всеми натуральными числами в порядке возрастания номеров. При n+1 > n-1 член следует за членом (предшествует), независимо от того, будет ли само число больше, меньше или даже равно числу.

Определение: Переменную x, принимающую некоторую последовательность (1) значений, мы - следуя Мерэ (Ch. Meray) - будем называть вариантой.

В школьном курсе математики можно встретить переменные именно такого типа, типа варианты.

Например, последовательность вида

(арифметическая) или вида

(геометрическая прогрессия)

Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:

Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к, со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений:

и также представляет варианту.

Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через, отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта x n задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для x n ; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, x n =а+(n-1) d или x n =aq n-1 . Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число р; вообще периметр р m правильного вписанного m-угольника даётся формулой

Определение 1: Числовая последовательность {х n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т) , что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство, при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью .

Определение 2: Числовая последовательность {х n } называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого выполняется равенство |x n |?А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.

Определение 3: числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.

Определение 4: числовая последовательность {б n } называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного е > 0, можно указать такой номер N(е), что для любого n > N(е) будет выполняться неравенство | б n | < е.

Определение 5: числовая последовательность {х n } называется сходящейся , если существует такое число а, что последовательность {х n - а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а - предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {х n } называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой, что для всех n > N выполняется неравенство

а - предел последовательности

Т.к. равносильно, а это означает принадлежность интервалу х n є (a - е; a+ е) или, что то же самое, принадлежит е - окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {х n } называется сходящейся , если существует такая точка а, что в любой достаточно малой е - окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а - предел последовательности {х n }, то x n - а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. x n - а = б n , где б n - элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, x п = а +б n , и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {х n } сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {х n } можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности .

Определение 8. Последовательность не возрастает(не убывает) , если для.

Определение 9. Последовательность возрастает (убывает) , если для.

Определение 10. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью .