Твердая частичка или жидкая капелька, движущаяся под действием силы тяжести сквозь вязкую жидкость, в конечном счете приобретает постоянную скорость. Она называется скоростью осаждения. Если плотность частицы ниже, чем плотность жидкости, она будет двигаться вверх со скоростью всплытия. Эти скорости обозначаются буквами vg (g – сила тяжести). Величина скорости осаждения/всплытия определяется следующими физическими параметрами:
диаметром частицы d, м
плотностью частицы ρp, кг/м3
плотностью непрерывной фазы, ρl, кг/м3
вязкостью непрерывной фазы η, кг/м,с
ускорением силы тяжести g = 9,81 м/с2.
Если известны значения всех вышеперечисленных параметров, то можно рассчитать скорость осаждения/всплытия частицы или капли при помощи следующей формулы, выведенной из закона Стокса (формула 1):
Подставляем эти значения в формулу получим:
Как видим из полученного результата, жировые шарики поднимаются очень медленно. На практике шарики жира образуют крупные скопления и их всплытие происходит гораздо быстрее.
Периодическое сепарирование под действием силы тяжести
Рисунок 1
В сосуде А, показанном на рис. 1, содержится жидкость, в которой во взвешенном состоянии находятся твердые частицы одинаковых размеров и более плотные, чем жидкость. Для того чтобы находящиеся на поверхности жидкости частицы опустились на дно, должно пройти довольно много времени.
Время осаждения может быть сокращено при условии сокращения этой дистанции. Высоту сосуда (В) уменьшили, а площадь увеличили с тем, чтобы объем остался неизменным. Дистанция осаждения (h2) уменьшилась до 1/5 от первого варианта (h), и время, требуемое для полного разделения фракций, так же сократилось до 1\5 (рисунок 2).
Рисунок 2
Непрерывное сепарирование под действием силы тяжести
Простейший сосуд, в котором может осуществляться непрерывное отделение частичек разного диаметра от жидкости, показан на рис. 3. Жидкость, содержащая частички в виде шлама, поступает в сосуд с одного его конца и движется в направлении выхода на другом конце под определенным напором. При движении частички оседают с различной скоростью в зависимости от их диаметров.
Рисунок 3
При непрерывном отделении взвеси от жидкости в сосуде с горизонтальными экранами осадительные каналы будут постоянно забиваться собирающимися в них частицами. В конце концов процесс остановится. В сосуде с наклонными экранами, показанном на рис. 4, частицы, оседающие на экранах, соскальзывают под действием силы тяжести с экранов и скапливаются на дне сосуда.
Рисунок 4
Почему частицы, оседающие на экранах, не захватываются жидкостью, текущей вверх между экранами? Объяснение дано на рис. 5, на котором
показан разрез части осадительного канала. Когда жидкость течет между экранами, ее пограничный слой, ближайший к экранам, тормозится трением, и поэтому скорость его падает до нуля. Стационарный пограничный слой оказывает тормозящее воздействие на соседний слой, и так далее в направлении к центру канала, где скорость максимальная.
Рисунок 5
Получается профиль скоростей, как показано на рисунке 5, – ламинарный поток в канале. Частицы, осевшие в стационарной пограничной зоне, таким образом, находятся под воздействием только силы тяжести.
Поверхность для осаждения, используемая при прохождении через сосуд с наклонными вставками максимального потока, должна быть предварительно рассчитана. Для полного использования пропускной способности разделительного сосуда необходимо предоставить оседающим частицам как можно большую поверхность. Расстояние, в пределах которого происходит осаждение, не оказывает непосредственного влияния на пропускную способность сосуда, но какую-то минимальную ширину канала необходимо выдерживать, чтобы не допустить забивания каналов оседающими частицами.
1. Цель работы - определение опытных значений скорости осаждения и сравнение с расчетными.
2.Теоретические сведения.
Для правильного проектирования пылеулавливающих аппаратов (и пылеотборных устройств) необходимо знать, как движутся частицы под действием внешних сил.
Пылевая частица, осаждаясь под действием гравитационной силы, испытывает сопротивление газообразной среды. Вектор этой силы направлен в сторону, обратную движению частицы. Режим движения среды может быть вязким и турбулентным, что характеризуется соответствующей величиной числа Рейнольдса - Re. Принято весь диапазон чисел Re от 0 до ¥ делить на три области. В каждой такой области сопротивление движению частицы F c имеет определенную закономерность: область закона Стокса, область закона Ньютона, промежуточная область. Скорость осаждения частиц также зависит от величины Re и рассчитывается по соответствующим формулам.
Сопротивление среды в зависимости от числа Рейнольдса -Re
При медленном движении частицы увлекаемые ею слои среды имеют строго ламинарный, слоистый характер движения. Сопротивление среды при этом складывается из суммы сил внутреннего трения между этими слоями и выражается законом Стокса. Для сферической частицы сила сопротивления по Стоксу равна
где – диаметр частицы, м;
– вязкость среды, Па;
– скорость движения частиц, м/с.
Формула Стокса справедлива для Re < 1.
Увеличение скорости движения частицы вызывает турбулизацию среды. Силы инерции становятся значительно больше сил вязкости.
Среда приближается по своим свойствам к идеальной жидкости. Для больших скоростей (Re > 500) сопротивление среды будет обусловлено только инерцией ее перехода из спокойного состояния в движение под действием движущейся частицы. Это сопротивление среды можно определить по закону Ньютона для идеальной, не имеющей вязкости жидкости. В общем виде для частицы диаметром , расположенной в потоке, сила сопротивления среды плотностью , Н, равна
;................................................................................. .(2)
где – коэффициент сопротивления, зависящий от режима движения и формы тела.
В области Re > 500 опыт показывает, что для диска, расположенного перпендикулярно потоку, = 1,12; для шара - = 0,44. Следовательно, для сферической частицы турбулентное сопротивление среды (по Ньютону), Н, можно записать следующим образом:
;........................................................................... .(3)
В опытах также установлено, что формула Ньютона справедлива для относительно крупных частиц.
По многочисленным экспериментальным данным построена зависимость для сферических тел (рис.4.) (т.н. стандартная кривая). Для области действия закона Стокса, т.е. для области ламинарного сопротивления, пропорционального скорости движения частицы в первой степени, коэффициент сопротивления можно выразить так:
.............................................................(4)
Формула (41) верна, если Re < 1 и размеры частиц мкм. В промежуточной области значений Re от 1 до 500 нельзя пренебречь турбулентным сопротивлением среды. Здесь коэффициент сопротивления изменяется пропорционально . С увеличением числа Re значение непрерывно возрастает от единицы до двух. Хорошие результаты дает формула , где А = 24...5,8 = 1...0,37. При Re > 500 можно полностью пренебречь вязким сопротивлением. В этой области для шарообразных тел = 0.44.
При дальнейшем увеличении числа Re до 10 5 коэффициент сопротивления остается примерно постоянной величиной (рис.4).
Применимость закона Стокса имеет и нижний предел, определяемый такими мелкими частицами (d << 1 мкм), что они становятся чувствительными к ударам молекул и находятся в броуновском движении. Здесь вводится поправка Канингема.
Скорость осаждения частиц
Знание законов сопротивления среды при осаждении частиц, как было сказано выше, необходимо для определения скорости их осаждения. Известно, что под действием любой силы тело движется ускоренно. Так как с увеличением скорости движения увеличивается и сопротивление среды, то в ходе осаждения неизбежно должен наступать такой момент, когда сопротивление среды F станет равным движущей силе Р, т.е. когда вся движущая сила расходуется только на преодоление сопротивления среды, и движение становится установившимся, а ускорение равным нулю. С этого момента частица осаждается с постоянной установившейся скоростью.
Рис.4. Зависимость для сферических частиц
Из сказанного следует, что скорость осаждения определяется путем приравнивания силы сопротивления среды движущей силе F=P.
При осаждении сферических частиц под действием тяжести в условиях применимости закона Стокса возникает равенство:
, (5)
, (6)
где – постоянная времени или время релаксации.
Это выражение справедливо, когда число .
При осаждении сферических частиц под действием силы тяжести в условиях применимости закона Ньютона (Re < 500) запишем аналогично
(7)
Выражение справедливо только тогда, когда Re >500.
Скорость осаждения частиц в промежуточной области 1 < Re < 500 можно определять по формуле
(8)
где – критерий Архимеда,
Порядок расчета скорости таков: определив значение числа , по формуле (8) находят число Re и далее искомую скорость осаждения
, (9)
Влияние формы частицы на процесс осаждения.
Все приведенные выражения для сопротивления среды, а следовательно, и скорости осаждения справедливы, как указывалось выше, для шарообразных частиц. В технике, как правило, частицы пыли неправильной формы. Коэффициент сопротивления среды является функцией не только числа Re, но и формы частицы. В то же время влияние формы на коэффициент сопротивления также зависит от режима движения среды, вызванного движением частицы, т.е. от числа Re. Из-за влияния формы расчет скорости осаждения частиц в технологических аппаратах является приближенным, т.к. вводится эквивалентный их диаметр.
В большинстве случаев скорость осаждения частиц несферической формы меньше, чем сферической при равных эквивалентных диаметрах. Эквивалентный диаметр частицы определяется по ее массе .
, (10)
Если влиянием формы можно пренебречь, то скорость осаждения таких частиц рассчитывают по формуле (6) или (9) с учетом (10). Для учета влияния формы на скорость осаждения можно применять следующие теоретические формулы:
, (11)
для диска радиусом , падающего
плашмя 
, (12)
ребром 
, (13)
Влияние стесненности движения осаждающейся частицы на скорость осаждения
Стесненность движения осаждающейся частицы возникает при прохождении ее траектории вблизи вертикальной стенки. Величину поправки () на скорость осаждения () можно определить по одной из формул: при прохождении частицы на расстоянии от плоской стенки 
; при осаждении частицы между двумя плоскими стенками, находящимися на расстоянии друг от друга, , или при осаждении частицы по оси трубки диаметром
.
В данной лабораторной работе определяется опытная и расчетная скорость осаждения в глицерине стальных шариков разных диаметров и частиц сложной формы типа тонких цилиндров и дисков.
3. Описание установки
Лабораторная установка для определения скорости осаждения частиц состоит из стеклянного цилиндра с нанесенными на нем метками (ниже участка установления равномерной скорости), расстояние между которыми равно 0,1 м. Цилиндр заполнен глицерином до уровня примерно 1 м от его дна.
В комплект оборудования входит микрометр для определения диаметра шариков, ареометр для определения плотности глицерина, секундомер для замера времени осаждения частиц, весы для определения массы частиц несферической формы.
4. Порядок проведения работы
1. Перед началом работы на установке получить допуск у преподавателя по знанию техники безопасности.
2. Микрометром измерить диаметры всех шариков, выданных преподавателем или лаборантом.
3. Каждый шарик поочередно осторожно опустить на поверхность глицерина ближе к центру цилиндра. При прохождении шариком верхней метки включить секундомер и следить за движением шарика. При достижении нижней метки выключить секундомер и таким образом засечь продолжительность t прохождения шариком пути h = 0,7...0,8 м (расстояние уточнить).
4. Ареометром измерить плотность глицерина.
5. На весах определить массу несферических частиц.
6. Определить время осаждения двух одинаковых шариков на расстоянии и 2 от стенки цилиндра.
7. Результаты всех замеров внести в табл. 2 и приступить к обработке результатов.
5. Обработка результатов опыта.
1. Опытную скорость осаждения всех шариков определить так же, как и скорость осаждения самого маленького шарика: м/с. Результаты вычисления внести в табл. 3.
2. По опытному значению скорости осаждения самого маленького шарика , используя уравнение (6), определить вязкость глицерина Па.с.
Полученное значение занести в табл. 2
Таблица 2
Результат опытов по осаждению частиц
| № п/п | Размер частиц, , м | Путь осаждения, , м | Время осаждения, , с | Наименование измеряемых величин | Единица измерения | Величина |
| Плотность частиц, | кг/м 3 | |||||
| Плотность глицерина, | кг/м 3 | |||||
| Вязкость глицерина, | кг/м 3 | Опред-ся в опыте |
Таблица 3 .
По численному значению критерия по формуле (8) определить число 
и отсюда искомую скорость осаждения 
м/с.
.
Результаты вычислений внести в табл. 3.
6. Требования к отчету. Отчет должен содержать:
6.1. Краткое изложение теории и цель работы.
6.2. Заполненные табл. 107 и 108.
6.3. Расчет вязкости для табл. 107 и расчет одной-двух строк из табл. 108.
6.4. Анализ полученных результатов и выводы.
7. Контрольные вопросы
7.1. Какова область применимости закона Стокса и закона Ньютона для определения силы сопротивления при осаждении частицы?
7.2. Каков вид обобщенного закона сопротивления среды?
7.3. Чему равен коэффициент сопротивления для шара при Re ; при Re>500 и 1 < Re <500 ?
7.4. Чему равна скорость осаждения сферической частицы при Re (закон Стокса); при Re>500 (закон Ньютона)?
7.5. Как определяется скорость осаждения для промежуточной области Re(l
7.6. Какова цель работы?
7.7. Расскажите порядок проведения экспериментальной части работы?
7.9. В чем заключается метод определения вязкости жидкости, основанный на законе Стокса?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
Характерным общим свойством суспензий, порошков, эмульсий и аэрозолей, особенно если они разбавлены, являетсц склонность к оседанию или всплыванию частиц дисперсной фазы. Оседание частиц дисперсной фазы называется седиментацаей, а всплывание частиц - обратной седиментацией.
На каждую частицу в системе действует сила тяжести (гравитационная сила) и подъемная сила Архимеда:
Эти силы постоянны и направлены в разные стороны, равнодействующая сила, вызывающая седиментацию, равна:
Так как седиментация протекает в определенной среде, то при ламинарном движении частицы возникает сопротивление - сила трения, пропорциональная скорости движения частнцы:
Таким образом, сила, действующая на частицу, во время движения, равна:
C ростом скорости при достаточно большом коэффициенте трения наступает момент, когда сила трения достигает силы, вызывающей седиментацию, и таким образом движущая сила F оказывается равной нулю.
Выражение для силы трения, возникающей при движении сферических частиц, можно представить в виде закона Стокса: .
Подставляя ее в полученное уравнение и выражая объем частицы через ее радиус, получим:
1) Закон Стокса справедлив, если частицы дисперсной фазы осаждаются независимо друг от дpyra, что может быть только в разбавленных системах.
2) Обычно частицы в дисперсных системах и твердой дисперсной фазой имеют неправильную форму. При свободном оседании частица несферической формы ориентируется в направлении движения таким образом, чтобы создавалось максимальное сопротивление движению, что уменьшает скорость осаждения.
3) Закон Стокса может не соблюдаться и при турбулентном режиме осаждения частиц.
4) Закон Стокса предполагает наличие внутреннего трения, или вязкого трения, когда граница (поверхность) движения частицы относительно среды находится внутри дисперсионной среды, вязкость которой определяет коэффициент трения. Если межфазное взаимодействие мало, граница (поверхность) движения частицы относительно среды может совпадать с поверхностью раздела фаз и трение оказывается внешним. Это приводит к возникновению скольжения, ускоряющему движение частицы.
5) Применимость закона Стокса ограничивается также дисперсностью частиц. Большие частицы (>100 мкм) могут двигаться ускоренно, очень малые частицы - ультрамикрпгетерогенные (<0,1 мкм) осаждаются настолько медленно, что следить за такой седиментацией практически невозможно.
Принцип седиментационного метода анализа дисперсности состоит в измерении скорости осаждения частиц, обычно в жидкой среде. По скорости осаждения с помощью соответствующих уравнений рассчитывают размеры частиц. Метод позволяет определить распределение частиц по размерам и соответственно подсчитать их удельную поверхность.
П
ри
седиментационном анализе дисперсности
полидисперсных систем определяют время
осаждения частиц отдельных фракций,
рассчитывают скорости их осаждения и
соответствующие им размеры частиц. Для
этого сначала измеряют зависимость
массы осевшего осадка от времени, строят
график этой зависимости, называемой
кривой седиментации, по которому затем
определяют все необходимые характеристики
дисперсной системы.
Имеются графические и аналитические методы расчета кривой седиментации.
Р
еальная
кривая седиментации полидисперсной
системы обычно получается плавной и ей
отвечает множество бесконечно малых
участков, касательные в каждой точке
этой кривой отражают седиментацию
данной бесконечно малой фракции.
Результаты седиментациоиного анализа дисперсности полиднсперсных систем представляют также в виде кривых распределения частиц по размерам, характеризующих степень полиднсперсности системы.
Кривая распределения является наглядной и удобной характеристикой полидисперсности системы, по которой легко определить содержание различных фракций. Ее строят подобно кривой распределения пор по размерам. Обычно сначала получают интегральную кривую распределения, проводят ее выравнивание с учетом точности получаемых средних значений радиусов частиц фракций и затем по ней строят дифференциальную кривую распределения. Иногда дифференциальную кривую строят сразу. На оси абсцисс откладывают значения радиусов; на ось ординат наносят отношение приращения массовых долей к разности радиусов частиц соседних фракций Δx/Δr i . Построив на графике отдельные прямоугольники для каждой фракции (гистограмму) и соединив плавной кривой середины их верхних сторон, получают дифференциальную кривую распределения частиц полидисперсной системы по размерам.
Используя уравнение Эйнштейна, рассчитайте вязкость золя AgC l , имеющего концентрацию 10% массовых и содержащего сферические частицы. Плотность AgC l : 5,56·10 3 кг\м 3 ; вязкость и плотность дисперсионной среды составляют 1·10 -3 Па·с и 1000 кг/м 3 соответственно.
Экзаменационный билет № 6
Влияние дисперсности на термодинамическую реакционную способность. Вывод уравнения капиллярной конденсации Кельвина. Влияние дисперсности на растворимость, константу равновесия химической реакции и температуру фазового перехода.
Термодинамическая реакционная способность характеризует способность вещества переходить в какое-либо иное состояние, например переходить в другую фазу, вступать в химическую реакцию. Она указывает на удаленность данного состояния вешества или системы компонентов от равновесного состояния при определенных условиях. Термодинамическая реакционная способность определяется химическим сродством, которое можно выразить изменением энергии Гиббса или разностью химических потенциалов.
Реакционная способность зависит от степени дисперсности вещества, изменение которой может приводить к сдвигу фазового или химического равновесия.
Соответствующее приращение энергии Гиббса dG д (благодаря изменению дисперсности) можно представить в виде объединенного уравнения первого и второго начал термодинамики:
Для индивидуального вещества V=V м и при Т=const имеем:
Подставляя в это
уравнение соотношение Лапласа, получим:
для сферической кривизны:
Если рассматривается переход вещества из конденсированной фазы в газообразную, то энергию Гиббса можно выразить через давление пара, приняв его за идеальный. Дополнительное изменение энергии Гиббса, связанное с изменением дисперсности, составляет:
Подставляя данное выражение, получим:
Полученное соотношение называется уравнением Кельвина (уравнение капиллярной конденсации).
Для неэлектролитов его можно записать следующим образом:
Из этого уравнения видно, что с увеличением дисперсности растворимость растет, или химический потенциал частиц дисперсной системы больше, чем у крупной частицы, на величину 2σV/r.
Степень дисперсности может влиять также на равновесие химической реакции:
С увеличением дисперсности повышается активность компонентов, а в соответствии с этим изменяется константа химического равновесия в ту или другую сторону, в зависимости от степени дисперсности исходных веществ и продуктов реакции.
С изменением дисперсности веществ изменяется температура фазового перехода.
Количественная взаимосвязь между температурой фазового перехода и дисперсностью вытекает из термодинамических соотношений.
Для фазового
перехода:,
Для сферических частиц:
Видно, что с уменьшением размера частиц г температуры плавления и испарения вещества уменьшаются (H ф.п. >0).
Природа броуновского движения. Понятие и определение среднеквадратичного сдвига по выбранному направлению. Взаимосвязь между среднеквадратичным сдвигом и коэффициентом диффузии (ввод уравнения Эйнштейна-Смолуховского).
Основой доказательства теплового молекулярного движения в телах явилось обнаруженное английским ботаником Робертом Броуном в 1827 г. с помощью микроскопа непрерывное движете очень мелких частичек - спор папоротника (цветочной пыльцы), взвешенных в воде. Более крупные частицы находились в состоянии постоянного колебания около положения равновесия. Колебания и перемещения частиц ускорялись с уменьшением их размера и повышением температуры и не были связаны с какими-либо внешними механическими воздействиями.
Теоретически обоснованная интерпретация броуновского движения - участие частиц дисперсной фазы ультрамикрогетерогенных систем в тепловом движении - была дана независимо друг от друга Эйнштейнии (1905 г.) и Смолуховским (1906 г.).
Проведенными исследованиями была окончательно доказана природа броуновского движения. Молекулы среды (жидкости или газа) сталкиваются с частицей дисперсной фазы, в результате чего она получает огромное число ударов со всех сторон.
Э
йнштейн
и Смолуховский для количественного
выражения броуновского движения частиц
ввели представление о среднем сдвиге
частицы. Если при наблюдении движения
частицы золя под микроскопом через
определенные равные промежутки времени
отмечать ее местонахождение, то можно
получить ее траекторию движения. Так
как движение происходит в трехмерном
пространстве, то квадрат среднего
расстояния, проходимого частицей за
любой промежуток времени, равен
.
Под микроскопам наблюдают проекцию смещения частицы на плоскость за какое-то время, поэтому .
При равновероятных
отклонениях частицы ее направление
будет находиться между направлениями
x
и у, т. е. под углом 45° к каждой координате.
Отсюда или 
.
Из-за равновероятных отклонений среднеарифметическое значение сдвигов равно нулю. Поэтому используются среднеквадратичные расстояния, проходимые частицей:
Эйнштейн и Смолуховский, постулируя единство природы броуновского движения и теплового движения, установили количественную связь между средним сдвигом частицы (называемым иногда амплитудой смещения) и коэффициентом диффузии D.
Если броуновское движение является следствием теплового движения молекул среды, то можно говорить о тепловом движении частиц дисперсной фазы. Это означает, что дисперсная фаза, представляющая собой совокупность числа частиц, должна подчиняться тем же статистическим законам молекулярно-кинетической теории, приложимым к газам или растворам.
Д
ля
установления связи между средним сдвигом
(смещением) частицы и коэффициентом
диффузии представим себе трубку с
поперечным сечениемS,
наполненную золем, концентрация частиц
которого уменьшается слева направо. В
этом же направлении протекает и диффузия
частиц золя (на рисуике отмечено
стрелкой). Выделим по обе стороны от
линии MN
два малых участка 1 и 2, размеры которых
в направлении диффузии равны Δ
- среднему квадратичному сдвигу за
время τ. Обозначим частичную концентрацию
золя в объемах этих участков соответственно
через ν 1
и ν 2
(ν 1 >ν 2).
Хаотичность теплового движения приводит
к равной вероятности переноса дисперсной
фазы из обоих объемов вправо и влево от
линии MN:
половина частиц переместится вправо,
а другая половина - влево. Количество
дисперсной фазы за время τ
переместится из объема 1 вправо: ,а из объема 2 влево
(в обратном направлении):
.
Так как |Q 1 | > |Q 2 | (ν 1 >ν 2), то суммарное количество перенесенного вещества через плоскость MN вправо определится соотношением .
Градиент концентрации по расстоянию в направлении диффузии можно выразить так:
Подставляя, получим:
Сравнивая это
соотношение с первым законом диффузии
Фика: 
,окончательно
имеем:
Это уравнение выражает закон Эйнштейна - Смолуховского, в соответствии с которым квадрат среднего сдвига пропорционален коэффициенту диффузии н времени.
Для отрицательно заряженного гидрозоля A l 2 S 3 , порог коагуляции при добавленном КС l равен 49 ммоль/л. Используя закон Дерягина, рассчитайте пороги коагуляции для таких электролитов как Na 2 S O 4 , MgC l 2 и A l C l 3 .
Экзаменационный билет № 7
Методы получения дисперсных систем: диспергирование и конденсация. Уравнение Ребиндера для работы диспергирования. Адсорбционное понижение прочности (эффект Ребиндера). Конденсация физическая и химическая. Энергия Гиббса образования зародыша новой фазы при гомогенной конденсации; роль пересыщения.
Диспергирование и конденсация - методы получения свободно-дисперсных систем: порошков, суспензий, золей, в том числе аэрозолей, эмульсий и т. д. Под диспергированием понимают дробление и измельчение вещества, под конденсацией - образование гетерогенной дисперсной системы из гомогенной в результате ассоциации молекул, атомов или ионов в агрегаты.
Работа упругого и пластического деформирования пропорциональна объему тела:
Работа образования новой поверхности при диспергировании пропорциональна приращению поверхности:
Полная работа, затрачиваемая на диспергирование, выражается уравнением Ребиндера:
Разрушение материалов может быть облегчено при использовании эффекта Ребиндера - адсорбционного понижения прочности твердых тел. Этот эффект заключается в уменьшении поверхностной энергии с помощью поверхностно-активных веществ, в результате чего облегчается деформирование и разрушение твердого тела.
Процесс конденсации предполагает образование новой фазы на уже имеющихся поверхностях (стенках сосуда, частицах посторонних веществ - ядрах конденсации) или на поверхности зародышей, возникающих самопроизвольно в результате флуктуации плотности и концентраций вещества в системе. В первом случае конденсация называется гетерогенной, во втором - гомогенной.
Чтобы сконденсированное вещество не возвращалось в первоначальную фазу и конденсация продолжалась, исходная система должна быть пересыщенной. В противном случае конденсация не может происходить, исчезают и зародыши конденсации (путем их испарения, растворения, плавления).
При гомогенной конденсации происходит самопроизвольное образование зародышей; энергия поверхности выступает в качестве потенциального барьера конденсации. Энергию Гиббса образования зародышей выражают (в соответствии с объединенным уравнением первого и второго начал термодинамики) в виде четырех составляющих: энтропийной, механической, поверхностной и химической.
Для жидких и газообразных фаз можно ограничиться двумя первыми составляющими энергии Гиббса образования зародышей.
Е
сли
степень пересыщения меньше критической,
то возникающие зародыши самопроизвольно
испаряются (растворяются). Их размеры
меньше критического, поэтому энергия
Гиббса понижается с уменьшением размера
зародыша. Пересыщенный раствор или пар
в этих условиях иногда удобно представить
как гетерогенно-дисперсную систему, в
которой присутствует множество постоянно
образующихся и исчезающих зародышей
новой фазы. В критической точке
неустойчивость равновесия проявляется
в том, что существует равная вероятность
возникновения и исчезновения зародышей
конденсации.
Если степень пересыщения больше критической величины, то возникающие зародыши будут самопроизвольно расти.
Критическая энергия
Гиббса образования зародышей конденсации
соответствует критической точке -
максимуму функции ΔG
= f(r):
Таким образом, энергия Гиббса образования зародышей при гомогенной конденсации равна одной трети поверхностной энергии зародыша. Если найти радиус зародыша в критической точке, приравняв к нулю первую производную от энергии Гиббса и подставить его в данное выражение, то получим:
Из этого соотношения следует, что энергия образования зародыша конденсации зависит от степени пересыщения, от нее же зависит и размер критического радиуса зародыша. Чем выше степень пересыщения, тем ниже энергия Гиббса образования зародышей и тем меньше размеры образующихся зародышей, способных к дальнейшему росту.
| " |
ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ВВЕДЕНИЕ
В промышленности неоднородные системы, к которым относятся суспензии, эмульсии, пены, пыли, туманы, нередко приходится разделять на составные части.
Методы разделения выбирают в зависимости от агрегатного состояния фаз (газообразной, жидкостной и твердой), а также физических и химических свойств среды (плотность, вязкость, агрессивность и т. д.). Принимаются во внимание капитальные и эксплуатационные расходы.
В зависимости от относительного движения фаз различают два метода разделения: осаждение и фильтрование . В процессе осаждения частицы дисперсной фазы движутся относительно сплошной среды. При фильтровании - наоборот.
Процессы осаждения осуществляются в полях механических сил (гравитационном и центробежном) и в электрическом поле.
Отстаивание является частным случаем процесса осаждения и протекает под действием гравитационной силы. Движущей силой процесса отстаивания является разность между силой тяжести и выталкивающей силой (силой Архимеда).
Отстаивание применяют для грубого разделения суспензий, эмульсий и пылей. Характеризуется низкой скоростью процесса и низким эффектом разделения, т. е. отстаиванием не удается полностью разделить неоднородную систему. В то же время простое аппаратурное оформление процесса и низкие энергетические затраты определяют его широкое применение в различных отраслях промышленности.
Отстаивание проводится в аппаратах, называемых отстойниками периодического, полунепрерывного и непрерывного действия.
С целью увеличения скорости процесса разделения суспензий и эмульсий процесс осаждения проводят под действием центробежной силы в машинах, которые называются центрифугами .
Центрифуги по принципу действия делятся на фильтрующие и отстойные . По характеру протекания процесса разделения отстойные центрифуги в основном аналогичны отстойникам, поэтому они называются отстойными центрифугами.
Процесс разделения суспензий в отстойных центрифугах складывается из стадий осаждения твердых частиц под действием центробежной силы на стенках барабана и уплотнения частиц.
Процесс разделения в центрифугах происходит не только быстрее, но и качественнее, что характеризует степень технического совершенства данного оборудования.
Инженерный расчет процессов разделения лежит в основе правильного подбора оборудования и его эффективного использования.
Пример 1
Выполнить материальный расчет отстойника для разделения неоднородной системы по следующим исходным данным:
Масса исходной суспензии, кг
Продолжительность осаждения, ч
Концентрация вещества дисперсной среды, %
В системе
В осветленной жидкости
Во влажном осадке
Плотность вещества дисперсной фазы, кг/м 3 ρ 1 =2200
Плотность вещества дисперсной среды, кг/м 3 ρ 2 =1000
1. Масса осветленной жидкости:
2. Масса влажного осадка:
кг
3. Плотность исходной суспензии:
кг/м 3
4. Плотность осветленной жидкости и влажного осадка:
= 1002,19 кг/м 3
= 1261,47 кг/м 3 .
5. Объемы исходной суспензии, осветленной жидкости и влажного осадка:
м 3
м 3
м 3
6. Проверка расчета по балансу объемов:
V c = V ж + V 0 = 4,963 + 0,417 = 5,38 м 3 .
7. Производительность по осветленной жидкости:
Скорость осаждения
Существует несколько методов расчета скорости осаждения частиц. Обычно под скоростью осаждения понимают скорость движения частицы в среде под действием разности сил тяжести и Архимеда, при условии, что эта разница равна силе сопротивления среды.
Наиболее простой метод расчета скорости по формуле Стокса. Для отстаивания эта формула имеет вид:
где d - размер частицы (диаметр), м;
Вязкость жидкости, Па с.
Ограниченность применения этой формулы заключается в том, что она позволяет достаточно точно рассчитать скорость только для частиц шарообразной формы и применима в тех случаях, когда режим движения частиц является ламинарным (рис. 2, а), критерий Рейнольдса не превышает 2 
Рис. 2. Движение твердого тела в жидкости:
а) ламинарный поток;
б) турбулентный поток;
в) силы, действующие на движущуюся частицу
G- сила тяжести
А - сила Архимеда
R- сила сопротивления среды.
Для расчета скорости при больших числах Рейнольдса и для частиц несферической формы разработан ряд методов. Один из них основан на использовании коэффициента сопротивления ζ, по физическому смыслу являющегося аналогом критерия Эйлера:
где R - сила сопротивления, действующая на движущуюся частицу;
F - площадь проекции частицы на плоскость, перпендикулярную направлению движения.
Скорость определяется по формуле, выводимой из условия равенства сил, действующих на частицу:
Для практического использования этой формулы необходимо предварительно вычислить коэффициент сопротивления:
- для ламинарного режима, когда Re< 2
- для переходного режима (рис. 2, б) при 2
- для турбулентного (рис. 2, б), автомодельного режима, когда Re> 500, коэффициент сопротивления не зависит от критерия Рейнольдса,
Данный метод позволяет достаточно просто рассчитывать скорость движения частиц при больших значениях критерия Рейнольдса. Неудобством метода является необходимость предварительно задаваться значением скорости для расчета ζ, и поэтому на практике его используют при расчете скоростей движения в автомодельной области, когда Re> 500.
В переходном режиме скорость осаждения удобно рассчитывать, используя критерий Архимеда:
.
В зависимости от величины критерия Архимеда устанавливается в каком режиме будет происходить осаждение.
При условии Аr < 36 будет наблюдаться ламинарный режим и для дальнейшего расчета используется критериальное уравнение:
При условии 36 <Аr< 83000 режим осаждения будет переходным :
Re=0,152Ar 0,714 .
Если Аr> 83000 , то режим - автомодельный турбулентный :
Для последующего расчета скорости движения частицы в жидкости следует воспользоваться формулой
Наряду с описанными выше чисто аналитическими методами существуют методы расчета с использованием графических зависимостей.
Так, критерий Рейнольдса можно определить по графику (рис. 3) в зависимости от предварительно рассчитанного критерия Архимеда. Тем же графиком можно воспользоваться для нахождения критерия Лященко, который является производным от критериев Рейнольдса, Фруда и симплекса плотностей:
Скорость осаждения в этом случае определяют, используя следующую формулу
На графике (рис. 3) нанесены кривые, позволяющие рассчитывать скорости осаждения частиц неправильной формы. Для определения их эквивалентного (условного) размера используют зависимость, позволяющую вести расчет, исходя из объема или массы частицы расчетной величины. При этом под условным размером частицы понимают диаметр шара, объем которого равен объему частицы:
где V 4 - объем частицы расчетного размера, м 3 ;
G o - масса частицы, кг.
Рис. 3. Зависимость критериев Re и Ly от критерия Аr
Расчеты скорости движения частицы по приведенным выше методам соответствуют некоторым идеализированным условиям осаждения.
При движении частиц в системах с большой концентрацией следует учитывать поправку на стесненность:
где 
объемная концентрация частиц в системе.
Действительная скорость осаждения составляет:
Расчетный размер осаждаемых частиц, мкм d= 25
Вязкость дисперсной среды, Па*с 0,8937*10 -3
1 .Скорость отстаивания по формуле Стокса:
2. Критерий Рейнольдса:
Полученное значение ниже критического (Re= 2), это говорит о том, что режим ламинарный и формула Стокса применена обоснованно.
3. Поправка на стесненность движения.
Предварительно вычисляем объемную концентрацию системы:
Поправка составит:
4. Действительная скорость осаждения:
Пример 3
1. Поверхность осаждения:
м 2
2. Полный геометрический объем, принимая к 3 = 0,9:
м 3
3. Диаметр аппарата:
м.
4. Высота жидкости в цилиндрической части при = 45°:
м.
5. Полная высота цилиндрической части:
м.
6. Высота слоя осадка.
Объем днища
меньше объема осадка. Осадок будет заполнять все днище и некоторый объем в цилиндрической части. Высота осадка в коническом днище:
м 3
Пример 4
1. Геометрические размеры отстойника:
Длину принимаем l= 2 м, ширина составит:
м.
Соотношение длины и ширины
2. Толщина слоя движущейся жидкости:
м.
3. Продолжительность пребывания жидкости в отстойнике:
4. Скорость движения жидкости в слое:
5. Объем слоя движущейся жидкости составит:
Диаметр барабана ротора, м D б = 0,8
Скорость вращения, об/ мин n = 1000
Коэффициент загрузки К 3 = 0,5
1. Радиус барабана:
м.
2. Средний расчетный радиус загрузки:
3. Фактор разделения:
4. Критерий Архимеда для центробежного осаждения:
Режим осаждения переходный, так как 36 5. Критерий Рейнольдса: 6. Средняя скорость движения единичной частицы: 7. Средняя скорость осаждения: 8. Продолжительность осаждения: 9. Продолжительность одного цикла. Время вспомогательных операций принимаем равным 1 минуте. 1,001+60=61,001 с 10. Толщина слоя осадка в барабане (отношение объема осадка к объему суспензии в барабане принимается по примеру 1): 7,828*10 -3 м. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
ВВЕДЕНИЕ В технологических процессах мясной и молочной промышленности широко применяется тепловая обработка сырья, которая проводится в теплообменных аппаратах. Теплообменными аппаратами называются устройства, в которых происходит теплообмен между рабочими средами независимо от его технологического назначения. Теплообменными аппаратами являются конденсаторы, подогреватели, пастеризаторы и другие аппараты технологического и энергетического назначения. Теплообменники можно классифицировать по основному назначению, по способу передачи тепла, виду теплообмена, свойствам рабочих сред и тепловому режиму. По основному назначению различают теплообменники и реакторы. В теплообменниках нагрев является основным процессом, а в реакторах - вспомогательным. По способу передачи тепла теплообменные аппараты разделяются на две группы: аппараты смешения и поверхностные аппараты. В аппаратах смешения процесс теплообмена осуществляется за счет непосредственного контакта и смешения жидких или газообразных теплоносителей. В поверхностных аппаратах передача тепла от одной рабочей среды к другой осуществляется через твердую стенку из теплопроводного материала. Поверхностные теплообменники делятся на регенеративные и рекуперативные. В регенеративных аппаратах теплоносители попеременно соприкасаются с одной и той же поверхностью нагрева, которая, соприкасаясь вначале с "горячим" теплоносителем, нагревается, а затем, соприкасаясь с "холодным" теплоносителем, отдает ему свое тепло. В рекуперативных аппаратах передача тепла между средами осуществляется через стенку. В зависимости от вида рабочих сред различают теплообменники газовые (теплообмен между газовыми средами) и парогазовые. Наибольшее распространение в качестве теплоносителей получили водяной пар, горячая вода и дымовые газы. По тепловому режиму различают аппараты с установившимся и с нестационарным процессами. В мясной и молочной промышленности наиболее широко применяются рекуперативные теплообменные аппараты ж аппараты смешения различных типов и конструкций. I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
При выполнении геометрического расчета трубчатого теплообменника рассчитываются те же геометрические размеры, которые можно определить по исходным данным, а также по принятым в процессе расчета геометрическим величинам. Геометрические размеры, расчет которых связан с применением теплотехнических величин, определяется в тепловом расчете. Основной расчетной формулой, связывающей заданную производительность по жидкости, протекающей в трубах, с принимаемыми геометрическими размерами и скоростью, является формула pacxoда где - секундный расход,м 3 /с; Внутренний диаметр трубки, м; Число труб в ходу; Скорость движения жидкости в трубах,м/с При заданной производительности по нагреваемой жидкости расчет производится в следующем порядке. 1.1. Определяется секундный объемный расход жидкости (если задан часовой расход по массе) где - часовой расход, кг/час; Плотность воды, кг/м 3 . 1.2. Определяется требуемое число труб в ходу Скорость движения жидкости по трубам принимается в пределах 0,3-1,5 м/с, при движении по трубам газа = 5-10 м/с. Диаметр нагревательной трубки принимается в зависимости от производительности (рекомендуется (20-30)*10 -3 м). 1.3. Определяется требуемое число труб в пучке теплообменника с учетом числа ходов Число ходов (если не задано по заданию) чаще всего принимают равным 1,2,4 и реже 6 и 12. Многоходовые теплообменники применяют для нагревания жидкостей на большие перепады температур. Обычно при нагреве воды на I ход можно принять 10-30 градусов температурного перепада. Чем больше ходов в теплообменнике, тем он более компактен, удобен в эксплуатации и монтаже. Если теплообменник рассчитывается как конденсатор, а не как нагреватель жидкости, в нем предусматривается только I ход. 1.4. Определяется действительное число труб в теплообменнике с учетом их рационального размещения. Для этого вычерчивается расчетная схема поперечного сечения пучка. При этом принимается чаще всего схема размещения труб по правильным шестиугольникам (см. табл. нормалей). 1.5. Определяется диаметр пучка труб где - число труб по диагонали шестиугольника t - шаг между трубами, м; t = .(при закреплении труб в решетке путем развальцовки; = 1,3-1,5, при сварке =1,25); Наружный диаметр трубы, м; = t 0 - зазор между крайней трубой в диагонали пучка и кожухом, принимаемый конструктивно так, чтобы t 0 ˃ (t - d нар) Полученный диаметр обычно увеличивают до ближайшего числа, рекомендуемого нормалями на обечайки аппаратов. Если при этом затвор окажется во много раз превосходящим размер t- , целесообразно несколько увеличить или сделать пересчет диаметра. 1.6. Определяется диаметр патрубка, подводящего жидкость где - скорость жидкости в патрубке, принимаемая несколько большей, чем в трубах, м (рекомендуемая =1-2,5 м/с). 1.7. Уточняется скорость движения жидкости в трубах где - действительное число труб в ходу с учетом их рационального размещения. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ
В результате выполнения теплового расчета определяются расчетные характеристики процесса, а также те размеры аппарата, которые зависят от них. Основные расчетные зависимости, используемые здесь - уравнение теплопередачи и формулы тепловой нагрузки. 2.1. Тепловая мощность теплообменника (тепловая нагрузка) по нагреваемой жидкости (рассчитывается, если задано G) где С - теплоемкость жидкости при ее средней температуре, Дж/кг К; Производительность, по нагреваемой жидкости, кг/с: Температуры жидкости на входе и выходе, °С по конденсирующемуся пару (рассчитывается, если задано D) где D - производительность по пару, кг/с; i - энтальпия пара, Дж/кг; с к - теплоемкость конденсата, Дж/ (кг*К), t к - температура конденсата, °С (принимается на несколько градусов ниже температуры конденсации пара) 2.2 Определяется средняя разность температур при конденсации пара при нагреве жидкости где t n а p - температура конденсации пара (температура насыщения), °C. Если разности t пар - t 1 и t пар -t 2 отличаются по величине менее, чем в 2 раза, для расчета допускается вычислить среднюю арифметическую разность 2.3. Вычисляется коэффициент теплоотдачи от пара стенке: а) для вертикальной трубы где - коэффициент физических констант; Плотность, кг/м; Коэффициент теплопроводности, Вт/(м*К); Динамическая вязкость, Па*с; r - удельная теплота конденсации пара, Дж/кг; Разность температур конденсации и стенки трубы, °К; Н - высота трубы, м. б) для горизонтальной трубы где - наружный диаметр трубы, м. Коэффициент А обычно определяют по температуре пленки конденсата t пл = t пар - , принимая =10+ 30 К. Удельная теплота конденсации принимается по температуре пара по таблице. Выбор обычно бывает затруднен и требует многократного пересчета, в связи с чем целесообразно заранее рассчитать для 4-6 значений к в пределах 10+30°К по формулам При этом параметр А берется для средней температуры пленки, принимая температуру пленки на 5-15°С ниже температуры пара, и предварительно вычисляется числитель. Далее рассчитывается тепловая нагрузка по теплоотдаче от пара стенке для ряда принятых перепадов температур 2.4. Вычисляется коэффициент теплоотдачи от стенки трубы движущейся жидкости. Для интенсификации процесса в теплообменниках - нагревателях движение жидкости осуществляется в турбулентном режиме (Rе > 10 4). При этом условии Для расчета по этой формуле следует предварительно определить критерии Рейнольдса и Прандтля где - кинематический коэффициент вязкости жидкости, м 2 /с; w д - действительная скорость движения жидкости по трубам, м/с; Внутренний диаметр труб, м; Плотность жидкости, кг/м 3 Динамическая вязкость жидкости, Па*с: где С - теплоемкость жидкости, Дж/кг*К; Коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/м*К. Параметры жидкости С, берутся по средней температуре жидкости или . Критерий Прандтля не зависит от кинетических характеристик и может быть найден по таблице. Аналогично находится и критерий Прандтля для параметров жидкости при температуре стенки. Температура стенки со стороны жидкости берется выше средней температуры жидкости на 10+40 К. Следует заметить, что эта температура не может быть выше температуры стенки, принятой со стороны пара при вычислении . 2.5. Определяется коэффициент теплопередачи через стенку формуле где - коэффициенты теплопроводности материала стенки и накипи, Вт/(м*К); Толщины стенки трубы и накипи (загрязнения),м. Данная формула выведена для случаев теплопередачи через плоскую стенку, однако она применяется и для цилиндрических стенок, у которых . В этом случае ошибка не превышает нескольких процентов. При выполнении многовариантного расчета следует рассчитать термическое сопротивление стенки без учета теплоотдачи со стороны пара, полагал α 2 постоянным Результаты вычислений q 1 и q ст для принятых значений t ст вносятся в обобщающую таблицу По результатам расчета строится график q по которому находится действительное значение t ст. д. при условии равенства . Для определения коэффициента теплопередачи можно воспользоваться значением q= - взятым из таблицы или по графику. Для точного расчета коэффициента теплопередачи следует сначала определить величину α 1 по формуле пункта 2.3, подставив в нее значение температуры стенки, найденное по графику. После этого рассчитывается величина коэффициента теплопередачи по формуле пункта 2.5. 2.6. Рассчитывается поверхность теплопередачи Формула скорости оседания частицы в жидкости:
где v -
скорость оседания, g -
ускорение силы тяжести, r -
радиус частицы, ρ" -
плотность вещества частицы, ρ -
плотность жидкости, μ -
коэф. вязкости жидкости. Коэф. К
зависит от формы частицы и приблизительно равен 0,222 для шаров, 0,143 для дисков и 0,040 для чешуек.
Физическая энциклопедия Физическая энциклопедия Толковый словарь по почвоведению Научно-технический энциклопедический словарь Медицинская энциклопедия Большой медицинский словарь Медицинские термины Геологическая энциклопедия Геологическая энциклопедия Геологическая энциклопедия Геологическая энциклопедия Большой энциклопедический политехнический словарь Большая Советская энциклопедия Большой энциклопедический словарь ДЫХАНИЕ ЧЕЙН-СТОКСА
О Сталине я в жизни думал разное.
Борис Слуцкий
1Смысл странноватого названия этой главы поймут не все. Но многие из тех, для кого 5 марта 1953 года стало важной вехой в их жизни, сразу сообразят, в чем тут дело.А для меня за этими словами встает еще и такая ЛЕКЦИИ СТОКСА, СЕМИНАРЫ ГОПКИНСА, СОВЕТЫ ОТЦА
К первым кембриджским годам относится и сближение Максвелла с другом Вильяма Томсона Джорджем Габриэлем Стоксом, профессором в Кембридже, который был старше Джеймса на двенадцать лет. Стокс был лукасианским профессором Его формула
Незадолго до смерти Довженко мечтал уйти с «Мосфильма» и образовать свою студию. Я, юный, влюбленный в мосфильмовский гигант, был ошарашен.- Чем вам не нравится «Мосфильм»? - робко спросил я у Александра Петровича.И получил многозначительный ответ:- На Формула
В моем понимании, формула, правящая миром, – не что иное, как абсолютная, чистая любовь (или, другими словами, полная интеграция). А интеграция является функцией взаимного уважения и доверия.Итак, где же был Бог во время Холокоста? Формула объясняет, что произошло: Формула
Вы сделали первые четыре шага и теперь готовы перейти к формуле ликвидации плохих долгов. Шаги с 5-го по 10-й приведут вас к конкретной формуле, которую мы с Робертом использовали для того, чтобы избавиться от всех тех долгов, которые висели на нас неподъемным Формула
Безубыточный объем (БО) - это объем продаж, необходимый при цене продажи р, который создает прибыль, равную расчетным постоянным издержкам. При безубыточном объеме все постоянные и переменные издержки покрываются.Безубыточная продажа = БО = ПИ/МД=ПИ/(Ц- Формула
Специалисту, занимающемуся маркетинговым планированием для точной регуляции цены требуется знание двух формул.Снижение цены способствует увеличению валовой прибыли в том случае, если%?Оn > [(%?Ц) / % ТП - %?Ц)] х 100%,где %?Оn - процент увеличения объема продаж;%?Ц - Формула ОДП
Первый промокает можно запустить уже сегодня и повторять его каждую неделю. Запись не нужно пускать в открытый доступ. Промокает должен быть немного обучающим, но в первую очередь – активно продающим тренинг.Как строить продажную презентацию? Вспомните Формула
Таким образом, удельный порядок держался на двух основаниях, на географическом и на политическом: он создан был совместным действием природы страны и её колонизации. 1) При содействии физических особенностей Верхневолжской Руси колонизация выводила здесь мелкие Формула пути – формула жизни
Жизнь – это путешествие в самый неизвестный уголок во всем мире – Себя. Никто не знает своих границ. И я уверен, что их нет совсем. Я не знаю, что я возьму с собой по дороге, от чего откажусь, что не замечу, о чем буду плакать, смеяться, сожалеть.
Я
м/с.
= 0,133*0,8831 = 0,117 м/с.
м;
Вт
Вт/(м 2 *К)
или 
или 
Вт/(м 2 *К)
t ст
q 1
q ст
"ФОРМУЛА СТОКСА" в книгах
ДЫХАНИЕ ЧЕЙН-СТОКСА
Из книги
Скуки не было. Первая книга воспоминаний
автора
Сарнов Бенедикт Михайлович
Его формула
Из книги
Изнанка экрана
автора
Марягин Леонид
Формула
Из книги
Размышления о личном развитии
автора
Адизес Ицхак Калдерон
Формула
Из книги
Освободитесь от плохих долгов
автора
Кийосаки Роберт Тору
Формула
автора
Диксон Питер Р.
Формула
Из книги
Управление маркетингом
автора
Диксон Питер Р.
Формула ОДП
Из книги
Инфобизнес на полную мощность [Удвоение продаж]
автора
Парабеллум Андрей Алексеевич
Формула
Из книги
Курс русской истории (Лекции I-XXXII)
автора
Ключевский Василий Осипович