Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным уравнением .

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

симметрическим , если Р(х;y) - симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители - это вам известно из курса алгебры 7-9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x 2 -5xy+2y 2 .

Воспользуемся методом группировки

2x 2 -5xy+2y 2= 2x 2 -4xy-xy+2y 2 = 2x(x-2y) –y(x-2y)=

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u) 2 .

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени , если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) - однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением .

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 - однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 - однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x 3 +4xy 2 -5y 3 - однородный многочлен третьей степени; x 3 +4xy 2 -5y 3 =0 соответственно - однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= a n x n +a n-1 x n-1 y+a n-2 x n-2 y 2 + …+a 1 xy n-1 +a 0 y n - общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b – ap) x 2 + (c – bp) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x 3 +4xy 2 -5y 3 =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х 3 , получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z 2 -5z 3 =0.

(5z 3 -5z 2)+(z 2 -1)=0

5z 2 (z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z 2 +z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z 3 -4z 2 -1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x 2 y+xy 2 . В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y 2 x+yx 2 , но это то же самое, что x 2 y+xy 2 . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x 2 +y 2 , x 3 +y 3 , x 4 +y 4 и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy

x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y)

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2)-(x 4 +y 4)+3(xy) 2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим , если Р(х;y) - симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином », по-русски – двучлен .

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)

(a+b) 3 =(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а , она убывает от максимума до нуля):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3)(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4)(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1 ):

n=1, (a+b) 1 =a+b

Окончательно получим:

Общая формула бинома Ньютона:

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

Называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые - членами бинома.

Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Из данных многочленов выделите симметрические:

1. 2х 2 -5ху+2у 2 -6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

1. 2х 2 -5ху+2у 2 -6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.

Определение 4

Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]

\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4xy}^5+{10x}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

• составляется произведение.
• раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим.

Возьмем две буквы x и y . Произведение где а – число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.
Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n- ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3 :


Эти формулы легко обобщаются для произвольного n :

Сумма n- ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое можно представить в виде и воспользоваться формулой разложения разности n- ых степеней.

Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y .

Симметри́ческий многочле́н - многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Основные симметрические многочлены - многочлены вида

определённые для , то есть такие:

Возьмем две буквы x и y. Произведение a*xk*yl где а - число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи. Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3: x2-y2=(x-y)*(x+y) x3-y3=(x-y)*(x2+x*y+y2) Эти формулы легко обобщаются для произвольного n: xn-yn=(x-y)*(xn-1+xn-2*y+…+x*yn-2+yn-1) Сумма n-ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое yn можно представить в виде -(-y)n и воспользоваться формулой разложения разности n-ых степеней. Пример.

x5+y5=x5-(-y)5=(x-(-y))*(x4+x3(-y)+x2*(-y)2+x*(-y)3+(-y)4)=(x+y)*(x4-x3*y+x2*y2-x*y3+y4)

Это тождество проверяется прямым перемножением скобок правой части.

Симметричные многочлены

Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.

Примеры симметричных многочленов 0) 1; 1) x+y; 2) x*y; 3) x2-x*y+y2; 4) x3+5*x2*y+5*x*y2+y3; 5) (x-y)10 Первые три многочлена называются основными: Их роль состоит в том, что любой симметричный многочлен от двух переменных может быть выражен через и с помощью операция сложения и умножения.

Рассмотрим в качестве примера разложение суммы степеней через суммы и произведение Пусть Умножим на Так как то Получаем тождество Зная и мы последовательно сможем вычислить для любого k. и т. д. С помощью теоремы Виета мы можем выразить любой симметричный многочлен от корней квадратного трехчлена через коэффициенты p и q, так как Например, найдем где - корни трехчлена Воспользуемся полученной ранее формулой для суммы 5-ых степеней: По теореме Виета Подставляя, получим От Ньютона идет другой способ решения этой (и аналогичной ей) задачи без использования формулы для Подставим корни и в уравнение. Получим равенства Сложим: умножим равенства на и и сложим: Продолжаем аналогично.

Одночлены и многочлены от одной переменной

Одночленом (мономом) от переменной x называют целую неотрицательную степень переменной x , умноженную на число.

Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени .

Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:

i 1 + i 2 + … + i n .

Число c называют коэффициентом одночлена .

Пример . Степень одночлена

равна 3, а коэффициент равен - 0,83 .

Два одночлена равны , если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.

Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных . Например,

Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, степень многочлена

равна 8.

Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом , если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.

Например, многочлен

является однородным многочленом степени 3.