Твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения - вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.

Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры

Соответственно, скорость элементарной массы твердого тела складывается из скорости поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:

где - радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0 .

Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:

Векторное произведение

имеет модуль, равный , где - расстояние массы от оси вращения. Следовательно, третье слагаемое в скобках равно . Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:

В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение

Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:

Сумма элементарных масс

есть масса твердого тела. Выражение

где - радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0 .

Есть момент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:

Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна

Здесь - скорость движения центра масс, a - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил

Индекс в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.

В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.

Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему

Пример 1 . Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом и массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.

Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости

Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.

1-й способ . По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:

где - коэффициент трения скольжения.

Оси координат удобно направить следующим образом: ось х - вдоль движения, ось у - перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести , силы трения и силы нормального давления , так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:

Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у , получаем для силы нормального давления соотношение:

Проекция уравнения движения на ось х дает:

Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:

Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.

Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:

Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:

Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр - быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:

Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.

Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a , так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:

Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:

К концу спуска тело проходит путь

так что его скорость достигает величины

Подставляя сюда моменты инерции обруча (), цилиндра () и шара (), находим соответственно:

2-й способ . Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию

Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии . Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.

В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь () между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона - Кулона.

Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример - трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.

Пример 2 . Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью (рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью . Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость поступательного движения обруча.

Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением

При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.

Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид

Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7.3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен . После элементарного интегрирования получаем

Поступательное движение прекратится, то есть станет равным нулю, в момент времени

Вращение прекратится, то есть станет равным нулю,в момент времени

Их отношение

может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного и вращательного движений.

Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость нижней точки обруча - той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX , имеем

Если , то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения

Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.

Как следует из (7.3.8), в момент времени

скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс

вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью

Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:

Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки - на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени

проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае , так что а

Таким образом, ответ на вопрос: "Вернется обруч или укатится?" определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра , который имеет простой физический смысл: это отношение модуля

скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА, СКАТЫВАЮЩЕГОСЯ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

ЦЕЛЬ : приобрести навык расчёта момента инерции тел, состоящих из простых элементов, определить момент инерции тела относительно мгновенной оси враще­ния расчётным и экспериментальным методом

ОБОРУДОВАНИЕ : установка, набор тел, секундомер

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

В работе используются тела, осью которых является цилиндрический стер­жень радиусом r. Одно из рис. 1) помещают на параллельные направ­ляющие 2, образующие с горизонтом углы α1 и α2.

Если тело отпустить, то оно, скатываясь, достигнет нижней точки и, двига­ясь далее по инерции, поднимется вверх по направляющим. Движение тела, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, называется плоским. Плоское движение можно представить двумя способами: либо как со­вокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и враща­тельного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только враща­тельное движение вокруг мгновенной оси вращения (MOB), положение которой непрерывно изменяется. В нашем случае эта мгновенная ось Z проходит через точки касания направляющих с движущимся стержнем.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

При скатывании тело, опускаясь с высоты проходит путь l0 , а поднимаясь по инерции на высоту проходит путь l . В нижней точке скорость поступательного движения центра масс , а угловая скорость тела

где t - время движения от верхней точки до нижней, г - радиус стержня (оси).

На скатывающееся тело действует момент сил сопротивления Мтр. Работа его на пути l0 равна A = Мтрφ где угловой путь φ = l0 /r.

Закон сохранения энергии на отрезке пути l0 имеет вид

, (2)

где J - момент инерции скатывающегося тела относительно MOB, m - масса тела, включающая в себя массу стержня.

При движении тела вниз с высоты h0 и вкатывании его на высоту h работа сил сопротивления на пути (l + l0 ) равна убыли потенциальной энергии

https://pandia.ru/text/80/147/images/image008_41.gif" width="146 height=48" height="48"> (4)

Здесь величина (α1 и α2) является константой для данной установки.

Момент инерции тела относительно MOB определяется теоремой Штейнера J = J0 + ma2, (5)

8. Какие функции носят название интегралов движения?

9. Перечислите аддитивные интегралы движения.

10. Как Вы понимаете следующие физические категории: «однородность времени», «однородность пространства», «изотропия пространства» и какое отношение они имеют к аддитивным интегралам движения?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем заключается метод по определению момента инерции тела?

2. Укажите возможные систематические ошибки измерений.

3. Укажите величины кинетической и потенциальной энергии при скатыва­нии тела: в начале и в конце движения, в нижней точке и в произвольной точке.

4. Опишите характер движения тела по направляющим. Какая сила создаёт момент относительно оси вращения?

5. Как измеряют угловую скорость ω в данной работе?

6. Какие величины измеряют для определения скорости ω, момента сил тре­ния, работы сил трения?

7. Какие уравнения лежат в основе динамических методов определения мо­мента инерции?

8. Укажите возможные источники случайных погрешно­стей при измерениях.

9. Однородный цилиндр массы m и радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью υ0. Найти выражение для определения кинетической энергии цилиндра.

10. Вычислить момент импульса Земли, обусловленный ее движением вокруг оси. Сравнить этот момент с моментом импульса, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли – окружностью.

Стерлитамак

Исследование скатывания тел по наклонной плоскости

Цель работы: приобрести некоторые навыки самостоятельного исследования физических явлений и обработки полученных результатов.

Оборудование и принадлежности: наклонная плоскость (трибометр), линейка масштабная, набор тел, весы, секундомер.

Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.

Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.

При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.

Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.

Краткая теория

Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.

Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)

или в скалярном виде в проекциях:

на ось OX: .

на ось ОУ:

Уравнение моментов относительно оси

При отсутствии проскальзывания

Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела

,

(1)

где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.

Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения (). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести

где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому

,

(6)

где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.

Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.

Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	Форма скатывающегося тела	Масса , кг	Радиус , м	Длина наклонной плоскости (м)	Время скатывания, с	Момент инерции , кг·м 2

Определить для каждого случая погрешность при определении .

Определите значение момента инерции для каждого тела теоретически. Сравните значение момента инерции тел определенных теоретически и из эксперимента и в случае их несовпадения объясните причину.

Контрольные вопросы

1. Дать определение момента сил. Записать в векторной форме. Как направлен момент сил относительно силы? Что такое радиус-вектор действия силы? Нарисовать и показать на рисунке.

2.Какое направление имеют угловое ускорение, угловая скорость?

3. Дать определение момента инерции материальной точки и абсолютно твердого тела. Физический смысл инерции.

4. Вывести момент инерции шара и цилиндра.

5. Доказать теорему Штейнера.

6. Сформулировать закон сохранения энергии при вращательном движении.

7. Вывести формулу дня расчета кинетической энергии с учетом вращения тела.

8. Вывести закон сохранения момента импульса системы тел.

9. Дать определение центра масс системы теп.

10.Сформулировать условие, при которых тело скатывается без проскальзывания и вывести формулы, используемые в расчете.

11.Сформулировать законы динамики для вращательного движения и вывести их для.материальной точки и для абсолютно твердого тела.

12.Объясните, как рассчитывали погрешность измерений в работе.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФИЛИАЛ ФГБОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В ГОРОДЕ СТЕРЛИТАМАКЕ

Методические указания

к лабораторной работе по курсу общей физики

раздел: раздел: «Механика. Механические колебания. Статистическая физика и термодинамика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Определение коэффициента
внутреннего трения жидкостей

Стерлитамак

Цель работы: определить коэффициент внутреннего трения неизвестной жидкости по методу Стокса.

Приборы и оборудование: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, секундомер, шарики разного диаметра, микрометр.

Краткая теория

На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т.д.

Сила внутреннего трения, возникающая при макроскопических движениях в жидкости, прямо пропорциональна градиенту скорости. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента внутреннего трения, или просто вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины, т.е.~ при .

.

(1)

Закон (1) был получен Ньютоном из анализа экспериментальных данных и явился основой при изучении движения вязкой жидкости и газа.

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса вжидкости.

Обозначим скорость шарика относительно жидкости через .

Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рисунке 1. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шара, тем больше масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально

Поверхность шара и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

Формула (5) носит название закона Стокса.

Формула Стокса применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости, и сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату скорости, а не первой его степени.

Роль трения характеризуется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса :

,

где - линейные размеры, характерные для рассматриваемого течения жидкости. В случае течения жидкости по трубе - радиус трубы, - средняя скорость. Отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости.

Для того, чтобы пояснить роль числа Рейнольдса, рассмотрим элемент объема жидкости с длиной ребра . Кинетическая энергия этого объема равна:

Сила трения, действующая на элемент объема жидкости, пропорциональна его поверхности , коэффициенту вязкости и градиенту скорости. Полагая, что скорость падает до нуля на расстоянии равном по порядку величины (в случае течения по трубе – в радиальном направлении), получим, что градиент скорости равен . Таким образом, сила трения

Роль трения при течении жидкости мала, если работа мала по сравнению с кинетической энергией объема жидкости , то есть если выполняется неравенство

,

Но - Re есть число Рейнольдса.

Таким образом, роль сил трения при течении жидкости мала при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости.На шарик действует 3 силы: сила тяжести, архимедова сила, сила сопротивления, зависящая от скорости. Найдем уравнение движения шарика в жидкости.По второму закону Ньютона

где - объем шарика; - его плотность; - плотность жидкости; - ускорение силы тяжести.

Решая это уравнение, найдем

.

(9)

Как видно из (7), скорость шарика экспоненциально приближается к установившейся скорости . Установление скорости определяется величиной , имеющей размерность времени и называющейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шарика и величины , можно определить коэффициент внутреннего трения жидкости по формуле

,

(10)

следующей из (8).

Указание: шарики с разными радиусами движутся в жидкости с равными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся скоростей и времен релаксации вычисленные по формуле (10) значения оказываются одинаковыми то формула (5) правильно передает зависимость сил от радиуса шарика. Зависимость или независимость от служит чувствительным индикатором правильности теории и надежности эксперимента. Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае, если значение не обнаруживает систематической зависимости от . Если такая зависимость наблюдается, то чаще всего это связано с влиянием стенок сосуда.

3. Что характеризует собой число Рейнольдса?

4. Ламинарное и турбулентное течение и их связь с числом Рейнольдса.

5. Каковы границы применимости закона Стокса?

6. Какие методы определения силы трения существуют?

7. Как объяснить механизм явления вязкого трения?

8. От каких физических величин зависит трение?

9. Какие преобразования энергии происходят при движении тел с учетом силы трения?

10. Чему равна величина силы трения покоя, скольжения?

11. Расскажите о трении скольжения, покоя, вязкого трения и трения качения.

12. Почему трение скольжения больше трения качения?

13. Почему вязкое трение меньше трения скольжения?

14. Как трение проявляется в природе? Когда оно играет положительную, отрицательную роль? Как избавиться от трения?

1) Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006.

2) Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.

3) Гринкруг М.С., Вакулюк А.А. Лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2012.

4) Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости - a, а высота Н (Н » R ). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания - Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью V C , с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

Рис. 10.5

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

То есть .

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

M C = I C × e. (10.11)

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y , получим два скалярных уравнения:

x : mg Sina – F тр = ma C ; (10.12)

y : N – mg сosa = 0. (10.13)

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя F тр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

⅓mg Sina ≤ mmg Cosa.

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения a пред:

a пред = arctg3m.

Здесь m - коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

Здесь: l = - длина плоскости;

a =, (см.10.16).

Значит, время скатывания:

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент - на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).

Лекция 11 «Элементы механики жидкости»

План лекции

1. Давление жидкости. Законы гидростатики.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.

3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.

4.1. Истечение жидкости из сосуда.

4.2. Манометрический расходомер.

В. М. Зражевский

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.

Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.

Теоретические сведения

Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.

Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно

P ∙cosα − N = 0. (1)

Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:

ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)

где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.

Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид

I ε = F тр. R , (3)

где I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Момент силы тяжести и относительно этой оси равен нулю.

Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.

Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением

a = R ε. (4)

Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем

. (5)

Заменив в (2) F тр. на (5), получаем

. (6)

Из последнего соотношения определяем линейное ускорение

. (7)

Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:

. (8)

Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.

При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если

F тр. ≤ μN . (9)

Учитывая (1) и (8), получим

, (10)

или, окончательно

. (11)

В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как

I = kmR 2 , (12)

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.

После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:

. (13)

Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:

W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)

где s – путь, пройденный центром масс.

Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:

. (15)

При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением

υ = R ω. (16)

Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):

Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:

. (18)

Преобразуем (18) с учетом (4):

. (19)

Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

. (20)

Описание установки и метода измерений

Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.

У
становка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами α к горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен цилиндр 4 массой m . Предусмотрено использование двух роликов разной массы. Ролики закрепляются в верхней точке наклонной плоскости с помощью электромагнита 5, управление которым осуществляется с помощью

электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.

Порядок выполнения работы

1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.

2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».

3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.

4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.

5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.

6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.

7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.

Таблица 1

	t i , c	(t i − <t >) 2	пути s , м	Угол наклона	ролика, кг	W п, Дж	W к, Дж
t (a,n )	<t >	å(t i – <t >) 2	Δs , м		Δm , кг

8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.

9. Сделайте выводы по всем результатам работы.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды сил в механике.

2. Объяснить физическую природу сил трения.

3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?

4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?

5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.

6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?

7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.

8. Вывести формулу (13).

9. Вывести формулу (20).

10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?

11. Объяснить причину торможения катящегося тела.

Библиографический список

1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3­х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.

2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.

3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.