Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|{cos 0^0\ }=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\]

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказательство.

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

Распределительный закон:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

\[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]

Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

\[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Для ${45}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Для ${90}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]

Для ${135}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y } и b = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a x · b x + a y · b y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a 1 ; a 2 ; ... ; a n } и b = {b 1 ; b 2 ; ... ; b n } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + a n · b n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторным произведением векторов и вектора называется третий вектор , определяемый следующим образом:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1"")

3) векторы ориентированы также, как и базис всего пространства (положительно или отрицательно).

Обозначают: .

Физический смысл векторного произведения

― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы, тогда

причем, если перенести в точку О, то тройка, должна быть ориентирована как вектора базиса.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2 . Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат .

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом - после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства

1. (переместительное свойство : от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство : скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство : скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля ), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π /2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю :

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π скалярное произведение положительно .

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π /2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно .

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

.

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

.

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π /4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины . Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A (1;1;1), B (2;2;1), C (2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 9. Даны два вектора

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

2.Разность

Лекция: Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Координаты вектора

Итак, как уже говорилось ранее, вектора – это направленный отрезок, у которого есть собственное начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.

Если же у каждой точки есть свои координаты, то мы можем получить и координаты целого вектора.

Допустим, мы имеем некоторый вектор, у которого начало и конец вектора имеют следующие обозначения и координаты: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)

Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:

Для определения координаты вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:

Скалярное произведение векторов

Существует два способа определения понятия скалярного произведения:

• Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин данных модулей на косинус угла между ними.

• Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух вектором – это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.

Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой:

Свойства:

• Если умножить два одинаковых вектора скалярно, то их скалярное произведение будет не отрицательным:

• Если же скалярное произведение двух одинаковых векторов получилось равным нулю, то эти векторы считаются нулевыми:

• Если некоторый вектор умножить на себя же, то скалярное произведение получится равным квадрату его модуля:

• Скалярное произведение имеет коммуникативное свойство, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится:

• Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу:

• Для скалярного произведения векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число:

• При скалярном произведении так же можно использовать дистрибутивное свойство умножения:

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)

Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами . Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.

может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: либо (в радианах).

В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ : Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый : (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным сонаправлены , то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой : (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно : . Особый случай: если векторы направлены противоположно , то угол между ними считается развёрнутым : (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой : (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю : . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны . Короткая математическая запись:

! Примечание : повторим основы математической логики : двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то , что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем .

Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .

А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Пример 5

Найти длину вектора , если .

Решение будет следующим:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ:

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора , если .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .

Пример 7

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ:

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов , если

Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:

Найдём вектор :

И его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .

Таким образом:

Ответ:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 16

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ:

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется