Qarşı tərəfləri paralel olan, yəni paralel xətlər üzərində yerləşən dördbucaqlı paraleloqramdır (şək. 1).

Teorem 1. Paraleloqramın tərəflərinin və bucaqlarının xassələri haqqında. Paraleloqramda əks tərəflər bərabərdir, əks bucaqlar bərabərdir və paraleloqramın bir tərəfinə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir.

Sübut. Bu ABCD paraleloqramında diaqonal AC çəkin və iki ABC və ADC üçbucağı alın (şək. 2).

Bu üçbucaqlar bərabərdir, çünki ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralel xətlərdə çarpaz bucaqlar) və AC tərəfi ümumidir. Δ ABC = Δ ADC bərabərliyindən belə çıxır ki, AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Bir tərəfə bitişik bucaqların cəmi, məsələn, A və D bucaqları 180-ə bərabərdir. ° paralel xətlərlə birtərəfli kimi. Teorem sübut edilmişdir.

Şərh. Paraleloqramın əks tərəflərinin bərabərliyi, paralel olanların kəsdiyi paralellərin seqmentlərinin bərabər olması deməkdir.

Nəticə 1. Əgər iki xətt paraleldirsə, onda bir xəttin bütün nöqtələri digər xəttdən eyni məsafədədir.

Sübut. Həqiqətən, bir || b (şək. 3).

b xəttinin bəzi iki B və C nöqtəsindən a xəttinə BA və CD perpendikulyarlarını çəkək. AB || ildən CD, onda ABCD rəqəmi paraleloqramdır və buna görə də AB = CD.

İki paralel xətt arasındakı məsafə xətlərdən birinin ixtiyari nöqtəsindən digər xəttə qədər olan məsafədir.

Sübut olunduğu kimi, paralel xətlərdən birinin hansısa nöqtəsindən digər xəttinə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğuna bərabərdir.

Misal 1 Paraleloqramın perimetri 122 sm-dir.Onun bir tərəfi digərindən 25 sm uzundur.Paralloqramın tərəflərini tapın.

Həll. Teorem 1-ə görə, paraleloqramın əks tərəfləri bərabərdir. Paraleloqramın bir tərəfini x, digər tərəfini y kimi qeyd edək. Sonra $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ şərti ilə bu sistemi həll edərək x = 43, y = 18 alırıq. Beləliklə, paraleloqramın tərəfləri 18, 43, 18 və 43 sm-dir.

Misal 2

Həll. Şəkil 4 məsələnin vəziyyətinə uyğun olsun.

AB-ni x, BC-ni isə y ilə işarələyin. Şərtə görə, paraleloqramın perimetri 10 sm, yəni 2(x + y) = 10 və ya x + y = 5. ABD üçbucağının perimetri 8 sm. Və AB + AD = x + y = 5 olduğundan , onda BD = 8 - 5 = 3. Beləliklə, BD = 3 sm.

Misal 3 Birinin digərindən 50° böyük olduğunu bilərək, paraleloqramın bucaqlarını tapın.

Həll. Şəkil 5 məsələnin vəziyyətinə uyğun olsun.

A bucağının dərəcə ölçüsünü x kimi işarə edək. Onda D bucağının dərəcə ölçüsü x + 50°-dir.

BAD və ADC bucaqları AB və DC paralel xətləri və AD kəsiciləri ilə daxili birtərəflidir. Onda bu adlandırılmış bucaqların cəmi 180° olacaq, yəni.
x + x + 50° = 180° və ya x = 65°. Beləliklə, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Misal 4 Paraleloqramın tərəfləri 4,5 dm və 1,2 dm-dir. Kəskin bucağın təpəsindən bissektrisa çəkilir. Paraleloqramın uzun tərəfini hansı hissələrə bölür?

Həll. Şəkil 6 məsələnin vəziyyətinə uyğun olsun.

AE paraleloqramın iti bucağının bissektrisasıdır. Beləliklə, ∠ 1 = ∠ 2.

Evklid həndəsəsində olduğu kimi, nöqtə və xətt müstəvilər nəzəriyyəsinin əsas elementləridir, ona görə də paraleloqram qabarıq dördbucaqlıların əsas fiqurlarından biridir. Ondan, bir topdan iplər kimi, "düzbucaqlı", "kvadrat", "romb" və digər həndəsi kəmiyyətlər anlayışları axır.

ilə təmasda

Paraleloqramın tərifi

qabarıq dördbucaqlı, hər bir cütü paralel olan seqmentlərdən ibarət olan həndəsə paraleloqram kimi tanınır.

Klassik paraleloqramın göründüyü şey dördbucaqlı ABCD-dir. Tərəflər əsaslar (AB, BC, CD və AD), hər hansı təpədən bu təpənin əks tərəfinə çəkilmiş perpendikulyar hündürlük (BE və BF) adlanır, AC və BD xətləri diaqonallardır.

Diqqət! Kvadrat, romb və düzbucaqlı paraleloqramın xüsusi hallarıdır.

Tərəflər və bucaqlar: nisbət xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyətlər, ümumiyyətlə, təyinatın özü ilə əvvəlcədən müəyyən edilir, onlar teoremlə isbat edilir. Bu xüsusiyyətlər aşağıdakılardır:

1. Qarşı tərəflər cütlükdə eynidir.
2. Bir-birinə əks olan bucaqlar cütlükdə bərabərdir.

Sübut: ABCD dördbucağını AC xəttinə bölmək yolu ilə əldə edilən ∆ABC və ∆ADC-ni nəzərdən keçirək. ∠BCA=∠CAD və ∠BAC=∠ACD, çünki AC onlar üçün ümumidir (müvafiq olaraq BC||AD və AB||CD üçün şaquli bucaqlar). Buradan belə çıxır: ∆ABC = ∆ADC (üçbucaqların bərabərliyinin ikinci meyarı).

∆ABC-də AB və BC seqmentləri ∆ADC-də CD və AD sətirlərinə cüt-cüt uyğun gəlir, bu da onların eyni olduğunu bildirir: AB = CD, BC = AD. Beləliklə, ∠B ∠D-ə uyğundur və onlar bərabərdir. ∠A=∠BAC+∠CAD olduğundan, cütlükdə də eyni olan ∠C=∠BCA+∠ACD, onda ∠A = ∠C olur. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Fiqurun diaqonallarının xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyət bu paraleloqram xətləri: kəsişmə nöqtəsi onları ikiyə bölür.

Sübut: m.E ABCD fiqurunun AC və BD diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun. Onlar iki mütənasib üçbucaq əmələ gətirir - ∆ABE və ∆CDE.

AB=CD, çünki onlar əksdir. Xətlərə və sekantlara görə, ∠ABE = ∠CDE və ∠BAE = ∠DCE.

Bərabərliyin ikinci əlamətinə görə, ∆ABE = ∆CDE. Bu o deməkdir ki, ∆ABE və ∆CDE elementləri: AE = CE, BE = DE və üstəlik, onlar AC və BD-nin mütənasib hissələridir. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Bitişik künclərin xüsusiyyətləri

Qonşu tərəflərdə bucaqların cəmi 180°-dir, çünki onlar paralel xətlərin və sekantın eyni tərəfində yerləşirlər. Dördbucaqlı ABCD üçün:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektor xüsusiyyətləri:

1. , bir tərəfə düşmüşdür, perpendikulyardır;
2. əks təpələrin paralel bisektorları var;
3. bissektrisa çəkməklə alınan üçbucaq ikitərəfli olacaq.

Teoremlə paraleloqramın xarakterik xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsi

Bu rəqəmin xüsusiyyətləri onun aşağıdakı kimi oxunan əsas teoremindən irəli gəlir: dördbucaqlı paraleloqram hesab olunur onun diaqonallarının kəsişməsi halında və bu nöqtə onları bərabər seqmentlərə ayırır.

Sübut: ABCD dördbucağının AC və BD xətləri t E-də kəsişsin. ∠AED = ∠BEC, və AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, onda ∆AED = ∆BEC (üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlaməti ilə) olur. Yəni, ∠EAD = ∠ECB. Onlar həmçinin AD və BC xətləri üçün AC sekantının daxili kəsişmə bucaqlarıdır. Beləliklə, paralelliyin tərifinə görə - AD || e.ə. BC və CD xətlərinin oxşar xassəsi də əldə edilir. Teorem sübut edilmişdir.

Fiqurun sahəsinin hesablanması

Bu rəqəmin sahəsi bir neçə yolla tapılırən sadələrindən biri: çəkildiyi hündürlüyün və bazanın çarpılması.

Sübut: B və C təpələrindən BE və CF perpendikulyarlarını çəkin. AB = CD və BE = CF olduğundan ∆ABE və ∆DCF bərabərdir. ABCD EBCF düzbucağına bərabərdir, çünki onlar da mütənasib rəqəmlərdən ibarətdir: S ABE və S EBCD, həmçinin S DCF və S EBCD. Buradan belə çıxır ki, bu həndəsi fiqurun sahəsi düzbucaqlının sahəsi ilə eynidir:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paraleloqramın sahəsinin ümumi formulunu müəyyən etmək üçün hündürlüyü kimi qeyd edirik hb, və yan b. Müvafiq olaraq:

Ərazini tapmağın digər yolları

Ərazi hesablamaları paraleloqramın və bucağın tərəfləri vasitəsilə, onların əmələ gətirdikləri ikinci məlum üsuldur.

,

Spr-ma - sahə;

a və b onun tərəfləridir

α - a və b seqmentləri arasındakı bucaq.

Bu üsul praktiki olaraq birinciyə əsaslanır, lakin bilinməyən halda. həmişə parametrləri triqonometrik eyniliklərlə tapılan düzbucaqlı üçbucağı kəsir, yəni. Nisbəti çevirərək, alırıq. Birinci metodun tənliyində hündürlüyü bu məhsulla əvəz edirik və bu formulun etibarlılığının sübutunu əldə edirik.

Paraleloqramın və bucağın diaqonalları vasitəsilə, kəsişdikləri zaman meydana gətirdikləri ərazini də tapa bilərsiniz.

Sübut: AC və BD kəsişən dörd üçbucaq yaradır: ABE, BEC, CDE və AED. Onların cəmi bu dördbucağın sahəsinə bərabərdir.

Bunların hər birinin sahəsi ∆ ifadəsindən tapıla bilər, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. olduğundan, hesablamalarda sinusun vahid dəyərindən istifadə olunur. Yəni . AE+CE=AC= d 1 və BE+DE=BD= d 2 olduğundan, sahə düsturu azalır:

.

Vektor cəbrində tətbiq

Bu dördbucağın tərkib hissələrinin xüsusiyyətləri vektor cəbrində tətbiq tapdı, yəni: iki vektorun əlavə edilməsi. Paraleloqram qaydası bunu bildirir vektorlar verilmişdirsəvəyoxkollineardır, onda onların cəmi bu rəqəmin diaqonalına bərabər olacaq, əsasları bu vektorlara uyğundur.

Sübut: özbaşına seçilmiş başlanğıcdan - yəni. - vektorları qururuq və . Sonra, OA və OB seqmentlərinin tərəfləri olduğu OASV paraleloqramı qururuq. Beləliklə, ƏS vektor və ya cəmi üzərində yerləşir.

Paraleloqramın parametrlərinin hesablanması üçün düsturlar

Şəxsiyyətlər aşağıdakı şərtlərlə verilir:

1. a və b, α - tərəflər və onların arasındakı bucaq;
2. d 1 və d 2 , γ - diaqonallar və onların kəsişmə nöqtəsində;
3. h a və h b - a və b tərəflərinə endirilən hündürlüklər;

Parametr	Düstur
Tərəfləri tapmaq
diaqonallar boyunca və aralarındakı bucağın kosinusu
diaqonal və yan
hündürlük və əks təpə vasitəsilə
Diaqonalların uzunluğunu tapmaq
tərəflərdə və onların arasında üst ölçüsü
tərəflər və diaqonallardan biri boyunca	 Nəticə Paraleloqram, həndəsənin əsas fiqurlarından biri olaraq, həyatda, məsələn, sahənin sahəsini və ya digər ölçmələri hesablayarkən tikintidə istifadə olunur. Buna görə fərqləndirici xüsusiyyətlər və onun müxtəlif parametrlərinin hesablanması üsulları haqqında biliklər həyatın istənilən vaxtında faydalı ola bilər.

Tərif

Paraleloqram, əks tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır.

Teorem (paraleloqramın ilk əlaməti)

Əgər dördbucağın iki tərəfi bərabər və paraleldirsə, onda dördbucaqlı paraleloqramdır.

Sübut

\(ABCD\) dördbucağının \(AB\) və \(CD\) tərəfləri paralel olsun və \(AB = CD\) olsun.

Verilmiş dördbucaqlını iki bərabər üçbucağa bölən \(AC\) diaqonalını çəkin: \(ABC\) və \(CDA\) . Bu üçbucaqlar iki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq (\(AC\) ümumi tərəfdir, \(AB = CD\) şərtlə, \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) çarpaz uzanan bucaqlar kimi. paralel xətlərin kəsişməsi \ (AB\) və \(CD\) sekant \(AC\) ), belə ki, \(\bucaq 3 = \bucaq 4\) . Lakin \(3\) və \(4\) bucaqları \(AC\) sekantasının \(AD\) və \(BC\) xətlərinin kəsişməsində çarpaz şəkildə uzanır, buna görə də \(AD\paralel BC\). Beləliklə, \(ABCD\) dördbucağında əks tərəflər cüt-cüt paraleldir və buna görə də \(ABCD\) dördbucaqlı paraleloqramdır.

Teorem (paraleloqramın ikinci xüsusiyyəti)

Dördbucaqlının əks tərəfləri cütlükdə bərabərdirsə, dördbucaqlı paraleloqramdır.

Sübut

Verilmiş \(ABCD\) dördbucağını \(ABC\) və \(CDA\) üçbucaqlarına bölərək \(AC\) diaqonalını çəkin.

Bu üçbucaqlar üç tərəfdən bərabərdir (\(AC\) ümumidir, \(AB = CD\) və \(BC = DA\) fərziyyə ilə), ona görə də \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) çarpaz şəkildə uzanır. \(AB\) və \(CD\) və sekant \(AC\) . Buradan belə çıxır ki, \(AB\paralel CD\) . \(AB = CD\) və \(AB\paralel CD\) olduğundan, paraleloqramın birinci meyarına görə \(ABCD\) dördbucaqlı paraleloqramdır.

Teorem (paraleloqramın üçüncü əlaməti)

Əgər dördbucaqlıda diaqonallar kəsişirsə və kəsişmə nöqtəsi ikiyə bölünürsə, bu dördbucaq paraleloqramdır.

Sübut

\(AC\) və \(BD\) diaqonallarının \(O\) nöqtəsində kəsişdiyi və bu nöqtəni ikiyə böldüyü \(ABCD\) dördbucaqlısını nəzərdən keçirək.

Üçbucaqlar \(AOB\) və \(COD\) üçbucaqların bərabərliyinin birinci meyarına (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) şərtinə görə bərabərdir, \(\bucaq AOB = \bucaq COD \) şaquli künclər kimi), beləliklə \(AB = CD\) və \(\bucaq 1 = \bucaq 2\) . \(1\) və \(2\) bucaqlarının bərabərliyindən (\(AB\) və \(CD\) çarpaz uzanan və \(AC\) ) belə çıxır ki, \(AB\paralel CD\).

Beləliklə, \(ABCD\) dördbucağında \(AB\) və \(CD\) tərəfləri bərabər və paraleldir, bu o deməkdir ki, paraleloqramın birinci meyarına görə \(ABCD\) dördbucaqlıdır. paraleloqram.

Paraleloqramın xüsusiyyətləri:

1. Paraleloqramda əks tərəflər bərabər, əks bucaqlar isə bərabərdir.

2. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünür.

Paraleloqramın bissektrisasının xüsusiyyətləri:

1. Paraleloqramın bissektoru ondan ikitərəfli üçbucağı kəsir.

2. Paraleloqramın bitişik bucaqlarının bisektorları düz bucaq altında kəsişir.

3. Qarşı bucaqların bisektor seqmentləri bərabər və paraleldir.

Sübut

1) \(ABCD\) paraleloqram, \(AE\) \(BAD\) bucağının bissektrisa olsun.

\(1\) və \(2\) bucaqları \(AD\) və \(BC\) paralel xətlər və \(AE\) seksiyası boyunca uzandıqları üçün bərabərdir. \(1\) və \(3\) bucaqları bərabərdir, çünki \(AE\) bissektrisadır. Nəhayət \(\bucaq 3 = \bucaq 1 = \bucaq 2\), buradan belə çıxır ki, \(ABE\) üçbucaq ikitərəflidir.

2) \(ABCD\) paraleloqram, \(AN\) və \(BM\) müvafiq olaraq \(BAD\) və \(ABC\) bucaqlarının bissektrisaları olsun.

Paralel xətlər və sekantda birtərəfli bucaqların cəmi \(180^(\circ)\) olduğundan, onda \(\bucaq DAB + \bucaq ABC = 180^(\circ)\).

\(AN\) və \(BM\) bissektrisa olduğuna görə \(\bucaq BAN + \bucaq ABM = 0,5(\bucaq DAB + \bucaq ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), harada \(\bucaq AOB = 180^\circ - (\bucaq BAN + \bucaq ABM) = 90^\circ\).

3. \(AN\) və \(CM\) \(ABCD\) paraleloqramının bucaq bisektorları olsun.

Paraleloqramda əks bucaqlar bərabər olduğundan, \(\bucaq 2 = 0,5\cdot\bucaq BAD = 0,5\cdot\bucaq BCD = \bucaq 1\). Bundan əlavə, \(1\) və \(3\) bucaqları \(AD\) və \(BC\) paralel xətlər və sekant \(CM\) üzərində uzanan kimi bərabərdir, sonra \(\bucaq 2 = \bucaq 3\) , o deməkdir ki, \(AN\paralel CM\) . Həmçinin, \(AM\paralel CN\) , onda \(ANCM\) paraleloqramdır, buna görə də \(AN = CM\) .

Bu mövzuda problemləri həll edərkən, əlavə olaraq əsas xassələri paraleloqram və müvafiq düsturlar üçün aşağıdakıları yadda saxlaya və tətbiq edə bilərsiniz:

1. Paraleloqramın daxili bucağının bissektoru ondan ikitərəfli üçbucağı kəsir
2. Paraleloqramın tərəflərindən birinə bitişik olan daxili bucaqların bisektorları qarşılıqlı perpendikulyardır.
3. Paraleloqramın əks daxili bucaqlarından gələn, bir-birinə paralel və ya bir düz xətt üzərində uzanan bisektorlar
4. Paraleloqramın diaqonallarının kvadratlarının cəmi onun tərəflərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir.
5. Paraleloqramın sahəsi diaqonalların onların arasındakı bucağın sinusunun məhsulunun yarısıdır.

Bu xassələrin həllində istifadə olunduğu vəzifələri nəzərdən keçirək.

Tapşırıq 1.

ABCD paraleloqramının C bucağının bisektoru M nöqtəsində AD tərəfini və AB tərəfinin A nöqtəsindən kənara uzanmasını E nöqtəsində kəsir. AE \u003d 4, DM \u003d 3 olarsa, paraleloqramın perimetrini tapın.

Həll.

1. Üçbucaq CMD ikitərəfli. (Əmlak 1). Beləliklə, CD = MD = 3 sm.

2. EAM üçbucağı ikitərəflidir.
Beləliklə, AE = AM = 4 sm.

3. AD = AM + MD = 7 sm.

4. Perimetri ABCD = 20 sm.

Cavab verin. 20 sm

Tapşırıq 2.

Diaqonallar qabarıq dördbucaqlı ABCD şəklində çəkilmişdir. Məlumdur ki, ABD, ACD, BCD üçbucaqlarının sahələri bərabərdir. Verilmiş dördbucağın paraleloqram olduğunu sübut edin.

Həll.

1. ABD üçbucağının hündürlüyü BE, ACD üçbucağının hündürlüyü CF olsun. Məsələnin şərtinə görə üçbucaqların sahələri bərabər olduğundan və onların ümumi AD əsası olduğundan, bu üçbucaqların hündürlükləri bərabərdir. BE = CF.

2. BE, CF AD-yə perpendikulyardır. B və C nöqtələri AD xəttinin eyni tərəfində yerləşir. BE = CF. Buna görə də BC xətti || AD. (*)

3. ACD üçbucağının hündürlüyü AL, BCD üçbucağının hündürlüyü BK olsun. Məsələnin şərtinə görə üçbucaqların sahələri bərabər olduğundan və onların ortaq əsas CD-si olduğundan, bu üçbucaqların hündürlükləri bərabərdir. AL = BK.

4. AL və BK CD-yə perpendikulyardır. B və A nöqtələri CD düz xəttinin eyni tərəfində yerləşir. AL = BK. Buna görə də AB || xətti CD (**)

5. (*), (**) şərtləri ABCD-nin paraleloqram olduğunu bildirir.

Cavab verin. Sübut edilmişdir. ABCD paraleloqramdır.

Tapşırıq 3.

ABCD paraleloqramının BC və CD tərəflərində müvafiq olaraq M və H nöqtələri işarələnmişdir ki, BM və HD seqmentləri O nöqtəsində kəsişir;<ВМD = 95 о,

Həll.

1. DOM üçbucağında<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. DHC düzbucaqlı üçbucağında
(

Sonra<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Çünki düzbucaqlı üçbucaqda 30 o bucaq qarşısında yerləşən ayaq hipotenuzanın yarısına bərabərdir).

Ancaq CD = AB. Sonra AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Cavab: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Tapşırıq 4.

Uzunluğu 4√6 olan paraleloqramın diaqonallarından biri əsası ilə 60°, ikinci diaqonalı isə eyni əsasla 45° bucaq yaradır. İkinci diaqonalı tapın.

Həll.

1. AO = 2√6.

2. AOD üçbucağına sinus teoremini tətbiq edin.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Cavab: 12.

Tapşırıq 5.

Tərəfləri 5√2 və 7√2 olan paraleloqram üçün diaqonallar arasındakı kiçik bucaq paraleloqramın kiçik bucağına bərabərdir. Diaqonalların uzunluqlarının cəmini tapın.

Həll.

Paraleloqramın diaqonalları d 1, d 2, diaqonalları ilə paraleloqramın kiçik bucağı arasındakı bucaq φ olsun.

1. Gəlin iki fərqli sayaq
ərazisinin yolları.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f bərabərliyini alırıq.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Paraleloqramın tərəfləri və diaqonalları arasındakı nisbətdən istifadə edərək bərabərliyi yazırıq

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Gəlin bir sistem yaradaq:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Sistemin ikinci tənliyini 2-yə vurun və birinciyə əlavə edin.

(d 1 + d 2) 2 = 576 alırıq. Beləliklə, Id 1 + d 2 I = 24.

d 1 olduğundan, d 2 paraleloqramın diaqonallarının uzunluqlarıdır, onda d 1 + d 2 = 24.

Cavab: 24.

Tapşırıq 6.

Paraleloqramın tərəfləri 4 və 6-dır. Diaqonallar arasındakı iti bucaq 45 o-dur. Paraleloqramın sahəsini tapın.

Həll.

1. AOB üçbucağından kosinus teoremindən istifadə edərək paraleloqramın tərəfi ilə diaqonallar arasındakı əlaqəni yazırıq.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Eynilə, AOD üçbucağına münasibəti yazırıq.

Biz bunu nəzərə alırıq<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 tənliyini alırıq.

3. Bizdə bir sistem var
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

İkinci tənlikdən birincini çıxarsaq, 2d 1 d 2 √2 = 80 və ya alırıq.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Qeyd: Bu və əvvəlki məsələdə, bu məsələdə sahəni hesablamaq üçün diaqonalların hasili lazım olduğunu qabaqcadan görərək sistemi tam həll etməyə ehtiyac yoxdur.

Cavab: 10.

Tapşırıq 7.

Paraleloqramın sahəsi 96, tərəfləri isə 8 və 15-dir. Daha kiçik diaqonalın kvadratını tapın.

Həll.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Düsturda bir əvəz edək.

96 = 8 15 sin VAD alırıq. Beləliklə, günah VAD = 4/5.

2. Pis olduğunu tapın. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Məsələnin şərtinə uyğun olaraq daha kiçik diaqonalın uzunluğunu tapırıq. BAD bucağı kəskin olarsa, diaqonal BD daha kiçik olacaq. Sonra cos BAD = 3/5.

3. ABD üçbucağından kosinus teoremindən istifadə edərək BD diaqonalının kvadratını tapırıq.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Cavab: 145.

Hər hansı bir sualınız var? Həndəsə məsələsini necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Qarşı tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır (şək. 233).

İxtiyari paraleloqram aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. Paraleloqramın əks tərəfləri bərabərdir.

Sübut. ABCD paraleloqramında AC diaqonalını çəkin. ACD və AC B üçbucaqları ortaq AC tərəfi və ona bitişik iki cüt bərabər bucaq olan kimi bərabərdir:

(AD və BC paralel xətləri ilə çarpaz bucaqlar kimi). Beləliklə, bərabər bucaqların əks tərəfində olan bərabər üçbucaqların tərəfləri kimi isbat edilməsi tələb olunurdu.

2. Paraleloqramın əks bucaqları:

3. Paraleloqramın qonşu bucaqları, yəni bir tərəfə bitişik bucaqlar, toplanır və s.

2 və 3 xassələrin sübutu dərhal paralel xətlərdəki bucaqların xassələrindən irəli gəlir.

4. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində bir-birini ikiyə bölür. Başqa sözlə,

Sübut. AOD və BOC üçbucaqları bərabərdir, çünki onların AD və BC tərəfləri (xüsusiyyət 1) və onlara bitişik bucaqlar (paralel xətlərlə çarpaz bucaqlar kimi) bərabərdir. Bu, bu üçbucaqların uyğun tərəflərinin bərabərliyini nəzərdə tutur: sübut edilməsi tələb olunan AO.

Bu dörd xassədən hər biri bir paraleloqramı xarakterizə edir və ya necə deyərlər, onun xarakterik xassəsidir, yəni bu xüsusiyyətlərdən ən azı birinə malik olan hər hansı dördbucaq paraleloqramdır (və buna görə də bütün digər üç xüsusiyyətə malikdir).

Hər bir əmlak üçün sübutu ayrıca həyata keçiririk.

1". Dördbucaqlının əks tərəfləri cüt-cüt bərabərdirsə, o, paraleloqramdır.

Sübut. ABCD dördbucağının müvafiq olaraq AD və BC, AB və CD tərəfləri bərabər olsun (şək. 233). AC diaqonalını çəkək. ABC və CDA üçbucaqları üç cüt bərabər tərəfə sahib olduqları üçün uyğun olacaqlar.

Lakin onda BAC və DCA bucaqları bərabərdir və . BC və AD tərəflərinin paralelliyi CAD və DİA bucaqlarının bərabərliyindən irəli gəlir.

2. Əgər dördbucaqlının iki cüt əks bucaqları bərabərdirsə, o, paraleloqramdır.

Sübut. Qoy . AD və BC tərəflərinin hər ikisi paralel olduğundan (paralel xətlər əsasında).

3. Tərkibini və sübutunu oxucunun öhdəsinə buraxırıq.

4. Əgər dördbucaqlının diaqonalları kəsişmə nöqtəsində qarşılıqlı olaraq yarıya bölünürsə, onda dördbucaqlı paraleloqramdır.

Sübut. Əgər AO \u003d OS, BO \u003d OD (Şəkil 233), onda AOD və BOC üçbucaqları bərabərdirlər, çünki bərabər açılara malikdirlər (şaquli!) O təpəsində, bərabər AO və CO, BO tərəfləri cütləri arasında bağlanmış və ET. Üçbucaqların bərabərliyindən belə nəticəyə gəlirik ki, AD və BC tərəfləri bərabərdir. AB və CD tərəfləri də bərabərdir və dördbucaqlı G xarakterik xüsusiyyətinə görə paraleloqram olur.

Beləliklə, verilmiş dördbucağın paraleloqram olduğunu sübut etmək üçün dörd xassədən hər hansı birinin doğruluğunu yoxlamaq kifayətdir. Oxucuya paraleloqramın daha bir xarakterik xüsusiyyətini müstəqil sübut etməyə dəvət olunur.

5. Əgər dördbucaqlının bərabər, paralel tərəfləri varsa, o, paraleloqramdır.

Bəzən paraleloqramın bəzi cüt paralel tərəfləri onun əsasları, digər ikisinə isə yan tərəflər deyilir. Paraleloqramın iki tərəfinə perpendikulyar olan düz xəttin onların arasına daxil edilmiş seqmentinə paraleloqramın hündürlüyü deyilir. Şəkildəki paraleloqram. 234 AD və BC tərəflərinə çəkilmiş h hündürlüyünə malikdir, onun ikinci hündürlüyü seqmentlə təmsil olunur.