Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» . Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, -- без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки, принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть. Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или. Отношение порядка определяется следующим образом.

Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: «...к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел».

Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств». Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 4 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его родителями были Георг-Вольдемар Кантор и Мария Анна Бойм. Кантора вырастили как убеждённого протестанта, а любовь к искусству передалась ему от родителей. Считается, что он был выдающимся скрипачом. Его отец был немцем, а мать россиянкой, которая посещала римско-католическую церковь. С ранних лет у Кантора был частный преподаватель, он также посещал школу в Санкт-Петербурге. В 1856 году, когда Кантору было одиннадцать лет, его семья переехала в Германию, которую Кантор так никогда и не смог полюбить.

Здоровье отца Кантора начало ухудшаться, из-за чего семья вновь переехала, на этот раз во Франкфурт, из-за тёплого климата. Во Франкфурте Кантор учился в гимназии, которую закончил с отличием в 1960 году. Его учителя отмечали, что ему хорошо давалась математика, особенно тригонометрия. После гимназии в 1962 году Кантор поступил в федеральный университет Цюриха, в котором изучал математику. Получив одобрение родителей, он учился в нём в течение пары лет, пока смерть отца не положила учёбе конец. После смерти отца Кантор перешёл в университет Берлина, в котором подружился с Германом Шварцем и посещал лекции Кронекера, Вейерштрасса и Куммера. Летом он также учился в Геттингёнском университете, и в 1867 году закончил свою первую диссертацию по числам с названием «De aequationibus secondi gradus indeterminatis».

В это же году он получил докторскую степень по математике.

Карьера

В начале своей карьеры Кантор был активным членом математических союзов и сообществ. Он стал президентом одного из сообществ в 1865 и 1868 годах. Он также принимал участие в конференции Шеллбаха по математике. В 1869 году его назначили профессором в университете Галле. Он продолжал работу над различными диссертациями по теории чисел и анализу. В это же время Кантор решил продолжить изучение тригонометрии и начал размышлять над уникальностью геометрического изображения функций тригонометрического ряда, которые ему представил старший коллега, Гейне.

К 1870 году Кантор справился с задачей, доказав уникальность геометрического изображения, к большому изумлению Гейне. В 1873 году он доказал, что рациональные числа являются исчисляемыми и могут приходить в соответствие с натуральными числами. К концу 1873 года Кантор доказал, что и вещественные и относительные числа также исчисляемы. Его повысили до должности экстраординарного профессора в 1872 году, а в 1879 году он занял должность профессора высшей категории. Он был благодарен за назначение, но всё же хотел получить должность в более престижном университете.

В 1882 году Кантор начал переписываться с Гёста Миттаг-Леффлером, и вскоре начал печатать свои работы в журнале Леффлера – «Acta Mathematica». Кронекер – современник Канта – постоянно насмехался и угнетал теории Кантора.

Кантор продолжил публиковать свои работы, но в 1884 году у него случился нервный срыв, от которого он вскоре оправился и принял решение преподавать философию. Вскоре он начал изучать литературу елизаветинского периода.

В 1890 году он основал Немецкое математическое общество, в котором он впервые опубликовал чертежи диагонального сечения, таким образом немного наладив отношения с Кронекером. Но, несмотря на то, что учёные начали общаться, они так и не помирились, из-за чего напряжение в их отношениях присутствовало до конца жизни Кантора.

Личная жизнь

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттман; у пары родилось шесть детей. Считается, что Кантор, несмотря на статус известного математика, не мог содержать свою семью. При наличии свободного времени он играл на скрипке и погружался в искусство и литературу. Он был награждён медалью Сильвестра за свои изыскания в математике. В 1913 году Кантор вышел на пенсию так как был морально неустойчив, страдал от постоянных психических расстройств и в конце концов он оказался в здравнице, где и пробыл до своей смерти.

Смерть и наследие

Георг Кантор умер 6 января 1918 года в Галле, после продолжительного психического расстройства. О Канторе вышло множество публикаций, одной из которых была публикация в книге «Творцы математики» и заметка в «Истории математики». Он основал Немецкое математическое сообщество, а большинство его научных работ используется до сих пор.

Основные работы

«Infinite sets»
«Uncountable sets»
«Cantor set»
«Cardinals and Ordinals»
«The Continuum hypothesis»
«Number theory and function theories»
«Infinitesimals»
«Convergent series»
«Transcendental numbers»
«Diagonal argument»
«Cantor-Bernstein-Schroeder theorem»
«Continuum hypothesis»

Публикации

«On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers»
«Foundations of a General Theory of Aggregates»
«Mathematische Annalen»
«Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre»
«De aequationibus secondi gradus indeterminatis»

Оценка по биографии

Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку

Георг Кантор (фото приведено далее в статье) - немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику.

Георг Кантор: краткая биография

Родился в Санкт-Петербурге 03.03.1845. Его отцом был датчанин протестантского вероисповедания Георг-Вальдемар Кантор, занимавшийся торговлей, в т. ч. и на фондовой бирже. Его мать Мария Бем была католичкой и происходила из семьи выдающихся музыкантов. Когда в 1856 году отец Георга заболел, семья в поисках более мягкого климата переехала сперва в Висбаден, а затем во Франкфурт. Математические таланты у мальчика проявились еще до его 15-летия во время учебы в частных школах и гимназиях Дармштадта и Висбадена. В конце концов Георг Кантор убедил отца в своем твердом намерении стать математиком, а не инженером.

После недолгого обучения в Цюрихском университете в 1863 г. Кантор перевелся в Берлинский университет, чтобы изучать физику, философию и математику. Там ему преподавали:

• Карл Теодор Вейерштрасс, чья специализация на анализе, вероятно, оказала наибольшее влияние на Георга;
• Эрнст Эдуард Куммер, преподававший высшую арифметику;
• Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который впоследствии выступал против Кантора.

Проведя один семестр в университете Геттингена в 1866 г., в следующем году Георг написал докторскую диссертацию под заголовком «В математике искусство задавать вопросы более ценное, чем решение задач», касающуюся проблемы, которую Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенной в его Disquisitiones Arithmeticae (1801). После краткого преподавания в Берлинской школе для девочек Кантор начал работать в университете Галле, в котором оставался до конца своей жизни сначала как преподаватель, с 1872 года как доцент и с 1879-го в качестве профессора.

Исследования

В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. Работа отражала увлеченность предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел.

Отталкиваясь от работы по функции комплексной переменной немецкого математика Бернхарда Римана 1854 года, в 1870 г. Кантор показал, что такая функция может быть представлена только одним способом - тригонометрическими рядами. Рассмотрение совокупности чисел (точек), которые бы не противоречили такому представлению, привело его, во-первых, в 1872 году к определению в терминах рациональных чисел (дробей целых чисел) и далее к началу работы над трудом всей его жизни, теорией множеств и концепцией трансфинитных чисел.

Теория множеств

Георг Кантор, теория множеств которого зародилась в переписке с математиком технического института Брауншвейга Ричардом Дедекиндом, дружил с ним с детства. Они пришли к выводу, что множества, конечные или бесконечные, являются совокупностью элементов (например, чисел, {0, ±1, ±2 . . .}), которые обладают определенным свойством, сохраняя при этом свою индивидуальность. Но когда Георг Кантор применил для изучения их характеристик взаимно однозначное соответствие (например, {А, B, C} к {1, 2, 3}), он быстро понял, что они отличаются по степени их принадлежности, даже если это были бесконечные множества, т. е. множества, часть или подмножество которых включает столько же объектов, сколько оно само. Его метод вскоре дал удивительные результаты.

В 1873 году Георг Кантор (математик) показал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными, потому что могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными (т. е. 1, 2, 3 и т. д.). Он показал, что множество действительных чисел, состоящее из иррациональных и рациональных, бесконечное и несчетное. Что более парадоксально, Кантор доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же элементов, сколько множество всех целых, и что трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими, которые представляют собой подмножество иррациональных чисел, несчетные и, следовательно, их количество больше, чем целых чисел, и должно рассматриваться как инфинитное.

Противники и сторонники

Но работа Кантора, в которой он впервые выдвинул эти результаты, не была опубликована в журнале «Крелль», так как один из рецензентов, Кронекер, был категорически против. Но после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 году под названием «О характерных свойствах всех действительных алгебраических чисел».

Наука и личная жизнь

В этом же году во время проведения медового месяца со своей женой Валли Гутман в Кантор встретил Дедекинда, который благожелательно отозвался о его новой теории. Жалование Георга было небольшим, но на деньги отца, который умер в 1863 г., он построил для своей жены и пятерых детей дом. Многие из его работ были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, редактором и основателем которого был Геста Миттаг-Леффлер, в числе первых признавший талант немецкого математика.

Связь с метафизикой

Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследований, касающимся математики бесконечного (например, ряда 1, 2, 3 и т. д., и более сложных множеств), который в значительной степени зависел от взаимно однозначного соответствия. Разработка Кантором новых методов постановки вопросов, касающихся непрерывности и бесконечности, придала его исследованиям неоднозначный характер.

Когда он утверждал, что бесконечные числа реально существуют, он обратился к древней и средневековой философии в отношении актуальной и потенциальной бесконечности, а также к раннему религиозному воспитанию, которое дали ему родители. В 1883 году в своей книге «Основы общей теории множеств» Кантор объединил свою концепцию с метафизикой Платона.

Кронекер же, утверждавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, остальное - дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и препятствовал его назначению в Берлинском университете.

Трансфинитные числа

В 1895-97 гг. Георг Кантор полностью сформировал свое представление о непрерывности и бесконечности, включая бесконечные порядковые и кардинальные числа, в его самой известной работе, опубликованной под названием «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» (1915). Это сочинение содержит его концепцию, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.

Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. Таким образом, он обогатил понятие бесконечности.

Оппозиция, с которой он столкнулся, и время, которое понадобилось на то, чтобы его идеи были полностью приняты, объясняются сложностями переоценки древнего вопроса о том, чем является число. Кантор показал, что множество точек на линии обладает более высокой мощностью, чем алеф-нуль. Это привело к известной проблеме гипотезы о континууме - никаких кардинальных чисел между алеф-нулем и мощностью точек на линии нет. Эта задача в первой и второй половине 20-го века вызывала большой интерес и изучалась многими математиками, в т. ч. Куртом Геделем и Полом Коэном.

Депрессия

Биография Георга Кантора с 1884 г. была омрачена начавшимся у него психическим заболеванием, но он продолжал активно работать. В 1897 г. он помог провести в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти потому, что ему оппонировал Кронекер, он часто сочувствовал молодым начинающим математикам и стремился найти способ избавить их от притеснений со стороны преподавателей, чувствующих угрозу со стороны новых идей.

Признание

На рубеже веков его работа была полностью признана в качестве основы для теории функций, анализа и топологии. Кроме того, книги Кантора Георга послужили толчком для дальнейшего развития интуитивистских и формалистических школ логических основ математики. Это существенно изменило систему преподавания и часто ассоциируется с «новой математикой».

В 1911 г. Кантор был в числе приглашенных на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Он отправился туда в надежде встретиться с который в своей недавно опубликованной работе Principia Mathematica неоднократно ссылался на немецкого математика, но этого не произошло. Университет присвоил Кантору почетную степень, но из-за болезни он не смог принять награду лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 г., жил в бедности и во время Первой мировой войны голодал. Торжества в честь его 70-летия в 1915 г. были отменены по причине войны, но небольшая церемония состоялась у него дома. Он умер 06.01.1918 г. в Галле, в психиатрической лечебнице, где провел последние годы своей жизни.

Георг Кантор: биография. Семья

9 августа 1874 г. немецкий математик женился на Валли Гутман. У супругов родилось 4 сына и 2 дочери. Последний ребенок родился в 1886 г. в приобретенном Кантором новом доме. Содержать семью ему помогло наследство отца. На состоянии здоровья Кантора сильно отразилась смерть его младшего сына в 1899 г. - с тех пор его не покидала депрессия.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнулась на резкую критику со стороны математиков-современников, в частности, Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философского плана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы (особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное». Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярного расстройства.

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор».

Биография

Юные годы и учёба

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне - Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас, - очень важного центра математической мысли. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Учёный и исследователь

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.

Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, - без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.

В 1881 году Эдуард Гейне, коллега Кантора, умер, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.

В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, как следствие отказа последнего от должности в Галле. В то же время Кантор установил другую важную переписку, с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати. Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком:

Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.

Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году. Критика его работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написал Маттаг-Леффлёру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон (см. Вопрос авторства Шекспира); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в двух проспектах 1896 и 1897 годов.

Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, свои знаменитые диагональный аргумент и теорему. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Объекты, названные в честь Кантора

• Канторово множество - континуальное множество нулевой меры на отрезке;
• Функция Кантора (Канторова лестница);
• Нумерующая функция Кантора - отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
• Теорема Кантора (см. также Теорема Кантора (значения)) о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
• Теорема Кантора - Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
• Теорема Кантора - Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
• Теорема Кантора - Бендиксона
• Медаль Кантора - математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
• а также другие математические объекты.

Сочинения

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

На правах рукописи.

Попов Н.А., Попов А.Н.

НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
И РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСА КАНТОРА

CОДЕРЖАНИЕ
стр.

Предисловие. . . . . . . . . 5

Глава I. Введение. Основные сведения из теории множеств. . 8

Глава II. Противоречива ли канторовская наивная теория множеств?
Решение парадокса Кантора. . . .19

Глава III. Aксиоматика канторовской теории множеств. . . . . . . .60

Глава IV. Z-теорема и два ее доказательства. . . . . . . . . . .72

Глава V. Задача об отличии (обобщение Z-теоремы) . . . . . . . . .90

Глава VI. О логических парадоксах. . . . . . . . . . . . . . .87

ПРЕДИСЛОВИЕ

Привести общие логические основы современной мaтематики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14 – 15 лет.
Колмогоров А.Н. Простоту – сложному // Известия. 1962. 31 дек.

Интуитивная канторовская так называемая «наивная» теория множеств среди математиков считается противоречивой теорией. В обоснование такой оценки обычно указывают на слишком расплывчатое, «недостаточно математи-ческое» определение понятия множества у Кантора. Некоторые вспомнят о парадоксах наивной теории – о парадоксе Рассела и парадоксе Кантора. Но в чем состоят эти парадоксы, мало кто может объяснить.
Других оснований считать «наивную» теорию противоречивой мы не знаем. Все это и было побудительным мотивом для излагаемой ниже попытки разобраться, можно ли обосновать построение наивной теории множеств, исходя только из канторовского определения понятия множества и принципа объемности.
Первоначальным толчком к этой работе было то странное обстоятельство, что одновременно с упоминаемым в некоторых учебниках (например, ) парадоксом Кантора в тех же учебниках излагается явно ошибочное, как нам казалось, доказательство знаменитой теоремы Кантора. Но, к сожалению, как выяснилось несколько позже, очевидность логической ошибки доказательства почти ни для кого не была очевидностью. А очевидность была в другом: более 100 лет никто из серьезных математиков доказательство теоремы Кантора не оспаривает. Так что этого не может быть! Отношение к оспаривающим теорему Кантора (а это редкие единичные случаи) сложилось приблизительно такое же, как к изобретателям вечного двигателя.
Как показала практика обсуждений этой проблемы, все продуманные и изложенные на бумаге рассуждения довольно трудны для восприятия и требуют значительных умственных усилий и, главное, времени. Поэтому серьезной критики нашей работы не находилось. Тема обсуждения очень редко встречала серьезное и добросовестное отношение. Ни один оппонент (а количество их исчисляется единицами) не смог представить ни одного убедительного возражения к изложенным соображениям.
Тем не менее, работа выполнена. Парадокс Кантора исследован и разрешен. Результаты его исследования следующие.
В главном Кантор оказался прав. Его знаменитую теорему нам удалось доказать, и выяснить, из каких аксиом она вытекает. А все известные нам противоречащие примеры, примеры множеств, противоречащих его теореме, включая множество всех множеств, оказались несостоятельными. В том смысле, что эти множества оказались внутренне противоречивыми образованиями: для них не выполняется одна из аксиом, определяющих понятие множества, а именно, аксиома определенности, сформулированная в главе III. Однако общепринятое, стандартное доказательство теоремы Кантора, излагаемое во всех учебниках, ошибочно. Ошибка доказательства состоит в том, что противоречие, вытекающее только из противоречивого определения множества, выдается в стандартном доказательстве от противного за свидетельство ложности допущения противного.
Небольшое отступление о «кризисе в основах» теории множеств должно дать читателю представление о содержании работы и ее отношении к существующему состоянию теории множеств.
В современной литературе по основаниям математики, в таких, в частности, монографиях, как «Введение в метаматематику», Клини , «Основания теории множеств», Френкель А.А., Бар-Хиллел, , состояние этой области знаний характеризуется как до сих пор не преодоленный кризис. Толчком к выявлению далеко идущих расхождений мнений и точек зрения по поводу самых основных математических понятий послужило открытие на рубеже ХIX и ХХ столетий так называемых антиномий (парадоксов) в самых основаниях недавно возникшей теории множеств. В стремлении избавить теорию от казавшихся недопустимыми противоречий и в результате пересмотра ее основ возникли так называемые аксиоматические теории множеств, свободные от известных к тому времени парадоксов. Этот успех был достигнут ценой сокращения области применимости основного понятия теории – понятия множества. Причину антиномий видели в рассмотрении «слишком обширных» (???) множеств. Некоторые интуитивно понятные совокупности, такие как множество всех множеств или множество всех мощностей были объявлены не множествами, а классами. От канторовской теории множеств фактически отказались, объявив ее противоречивой.
С нашей точки зрения, основанной на результатах исследования и вышеупомянутых парадоксов теории множеств, и так называемых диагональных доказательств, правильное решение проблемы парадоксов не было достигнуто. Парадоксы были из теории устранены, но не разрешены, то есть причины возникновения противоречий не были раскрыты до конца. В результате и в ныне общепризнанной теории множеств (ZF), и даже в некоторых теоремах математической логики (см. раздел V.7 главы V о доказательстве теоремы А.Тарского) применяются ошибочные методы доказательства. Мы утверждаем, что все доказательства теоремы Кантора в учебниках по теории множеств, математической логике и теории функций действительной переменной (например, см. ) ошибочны.
При тщательном исследовании теоретико-множественных парадоксов выяснилась бы причина противоречий в них. Это, как показано в разделах II.4 - II.11, всего-навсего противоречивые определения множеств. При ясном понимании этой причины не было бы и разговоров о кризисе в основаниях математики.
Общий план работы следующий.
В главе I даются основные сведения по теории множеств. Глава адресована читателям, не знакомым с теорией множеств, или желающим освежить свои знания в этой области. Читатели, имеющие даже поверхностные знания по теории множеств, могут эту главу пропустить (кроме раздела I.7) без ущерба для понимания последующего материала.
Содержание главы II представляет собой изложение исследования проблемы парадокса Кантора путем внимательного продумывания проблемы, исследования, основанного исключительно на логике здравого смысла. Это исследование продолжалось с перерывами в течение многих лет. Основной результат работы состоит в том, что парадокс Кантора исследован и разрешен.
В главе III делается попытка аксиоматического построения канторовской «наивной» теории множеств.
В главах IV и V излагается так называемая Z-теорема, обобщающая семейство диагональных парадоксов и объясняющая с единых позиций теоретико-множественные парадоксы. Глава VI посвящена разбору нескольких наиболее известных парадоксов.
Для понимания работы не требуется специальных знаний, достаточно даже поверхностного знакомства с основными понятиями теории множеств (понятиями "множество", "функция", "область определения" и тому подобными) и некоторая привычка к восприятию математических рассуждений, так что работа вполне доступна студентам физико-математических факультетов и просто человеку с университетским, высшим техническим или высшим педагогическим образованием. Авторы работы поставили перед собой задачу рассказать о результатах своих исследований парадоксов теории множеств на языке, понятном даже школьнику-старшекласснику. В какой степени им удалось решить эту задачу, пусть судит читатель.
Мы благодарим
Н.А.Дмитриева
за ценные дискуссии по теме работы, а также сотрудников ВНИИЭФ
М.И.Каплунова,
Г.С.Клинкова, И.В.Кузьмицкого,
В.С.Лебедева,
Б.В.Певницкого, В.И.Филатова, В.А.Щербакова и И.Т.Шморина, читавших фрагменты нашей работы в рукописях и обсуждавших ее.
Списки использованных источников в настоящем издании даются к каждой главе отдельно.

ГЛАВА I.
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

I.1. О понятии множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2. Способы описания множеств. . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3. Теоретико-множественные операции. . . . . . . . . . . . . 11
I.4. Количественное сравнение множеств. . . . . . . . . . . . . 11
I.5. Понятие подмножества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.6. Теорема Кантора (формулировка) . . . . . . . . . . . . . . 14
I.7. Недоопределенные множества. . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.8. О несчетных множествах. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Список использованных источников. . . . . . . . . . . . . . 19

Эта глава имеет целью дать основные сведения из теории множеств читателю, не знакомому с этой теорией, или желающему освежить свои знания в этой области. Читатели, имеющие познания в теории множеств хотя бы в объеме курса для физико-математических факультетов педвузов могут эту главу пропустить (кроме раздела I.7) без ущерба для понимания последующего материала.

I.1. О понятии множества.

Термин “множество” в быту употребляется для обозначения больших количеств каких-то объектов, поддающихся счету. Мы говорим: множество ошибок, множество картин, великое множество людей.
Бытовое понятие “множество” довольно расплывчато, невозможно указать то количество, например, коров, которое следует назвать множеством коров. На эту тему известен так называемый “парадокс кучи”: начиная с какого количества зёрна образуют кучу зерна?
Для того, чтобы можно было строить какую-то теорию, понятия этой теории должны быть вполне четкими. Для построения теории множеств необходимо иметь четкое понятие множества. Гениальный основатель теории множеств Георг Кантор (1845 – 1918) дал свое знаменитое определение понятия множества. Вот оно.
«Под “множеством” мы понимаем объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов m нашего восприятия или мышления (которые будут называться "элементами" множества M)».
Можно ли считать это определение достаточно четким, мы обсудим несколько позже, а сейчас отметим некоторые его особенности.
Для начала заметим, что о количестве объединяемых предметов ничего не говорится. Это значит, что уже два элемента образуют множество. Это значит, также, что множество останется множеством, если из него убрать один элемент. Руководствуясь этим принципом, мы приходим к понятию единичного множества, которое получается, если из множества двух элементов убрать один из них. И тут мы обнаруживаем, что канторовское определение множества не полно: в случае единичного множества никакого объединения мы не видим.
Дальше – больше. Убирая из единичного множества его единственный элемент, мы приходим к понятию пустого множества. Эту абстракцию уже не все могут переварить. При первом знакомстве с понятием множества не все соглашаются признать множеством пустое множество. В этой связи автору монографии «Введение в метаматематику» С.Клини канторовское определение понятия множества показалось недостаточно полным, и он дополнил его следующим образом:
«К множествам присоединяются пустое множество, не имеющее элементов, и единичные множества, каждое из которых обладает одним единственным элементом.»
Действительно, никакого «объединения в одно целое» в пустом и единичном множестве на первый взгляд не видно. Однако, как заметил В.А.Щербаков, если «объединение» производится по некоторому признаку, то при некоторых признаках будут возникать и единичные, и пустое множество, и тогда дополнение Клини уже не требуется.
Необходимость рассмотрения единичных множеств и пустого множества наряду с остальными видна из того, что, определяя какое-нибудь множество тем или иным способом, мы можем не знать заранее, содержит ли оно больше одного или хотя бы один элемент.
Здесь необходимо подчеркнуть, что единичное множество и его единственный элемент – это существенно разные понятия и разные вещи. Разница состоит в том, что единичное множество имеет все свойства множеств: у него есть подмножества, к нему можно применять теоретико-множественные операции, в то время как элемент единичного множества этими свойствами, если он сам не является множеством, не обладает.
Далее в определении Кантора говорится об «определенных и вполне различаемых объектах нашего восприятия или мышления». Здесь мы не будем обсуждать это основополагающее понятие – понятие объекта, отложив на время его анализ и считая его достаточно ясным для первого знакомства с понятием множества. Для нас сейчас гораздо важнее усвоить ту сторону понятия множества, то неотъемлемое свойство множества, о котором в определении Кантора ничего не говорится. Свойство это выражается следующим положением:
множество полностью определяется своими элементами.
В аксиоматических, формальных теориях эта сторона понятия множества формулируется как аксиома, называемая аксиомой объемности, или аксиомой экстенсиональности. Но и при изложении содержательной ("наивной") канторовской теории множеств это положение либо подразумевается, либо формулируется явно, например, как "интуитивный принцип объемности" в учебнике Р.Столла "Множества. Логика. Аксиоматические теории" .
Аксиома объемности утверждает, что множество не зависит от порядка перечисления или порядка расположения его элементов. Из одних и тех же элементов может состоять только одно множество. Например, разные перестановки, составленные из одних и тех же символов:

(а,b,с,d), (а,с,d,b), (b,d,c,a), и т. д.,

Представляют собой одно и то же множество, и как множества не различаются. Это значит, далее, что различаться разные множества могут только за счет присутствия или отсутствия в них по крайней мере одного элемента.
Отсюда становится видно, что существует только одно пустое множество, так как при отсутствии элементов у множеств нет признаков различия. Пустое множество обозначается значком;.
По своему составу, как это видно из определения Кантора, множества могут мыслиться как состоящие из реальных объектов (множество кошек гор. Сарова, например) или из мыслимых, понятийных сущностей (множество натуральных чисел). Среди последних очень важной разновидностью множеств являются бесконечные множества, то есть состоящие из бесконечного количества элементов.
Здесь надо отметить два обстоятельства. С одной стороны ясно, что это чисто мысленные абстракции, что множества реальных объектов бесконечными быть не могут. С другой стороны именно бесконечные множества придают особую ценность, красоту и неповторимость канторовской теории множеств. В заслугу Кантору справедливо ставится его научная смелость, когда он стал рассматривать бесконечные множества как сущности, доступные человеческому разуму.
Отметим также, что и само понятие множества является сугубо мысленным понятием, выражаясь словами Кантора – объектом нашей мысли.

I.2. Способы описания множеств

Если буква М обозначает некоторое множество, а буква х – некоторый "определенный и вполне различаемый объект нашего восприятия или мысли", то выражение "х; М" читается как "х принадлежит М", или "х входит в М", или "х является элементом М", или иным подобным образом. Перечеркнутый знак вхождения; означает отрицание утверждения о вхождении.
Если элементов a, b, c, ... множества М не слишком много, то возможно описание множества путем перечисления его элементов внутри фигурных скобок:
М = {a, b, c, ... }.
В противном случае множество принято описывать с помощью некоторого условия принадлежности P(x):
M = {x: P(x)}.
Это выражение читается так: множество M состоит из всех таких и только таких х, для которых суждение P(x) истинно. Читатель может заметить, что второй способ обозначения множества – более общий, и первая форма описания множества может быть сведена ко второй. Например, c помощью логической формулы:
М = {x: x=a, или х=b, или х=с, или... },

А если a, b, c,... – числа (все равно какие), то, например, с помощью уравнения:

М = {x: (x-a)(x-b)(x-c)... = 0}.

I.3. Теоретико-множественные операции.

Над множествами можно производить операции. Наиболее употребительны операции объединения и пересечения.
Объединение двух множеств есть множество, объединяющее в себе элементы обоих объединяемых множеств. Эта операция обозначается символом;. Например, если множество А={a,b,c}, и множество В={c,d,e}, то
A;B={a,b,c,d,e}.
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из общих элементов этих множеств. Эта операция обозначается символом;. Для двух множеств предыдущего примера А;B={c}.
Употребляются и другие, более сложные операции над множествами.

I.4. Количественное сравнение множеств.

Для конечных множеств вопрос о сравнении их численности решается просто: для этого достаточно сравниваемые множества пересчитать, а сравнивать натуральные числа мы умеем уже с начальной школы. Но как сравнивать бесконечные множества? Кантор предложил сравнивать бесконечные множества количественно по принципу взаимно однозначного соответствия.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что между множеством А и множеством В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один и только один элемент множества В так, что каждый элемент множества В поставлен в соответствие одному и только одному элементу множества А.
Взаимно однозначное соответствие мы будем обозначать более коротким термином “1-1-соответствие”, или еще короче – биекция.
По этому принципу два множества считаются равночисленными, или, точнее, равномощными, или эквивалентными, если между ними можно установить биекцию. Если же биекцию между ними установить нельзя, то более мощным считается то из них, на часть которого можно взаимно однозначно отобразить другое.
Очевидно, что отношение эквивалентности между множествами симметрично, рефлексивно и транзитивно. Ясно, также, что сравнивать методом 1-1-соответствия можно и конечные множества, и что этот метод является обобщением привычного способа сравнения конечных множеств их пересчетом. В сущности способ пересчета и есть метод сравнения 1-1-соответствием со стандартным множеством – множеством натуральных чисел.
Примеры сравнения бесконечных множеств.
Еще Галилей заметил, что множество всех квадратов натуральных чисел можно поставить в 1-1-соответствие с множеством всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, …
1, 4, 9, 16, 25, …

И в этом смысле квадратов натуральных чисел ровно столько же, сколько самих чисел. Таково же положение и с четными числами: их тоже ровно столько же. Мы видим, что при предложенном Кантором способе количественного сравнения множеств часть бесконечного множества оказалась количественно эквивалентна целому. Это свойство бесконечных множеств Кантор предложил принять в качестве определяющего признака бесконечного множества.
Множества, для которых можно установить биекцию с множеством натуральных чисел, иными словами – перенумеровать их элементы, называются счетными множествами. Счетными множествами, очевидно, являются и множество всех квадратов целых чисел, и множество всех четных чисел. Множество всех целых чисел (положительных и отрицательных) тоже счетное. Это видно из того, что все целые числа можно расположить в виде такой цепочки:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, . . .

Ясно, что в эту цепочку попадут все целые числа, и мы можем числа всей этой цепочки перенумеровать.
Но вот пример по-сложнее. Можно ли перенумеровать все положительные рациональные числа? Кантор предложил следующий способ нумерации множества всех положительных рациональных чисел. Расположим это множество в виде бесконечной таблицы – бесконечного количества бесконечных строк. В первой строке расположим все дроби со знаменателем 1, то есть натуральные числа в порядке возрастания. Во второй строке расположим все дроби со знаменателем 2 в порядке возрастания числителя, в третьей строке – в том же порядке все дроби со знаменателем 3, и так далее. После этого пронумеруем сначала все дроби с суммой числителя и знаменателя, равной 2 (это всего одна дробь 1/1), затем – все дроби с суммой знаменателя и числителя, равной 3 (это; и 2/1), затем – с суммой знаменателя и числителя, равной 4 (это 1/3, 2/2 и 3/1), и так далее. При этом сократимые дроби будем пропускать, так как они уже были пронумерованы ранее. Ясно, что при таком способе нумерации номер получит любое положительное рациональное число. На рис. I.1 изображена схема нумерации множества всех рациональных чисел, предложенная Кантором; стрелками указан порядок нумерации.
1/1, ; 2/1, 3/1, ; 4/1, 5/1, ; …
; ; ; ;
1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, … .
; ; ; ;
1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 …
; ;
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4 …
; ;
1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, …

Эта схема нумерации выбита на памятнике на могиле Кантора.
По той же самой схеме нумерации можно перенумеровать и множество всех упорядоченных пар натуральных чисел (поскольку каждому положительному рациональному числу соответствует упорядоченная пара натуральных чисел – числитель и знаменатель). Далее, расположив пронумерованное множество упорядоченных пар в одной строке, мы можем применить тот же прием для нумерации множества всех упорядоченных троек натуральных чисел, затем – четверок, и вообще упорядоченных n-ок, где n – любое натуральное число.

I.5. Понятие подмножества.

Множество М называется подмножеством множества N, если в M нет элементов, не входящих в N (в частности, М может совпадать с N).
Иными словами, в подмножестве не должно быть “посторонних” элементов, если характеризовать этим термином все элементы за пределами более широкого (вообще говоря) множества N.
Это определение хорошо тем, что оно охватывает и пустое множество: в пустом множестве нет никаких, а значит и “посторонних” элементов. Оно, таким образом, является подмножеством любого множества. Если определить понятие подмножества более понятным способом, как множества, состоящего только из элементов основного множества, то пустое множество придется причислять к подмножествам “отдельной строкой”. Необходимость же такого причисления видна из тех же соображений, что и необходимость дополнить пустым множеством общее понятие множества (см. выше).
Если множество М является подмножеством множества N, то это обстоятельство может быть кратко отмечено в обозначении множества M:

M = {x;N: P(x)}

(читается: множество M состоит из всех таких и только таких х из N, для которых суждение P(x) истинно).

I.5.1. Собственные и несобственные подмножества.
Пустое множество;, как уже говорилось, является подмножеством любого множества. В этом смысле оно стоит особняком, и поэтому его называют несобственным подмножеством.
Кроме пустого, несобственным подмножеством называют также подмножество, совпадающее со всем множеством. Остальные подмножества называются собственными. Они составляют "правильные" части основного множества, тогда как несобственные подмножества являются "неправильными" частями: это часть, равная целому, или нулевая часть.

I.5.2. Сколько подмножеств у самых простых множеств?
Наименее многочисленно пустое множество – в нем 0 элементов. Сколько же в нем подмножеств? Несмотря на отсутствие элементов, одно подмножество у пустого множества все же есть. Это оно само, это его дважды несобственное подмножество: во-первых, потому, что оно пустое, и, во-вторых, потому, что оно совпадает со всем множеством. (Заметим, что 20=1.)
У единичного множества, в котором всего один элемент, подмножеств уже два, оба несобственные: это пустое множество и подмножество, совпадающее со всем множеством. (Опять отметим, что 21 = 2.)
У множества, состоящего из двух элементов, к двум несобственным подмножествам добавляются два собственных – единичные подмножества, содержащие по одному из элементов множества. Итого – 4. (Снова отметим, что 22 = 4.)
Методом индукции или как-то еще читатель без труда докажет, что у конечного множества из n элементов 2n подмножеств.

I.6. Теорема Кантора (формулировка)

Мы видим, что при любом n 2n > n, то есть число подмножеств конечного множества всегда больше числа элементов. Это очевидное свойство конечных множеств Кантор обобщил на бесконечные множества, доказав свою знаменитую теорему, которая гласит:
мощность множества всех подмножеств больше мощности исходного множества.
На первый взгляд это обобщение настолько естественно, что в справедливости теоремы Кантора сомневаться не приходится. Мы, однако, приведем пример противоположного свойства. Количество всевозможных упорядоченных пар элементов конечного множества из n элементов дается формулой n2, и мы видим, что при n>1 n2>n. Однако мы видели (см. раздел I.3), что мощность множества упорядоченных пар бесконечного множества натуральных чисел не больше мощности исходного множества.
Общее возражение к обоим примерам соотношений численностей конечных множеств состоит в том, что аналогия не есть доказательство.

I.7. Недоопределенные множества

Существование недоопределенных множеств вытекает из существования парадоксальных, а именно противоречивых суждений. Покажем, как это получается.
Вспомним второй способ описания множеств (см. раздел I.2). Вот как излагается этот способ в учебнике Р.Столла
Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие предметы а, что Р(а) есть истинное высказывание
Выражение «форма Р(х)» означает некоторое высказывание о каком-то предмете, в котором имя этого предмета заменено на переменную х, пробегающую заданную область значений. Другой термин для понятия «форма Р(х)» – одноместный предикат. В разделе I.2 в том же смысле употреблено выражение «условие принадлежности».
Но как быть, если при некоторых значениях х (для некоторых предметов а) суждение Р(х) оказывается противоречивым?
Конкретный пример множества с таким условием принадлежности делает более понятным поставленный вопрос.
Будем рассматривать названия каких-то объектов, но только однозначные названия, то есть относящиеся только к одному определенному объекту. Название, содержащееся в объекте с этим названием (объектом может быть множество, или, например, книга) будем называть внутренним названием. Название, не являющееся внутренним, будем называть внешним. Множество Е – множество внешних названий совокупности объектов S, если оно входит в совокупность S и имеет название, дает нам пример недоопределенного множества.
В самом деле, название множество Е имеет, оно выражено буквой Е. К какой из двух категории следует отнести название множества Е? Если признать его внешним названием, то есть одним из элементов множества Е, то оно окажется внутренним названием, и наоборот. Суждение о принадлежности названия множества Е к этому множеству не имеет значения истинности.
Ответ на поставленный выше вопрос очевиден. Для значений х, обращающих Р(х) в противоречивое суждение, нельзя установить, является ли соответствующий предмет а элементом множества А. Множество А по отношению к этому предмету недоопределено.
Но особенность недоопределенного множества не только и не столько в его недоопределенности. Гораздо важнее то, что его недоопределенность есть результат противоречивости его определения. Такой противоречивости, которую не сразу заметишь. Она ведь проявляется только по отношению к одному единственному его элементу (в нашем примере – к собственному названию множества внешних названий). Рассмотрение условия принадлежности к такому множеству приводит к противоречию. А так как мы привыкли, что противоречие есть результат либо ошибки, либо ложности одной из исходных посылок рассуждения, то отсюда возникает соблазн что-то доказать.
А между тем противоречие, вытекающее из противоречивого, а правильнее сказать – из невыполнимого определения, ровно ничего не доказывает (кроме невыполнимости этого определения). Непонимание этого не очень уж сложного обстоятельства приводит к появлению ложных теорем
Как следует относиться к множествам с противоречивыми определениями? Мы видим здесь две возможные формы этого отношения (с одним и тем же содержанием).
1) Можно противоречивые множества типа описанного выше множества Е продолжать считать множествами, допуская возможность противоречивых множеств, на которую указывал еще Кантор (противоречивым он считал множество всех множеств), но тогда возможность возникновения таких множеств нельзя не учитывать при доказательствах теорем.
С учетом этой возможности из противоречия, которое получается при доказательстве от противного, не всегда можно сделать вывод о ложности какой-то посылки: для противоречивого множества противоречие есть его законный атрибут и ни о чем не говорит.
2) Более правильным представляется оформить наше отношение к противоречивым множествам (точнее – к множествам с противоречивым определением) путем уточнения канторовского понятия множества в том смысле, что вопрос о принадлежности множеству любого объекта должен иметь однозначный и непротиворечивый ответ. Совокупности, не удовлетворяющие этому требованию, не позволяющие, подобно множеству Е, дать такой ответ на этот вопрос хотя бы для одного единственного элемента, не должны считаться полноценными множествами. Это недоопределенные множества.
Возможность появления недоопределенных множеств должна учитываться при доказательствах теорем, как уже говорилось.
Свойство определенности множества в указанном выше смысле в канторовском понятии множества, конечно же, подразумевается, хотя в явном виде, по-видимому, Кантором высказано не было. Правда, один из комментаторов канторовского определения понятия множества (см. раздел I.1) Роберт Р.Столл именно так истолковывает слова «определенных… объектов» в этом определении.
Уточнение понятия множества в указанном смысле может быть сформулировано в виде аксиомы исключенного третьего, которой должны подчиняться множества.
Аксиома исключенного третьего является частным случаем закона исключенного третьего, который гласит, что всякое суждение либо истинно, либо ложно, и третьего не дано. Но мы знаем, что возможны и вполне осмысленные противоречивые суждения, не истинные и не ложные, нарушающие, таким образом, закон исключенного третьего, примерами чему могут служить суждения из всевозможных парадоксов. Поэтому, чтобы исключить противоречивые множества из числа допустимых, мы не можем ограничиться ссылкой на этот закон, и должны предусмотреть возможность его нарушения специальной аксиомой.
АКСИОМА ИСКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬЕГО. Для всякого множества суждение о принадлежности к нему любого объекта либо истинно, либо ложно.
В существующих (и присутствующих в учебных программах математических факультетов ВУЗов) теориях множеств недоопределенные множества не возникают только из-за того, что возможность парадоксальных суждений в этих теориях не учитывается.

I.8. О несчетных множествах.

Предложенный Кантором метод количественного сравнения множеств путем установления биекции между сравниваемыми множествами (см. раздел I.3.) неявно предполагает, что существуют (могут встретиться) и такие бесконечные множества, между которыми установить биекцию невозможно. Если бы это было не так, то все бесконечные множества оказались бы равномощными, а канторовский метод сравнения множеств – бессодержательным.
Бесконечные множества, равномощные с множеством натуральных чисел, что означает, что все элементы их можно перенумеровать, называются счетными множествами. Отсюда следует, что несчетные множества (то есть множества, не являющиеся счетными) таковы (настолько многочисленны), что все их элементы перенумеровать невозможно.
Как показал Кантор, несчетным является множество всех действительных чисел промежутка от 0 до 1, обычно называемое континуумом. Мощность континуума принято обозначать буквой С. Отметим следующие замечательные свойства множеств с мощностью континуума.
Во-первых, множество действительных чисел х единичного отрезка равномощно с множеством действительных чисел у любого отрезка числовой прямой. Биекция между этими множествами устанавливается формулой:

У = a + x (b – a),

Где числа а и b соответствуют концам произвольного отрезка.
Во-вторых, формула у=tg(x-0.5;) устанавливает биекцию между единичным отрезком (точнее – полуинтервалом) и всей числовой прямой. Это значит, что мощность множества всех действительных чисел имеет ту же мощность, что и множество чисел единичного отрезка (отрезок в отличие от интервала включает в себя числа, соответствующие его концам, но эта разница не приводит к различию мощностей).
Следующий важный факт теории множеств состоит в том, что множество С (континуум) равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда. В самом деле, каждое действительное число, меньшее единицы, можно взаимно однозначно представить правильной бесконечной двоичной дробью. Для этого условимся двоично-рациональные числа, имеющие два двоичных представления, одно из которых заканчивается бесконечной последовательностью единиц, представлять именно тем способом, при котором двоичная дробь бесконечна. А каждая такая дробь взаимно однозначно определяется подмножеством натурального ряда – множеством номеров тех разрядов двоичной дроби, в которых стоят единицы.
И, наконец, еще один совершенно неожиданный результат, который удивил самого Кантора, следует из канторовского определения равномощности множеств и возможности однозначного представления действительного числа бесконечной двоичной (или десятичной) дробью. Равномощным множеству С оказалось множество пар таких же чисел, то есть чисел промежутка от нуля до единицы. В переводе на язык аналитической геометрии это значит, что множество точек единичного отрезка оказалось равномощным множеству точек единичного квадрата.
В самом деле, каждому действительному числу единичного отрезка, представленному бесконечной последовательностью значений десятичных (например) разрядов этого числа, можно взаимно однозначно поставить в соответствие пару таких же чисел, одно их которых образовано из четных, а другое – из нечетных разрядов исходного числа.
Но это значит, что мощность С – мощность множества действительных чисел любого отрезка – имеет множество всех точек плоскости (биекция между единичным квадратом и всей плоскостью устанавливается так же, как и между единичным интервалом и всей числовой прямой).
Аналогичным способом устанавливается равномощность множеств точек отрезка и точек объемной фигуры – куба, а значит и множества всех точек всего бесконечного 3-хмерного и даже n-мерного пространства.
Этот удивительный результат при неблагожелательном отношении к канторовской теории множеств может быть поставлен в укор этой теории: вот к каким абсурдным результатам приводит предложенный Кантором метод количественного сравнения множеств по критерию взаимно однозначного соответствия.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
(к введению и гл. I)

1. Клини Cтефен K. Введение в метаматематику. М: Издательство Иностранной
литературы. 1957. 526c.
2. Френкель А.А., Бар-Хиллел. Основания теории множеств. М: Мир. 1966. 556с.

3. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. Москва,
Ленинград. Гостехиздат. 1948. 412c.
4. Кэлли Джон Л. Общая топология. М: Наука. 1968. 384c.

5. Хаусдорф Ф. Теория множеств. Москва, Ленинград. ОНТИ. 1937.

6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М: Гостехиздат.
1957. 552c.
7. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные гла-
вы. Издательство Московского Университета. 1984. 120с.
8.Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. Издательство Московского
Университета. 1988. 112с.
9. Бурбаки Н. Теория множеств. М: Мир. 1965. 455c.

10. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. М. Издательство Московского
центра непрерывного математического образования. 2002. 40с.
11. Кантор Георг. Труды по теории множеств. Под ред. А.Н.Колмогорова и
А.П.Юшкевича. М: «Наука». 1985. 432с.
12. Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М: Просвеще-
ние. 1968. 230c.