Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных , при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама , либо ее отрицание ).

Например, является простой конъюнкцией,

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций .

Например, выражение является ДНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма , у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами , либо их отрицания ), причем в одном и том же порядке .

Например, выражение является ДНФ, но не СДНФ. Выражение является СДНФ.

Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.

Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных , при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама , либо ее отрицание ).Например, выражение - простая дизъюнкция,

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение - КНФ).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.

Например, выражение является СКНФ.

Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:

а) переход от ДНФ к КНФ

Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:

Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;

б) переход от КНФ к ДНФ

Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)

Таким образом, получили ДНФ.

Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;

в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка

Применение этого правила состоит из двух частей:

Если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые , то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К 1 К 2 . Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;

Если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например,

или

Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ , после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):

в) переход от ДНФ к СДНФ

Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z , вставляем в нее выражение ,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:

г) переход от КНФ к СКНФ

Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z , то добавляем в нее выражение (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Заметим, что минимальную или сокращенную КНФ обычно получают из соответствующей ДНФ.

Введем понятие элементарной дизъюнкции.

Элементарной дизъюнкцией называется выражение вида

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) логической функции называется конъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций. Например, логические функции

представляют собой конъюнкции элементарных дизъюнкций. Следовательно, они записаны в конъюнктивной нормальной форме.

Произвольная логическая функция, заданная аналитическим выражением, может быть приведена к КНФ путем выполнения следующих операций:

Использования правила инверсии, если операция отрицания применена к логическому выражению;

Использования аксиомы дистрибутивности относительно умножения:

Использования операции поглощения:

Исключения в дизъюнкциях повторяющихся переменных или их отрицаний;

Удаления всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной;

Удаления всех дизъюнкций, в которые одновременно входят переменная и ее отрицание.

Справедливость перечисленных операций вытекает из основных аксиом и тождественных соотношений алгебры логики.

Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной, если каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит в прямом или инверсном виде все переменные, от которых зависит функция.

Преобразование КНФ к совершенной КНФ осуществляется путем выполнения следующих операций:

Прибавления к каждой элементарной дизъюнкции конъюнкций переменных и их отрицаний, если они не входят в данную элементарную дизъюнкцию;

Использования аксиомы дистрибутивности;

Удаление всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной.

В совершенной КНФ может быть представлена любая логическая функция, кроме

тождественно равной единице (). Отличительным свойством совершенной КНФ является то, что представление в ней логической функции единственно.

Элементарные дизъюнкции, входящие в совершенную КНФ функции, носят название конституент нуля. Каждая конституента нуля, входящая в совершенную КНФ, обращается в нуль на единственном наборе значений переменных, который является нулевым набором функции. Следовательно, число нулевых наборов логической функции совпадает с числом конституент нуля, входящих в ее совершенную КНФ.

Логическая функция константа нуля в совершенной КНФ представляется конъюнкцией 2nконституент нуля. Сформулируем правило составления СКНФ логической функции по таблице соответствия.

Для каждой строки таблицы соответствия, в которой функция равна нулю, составляется элементарная дизъюнкция всех переменных. При этом в дизъюнкцию входит сама переменная, если ее значение равно нулю, или отрицание, если ее значение равно единице. Полученные элементарные дизъюнкции объединяются знаком конъюнкции.

Пример 3.4. Для логической функции z(x), заданной таблицей соответствия 2.2, определим совершенную конъюнктивную форму.

Для первой строки таблицы, которая соответствует нулевому набору функции 000, находим конституенту нуля . Выполнив аналогичные операции для второй, третьей и пятой строк, определим искомую совершенную КНФ функции:

Необходимо отметить, что для функций, число единичных наборов которых превышает число нулевых наборов, более компактной является их запись в виде СКНФ и наоборот.

Определение 1. Конъюнктивным одночленом (элементарной конъюнкцией) от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Например , – элементарная конъюнкция.

Определение 2. Дизъюнктивным одночленом (элементарной дизъюнкцией) от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Например , – элементарнаядизъюнкция.

Определение 3. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.

Например, – ДНФ.

Определение 4. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.

Например , – КНФ.

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Алгоритм построения нормальных форм

С помощью равносильностей алгебры логики заменить все имеющиеся в формуле операции основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием:

Избавиться от знаков двойного отрицания.

Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

2.6. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Определение 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить следующим образом:

Определение 2. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

Определение 3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, в которой в каждый дизъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить следующим образом.

Определение 4. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам.

Теорема 1. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, и притом единственным образом.

Способы нахождения СДНФ

1-й способ

2-й способ

выделяем строки, где формула принимает значение 1;

составляем дизъюнкцию конъюнкций при условии, что если переменная входит в конъюнкцию со значением 1, то записываем эту переменную, если со значением 0, то ее отрицание. Получаем СДНФ.

Теорема 2. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ, и притом единственным образом.

Способы нахождения СКНФ

1-й способ – с помощью равносильных преобразований:

2-й способ – с помощью таблиц истинности:

выделяем строки, где формула принимает значение 0;

составляем конъюнкцию дизъюнкций при условии, что если переменная входит в дизъюнкцию со значением 0, то записываем эту переменную, если со значением 1, то ее отрицание. Получаем СКНФ.

Пример 1. Постройте КНФ функции .

Решение

Исключим связку «» с помощью законов преобразования переменных:

= /законы де Моргана и двойного отрицания/ =

/дистрибутивные законы/ =

Пример 2. Приведите к ДНФ формулу .

Решение

Выразим логические операции ичерез,и:

= /отнесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания/ =

= /закон дистрибутивности/ .

Пример 3. Запишите формулу в ДНФ и СДНФ.

Решение

Используя законы логики, приведем данную формулу к виду, содержащему только дизъюнкции элементарных конъюнкций. Полученная формула и будет искомой ДНФ:

Для построения СДНФ составим таблицу истинности для данной формулы:

Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 1. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

строка 1: ;

строка 3: ;

строка 5: .

Дизъюнкция этих трех формул будет принимать значение 1 только на наборах переменных в строках 1, 3, 5, а следовательно, и будет искомой совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):

Пример 4. Приведите формулу к СКНФ двумя способами:

а) с помощью равносильных преобразований;

б) с помощью таблицы истинности.

Решение:

Преобразуем вторую элементарную дизъюнкцию:

Формула имеет вид:

б) составим таблицу истинности для данной формулы:

Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 0. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

строка 2: ;

строка 6: .

Конъюнкция этих двух формул будет принимать значение 0 только на наборах переменных в строках 2 и 6, а следовательно, и будет искомой совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ):

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. С помощью равносильных преобразований приведите к ДНФ формулы:

2. С помощью равносильных преобразований приведите к КНФ формулы:

3. С помощью второго дистрибутивного закона преобразуйте ДНФ в КНФ:

а) ;

4. Преобразуйте заданные ДНФ в СДНФ:

5. Преобразуйте заданные КНФ в СКНФ:

6. Для заданных логических формул постройте СДНФ и СКНФ двумя способами: с помощью равносильных преобразований и с помощью таблицы истинности.

б) ;

Простой дизъюнкцией { англ. inclusive disjunction } или дизъюнктом { англ. disjunct } называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Простая дизъюнкция

• полная , если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно один раз;
• монотонная , если она не содержит отрицаний переменных.

Конъюнктивная нормальная форма, КНФ { англ. conjunctive normal form, CNF } нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Пример КНФ: $f(x,y) = (x \lor y) \land (y \lor \neg { z })$

СКНФ

Совершенная конъюнктивная нормальная форма, СКНФ { англ. perfect conjunctive normal form, PCNF } - это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:

• в ней нет одинаковых простых дизъюнкций
• каждая простая дизъюнкция полная

Пример СКНФ: $f(x,y,z) = (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x\lor y \lor \neg { z })$

Теорема: Для любой булевой функции $f(\vec { x })$, не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.

Доказательство: Поскольку инверсия функции $\neg { f } (\vec x)$ равна единице на тех наборах, на которых $f(\vec x)$ равна нулю, то СДНФ для $\neg { f } (\vec x)$ можно записать следующим образом:

$\neg { f } (\vec x) = \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) $, где $ \sigma_ { i } $ обозначает наличие или отсутствие отрицание при $ x_ { i } $

Найдём инверсию левой и правой части выражения:

$ f(\vec x) = \neg ({ \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) }) $

Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем: $ f(\vec x) = \bigwedge \limits_ { f(x^ { \sigma_1 } , x^ { \sigma_2 } , \dots ,x^ { \sigma_n }) = 0 } $ $(\neg { x_1^ { \sigma_1 } } \vee \neg { x_2^ { \sigma_2 } } \vee \dots \vee \neg { x_n^ { \sigma_n } }) $

Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть построена для любой функции, не равной тождественному нулю, то теорема доказана.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

• В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.
• Для каждого отмеченного набора записываем дизъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
• Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Пример построения СКНФ для медианы

1). В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.

x	y	z	$ \langle x,y,z \rangle $
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2). Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.

x	y	z	$ \langle x,y,z \rangle $
0	0	0	0	$(x \lor y \lor z)$
0	0	1	0	$(x \lor y \lor \neg { z })$
0	1	0	0	$(x \lor \neg { y } \lor z)$
0	1	1	1
1	0	0	0	$(\neg { x } \lor y \lor z)$
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

3). Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

$ \langle x,y,z \rangle = (x \lor y \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor z) \land (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x \lor y \lor \neg { z })$

Примеры СКНФ для некоторых функций

Стрелка Пирса: $ x \downarrow y = (\neg { x } \lor { y }) \land ({ x } \lor \neg { y }) \land (\neg { x } \lor \neg { y }) $

Исключающее или: $ x \oplus y \oplus z = (\neg { x } \lor \neg { y } \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor \neg { z }) \land (x \lor \neg { y } \lor \neg { z }) \land (x \lor y \lor z)$

Стандартный базис. Элементарные формулы - литералы. Элементарная конъюнкция (дизъюнкция). Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма и совершенная форма. Теорема: любая булева функция, отличная от 0 (от 1) представима в виде СДНФ (СКНФ). Полнота стандартного базиса. Примеры полных базисов: базис Жегалкина, штрих Шеффера, стрелка Пирса.

Стандартный базис - это набор из трех исходных операций булевой алгебры: сложения (объединения), умножения (пересечения) и отрицания.

Здесь мы будем называть литералом переменную x или ее отрицание x и обозначать xˆ. Булево пересечение нескольких литералов, определяемых различными переменными, т.е. выражение вида X = xˆ 1 xˆ 2 . . . xˆ л, называется элементарной конъюнкцией . Требование, чтобы все переменные были различны обусловливается следующим. Если в конъюнкцию входит несколько одинаковых литералов, то в силу коммутативности, ассоциативности и идемпотентности конъюнкции можно, переходя к эквивалентной формуле, оставить лишь один литерал (например, x 1 x 1 = x 1). Если в конъюнкцию входит переменная и ее отрицание, то формула эквивалентна константе 0, поскольку x x = 0 и для любой формулы Y имеем Y x x = 0.

Дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой , или ДНФ . Например,

x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 .

Если состав переменных в каждой элементарной конъюнкции данной ДНФ один и тот же, то ДНФ называется совершенной . Приведенный пример - это ДНФ, не являющаяся совершен- ной. Напротив, формула

x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4

есть совершенная форма.

Поскольку в булевой алгебре сложение и умножение - симметричные операции и всегда можно интерпретировать сложение как умножение, а умножение как сложение, существует и двойственное понятие - конъюнктивная нормальная форма (КНФ ), представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, и совершенная конъюнктивная форма (СКНФ ). Из принципа двойственности для симметричных полуколец вытекает, что любому утверждению относительно ДНФ отвечает двойственное утверждение относительно КНФ, которое получается заменой сложения (дизъюнкции) умножением, умножения (конъюнкции) сложением, константы 0 константой 1, константы 1 константой 0, отношения порядка двойственным (обратным) порядком. Поэтому далее мы остановимся на изучении только ДНФ.

Теорема 1.4. Любая булева функция, отличная от константы 0 представима в виде СДНФ.

◀Условимся под x σ понимать формулу x, если σ = 1, и формулу x , если σ = 0. Пусть функция f(y 1 , . . . , y n) принимает значение 1 на векторе (t 1 , . . . , t n) (такой вектор называют конституэнтой единицы ). Тогда элементарная конъюнкция также принимает значение 1 на этом наборе, но обращается в нуль на всех остальных n-мерных булевых векторах. Рассмотрим формулу

в которой сумма (объединение) распространяется на все те наборы (t 1 , . . . , t n) значений аргументов, на которых заданная функция принимает значение 1. Отметим, что множество таких наборов не пусто, так что в сумме есть по крайней мере одно слагаемое.

Нетрудно заметить, что формула Φ обращается в 1 при тех, и только при тех значениях переменных, при которых обращается в 1 рассматриваемая функция. Значит, формула Ψ представляет функцию f.

Следствие 1.1. Стандартный базис является полным.

◀ Действительно, если функция не является константой 0, то она представима либо в виде СДНФ, которая является формулой над стандартным базисом. Константу 0 можно представить, например, формулой f(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x 1 x 1 .

Пример 1.2. Рассмотрим функцию трех переменных m(x 1 , x 2 , x 3) (табл. 1.4), называемую мажоритарной функциеи ̆. Эта функция принимает значение 1, если больше половины ее аргументов имеют значение 1. Поэтому ее часто называют функцией голосования. Построим для нее СДНФ.

Полнота стандартного базиса позволяет подбирать и другие полные системы функций. Полнота множества F может быть установлена из следующих соображений. Предположим, каждая из трех функций стандартного бузиса представима формулой над F . Тогда в силу теоремы 1.3 иножество F будет полным.

Пример 1.3. Множество из операций сложения по модулю 2, умножения и константы 1 называют базисом Жегалкина . Сложение по модулю 2 и умножение - базовые операции кольца Z2, выражения, составленные с их помощью - это многочлены над кольцом Z2. Кон- станта 1 в данном случае необходима для записи свободного члена. Поскольку xx = x, то все сомножители в многочлене имеют степень 1. Поэтому при записи многочлена можно обойтись без понятия степени. Примеры формул над базисом Жегалкина:

xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.

Любую такую формулу называют полиномом Жегалкина. Фактически полином Жегалкина - это многочлен над кольцом Z2.

Нетрудно сконструировать формулы над базисом Жегалкина, представляющие операции сложения и отрицания стандартного базиса (умножение у двух базисов общее):

x+y=x⊕y⊕xy, x =x⊕1.

Поэтому базис Жегалкина - полное множество.
Можно показать, что для любой булевой функции полином Жегалкина определен однозначно

(точнее, с точностью до порядка слагаемых). Коэффициенты полинома Жегалкина при небольшом количестве переменных можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1.4. Рассмотрим множество из единственной функции - штриха Шеффера*. Это множество полно, что следует из следующих легко проверяемых тождеств:

x =x|x, xy=x|y =(x|y)|(x|y), x+y=x |y =(x|x)|(y|y).

Пример 1.5. Базис, состоящий из единственной функции - стрелки Пирса, также является полным. Проверка этого аналогична случаю штриха Шеффера. Впрочем, это заключение можно сделать и на основании принципа двойственности для симметричных полуколец.

*Штрих Шеффера - бинарная, но не ассоциативная операция. Поэтому при использовании инфиксной формы следует быть внимательным: результат зависит от порядка выполнения операций. В этом случае рекомендуется явно указывать порядок операций при помощи скобок, например писать (x | y) | z, а не x | y | z, хотя обе формы равнозначны.