Triqonometrik dairədə bucaqların hesablanması.
Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)
Demək olar ki, əvvəlki dərsdəki kimidir. Baltalar, dairələr, bucaqlar var, hər şey qaydasındadır. Əlavə edilmiş dörddəbir nömrələri (böyük kvadratın künclərində) - birincidən dördüncüyə qədər. Bəs kimsə bilmirsə? Gördüyünüz kimi, dörddəbirlər (bunlara gözəl "kvadratlar" sözü də deyilir) saat yönünün əksinə nömrələnir. Baltalarda bucaq dəyərləri əlavə edildi. Hər şey aydındır, problem yoxdur.
Və yaşıl ox əlavə olunur. Bir artı ilə. Bunun mənası nədi? Xatırladım ki, bucağın sabit tərəfi Həmişə müsbət yarımox OX-ə mismarlanmışdır. Beləliklə, bucağın daşınan tərəfini döndərsək artı ilə ox boyunca, yəni. rüb ədədlərinin artan sırası ilə, bucaq müsbət hesab olunacaq. Nümunə olaraq, şəkil +60 ° müsbət bir açı göstərir.
Küncləri bir kənara qoysaq əks istiqamətdə, saat yönünde, bucaq mənfi hesab olunacaq. Kursoru şəklin üzərinə gətirin (və ya planşetinizdəki şəklə toxunun), siz mənfi işarəsi olan mavi ox görəcəksiniz. Bu, mənfi bucaq oxuma istiqamətidir. Məsələn, mənfi bucaq (- 60°) göstərilir. Həm də baltalardakı rəqəmlərin necə dəyişdiyini görəcəksiniz... Mən də onları mənfi bucaqlara çevirdim. Kvadrantların nömrələnməsi dəyişmir.
İlk anlaşılmazlıqlar adətən buradan başlayır. Necə!? Bəs çevrədəki mənfi bucaq müsbət ilə üst-üstə düşərsə!? Və ümumiyyətlə, belə çıxır ki, hərəkət edən tərəfin eyni mövqeyini (və ya rəqəm dairəsindəki nöqtəni) həm mənfi, həm də müsbət bucaq adlandırmaq olar!?
Bəli. Tam olaraq. Tutaq ki, 90 dərəcə müsbət bucaq çevrəni alır tamamilə eyni mənfi 270 dərəcə mənfi bucaq kimi yerləşdirin. Müsbət bir bucaq, məsələn, +110 ° dərəcə götürür tamamilə eyni mənfi bucaq -250° kimi yerləşdirin.
Problem deyil. Hər şey düzgündür.) Müsbət və ya mənfi bucaq hesablamasının seçimi tapşırığın şərtlərindən asılıdır. Şərt heç nə demirsə aydın mətndə bucağın işarəsi haqqında, (məsələn, "ən kiçikini təyin et müsbət bucaq" və s.), sonra bizim üçün əlverişli olan dəyərlərlə işləyirik.
İstisna (onlarsız necə yaşaya bilərdik?!) triqonometrik bərabərsizliklərdir, lakin biz bu hiyləni orada mənimsəyəcəyik.
İndi isə sizə bir sual. 110° bucağın mövqeyinin -250° bucağın mövqeyi ilə eyni olduğunu necə bildim?
İcazə verim ki, bu, tam inqilabla bağlıdır. 360°-də... Aydın deyil? Sonra bir dairə çəkirik. Biz bunu özümüz, kağız üzərində çəkirik. Küncün işarələnməsi təxminən 110°. VƏ düşünürük, tam inqilaba qədər nə qədər vaxt qalır. Cəmi 250° qalacaq...
Anladım? İndi - diqqət! 110° və -250° bucaqlar dairəni tutursa eyni
vəziyyət, onda nə? Bəli, bucaqlar 110° və -250°-dir tamamilə eyni
sinus, kosinus, tangens və kotangens!
Bunlar. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) və s. İndi bu, həqiqətən vacibdir! Özlüyündə ifadələri sadələşdirməli və reduksiya düsturlarının və triqonometriyanın digər incəliklərinin sonrakı mənimsənilməsi üçün əsas kimi lazım olan bir çox tapşırıq var.
Təbii ki, mən təsadüfi olaraq 110° və -250°-ni sırf nümunə kimi götürdüm. Bütün bu bərabərliklər dairədə eyni mövqe tutan istənilən bucaqlar üçün işləyir. 60° və -300°, -75° və 285° və s. Dərhal qeyd edim ki, bu cütlərdəki bucaqlar belədir fərqli. Lakin onların triqonometrik funksiyaları var - eyni.
Məncə, siz mənfi tərəflərin nə olduğunu başa düşürsünüz. Bu olduqca sadədir. Saat yönünün əksinə - müsbət sayma. Yolda - mənfi. Bucağı müsbət və ya mənfi hesab edin bizdən asılıdır. İstəyimizdən. Yaxşı, həm də tapşırıqdan, əlbəttə ki... Ümid edirəm ki, triqonometrik funksiyalarda mənfi bucaqlardan müsbətə və geriyə necə hərəkət etməyi başa düşürsən. Bir dairə, təxmini bir açı çəkin və tam bir inqilabı tamamlamaq üçün nə qədər itkin olduğunu görün, yəni. 360°-ə qədər.
360°-dən çox bucaqlar.
360°-dən böyük olan bucaqlarla məşğul olaq. Belə şeylər varmı? Var, əlbəttə. Onları bir dairədə necə çəkmək olar? Problem deyil! Tutaq ki, 1000° bucağın hansı dörddəbirə düşəcəyini başa düşməliyik? Asanlıqla! Saat yönünün əksinə bir tam dönüş edirik (bizə verilən bucaq müsbətdir!). 360° geri sardıq. Yaxşı, davam edək! Daha bir dönüş - artıq 720°-dir. Nə qədər qalıb? 280°. Tam dönüş üçün kifayət deyil... Amma bucaq 270°-dən çoxdur - və bu, üçüncü və dördüncü rüb arasındakı sərhəddir. Buna görə də 1000° bucağımız dördüncü rübə düşür. Hamısı.
Gördüyünüz kimi, olduqca sadədir. Bir daha xatırladıram ki, “əlavə” tam inqilablardan imtina etməklə əldə etdiyimiz 1000° bucaq və 280° bucaq, dəqiq desək, fərqli künclər. Lakin bu bucaqların triqonometrik funksiyaları tamamilə eyni! Bunlar. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° və s. Sinus olsaydım, bu iki bucaq arasındakı fərqi görməzdim...
Bütün bunlar niyə lazımdır? Niyə bucaqları birindən digərinə çevirməliyik? Bəli, hamısı eyni şey üçündür.) İfadələri sadələşdirmək üçün. İfadələrin sadələşdirilməsi əslində məktəb riyaziyyatının əsas vəzifəsidir. Yaxşı, və yol boyu baş öyrədilir.)
Yaxşı, məşq edək?)
Suallara cavab veririk. Əvvəlcə sadə olanlar.
1. -325° bucaq hansı dörddəbirə düşür?
2. 3000° bucaq hansı dörddəbirə düşür?
3. -3000° bucaq hansı dörddəbirə düşür?
problem var? Yoxsa qeyri-müəyyənlik? Bölmə 555, Triqonometrik Dairə Təcrübəsinə keçin. Orada, elə bu “Praktiki işin...” ilk dərsində hər şey ətraflı... İçində bu cür qeyri-müəyyənlik sualları olacaq etməməli!
4. sin555° hansı işarəyə malikdir?
5. tg555° hansı işarəyə malikdir?
Siz qərar verdiniz? Əla! Şübhələriniz varmı? 555-ci bölməyə keçmək lazımdır... Yeri gəlmişkən, orada triqonometrik çevrə üzərində tangens və kotangens çəkməyi öyrənəcəksiniz. Çox faydalı bir şey.
İndi suallar daha mürəkkəbdir.
6. sin777° ifadəsini ən kiçik müsbət bucağın sinusuna qədər azaldın.
7. cos777° ifadəsini ən böyük mənfi bucağın kosinusuna endirin.
8. cos(-777°) ifadəsini ən kiçik müsbət bucağın kosinusuna endirin.
9. sin777° ifadəsini ən böyük mənfi bucağın sinusuna endirin.
Nə, 6-9-cu suallar sizi çaşdırdı? Buna alışın, Vahid Dövlət İmtahanında belə formulalara rast gəlmirsiniz... Elə olsun, mən tərcümə edəcəyəm. Ancaq sənin üçün!
“İfadə gətirmək...” sözləri ifadəni elə çevirmək deməkdir ki, onun mənası var dəyişməyib tapşırığa uyğun olaraq görünüşü də dəyişdi. Beləliklə, 6 və 9-cu tapşırıqlarda içərisində olan bir sinus almalıyıq ən kiçik müsbət bucaq. Qalan hər şeyin əhəmiyyəti yoxdur.
Cavabları ardıcıllıqla verəcəm (qaydalarımızı pozaraq). Ancaq nə etməli, yalnız iki əlamət var və yalnız dörddə dörddə bir var ... Seçim üçün korlanmayacaqsınız.
6. sin57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Güman edirəm ki, 6-9-cu sualların cavabları bəzilərini çaşdırıb. Xüsusilə -sin(-57°), doğrudanmı?) Doğrudan da, bucaqların hesablanması üçün elementar qaydalarda səhvlərə yer var... Ona görə də dərs keçirməli oldum: “Triqonometrik çevrədə funksiyaların işarələrini necə təyin etmək və bucaqları vermək olar?”. 555-ci bölmədə 4-9-cu tapşırıqlar orada əhatə olunur. Bütün tələlərlə yaxşı sıralanıb. Və onlar buradadırlar.)
Növbəti dərsdə biz sirli radyanlar və "Pi" sayı ilə məşğul olacağıq. Gəlin dərəcələri radana və əksinə necə asanlıqla və düzgün çevirməyi öyrənək. Və saytdakı bu əsas məlumatı tapmaq bizi təəccübləndirəcək artıq kifayətdir bəzi xüsusi triqonometriya problemlərini həll etmək üçün!
Bu saytı bəyənirsinizsə...
Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)
Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)
Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.
Triqonometriya bir elm olaraq Qədim Şərqdə yaranmışdır. İlk triqonometrik nisbətlər ulduzlar tərəfindən dəqiq təqvim və oriyentasiya yaratmaq üçün astronomlar tərəfindən əldə edilmişdir. Bu hesablamalar sferik triqonometriya ilə əlaqədardır, məktəb kursunda isə müstəvi üçbucağın tərəflərinin və bucaqlarının nisbətini öyrənirlər.
Triqonometriya triqonometrik funksiyaların xassələri və üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqə ilə məşğul olan riyaziyyatın bir sahəsidir.
Eramızın 1-ci minilliyində mədəniyyət və elmin çiçəkləndiyi dövrdə bilik Qədim Şərqdən Yunanıstana yayıldı. Lakin triqonometriyanın əsas kəşfləri Ərəb xilafətinin kişilərinin xidmətləridir. Xüsusilə, türkmən alimi əl-Mərəzvi tangens və kotangens kimi funksiyaları təqdim etmiş, sinuslar, tangenslər və kotangenslər üçün ilk qiymət cədvəllərini tərtib etmişdir. Sinus və kosinus anlayışları hind alimləri tərəfindən təqdim edilmişdir. Evklid, Arximed və Eratosfen kimi antik dövrün dahi şəxsiyyətlərinin əsərlərində triqonometriyaya böyük diqqət yetirilmişdir.
Triqonometriyanın əsas kəmiyyətləri
Rəqəmsal arqumentin əsas triqonometrik funksiyaları sinus, kosinus, tangens və kotangensdir. Onların hər birinin öz qrafiki var: sinus, kosinus, tangens və kotangens.
Bu kəmiyyətlərin dəyərlərini hesablamaq üçün düsturlar Pifaqor teoreminə əsaslanır. Məktəblilərə daha yaxşı məlumdur: "Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir", çünki sübut ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın nümunəsi ilə verilir.
Sinus, kosinus və digər əlaqələr istənilən düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları və tərəfləri arasında əlaqə yaradır. Gəlin A bucağı üçün bu kəmiyyətləri hesablamaq üçün düsturları təqdim edək və triqonometrik funksiyalar arasındakı əlaqələri izləyək:
Gördüyünüz kimi tg və ctg tərs funksiyalardır. Əgər a ayağını sin A və hipotenuzanın c məhsulu, b ayağını isə cos A * c kimi təsəvvür etsək, tangens və kotangens üçün aşağıdakı düsturları alırıq:
Triqonometrik dairə
Qrafik olaraq qeyd olunan kəmiyyətlər arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
Dairə, bu halda, α bucağının bütün mümkün dəyərlərini təmsil edir - 0 ° ilə 360 ° arasında. Şəkildən göründüyü kimi, hər bir funksiya bucaqdan asılı olaraq mənfi və ya müsbət qiymət alır. Məsələn, α dairənin 1-ci və 2-ci rübünə aiddirsə, yəni 0°-dən 180°-ə qədər diapazonda olarsa, sin α “+” işarəsinə malik olacaqdır. 180°-dən 360°-yə qədər (III və IV rüblər) α üçün sin α yalnız mənfi qiymət ola bilər.
Gəlin konkret açılar üçün triqonometrik cədvəllər qurmağa və kəmiyyətlərin mənasını öyrənməyə çalışaq.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° və s.-ə bərabər olan α qiymətləri xüsusi hallar adlanır. Onlar üçün triqonometrik funksiyaların dəyərləri hesablanır və xüsusi cədvəllər şəklində təqdim olunur.
Bu açılar təsadüfi seçilməmişdir. Cədvəllərdə π təyinatı radyanlar üçündür. Rad dairənin qövsünün uzunluğunun onun radiusuna uyğun olduğu bucaqdır. Bu dəyər universal bir asılılıq yaratmaq üçün tətbiq edilmişdir; radyanla hesablayarkən, radiusun sm ilə həqiqi uzunluğunun əhəmiyyəti yoxdur.
Triqonometrik funksiyalar üçün cədvəllərdəki bucaqlar radian qiymətlərinə uyğundur:
Beləliklə, 2π-nin tam çevrə və ya 360° olduğunu təxmin etmək çətin deyil.
Triqonometrik funksiyaların xassələri: sinus və kosinus
Sinus və kosinusun, tangens və kotangensin əsas xassələrini nəzərdən keçirmək və müqayisə etmək üçün onların funksiyalarını çəkmək lazımdır. Bu, iki ölçülü koordinat sistemində yerləşən əyri şəklində edilə bilər.
Sinus və kosinus üçün xassələrin müqayisəli cədvəlini nəzərdən keçirin:
| Sinus dalğası | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk üçün, burada k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk üçün, burada k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk üçün, burada k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk nöqtəsində, burada k ϵ Z |
| sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, burada k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk üçün, burada k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, yəni funksiya təkdir | cos (-x) = cos x, yəni funksiya cütdür |
| funksiya dövri, ən kiçik dövr 2π-dir | |
| sin x › 0, x 1-ci və 2-ci rüblərə aiddir və ya 0°-dən 180°-yə qədər (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x I və IV rüblərə aiddir və ya 270°-dən 90°-ə qədər (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x üçüncü və dördüncü rüblərə aiddir və ya 180°-dən 360°-yə qədər (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x 2-ci və 3-cü rüblərə aiddir və ya 90°-dən 270°-yə qədər (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| intervalında artır [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | [-π + 2πk, 2πk] intervalında artır |
| fasilələrlə azalır [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | fasilələrlə azalır |
| törəmə (sin x)’ = cos x | törəmə (cos x)’ = - sin x |
Bir funksiyanın cüt olub olmadığını müəyyən etmək çox sadədir. Triqonometrik kəmiyyətlərin əlamətləri olan bir triqonometrik dairəni təsəvvür etmək və OX oxuna nisbətən qrafiki zehni olaraq "qatlamaq" kifayətdir. İşarələr üst-üstə düşürsə, funksiya cüt, əks halda təkdir.
Radianların tətbiqi və sinus və kosinus dalğalarının əsas xüsusiyyətlərinin siyahısı bizə aşağıdakı nümunəni təqdim etməyə imkan verir:
Düsturun düzgünlüyünü yoxlamaq çox asandır. Məsələn, x = π/2 üçün sinus, x = 0-ın kosinusu kimi 1-dir. Yoxlama cədvəllərə müraciət etməklə və ya verilmiş qiymətlər üçün funksiya əyrilərini izləməklə edilə bilər.
Tangensoidlərin və kotangensoidlərin xassələri
Tangens və kotangens funksiyalarının qrafikləri sinus və kosinus funksiyalarından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. tg və ctg dəyərləri bir-birinin əksidir.
- Y = qara x.
- Tangens x = π/2 + πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
- Tangentoidin ən kiçik müsbət dövrü π-dir.
- Tg (- x) = - tg x, yəni funksiya təkdir.
- Tg x = 0, x = πk üçün.
- Funksiya artır.
- Tg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ üçün (— π/2 + πk, πk).
- Törəmə (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Mətndə aşağıdakı kotangentoidin qrafik şəklini nəzərdən keçirin.
Kotangentoidlərin əsas xüsusiyyətləri:
- Y = çarpayı x.
- Sinus və kosinus funksiyalarından fərqli olaraq, tangentoiddə Y bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun dəyərlərini qəbul edə bilər.
- Kotangentoid x = πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
- Kotangentoidin ən kiçik müsbət dövrü π-dir.
- Ctg (- x) = - ctg x, yəni funksiya təkdir.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk üçün.
- Funksiya azalır.
- Ctg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ üçün (π/2 + πk, πk).
- Törəmə (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Düzgün
Alpha həqiqi ədədi ifadə edir. Yuxarıdakı ifadələrdəki bərabər işarəsi onu göstərir ki, sonsuzluğa ədəd və ya sonsuzluq əlavə etsəniz, heç nə dəyişməyəcək, nəticə eyni sonsuzluq olacaq. Nümunə kimi sonsuz natural ədədlər toplusunu götürsək, onda nəzərdən keçirilən nümunələri bu formada təqdim etmək olar:
Onların haqlı olduqlarını aydın şəkildə sübut etmək üçün riyaziyyatçılar bir çox fərqli üsullar ortaya atdılar. Şəxsən mən bütün bu üsullara şamanların qavalla rəqsi kimi baxıram. Əslində, onların hamısı ya otaqların bəzilərinin boş qalması və yeni qonaqların köçürülməsi, ya da qonaqların bəzilərinin qonaqlara yer açmaq üçün dəhlizə atılması (çox insancasına) ilə qaynayır. Bu cür qərarlara münasibətimi Sarışın haqqında fantaziya hekayəsi şəklində təqdim etdim. Mənim fikrim nəyə əsaslanır? Sonsuz sayda ziyarətçinin yerini dəyişdirmək sonsuz vaxt tələb edir. Biz qonaq üçün birinci otağı boşaldıqdan sonra, ziyarətçilərdən biri həmişə öz otağından digərinə vaxtın sonuna qədər dəhliz boyu gedəcək. Əlbəttə, zaman faktorunu axmaqcasına gözardı etmək olar, lakin bu, “axmaqlar üçün qanun yazılmır” kateqoriyasında olacaq. Hər şey bizim nə etdiyimizdən asılıdır: reallığı riyazi nəzəriyyələrə uyğunlaşdırmaq və ya əksinə.
“Sonsuz otel” nədir? Sonsuz otel, neçə otaqdan asılı olmayaraq həmişə istənilən sayda boş çarpayıya malik olan bir oteldir. Sonsuz "qonaq" dəhlizindəki bütün otaqlar işğal olunubsa, "qonaq" otaqları olan başqa bir sonsuz dəhliz var. Belə dəhlizlərin sayı sonsuz olacaq. Üstəlik, “sonsuz otel” sonsuz sayda Tanrıların yaratdığı sonsuz sayda kainatdakı sonsuz sayda planetlər üzərində sonsuz sayda binalarda sonsuz sayda mərtəbələrə malikdir. Riyaziyyatçılar bayağı məişət problemlərindən uzaqlaşa bilmirlər: həmişə bir Allah-Allah-Budda var, bir otel var, bir dəhliz var. Beləliklə, riyaziyyatçılar bizi "qeyri-mümkünə itələməyin" mümkün olduğuna inandıraraq, otel otaqlarının seriya nömrələri ilə hoqqabazlıq etməyə çalışırlar.
Sonsuz natural ədədlər toplusundan istifadə edərək sizə öz mülahizələrimin məntiqini nümayiş etdirəcəyəm. Əvvəlcə çox sadə bir suala cavab verməlisiniz: neçə natural ədəd dəsti var - bir yoxsa çox? Bu sualın düzgün cavabı yoxdur, çünki rəqəmləri özümüz icad etmişik; rəqəmlər təbiətdə yoxdur. Bəli, Təbiət saymaqda əladır, lakin bunun üçün o, bizə tanış olmayan digər riyazi vasitələrdən istifadə edir. Təbiətin nə düşündüyünü başqa vaxt sizə deyəcəyəm. Rəqəmləri icad etdiyimizə görə neçə natural ədəd dəstinin olduğuna özümüz qərar verəcəyik. Əsl alimlərə yaraşdığı üçün hər iki variantı nəzərdən keçirək.
Seçim bir. Rəfdə sakitcə yatan təbii ədədlərin bir dəsti "Bizə verilsin". Bu dəsti rəfdən götürürük. Budur, rəfdə başqa natural ədədlər qalmayıb və onları aparmağa yer yoxdur. Biz bu dəstəyə birini əlavə edə bilmərik, çünki bizdə artıq var. Əgər həqiqətən istəsən? Problem deyil. Artıq götürdüyümüz dəstdən birini götürüb rəfə qaytara bilərik. Bundan sonra rəfdən birini götürüb qalanlara əlavə edə bilərik. Nəticədə yenə sonsuz natural ədədlər toplusunu alacağıq. Bütün manipulyasiyalarımızı belə yaza bilərsiniz:
Mən hərəkətləri çoxluğun elementlərinin ətraflı siyahısı ilə cəbri notasiyada və çoxluq nəzəriyyəsi qeydində yazdım. Alt işarə bizim bir və yalnız natural ədədlər toplusumuz olduğunu göstərir. Belə çıxır ki, natural ədədlər çoxluğu yalnız ondan bir çıxıldıqda və eyni vahid əlavə edildikdə dəyişməz qalacaq.
İkinci seçim. Rəfimizdə çoxlu müxtəlif sonsuz natural ədədlər dəsti var. Vurğulayıram - FƏRQLİ, praktiki olaraq fərqlənməməsinə baxmayaraq. Gəlin bu dəstlərdən birini götürək. Sonra digər natural ədədlər çoxluğundan birini götürüb artıq götürdüyümüz çoxluğa əlavə edirik. Hətta iki natural ədəd dəsti əlavə edə bilərik. Aldığımız budur:
"Bir" və "iki" alt işarələri bu elementlərin müxtəlif çoxluqlara aid olduğunu göstərir. Bəli, sonsuz çoxluğa birini əlavə etsəniz, nəticə də sonsuz çoxluq olacaq, lakin ilk çoxluqla eyni olmayacaq. Bir sonsuz çoxluğa başqa bir sonsuz çoxluq əlavə etsəniz, nəticə ilk iki çoxluğun elementlərindən ibarət yeni sonsuz çoxluqdur.
Təbii ədədlər çoxluğu, bir hökmdarın ölçülməsi üçün olduğu kimi saymaq üçün də istifadə olunur. İndi təsəvvür edin ki, hökmdarın üzərinə bir santimetr əlavə etdiniz. Bu, orijinala bərabər olmayan fərqli bir xətt olacaq.
Mənim mülahizələrimi qəbul edə və ya qəbul etməyə bilərsiniz - bu sizin öz işinizdir. Ancaq nə vaxtsa riyazi problemlərlə qarşılaşsanız, riyaziyyatçıların nəsillərinin tapdaladığı yalançı mülahizə yolu ilə getdiyinizi düşünün. Axı, riyaziyyatı öyrənmək, ilk növbədə, bizdə sabit düşüncə stereotipini formalaşdırır və yalnız bundan sonra zehni qabiliyyətlərimizi artırır (və ya əksinə, bizi azad düşüncədən məhrum edir).
Bazar günü, 4 avqust 2019-cu il
Haqqında bir məqalənin postskriptini bitirdim və Vikipediyada bu gözəl mətni gördüm:
Biz oxuyuruq: “... Babil riyaziyyatının zəngin nəzəri əsası vahid xarakter daşımırdı və ümumi sistemdən və sübut bazasından məhrum olan bir-birindən fərqli texnikalar toplusuna çevrildi”.
Heyrət! Vay! Nə qədər ağıllıyıq və başqalarının çatışmazlıqlarını nə qədər yaxşı görə bilirik. Müasir riyaziyyata eyni kontekstdə baxmaq bizim üçün çətindirmi? Yuxarıdakı mətni bir az ifadə edərək, şəxsən aşağıdakıları əldə etdim:
Müasir riyaziyyatın zəngin nəzəri əsası bütöv xarakter daşımır və ümumi sistemdən və sübut bazasından məhrum olan bir-birindən fərqli bölmələr toplusuna endirilir.
Sözlərimi təsdiqləmək üçün uzağa getməyəcəyəm - onun riyaziyyatın bir çox digər sahələrinin dil və konvensiyalarından fərqli bir dili və konvensiyaları var. Riyaziyyatın müxtəlif sahələrində eyni adların fərqli mənaları ola bilər. Bir sıra nəşrləri müasir riyaziyyatın ən bariz səhvlərinə həsr etmək istəyirəm. Tezliklə görüşərik.
Şənbə, 3 avqust 2019-cu il
Çoxluğu alt çoxluqlara necə bölmək olar? Bunu etmək üçün seçilmiş dəstin bəzi elementlərində mövcud olan yeni ölçü vahidini daxil etməlisiniz. Bir nümunəyə baxaq.
Bolumuz bol olsun A dörd nəfərdən ibarətdir. Bu çoxluq “insanlar” əsasında formalaşır. Gəlin bu çoxluğun elementlərini hərflə işarə edək. A, rəqəmi olan alt işarə bu dəstdəki hər bir şəxsin seriya nömrəsini göstərəcəkdir. Gəlin yeni ölçü vahidi “cins”i təqdim edək və onu hərflə işarə edək b. Cinsi xüsusiyyətlər bütün insanlara xas olduğundan, dəstin hər bir elementini çoxaldırıq A cinsə əsaslanır b. Diqqət yetirin ki, bizim “insanlar” dəstimiz indi “cins xüsusiyyətləri olan insanlar” toplusuna çevrilib. Bundan sonra cinsi xüsusiyyətləri kişilərə ayıra bilərik bm və qadınların bw cinsi xüsusiyyətlər. İndi biz riyazi filtr tətbiq edə bilərik: biz bu cinsi xüsusiyyətlərdən birini seçirik, fərqi yoxdur - kişi və ya qadın. İnsanda varsa, onu birə vururuq, belə bir işarə yoxdursa, sıfıra vururuq. Sonra adi məktəb riyaziyyatından istifadə edirik. Görün nə oldu.
Çoxalma, azalma və yenidən təşkil edildikdən sonra iki alt çoxluq əldə etdik: kişi alt çoxluğu Bm və qadınların bir hissəsi Bw. Riyaziyyatçılar çoxluq nəzəriyyəsini praktikada tətbiq edərkən təxminən eyni şəkildə düşünürlər. Lakin onlar bizə təfərrüatları demirlər, lakin yekun nəticəni verirlər - “bir çox insan bir çox kişi və bir qadın alt dəstəsindən ibarətdir”. Təbii ki, sizdə belə bir sual yarana bilər: yuxarıda göstərilən çevrilmələrdə riyaziyyat nə dərəcədə düzgün tətbiq edilib? Sizi inandırmağa cəsarət edirəm ki, mahiyyət etibarı ilə transformasiyalar düzgün aparılıb, bunun üçün hesabın, Boole cəbrinin və riyaziyyatın digər sahələrinin riyazi əsaslarını bilmək kifayətdir. Bu nədir? Başqa vaxt bu barədə sizə məlumat verəcəyəm.
Supersetlərə gəldikdə, bu iki dəstin elementlərində mövcud olan ölçü vahidini seçməklə iki dəsti bir supersetdə birləşdirə bilərsiniz.
Gördüyünüz kimi, ölçü vahidləri və adi riyaziyyat çoxluqlar nəzəriyyəsini keçmişin yadigarına çevirir. Çoxluq nəzəriyyəsi ilə hər şeyin yaxşı olmadığının əlaməti, riyaziyyatçıların çoxluqlar nəzəriyyəsi üçün öz dilləri və qeydləri ilə çıxış etmələridir. Riyaziyyatçılar bir vaxtlar şamanlar kimi davranırdılar. Yalnız şamanlar öz “biliklərini” “düzgün” tətbiq etməyi bilirlər. Bizə bu “biliyi” öyrədirlər.
Sonda sizə riyaziyyatçıların necə manipulyasiya etdiklərini göstərmək istəyirəm.
Bazar ertəsi, 7 yanvar 2019-cu il
Eramızdan əvvəl V əsrdə qədim yunan filosofu Eleyalı Zenon məşhur aporiyalarını tərtib etmişdir ki, bunlardan ən məşhuru “Axilles və tısbağa” aporiyasıdır. Bu belə səslənir:
Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Bu məsafəni qaçmaq üçün Axillesə lazım olan müddət ərzində tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünür və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.
Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyasını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... müzakirələr bu günə qədər davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməmişdir ... məsələnin öyrənilməsinə riyazi analiz, çoxluqlar nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar cəlb edilmişdir. ; onların heç biri problemin ümumi qəbul edilmiş həllinə çevrilmədi..."[Vikipediya, "Zenonun Aporiyası". Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nədən ibarət olduğunu heç kim başa düşmür.
Riyazi nöqteyi-nəzərdən Zenon öz aporiyasında kəmiyyətdən -ə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirdi. Bu keçid daimi olanlar əvəzinə tətbiqi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərindən istifadə üçün riyazi aparat ya hələ hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizi tətbiq etmək bizi tələyə salır. Biz təfəkkür ətalətinə görə qarşılıqlı dəyərə sabit zaman vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tamamilə dayanana qədər yavaşlamağa bənzəyir. Zaman dayanarsa, Axilles daha tısbağadan üstün ola bilməz.
Adi məntiqimizi tərsinə çevirsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Onun yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, “Axilles sonsuz sürətlə tısbağaya yetişəcək” demək düzgün olardı.
Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı vahidlərə keçməyin. Zenon dilində bu belə görünür:
Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa da eyni istiqamətdə yüz addım sürünəcək. Birinciyə bərabər gələn növbəti vaxt intervalında Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.
Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Amma bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin qarşısıalınmazlığı ilə bağlı ifadəsi Zenonun “Axilles və Tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Biz hələ də bu problemi öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.
Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası uçan oxdan bəhs edir:
Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə istirahətdədir.
Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət edib-etmədiyini müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən zamanın müxtəlif nöqtələrində çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin siz onlardan məsafəni təyin edə bilməzsiniz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün bir anda kosmosun müxtəlif nöqtələrindən çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən edə bilməzsiniz (əlbəttə ki, hesablamalar üçün hələ də əlavə məlumat lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir ). Xüsusi diqqət çəkmək istədiyim odur ki, iki zaman nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtə fərqli şeylərdir, onları qarışdırmaq olmaz, çünki onlar tədqiqat üçün müxtəlif imkanlar yaradır.
Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il
Mən sizə dedim ki, hansı şamanların köməyi ilə reallığı “” çeşidləməyə çalışırlar. Bunu necə edirlər? Çoxluğun əmələ gəlməsi əslində necə baş verir?
Gəlin çoxluğun tərifinə daha yaxından nəzər salaq: “vahid bütövlükdə düşünülmüş müxtəlif elementlərin toplusu”. İndi iki ifadə arasındakı fərqi hiss edin: “bütövlükdə düşünülə bilən” və “bütövlükdə düşünülə bilən”. Birinci ifadə son nəticə, dəstdir. İkinci ifadə çoxluğun formalaşması üçün ilkin hazırlıqdır. Bu mərhələdə reallıq ayrı-ayrı elementlərə (“bütöv”) bölünür ki, onlardan daha sonra çoxluq yaranacaq (“vahid bütöv”). Eyni zamanda, “bütün”ü “vahid bütöv”ə birləşdirməyə imkan verən amil diqqətlə izlənilir, əks halda şamanlar uğur qazana bilməyəcəklər. Axı şamanlar bizə hansı dəsti göstərmək istədiklərini əvvəlcədən bilirlər.
Mən sizə bir nümunə ilə prosesi göstərəcəyəm. Biz "sızanaqda qırmızı bərki" seçirik - bu bizim "bütün"ümüzdür. Eyni zamanda görürük ki, bunlar kamanlı, kamansız da var. Bundan sonra, "bütün" bir hissəsini seçirik və "yay ilə" bir dəst meydana gətiririk. Şamanlar öz dəsti-xətti nəzəriyyəsini reallıqla bağlayıb yeməklərini belə alırlar.
İndi bir az hiylə edək. Gəlin "yaylı pimple ilə bərk" götürək və qırmızı elementləri seçərək bu "bütövləri" rəngə görə birləşdirək. Çoxlu "qırmızı" aldıq. İndi son sual: nəticədə "yaylı" və "qırmızı" dəstlər eyni dəstdir, yoxsa iki fərqli dəst? Cavabı yalnız şamanlar bilir. Daha doğrusu, özləri heç nə bilmirlər, amma necə deyərlər, elə də olacaq.
Bu sadə nümunə göstərir ki, çoxluq nəzəriyyəsi reallığa gəldikdə tamamilə faydasızdır. sirri nədir? Biz "bir pimple və bir yay ilə qırmızı bərk" dəsti yaratdıq. Formalaşma dörd müxtəlif ölçü vahidində baş verdi: rəng (qırmızı), möhkəmlik (bərk), kobudluq (pimply), bəzək (yay ilə). Yalnız ölçü vahidləri toplusu real obyektləri riyaziyyat dilində adekvat təsvir etməyə imkan verir.. Göründüyü kimi budur.
Fərqli indeksləri olan "a" hərfi müxtəlif ölçü vahidlərini bildirir. İlkin mərhələdə "bütün"ün fərqləndirildiyi ölçü vahidləri mötərizədə vurğulanır. Çoxluğun formalaşdığı ölçü vahidi mötərizədən çıxarılır. Son sətir yekun nəticəni - dəstin elementini göstərir. Göründüyü kimi, bir çoxluq yaratmaq üçün ölçü vahidlərindən istifadə etsək, nəticə hərəkətlərimizin ardıcıllığından asılı deyil. Bu da riyaziyyatdır, şamanların qaflarla rəqsi deyil. Şamanlar "intuitiv olaraq" eyni nəticəyə gələ bilərlər, bunun "aydın" olduğunu iddia edirlər, çünki ölçü vahidləri onların "elmi" arsenalının bir hissəsi deyil.
Ölçü vahidlərindən istifadə edərək, bir dəsti bölmək və ya bir neçə dəsti bir supersetdə birləşdirmək çox asandır. Bu prosesin cəbrinə daha yaxından nəzər salaq.
Şənbə, 30 iyun 2018-ci il
Riyaziyyatçılar bir anlayışı başqa anlayışlara endirə bilmirlərsə, deməli, riyaziyyatdan heç nə başa düşmürlər. Cavab verirəm: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Cavab çox sadədir: ədədlər və ölçü vahidləri.
Bu gün götürmədiyimiz hər şey hansısa çoxluğa aiddir (riyaziyyatçılar bizi əmin edir). Yeri gəlmişkən, alnınızdakı güzgüdə aid olduğunuz o dəstlərin siyahısını gördünüzmü? Və mən belə bir siyahı görməmişəm. Daha çox deyəcəyəm - əslində heç bir şeydə bu şeyin aid olduğu dəstlərin siyahısı olan bir etiket yoxdur. Dəstlər hamısı şamanların ixtiralarıdır. Onlar bunu necə edirlər? Gəlin tarixə bir az dərindən nəzər salaq və görək, riyaziyyatçı şamanlar onları öz dəstlərinə götürməzdən əvvəl dəstin elementləri necə görünürdü.
Uzun müddət əvvəl, heç kimin riyaziyyat haqqında eşitmədiyi və yalnız ağacların və Saturnun halqaları olduğu bir vaxtda, çoxluqların vəhşi elementlərinin böyük sürüləri fiziki tarlalarda gəzirdi (axı, şamanlar hələ riyazi sahələri icad etməmişdilər). Onlar belə bir şeyə baxırdılar.
Bəli, təəccüblənməyin, riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən dəstlərin bütün elementləri dəniz kirpilərinə ən çox bənzəyir - bir nöqtədən, iynələr kimi, ölçü vahidləri bütün istiqamətlərdə görünür. Sizə xatırladıram ki, istənilən ölçü vahidi həndəsi olaraq ixtiyari uzunluq seqmenti, rəqəm isə nöqtə kimi təqdim edilə bilər. Həndəsi olaraq istənilən kəmiyyət bir nöqtədən müxtəlif istiqamətlərdə çıxan seqmentlər dəstəsi kimi təqdim edilə bilər. Bu nöqtə sıfır nöqtəsidir. Mən bu həndəsi sənət əsərini çəkməyəcəyəm (ilham yoxdur), ancaq siz onu asanlıqla təsəvvür edə bilərsiniz.
Hansı ölçü vahidləri çoxluğun elementini təşkil edir? Verilmiş elementi müxtəlif nöqteyi-nəzərdən təsvir edən hər cür şeylər. Bunlar əcdadlarımızın istifadə etdiyi və hər kəsin çoxdan unutduğu qədim ölçü vahidləridir. Bunlar indi istifadə etdiyimiz müasir ölçü vahidləridir. Bunlar həm də bizə məlum olmayan, nəslimizin ortaya çıxaracaqları və reallığı təsvir etmək üçün istifadə edəcəkləri ölçü vahidləridir.
Biz həndəsəni sıraladıq - dəstin elementlərinin təklif olunan modeli aydın həndəsi təsvirə malikdir. Bəs fizika? Ölçü vahidləri riyaziyyat və fizika arasında birbaşa əlaqədir. Şamanlar ölçü vahidlərini riyazi nəzəriyyələrin tamhüquqlu elementi kimi tanımırlarsa, bu onların problemidir. Mən şəxsən real riyaziyyat elmini ölçü vahidləri olmadan təsəvvür edə bilmirəm. Buna görə də çoxluqlar nəzəriyyəsi haqqında hekayənin əvvəlində mən onun daş dövründə olduğunu söylədim.
Ancaq keçək ən maraqlı şeyə - çoxluq elementlərinin cəbrinə. Cəbri olaraq çoxluğun istənilən elementi müxtəlif kəmiyyətlərin hasilidir (vurmanın nəticəsidir).Belə görünür.
Mən çoxluq nəzəriyyəsinin konvensiyalarından qəsdən istifadə etmədim, çünki çoxluqlar nəzəriyyəsinin yaranmasından əvvəl çoxluğun elementini onun təbii mühitində nəzərdən keçiririk. Mötərizədə hər bir cüt hərf " hərfi ilə göstərilən nömrədən ibarət ayrıca bir kəmiyyəti ifadə edir. n" və hərfi ilə göstərilən ölçü vahidi " a". Hərflərin yanındakı indekslər rəqəmlərin və ölçü vahidlərinin fərqli olduğunu göstərir. Çoxluğun bir elementi sonsuz sayda kəmiyyətlərdən ibarət ola bilər (bizim və nəslimiz nə qədər kifayət qədər təsəvvürə malikdir). Hər bir mötərizə həndəsi şəkildə təsvir edilmişdir. ayrıca seqment.Dəniz kirpisi nümunəsində bir mötərizə bir iynədir.
Şamanlar müxtəlif elementlərdən dəstləri necə təşkil edirlər? Əslində, ölçü vahidləri və ya rəqəmlərlə. Onlar riyaziyyatdan heç nə anlamayaraq müxtəlif dəniz kirpilərini götürüb diqqətlə yoxlayırlar ki, həmin tək iynəni axtarırlar və bu iynə boyunca bir dəst əmələ gətirirlər. Əgər belə iynə varsa, bu element dəstə aiddir, əgər belə iynə yoxdursa, bu element bu dəstdən deyildir. Şamanlar bizə düşüncə prosesləri və bütövlükdə nağıllar danışırlar.
Təxmin etdiyiniz kimi, eyni element çox fərqli çoxluqlara aid ola bilər. Sonra çoxluqların, alt çoxluqların və digər şaman cəfəngiyyatlarının necə formalaşdığını sizə göstərəcəyəm. Gördüyünüz kimi, "bir çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt belə absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, onlar "tamamilə" sözündən heç bir zəkaya sahib deyillər. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.
Bir vaxtlar körpünü tikən mühəndislər körpünü sınaqdan keçirərkən körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.
Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla ayrılmaz şəkildə birləşdirən bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Riyazi çoxluqlar nəzəriyyəsini riyaziyyatçıların özlərinə tətbiq edək.
Biz riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq və indi kassada oturub maaş veririk. Beləliklə, bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və eyni nominallı əskinasları qoyduğumuz müxtəlif yığınlarda masamıza qoyuruq. Sonra hər yığından bir veksel götürürük və riyaziyyatçıya onun “riyazi əmək haqqı dəstini” veririk. Riyaziyyatçıya başa salaq ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalan əskinasları alacaq. Əyləncə burada başlayır.
İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “Bunu başqalarına şamil etmək olar, mənə yox!”. Sonra bizi əmin etməyə başlayacaqlar ki, eyni nominallı əskinasların müxtəlif əskinas nömrələri var, yəni onları eyni elementlər hesab etmək olmaz. Yaxşı, maaşları sikkələrlə hesablayaq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı çılğınlıqla fizikanı xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələrdə müxtəlif miqdarda kir var, kristal quruluşu və atomların düzülüşü hər bir sikkə üçün unikaldır...
İndi isə məndə ən maraqlı sual var: multisetin elementlərinin çoxluğun elementlərinə çevrildiyi xətt haradadır və əksinə? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, elm burada yatmağa belə yaxın deyil.
Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahələri eynidir - bu o deməkdir ki, bizim multisetimiz var. Amma bu eyni stadionların adlarına nəzər salsaq, adları fərqli olduğu üçün çoxunu alırıq. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti həm çoxluq, həm də multisetdir. Hansı düzgündür? Və burada riyaziyyatçı-şaman-kəskin qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.
Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə göstərəcəyəm, heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz".
Künc: ° π rad =
Çevirin: radian dərəcələri 0 - 360° 0 - 2π müsbət mənfi Hesablayın
Xətlər kəsişdikdə, kəsişmə nöqtəsinə nisbətən dörd fərqli sahə var.
Bu yeni sahələr adlanır künclər.
Şəkildə AB və CD xətlərinin kəsişməsindən əmələ gələn 4 müxtəlif bucaq göstərilir
Bucaqlar adətən ° kimi işarələnən dərəcələrlə ölçülür. Bir cisim tam bir çevrə etdikdə, yəni D nöqtəsindən B, C, A yolu ilə hərəkət etdikdə və sonra yenidən D nöqtəsinə doğru hərəkət etdikdə, onun 360 dərəcə (360 °) döndüyü deyilir. Beləliklə, dərəcə dairənin $\frac(1)(360)$-dır.
360 dərəcədən çox bucaqlar
Bir cismin bir nöqtə ətrafında tam bir dairə çəkdiyi zaman 360 dərəcə getdiyi, lakin bir cismin birdən çox dairə çəkdiyi zaman 360 dərəcədən çox bucaq yaratdığı haqqında danışdıq. Bu, gündəlik həyatda adi haldır. Avtomobil hərəkət edərkən təkər çoxlu dairələr ətrafında dolanır, yəni 360°-dən çox bucaq əmələ gətirir.
Obyekti fırladarkən dövrlərin sayını (dairələrin tamamlandığını) öyrənmək üçün verilmiş bucağa bərabər və ya ondan kiçik ədəd almaq üçün özünə 360 əlavə etməmiz lazım olan dövrlərin sayını hesablayırıq. Eyni şəkildə, daha kiçik, lakin verilmiş bucağa ən yaxın olan ədədi almaq üçün 360-a vurduğumuz bir ədəd tapırıq.
Misal 2
1. Bucaq əmələ gətirən cismin təsvir etdiyi dairələrin sayını tapın
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Həll
a) 380 = (1 × 360) + 20
Obyekt bir dairə və 20° təsvir etmişdir
Çünki $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ dairəsi
Obyekt $1\frac(1)(18)$ dairələrini təsvir etdi.
B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Obyekt iki dairəni və 50° təsvir etmişdir
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ dairəsi
Obyekt $2\frac(5)(36)$ dairəni təsvir etdi
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ dairələr
Obyekt $2\frac(7)(9)$ dairələrini təsvir etdi
Cisim saat əqrəbi istiqamətində fırlandıqda mənfi fırlanma bucağı, saat əqrəbinin əksinə fırlandıqda isə müsbət bucaq əmələ gətirir. Bu nöqtəyə qədər biz yalnız müsbət tərəfləri nəzərdən keçirdik.
Diaqram şəklində mənfi bir bucaq aşağıda göstərildiyi kimi təsvir edilə bilər. 
Aşağıdakı şəkildə ümumi düz xəttdən, 0 oxundan (x oxu - x oxu) ölçülən bucağın işarəsi göstərilir. 
Bu o deməkdir ki, əgər mənfi bucaq varsa, ona uyğun müsbət bucaq ala bilərik.
Məsələn, şaquli xəttin alt hissəsi 270°-dir. Mənfi istiqamətdə ölçdükdə -90° alırıq. Biz sadəcə olaraq 360-dan 270-i çıxırıq. Mənfi bucağı nəzərə alaraq, müvafiq müsbət bucağı əldə etmək üçün 360-ı əlavə edirik.
Bucaq -360° olduqda, bu, cismin saat əqrəbi istiqamətində birdən çox dairə çəkdiyini bildirir.
Misal 3
1. Müvafiq müsbət bucağı tapın
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°
2. 80°, 167°, 330° və 1300°-yə uyğun mənfi bucağı tapın.
Həll
1. Uyğun müsbət bucağı tapmaq üçün bucaq qiymətinə 360 əlavə edirik.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Bu saat əqrəbi istiqamətində bir dairə deməkdir (360)
360 + (-310) = 50°
Bucaq 360 + 50 = 410 ° -dir
2. Uyğun mənfi bucağı əldə etmək üçün bucaq qiymətindən 360 çıxırıq.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330 ° = 330 - 360 = -30 °
1300° = 1300 - 360 = 940 (bir dövrə tamamlandı)
940 - 360 = 580 (ikinci tur tamamlandı)
580 - 360 = 220 (üçüncü tur tamamlandı)
220 - 360 = -140°
Bucaq -360 - 360 - 360 - 140 = -1220 °
Beləliklə, 1300 ° = -1220 °
Radian
Radian, uzunluğu dairənin radiusuna bərabər olan bir qövsü əhatə edən dairənin mərkəzindən bucaqdır. Bu bucaq ölçüsü üçün ölçü vahididir. Bu bucaq təxminən 57.3°-dir.
Əksər hallarda bu kimi işarələnir sevindim.
Beləliklə, $1 rad \təqribən 57,3^(\circ)$ 
Radius = r = OA = OB = AB
BOA bucağı bir radiana bərabərdir
Çevrə $2\pi r$ kimi verildiyi üçün dairədə $2\pi$ radiusları var və buna görə də bütün çevrədə $2\pi$ radyanları var.
Hesablamalarda ondalık sayının qarşısını almaq üçün radyanlar adətən $\pi$ ilə ifadə edilir. Əksər kitablarda abreviatura sevindim baş vermir, lakin oxucu bilməlidir ki, bucaqdan söhbət gedirsə, o, $\pi$ baxımından dəqiqləşdirilir və ölçü vahidləri avtomatik olaraq radian olur.
$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$
Misal 4
1. $\pi$ istifadə edərək 240°, 45°, 270°, 750° və 390°-ni radana çevirin.
Həll
Bucaqları $\frac(\pi)(180)$-a vuraq.
$240^(\circ) = 240 \dəfə \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \dəfə \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \dəfə \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \dəfə \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \dəfə \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$
2. Aşağıdakı bucaqları dərəcəyə çevirin.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 radyan
Həll
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \dəfə 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \dəfə 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \dəfə 57,3)(1) = 137,52$
Mənfi bucaqlar və $2\pi$ radiandan böyük bucaqlar
Mənfi bucağı müsbətə çevirmək üçün onu $2\pi$-a əlavə edirik.
Müsbət bucağı mənfiyə çevirmək üçün ondan $2\pi$ çıxırıq.
Misal 5
1. $-\frac(3)(4)\pi$ və $-\frac(5)(7)\pi$-ı radyanla müsbət bucaqlara çevirin.
Həll
Bucağa $2\pi$ əlavə edin
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$
$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$
Bir cisim $2\pi$;-dən böyük bucaqla fırlandıqda, birdən çox dairə yaradır.
Belə bir bucaqda çevrilmələrin (dairələrin və ya dövrlərin) sayını müəyyən etmək üçün onu $2\pi$-a vuraraq bir ədəd tapırıq, nəticə bərabər və ya daha azdır, lakin bu rəqəmə mümkün qədər yaxındır.
Misal 6
1. Verilmiş bucaqlarda cismin keçdiyi dairələrin sayını tapın
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$
Həll
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ saat əqrəbi istiqamətində bir dövrü nəzərdə tutur, bu o deməkdir ki
obyekt saat əqrəbi istiqamətində 5 dövr etdi.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ yarım dövrə
obyekt saat əqrəbinin əksinə dörd yarım dövrə etdi
c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ dövrünün dörddə üçünə bərabərdir $(\frac(1.5\pi)(2) \pi)= \frac(3)(4))$
obyekt saat əqrəbinin əksi istiqamətində dövrün dörddə birini və üç hissəsini keçib
Əgər siz artıq tanışsınızsa triqonometrik dairə , və sadəcə müəyyən elementlər haqqında yaddaşınızı yeniləmək istəyirsiniz və ya tamamilə səbirsizsiniz, onda budur:
Burada hər şeyi addım-addım ətraflı təhlil edəcəyik.
Triqonometrik dairə lüks deyil, zərurətdir
Triqonometriya
Bir çox insanlar onu keçilməz kolluqla əlaqələndirirlər. Birdən triqonometrik funksiyaların o qədər çox dəyəri, o qədər düstur yığılır ki...
Təslim olmamaq çox vacibdir triqonometrik funksiyaların qiymətləri, - deyirlər, hər zaman qiymət cədvəli ilə şpura baxmaq olar.
Davamlı olaraq triqonometrik düsturların dəyərləri olan cədvələ baxırsınızsa, gəlin bu vərdişdən xilas olaq!
O, bizə kömək edəcək! Onunla bir neçə dəfə işləyəcəksən, sonra başınızda görünəcək. Masadan necə yaxşıdır? Bəli, cədvəldə məhdud sayda dəyər tapa bilərsiniz, lakin dairədə - HƏR ŞEY!
Məsələn, baxarkən deyin triqonometrik düsturların standart dəyərlər cədvəli , məsələn, 300 dərəcəyə və ya -45-ə bərabər olan sinus nədir.
Yoxdur?.. siz, əlbəttə, qoşula bilərsiniz azaldılması düsturları...Və triqonometrik çevrəyə baxanda belə suallara asanlıqla cavab verə bilərsiniz. Və tezliklə necə olacağını biləcəksiniz!
Və triqonometrik tənlikləri və bərabərsizlikləri triqonometrik dairə olmadan həll edərkən, bu, tamamilə heç bir yerdə deyil.
Triqonometrik dairəyə giriş
Gəlin qaydada gedək.
Əvvəlcə bu rəqəmlər seriyasını yazaq:
Və indi bu:
Və nəhayət bu:
Təbii ki, aydındır ki, əslində birinci yerdə , ikinci yerdə , sonuncu yerdə isə . Yəni zəncirlə daha çox maraqlanacağıq.
Ancaq necə də gözəl çıxdı! Əgər bir şey olarsa, biz bu “möcüzə nərdivanını” bərpa edəcəyik.
Və niyə bizə lazımdır?
Bu zəncir birinci rübdə sinus və kosinusun əsas dəyərləridir.
Düzbucaqlı koordinat sistemində vahid radiuslu çevrə çəkək (yəni uzunluqda istənilən radiusu götürüb onun uzunluğunu vahid elan edirik).
"0-Start" şüasından küncləri ox istiqamətində qoyduq (şəklə bax).
Dairədə müvafiq nöqtələri alırıq. Beləliklə, nöqtələri baltaların hər birinə proyeksiya etsək, yuxarıdakı zəncirdən dəqiq dəyərləri alacağıq.
Niyə bu, soruşursan?
Hər şeyi təhlil etməyək. Gəlin nəzərdən keçirək prinsip, digər oxşar vəziyyətlərin öhdəsindən gəlməyə imkan verəcəkdir.
AOB üçbucağı düzbucaqlıdır və ehtiva edir. Və biz bilirik ki, b bucağının qarşısında hipotenuzanın yarısı qədər bir ayaq yerləşir (bizdə hipotenuz var = çevrənin radiusu, yəni 1).
Bu, AB= (və buna görə də OM=) deməkdir. Və Pifaqor teoreminə görə
Ümid edirəm bir şey artıq aydınlaşır?
Beləliklə, B nöqtəsi qiymətə, M nöqtəsi isə qiymətə uyğun olacaq
Birinci rübün digər dəyərləri ilə eynidir.
Anladığınız kimi, tanış ox (öküz) olacaq kosinus oxu, və ox (oy) – sinusların oxu . Daha sonra.
Kosinus oxu boyunca sıfırın solunda (sinus oxu boyunca sıfırdan aşağı) əlbəttə ki, mənfi dəyərlər olacaq.
Deməli, budur, Uca Tanrıdır, onsuz triqonometriyada heç bir yer yoxdur.
Ancaq triqonometrik çevrənin necə istifadə ediləcəyi haqqında danışacağıq.