8.2.3. Degenerasiya və pis kondisioner sistemlər

Yuxarıda nəzərdən keçirilən “yaxşı” vəziyyətdən (bax. Bölmə 8. D) fərqli olaraq, xüsusi yanaşma tələb edən MxN ölçülü A kvadrat matrisi ilə yenidən SLAE Ax=b-ə qayıdaq. İki oxşar SLAE növünə diqqət yetirək:

• degenerasiya sistemi (sıfır determinant ilə |A|=0);
• zəif kondisioner sistem (A determinantı sıfıra bərabər deyil, lakin şərt sayı çox böyükdür).

Bu tip tənlik sistemlərinin bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməsinə baxmayaraq (birincisi üçün heç bir həll yoxdur, ikincisi üçün yalnız bir var), kompüterin praktiki nöqteyi-nəzərindən bir çox ortaq cəhətlər var. onlar.

Degenerasiya SLAE

Degenerativ sistem sıfır təyinedicisi |A|=0 (tək matris) olan bir matris tərəfindən təsvir edilən sistemdir. Belə bir sistemə daxil olan bəzi tənliklər digər tənliklərin xətti kombinasiyası ilə təmsil olunduğundan, əslində sistemin özü az müəyyən edilmişdir. Bunu başa düşmək asandır ki, sağ tərəf b vektorunun xüsusi növündən asılı olaraq, ya sonsuz sayda həll var, ya da heç biri yoxdur. Birinci variant normal psevdohəllin qurulmasına (yəni, sonsuz həllər toplusundan müəyyən, məsələn, sıfıra vektora ən yaxın olanı seçmək) gəlir. Bu iş bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 8.2.2 (8.11-8.13 siyahılarına bax).

düyü. 8.7. Tək matrisli iki tənlikdən ibarət ziddiyyətli sistemin qrafik təsviri

İkinci halı nəzərdən keçirək, o zaman ki, A sinqulyar kvadrat matrisi olan SLAE Aх=b tək həlli yoxdur. Belə bir problemin nümunəsi (iki tənlik sistemi üçün) Şəkil 1-də təsvir edilmişdir. 8.7, yuxarı hissəsində A matrisi və b vektoru təqdim edilir və sistemin həlli funksiyasından istifadə edərək sistemi həll etməyə cəhd edilir (uğursuzdur, çünki A matrisi təkdir). Şəklin əsas hissəsini tutan qrafik göstərir ki, sistemi təyin edən iki tənlik müstəvidə (x0,xi) iki paralel xətti müəyyən edir. Xətlər koordinat müstəvisinin heç bir nöqtəsində kəsişmir və buna uyğun olaraq sistemin həlli yoxdur.

QEYD

Birincisi, qeyd edək ki, 2x2 ölçülü qeyri-tək kvadrat matrisa ilə təyin olunan SLAE müstəvidə kəsişən bir cüt xətti müəyyən edir (aşağıdakı Şəkil 8.9-a baxın). İkincisi, deməyə dəyər ki, sistem ardıcıl olsaydı, onda tənliklərin həndəsi təsviri sonsuz sayda həlli təsvir edən iki üst-üstə düşən xətt olardı.

düyü. 8.8. f (x) qalıq funksiyasının bölmələrinin qrafiki = |Ax-b|

Təxmin etmək asandır ki, nəzərdən keçirilən tək halda sistemin psevdohəllərinin uyğunsuzluğunu minimuma endirən |Ax-b| , sonsuz sayda olacaq və onlar Şəkildə göstərilən ikisinə paralel üçüncü düz xətt üzərində uzanacaqlar. 8.7 və onların arasında ortada yerləşir. Bu Şəkildə göstərilmişdir. f(x) = = | funksiyasının bir neçə bölməsini göstərən 8.8 Ax-b | , bu da eyni dərinlikdə minimum ailənin mövcudluğunu göstərir. Onları tapmaq üçün quraşdırılmış Minimizə funksiyasından istifadə etməyə çalışsanız, onun ədədi metodu həmişə qeyd olunan xəttin hər hansı bir nöqtəsini tapacaq (ilkin şərtlərdən asılı olaraq). Buna görə də, unikal həlli müəyyən etmək üçün bütün psevdohəllər dəstindən ən kiçik normaya malik olanı seçmək lazımdır. Siz Mathcad-da bu çoxölçülü minimuma endirmə problemini daxili Minimize funksiyalarının kombinasiyalarından istifadə edərək formalaşdırmağa cəhd edə bilərsiniz, lakin daha səmərəli yol nizamlama (aşağıya bax) və ya ortoqonal matris parçalanmalarından istifadə etmək olardı (bax: Bölmə 8.3).

Qeyri-kondisioner sistemlər

Zəif şərtlənmiş sistem A determinantının sıfıra bərabər olmadığı, şərt nömrəsinin |A -1 | |A|

çox böyük. Şərtsiz sistemlərin unikal həlli olmasına baxmayaraq, praktikada bu həlli axtarmaq çox vaxt mənasızdır. İki xüsusi misaldan istifadə etməklə pis şəraitdə olan SLAE-lərin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək (Siyahı 8.14).

Siyahı 8.14-ün hər bir sətri iki çox yaxın pis şəraitli SLAE-nin həllini ehtiva edir (eyni sağ tərəf b və bir qədər fərqli matrislər A ilə). Yaxınlıqlarına baxmayaraq, bu sistemlərin dəqiq həlləri bir-birindən çox uzaqdır. Qeyd etmək lazımdır ki, iki tənlik sistemi üçün dəqiq bir həll əldə etmək asandır, lakin yüksək ölçülü SLAE həll edərkən, hesablamalar zamanı qaçılmaz olaraq yığılan kiçik yuvarlaqlaşdırma səhvləri (“dəqiq” Gauss alqoritmi ilə) böyük səhvlərə səbəb olur. nəticədə. Sual yaranır: problemin özünün qeyri-sabitliyi səbəbindən onun tamamilə yanlış çıxa biləcəyi əvvəlcədən məlumdursa, rəqəmsal həll yolu axtarmaq məntiqlidirmi?

Bizi qeyri-şərtsiz SLAE-lərin həlli üçün xüsusi üsullar axtarmağa məcbur edən başqa bir mülahizə (hətta Siyahı 8.14-də misal kimi verilmiş iki tənlik sistemi) onların eksperimental nəticələr kimi fiziki şərhi ilə bağlıdır. Əgər əvvəlcə məlumdursa ki, giriş məlumatı hansısa xəta ilə əldə edilib, o zaman pis kondisioner sistemlərin həllinin heç bir mənası yoxdur, çünki modeldəki kiçik xətalar (matris A və vektor b) həlldə böyük xətalara gətirib çıxarır. Belə xassələrlə bağlı problemlər pis qoyulmuş adlanır.

Səhvliyin səbəbini daha yaxşı başa düşmək üçün quyunun qrafik şərhini (şək. 8.9) və iki tənliyin zəif (şək. 8.10) şərtləndirilmiş sistemlərini müqayisə etmək faydalıdır. Sistemin həlli tənliklərin hər birini təmsil edən iki düz xəttin kəsişməsi ilə vizuallaşdırılır.

düyü. 8.9. İki tənlikdən ibarət yaxşı şərtlənmiş sistemin qrafiki

düyü. 8.10. Şərtsiz iki tənlik sisteminin qrafiki

Şəkildən. 8.10 aydındır ki, pis kondisioner SLAE-ə uyğun düz xətlər bir-birinə yaxın (demək olar ki, paralel) yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, xətlərin hər birinin yerləşdiyi yerdəki kiçik səhvlər onların kəsişmə nöqtəsinin lokallaşdırılmasında əhəmiyyətli səhvlərə səbəb ola bilər (SLAE həlləri), yaxşı kondisioner sistemdən fərqli olaraq, xətlərdə kiçik səhvlər olduqda. xətlərin yamacının onların kəsişmə nöqtəsinin yerinə az təsiri var (şək. 8.9).

QEYD

Matrisin zəif kondisioneri, həddindən artıq müəyyən edilmiş (uyğun olmayan) SLAE-lər (məsələn, tomoqrafiya problemlərində) ilə müəyyən edilmiş eksperimental məlumatların yenidən qurulması zamanı da tipikdir. Bu, növbəti bölmədə təsvir olunan haldır (aşağıdakı Siyahı 8.16-ya baxın).

Tənzimləmə üsulu

Təhlükəli problemləri həll etmək üçün, xüsusən degenerasiya və pis vəziyyətdə olan SLAE-ləri, nizamlama adlı çox təsirli bir texnika hazırlanmışdır. Praktik hallarda çox tez-tez rast gəlinən həllin strukturu (a priori qiymətləndirmənin vektoru) haqqında əlavə a priori məlumatların nəzərə alınmasına əsaslanır. Səbəb ki, nizamlanma bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 6.3.3, biz yalnız xatırlayırıq ki, SLAE Ax=b həlli problemi Tixonov funksionalının minimumunu tapmaq problemi ilə əvəz edilə bilər:

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

Burada R, hansısa optimal şəkildə seçilməli olan kiçik müsbət nizamlanma parametridir. Göstərilə bilər ki, Tixonov funksionalını minimuma endirmək problemi öz növbəsində başqa bir SLAE-nin həllinə endirilə bilər:

(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)

hansı saatda λ ->0 ilkin pis kondisioner sistemə daxil olur və böyük x üçün yaxşı kondisioner olduğundan onun həlli x 0 olur. Aydındır ki, A-nın bəzi aralıq dəyəri məqbul şərtlilik və orijinal problemə yaxınlıq arasında müəyyən kompromis yaradaraq optimal olacaqdır. Qeyd edək ki, nizamlanma yanaşması, problemin xətti olması səbəbindən unikal və sabit olan (8.4) sisteminin həllini tapmaq üçün şərti olaraq yaxşı qoyulmuş (Tixonova görə) probleminə qədər pis qoyulmuş problemi azaldır.

Lazımsız şərhlər olmadan, Şəkil 1-də təqdim olunan degenerasiya sisteminin nizamlı bir həllini təqdim edək. 8.8. Siyahı 8.15 problemin (8.4) həllinin tapılmasını nümayiş etdirir və nəticədə qalığın və həllin özünün R nizamlayıcı parametrindən asılılığı Şəkil 1-də göstərilmişdir. müvafiq olaraq 8.11 və 8.12. Vurğulamaq vacibdir ki, orijinal sistemin həlli və buna görə də sistemin (8.4) at λ =0 mövcud deyil.

Siyahı 8.15 Degenerasiyaya uğramış SLAE-nin nizamlanması

Nizamlamanın son mərhələsi optimal olanı seçməkdir λ . Ən azı iki mülahizə var ki, bunlara əsaslanaraq, qalığın ondan asılılığına əsaslanaraq nizamlanma parametrini seçmək olar. Baxılan nümunədə biz müəyyən etmək üçün meyar tətbiq edirik λ , giriş məlumatlarının dəqiqləşdirilməsində səhvlərin aprior qiymətləndirilməsinə bərabər qalıq normanın seçilməsinə əsaslanaraq: A matrisi və b vektoru, yəni dəyəri | δA | + |5λ|. Məsələn, qalıq normanı və müvafiq olaraq parametri seçə bilərsiniz λ və həll x( λ ), Şəkildə qeyd olunanlar. 8.11 və 8.12 nöqtəli xətlər.

QEYD 1

Başqa bir seçim λ Model xətaları ilə bağlı heç bir aprior mülahizə tələb etməyən , Bölmədə müzakirə olunan kvazi-optimal metoddur. 6.3.3.

QEYD 2

Xətti məsələdə (8.4) düsturunun ümumi (8.3) düsturu ilə eyni nəticəni verdiyini yoxlamaq faydalıdır. Bunun üçün Listinq 8.15-də SLAE (8.4) həllini ifadə edən sonuncu sətri Siyahı 8.16-da göstərildiyi kimi ədədi üsulla minimumlaşdırmanı həyata keçirən koda dəyişdirmək kifayətdir. Hesablamalar (bu, daha çox kompüter vaxtı tələb edir) şəkildə göstərildiyi kimi eyni nəticəni verir. 8.11 və 8.12.

QEYD 3

8.15 və 8.16 siyahılarının hesablamalarında sınayın ki, həllin fərqli, məsələn, daha real, aprior qiymətləndirilməsi (onlarda istifadə olunan sıfır vektor x0 əvəzinə) götürün və bunun nəticəyə necə təsir etdiyinə baxın.

düyü. 8.11. Degenerasiya olunmuş SLAE-nin nizamlı məhlulunun qalığının A parametrindən asılılığı (Siyahı 8.15-in davamı)

QEYD 4

Tixonov funksionalı kimi (8.3) düsturu yerinə başqa bir asılılığın istifadəsi də maraqlıdır: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . Siz CD-də müvafiq hesablama nümunəsini tapa bilərsiniz.

düyü. 8.12. λ-dan asılı olaraq nizamlı həll (Siyahı 8.15-dən davam edir)

Siyahı 8.16. Minimallaşdırma alqoritmindən istifadə edərək SLAE-lərin nizamlanması (Siyahı 8.15-in davamı)

UDC 519.61:621.3

V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLİMENKO*

FİZİKİ OYNANI TƏSVİR EDƏN XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏRİN QEYRİ ŞƏRTDƏSİZ SİSTEMİNİN HƏLLİNƏ BİR YANIM HAQQINDA

Ukrayna Milli Elmlər Akademiyasının Riyazi Maşınlar və Sistemlər Problemləri İnstitutu, Kiyev, Ukrayna

mücərrəd. Göstərilmişdir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAR) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin ehtimalı matrisin zəif dizaynı nəticəsində deyil, onun nəticəsidir. qovşaq potensialları və ya onun analoqları metodu ilə qatlanmış səviyyələrdə səhv seçim dəyişdirilə bilən SLAR və metodun özü Bu, SLAR-ın düzgünlüyünün yoxlanılması üçün bir üsulla formalaşan tapşırığın düzgün qurulması metodundan böyük bir sapmadır bütöv simmetrik matrisə malik olan düyün potensiallarının metodu təklif edilmişdir və onu düzgün formaya çevirmək lazımdır.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv təyinat, səhv mülahizə, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, tapşırığın düzgün təyin edilməsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

Annotasiya. Göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin etibarlılığı matrisin zəif şərtiliyindən deyil, SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsindən asılıdır. nodal potensiallar metodundan və ya onun analoqlarından istifadə edərək tənliklərin qurulması mərhələsində və metodun özü məsələnin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi bir halıdır. Qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik olan nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq və lazım gəldikdə onu düzgün formaya çevirmək üçün bir texnika təklif olunur.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv qoyulmuş məsələ, pis kondisiya, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, məsələnin düzgün formalaşdırılması üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

mücərrəd. Məqalədə göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin simulyasiyasının nəticələrinin etibarlılığı pis kondisioner matrisadan deyil, tənliklərin yaradılması mərhələsində dəyişən SLAE-nin düzgün seçilməməsindən asılıdır. düyün potensialı metodu və ya onun analoqları ilə, metod isə problemin düzgün ifadəsi metodunun xüsusi halıdır. Qeyri-sinqulyar və simmetrik matrisə malik qovşaq potensialı üsulu ilə hazırlanmış SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması və lazım gəldikdə düzgün formaya çevrilməsi təklif edilmişdir.

Açar sözlər: sistem, simulyasiya, səhv məsələ, pis şərtli, xətti cəbri tənliklər sistemi, qovşaq potensialı metodu, məsələnin düzgün ifadəsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

1. Giriş

Fiziki (texniki) obyektlərin modelləşdirilməsinin bir çox problemləri xətti cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həllinə gəlir. Belə sistemləri həll edərkən bütün hesablamalar sonlu sayda əhəmiyyətli rəqəmlərlə aparıldığından, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən dəqiqlik əhəmiyyətli dərəcədə itirilə bilər. Zəif kondisioner (qeyri-sabit) sistem və ya daha ümumi formada desək, səhv qoyulmuş problem, daxil edilmiş məlumatların səhvlərinin sabit səviyyəsini və hesablamaların dəqiqliyini nəzərə alaraq, həlldə heç bir dəqiqliyə zəmanət verməyən problem hesab olunur. Şərt nömrəsi SLAE-nin həllində mümkün səhvlərin apriori ən pis qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur. Ədəbiyyatdan göründüyü kimi, səhv qoyulmuş məsələlərin həlli üsullarının işlənib hazırlanması bir çox məsələlərin ədədi həllinə baxmayaraq, fiziki (texniki) obyektlərin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmadığı sırf riyazi problem kimi qəbul edilir. riyazi fizika və mürəkkəb fiziki proseslərin riyazi modelləşdirilməsi

© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014

bayquşlar və texniki sistemlər xətti cəbr problemlərinin tükənməz mənbəyidir. Sadalanan problemlər sinfi üçün həll üsullarını hazırlayarkən, bu və ya digər şəkildə müəyyən bir problemin xüsusiyyətlərini nəzərə almaq mümkün olan SLAE-nin tərtib edilməsi mərhələsi nəzərə alınmır. Bu mərhələnin mütləq nəzərə alınması aşağıdakı işlərin nəticələri ilə təsdiqlənir.

Hər şeydən əvvəl, SLAE-lərin həlli zamanı dəqiqlik itkisinin az olduğu və şərt nömrəsinin dəyərinin böyük olduğu matrislərə nümunələr verən işi qeyd etmək lazımdır, yəni ümumi qəbul edilmiş meyarın şərt sayı əsasında SLAE-lərin həllinin düzgünlüyünün apriori qiymətləndirilməsi zəruridir, lakin kifayət deyil. Əsərlərdə qarşıya qoyulmuş problemin həllinə tamamilə yeni yanaşma təklif edilmişdir. SLAE-lərin həllinin dəqiqliyini artırmaq üçün, hətta şərt sayının böyük bir dəyəri ilə, fiziki obyektin diskret modelinin təsviri mərhələsində SLAE-lərin düzgün tərtib edilməsi təklif olunur. Bu o deməkdir ki, işdə bildirildiyi kimi təkcə belə matrislər mövcud deyil, həm də obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üçün metod təklif edilmişdir. SLAE matrisinin tərtibi üsulu elektrik dövrələrinin, enerji sistemlərinin, mexanikanın çubuq sistemlərinin və riyazi fizikanın elliptik tənliklərinin davranışının modelləşdirilməsi problemlərinə münasibətdə nəzərdən keçirilir.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, mövcud metodlardan fərqli olaraq, SLAE formalaşdırarkən, dəyişənlərin məqsədyönlü seçimi ilə fiziki obyektin diskret modelinin parametrləri nəzərə alınır. Qeyd etmək lazımdır ki, metod yalnız diskret model topologiyası qrafiklə təmsil olunan obyektlərə şamil edilir.

Bu tələb elektrik dövrəsinin və enerji sisteminin dizayn modeli ilə təmin edilir. Mürəkkəb fiziki proseslərin, texniki sistemlərin və riyazi fizikanın riyazi modelləşdirilməsinin bir çox problemləri üçün diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində təqdim edilməsindən istifadə edilmir. Əsərlər göstərir ki, yuxarıda göstərilən məhdudiyyət fiziki obyektin diskret modelinin konstruksiya sxemlərinin elementlərinin topologiyasını qrafik şəklində təqdim etməklə aradan qaldırılır. Elementlərin topologiyasını qrafiklər şəklində təqdim etmək üsulu da mövcuddur.

Bu yazıda diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində göstərilmədiyi hal üçün səhv qoyulmuş problemi düzəltmək üçün bir üsul təklif edəcəyik. Metod hazırlayarkən nəzərə alırıq ki, riyazi fizikada və mürəkkəb fiziki proseslərdə və texniki sistemlərdə problemlərin diskret modellərini təsvir etmək üçün ümumi qəbul edilmiş metod (nodal potensial metodu) SLAE matrisinin düzgün tərtib edilməsi metodunun xüsusi halıdır. .

2. Obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE-nin həllinin dəqiqliyi ilə tənliklərin qurulması metodu arasında əlaqə

Akademik Voevodin V.V. öz işində göstərdi ki, SLAE-lərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli nəticələrinin ən yüksək dəqiqliyinə əsas elementin seçimi ilə metoddan istifadə zamanı nail olunur. Bu ideya əsasında çoxlu sayda əsərlər nəşr edilmişdir. Bununla belə, praktiki problemlərin həlli göstərdi ki, SLAE-lərin həllinin dəqiqliyi, xüsusən də pis şərtlənmiş matrislər halında, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən əhəmiyyətli dərəcədə itirilir, yəni həll mərhələsində nəticələrin dəqiqliyini artırmaq üçün bu kifayət deyil. yalnız əsas elementlərin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etmək.

Bu fikrin sonrakı inkişafı işdə təklif olunan metoddur, burada obyektin diskret modelinin təsvirinin tərtibi mərhələsində matrisin diaqonal elementlərini əsas kimi formalaşdırmaq təklif olunur. Bunun üçün təsviri tərtib edərkən əlavə məlumatlardan, yəni diskret modelin parametrlərindən istifadə olunur. Bu yanaşmanın effektivliyi, yəni diskreti təsvir edən SLAE-nin həllinin düzgünlüyündən asılılıqdır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Tənliklərin qurulması metodundan obyektin yeni modeli model nümunəsindən istifadə etməklə nümayiş etdiriləcək. Aşağıda əsas elementi və onun həllini seçməklə və seçməksiz-də təsvir olunan metoddan istifadə edərək model nümunəsinin təsvirini tərtib etməyi nəzərdən keçirəcəyik.

Model nümunəsi kimi Şəkil 1-də göstərilən elektrik dövrəsi seçilmişdir. 1.

düyü. 1. Elektrik dövrəsi

Məlumdur ki, elektrik dövrəsini təsvir edən SLAE-nin şərti dövrə komponentlərinin keçiricilik (müqavimət) dəyərlərinin yayılma diapazonundan asılıdır. 15 sifarişə bərabər olan elektrik dövrəsinin komponentlərinin keçiriciliyində seçilmiş dəyişikliklər diapazonu SLAE-nin zəif şərtliliyini və beləliklə, ümumi hesab edildiyi kimi, problemin düzgünlüyünü təmin edir. 2-ci qovşağın potensialının (G2 komponentində gərginlik) hesablanması nümunəsindən istifadə edərək, elektrik dövrəsinin təsvirini tərtib edərkən hesablama nəticələrinin etibarlılığının diaqonal elementin formalaşdırılması metodundan asılılığı təhlil ediləcəkdir.

Aşağıda problemin düzgün formalaşdırılması metodundan istifadə edərək bir model nümunəsinin həlli üçün zəruri olan əsas müddəalar verilmişdir. Bu metoddan istifadə edərək elektrik dövrəsinin riyazi modelinin qurulması, Kirchhoff qanunları əsasında tərtib edilmiş komponent tənlikləri və tənlikləri özündə cəmləşdirən elektrik dövrəsinin tənliklərinin əsas sisteminə əsaslanır. Model nümunəsi üçün komponent tənliyi formaya malikdir

burada U i komponentə düşən gərginlik, I komponentdən keçən cərəyan, Gt komponentin keçiriciliyidir.

Elektrik dövrəsinin qrafikini və buna uyğun olaraq Kirchhoff qanunlarına əsaslanan tənlikləri təsvir etmək üçün konturların və kəsiklərin topoloji matrislərindən istifadə olunur. Dövrə qrafiki elektrik dövrəsi ilə üst-üstə düşür. Konturların və kəsiklərin topoloji matrislərinin tərtibi dövrə qrafiki ağacının seçilməsini və seçilmiş ağac üçün konturların çəkilməsini nəzərdə tutur. Elektrik dövrə qrafikinin ağacı elə seçilir ki, bütün gərginlik mənbələri ağaca, bütün cərəyan mənbələri isə akkordlara daxil olsun. Dövrə komponentlərinin gərginlik vektorları U və cərəyanlar I elementləri ağaca daxil olanlara (indeks D), yəni budaqlara və akkordlara (indeks X) qruplaşdırılır, beləliklə:

Konturlar akkordları dövrə qrafiki ağacına birləşdirməklə formalaşır. Bu halda

konturların topoloji matrisi formaya malikdir

burada 1 akkordların vahid submatrisidir, t

Matrisin transpozisiyasını bildirir və bölmələrin topoloji matrisi |1 -F formasındadır, burada 1 budaqların vahid submatrisasıdır. -dən göründüyü kimi, matrisin diaqonal hədləri

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

sxemlərdə ağac komponentlərinin keçiricilikləri maksimum keçiriciliyə malik olduqda əsas olanlar olacaqdır. Topoloji matrislərin növünü nəzərə alaraq, Kirchhoff qanunları əsasında tərtib edilmiş dövrə tənliklərini matris şəklində aşağıdakı kimi yazmaq olar:

onların =-ґid, (3)

Tərtib edilmiş tənliklər sisteminin dəyişənləri əsas tənliklər sisteminin təhlili nəticəsində komponentlərin gərginlikləri və/yaxud cərəyanlarından seçilir. Ağacın budaqlarına daxil olan komponentlər dəyişən gərginliklər kimi seçilərsə, komponent tənlikləri (1) və tənliklər (3), (4) aşağıdakı formaya çevrilə bilər:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Aşağıda bir model nümunəsi üçün tənliklərin tərtibini təqdim edəcəyik. Əvvəlcə elektrik dövrəsinin təsviri tərtib edilir ki, matrisin diaqonal şərtləri əsas olsun. Bu tələb ağaca daxil olan E1, G6, G3, G2 komponentləri dəsti ilə təmin edilir (şəkil 1-də ağacın budaqları qalın xətt ilə vurğulanır). Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağaca uyğundur:

və topoloji matrislər

Dönüşümlərdən sonra (6), (7) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) pis vəziyyətdədir, çünki matrisin xüsusi dəyərləri \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Sistemin həlli nəticələrinin düzgünlüyünün tənliklərin tərtib edilməsi variantının seçilməsindən necə asılı olduğunu müəyyən etmək üçün 2-ci qovşağın potensial Uq hesablanması ümumi formada aparılacaqdır:

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Hesablama prosesinin təhlilindən (9-11) belə çıxır ki, keçiricilik dəyərlərindəki dəyişikliklərin böyük diapazonuna (15 böyüklük sırası) baxmayaraq, rəqəmlərin təqdim edilməsinin yekun dəqiqliyi üçün ciddi tələblər yoxdur. tənliklərin qurulması və onların həlli zamanı. Etibarlı bir nəticə əldə etmək üçün rəqəmləri iki əhəmiyyətli rəqəmə əks etdirmə dəqiqliyi ilə SLAE-lərin tərtibi və həlli üçün hesablama prosesini yerinə yetirmək kifayətdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, SLAE (8)-də G+G4+G5I matrisinin ikinci sırasının (sütununun) diaqonal elementi qalan şərtlərin cəmindən əhəmiyyətli dərəcədə böyükdür (15 böyüklük sırası ilə)

sətirlər (sütunlar) | G4 + 2G51. Bu o deməkdir ki, UG = 0 götürməklə SLAE-ni sadələşdirə bilərik

(8), nəticələrin etibarlılığını qorumaq. Əllə hesablama dövründə bu texnika 2-ci node ilə 3-ün birləşməsinə uyğun gəlirdi (şəkil 1).

İkinci halda (əsas kimi diaqonal elementi seçmədən) ağacda Ex, G6, G4, G2 komponentlərini seçmək kifayətdir (şəkil 1-də ağacın budaqları kəsik xətlərlə işarələnmişdir.

xətt). Bu komponentlərdəki gərginlik düşmələri sıfır nodedən hesablanan 1, 4, 3, 2 node potensiallarına uyğun gəlir. Bu o deməkdir ki, ağacda komponentlərin belə bir seçimi ilə SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üsulu nodal potensiallar üsulu ilə üst-üstə düşür. Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağac və akkordlara uyğundur:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

və topoloji matrislər

(12), (13) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakıları qəbul edəcəkdir

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

(14) tənliklər sistemi pis şərtlidir, çünki o, matrisin aşağıdakı xüsusi dəyərlərinə malikdir: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Nümunənin birinci versiyasında olduğu kimi, 2-ci qovşağın potensial UG ümumi formada hesablanacaq:

(G + G + G) -----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

(15-17) tənliklər sisteminin həllinin hesablama prosesinin təhlilindən belə nəticə çıxır ki, nəticələrin etibarlılığı həm tənliklərin tərtibi, həm də həlli zamanı ədədlərin təsvirinin yekun dəqiqliyindən asılıdır. Beləliklə, sistemin həllinin hesablama prosesi (15-17) 15 əhəmiyyətli rəqəmdən az dəqiqliklə yerinə yetirilirsə, nəticə

1015 +1015 ~ o,

və dəqiqliyin 15 əhəmiyyətli rəqəmdən çox olduğu halda, belə olacaqdır

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

(8) və (14) matrislərinin, eləcə də tənlik sistemlərinin həlli üçün hesablama proseslərinin müqayisəsindən aşağıdakı nəticələr çıxır.

Düyün potensialları metodu təklif olunan metodun xüsusi halıdır, yəni düyün potensialları metodunda əsas nodu qalanları ilə birləşdirən qrafikin kənarları həmişə ağaca seçilir.

Matrisin diaqonal elementləri, matrisin maksimum diaqonalların seçilərək və ya seçilməməsindən asılı olmayaraq, həm sətirlərdə, həm də sütunlarda digər elementlərdən modul baxımından daha böyükdür. Yeganə fərq, diaqonal elementlərin diaqonal olmayanlardan nə qədər böyük olmasıdır. Bu o deməkdir ki, əsas elementin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etməklə bu tip SLAE həlli bu sinif problemlərin nəticələrinin dəqiqliyini artırmır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Gauss həllində istifadə olunan əhəmiyyətli rəqəmlərin son sayı matrisin maksimum diaqonal elementləri seçməklə və ya seçilmədən qurulmasından əhəmiyyətli dərəcədə asılıdır. Məsələnin bir versiyası ilə digəri arasındakı fərq yalnız ondan ibarətdir ki, tənliklərin tərtibi mərhələsində bir halda maksimum keçiriciliyə malik komponent ağaca seçilir və beləliklə, bu komponentin gərginliyi SLAE-də dəyişən kimi çıxış edir. Bu komponentin keçiriciliyi yalnız matrisin diaqonal elementinin formalaşmasında iştirak edir. Başqa bir halda, bu komponent akkordlara düşür. (3) tənliyindən aşağıdakı kimi komponent gərginliyi ağac komponentlərinin gərginliyi ilə müəyyən edilir. (4) tənliyindən belə çıxır ki, komponentin keçiriciliyi cərgə və sütun elementlərinin formalaşmasında iştirak edir və beləliklə, akkordun keçiriciliyi bu matrisin elementlərinin ölçüsünü müəyyən edir.

3. Düyün potensialları üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin düzgün tərtibata uyğun formaya çevrilməsi

Riyazi fizikanın və mürəkkəb fiziki proseslərin və texniki sistemlərin riyazi modelləşdirilməsi məsələlərinin ədədi həlli zamanı bu məsələlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün əsasən nodal potensiallar və ya onun analoqları metodundan istifadə olunur. Bu metodun fərqli xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, SLAE dəyişənləri kimi diskret modelin dizayn sxeminin potensialları, baza qovşağından qalan qovşaqlara qədər hesablanır, tənliklərin qurulması üçün sadə alqoritm və SLAE-nin zəif doldurulmuş matrisi istifadə olunur. Belə səmərəliliyin qiyməti tapşırığın düzgün olmaması ola bilər. Nəzərə alsaq ki, düyün potensialları metodu problemin düzgün qoyulması metodunun variantlarından sadəcə biridir, yanlış qoyulmuş problem matris çevrilməsinin tətbiqi ilə düzəldilə bilər. Aşağıda düyün potensialları üsulu ilə səhv tərtib edilmiş problemin çevrilməsi alqoritmini nəzərdən keçirəcəyik.

Fiziki obyektlərin bütün müxtəlifliyindən yalnız xətti diskret modeli qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik SLAE tərəfindən təsvir edilən obyektlər nəzərə alınacaqdır.

3.1. Matrisin çevrilməsi alqoritmi

Bir matrisin çevrilməsi alqoritmini hazırlayarkən, matrisin i-ci sırasının j-ci qeyri-diaqonal elementinin mənfi işarəsi olan matrisə daxil edilməsi və əlaqəni təsvir edən diskret model parametrinin olması faktından istifadə olunur. diskret modelin i-ci və j-ci qovşaqları arasında. Diaqonal element müsbət işarəsi olan matrisə daxil edilir, qeyri-diaqonal elementlərin cəmini və i-ci node ilə əsas arasındakı əlaqəni təsvir edən diskret model parametrini ehtiva edir. Adətən, diskret modelin qovşaqlarının nömrələnməsi zamanı əsas qovşaq sıfır hesab olunur.

Yuxarıda aparılmış tədqiqatdan göründüyü kimi, tərtib edilmiş SLAE səviyyəsində problemin səhvliyi yalnız xəttin diaqonal olmayan elementlərindən ən azı biri yalnız daxil olan diskret modelin parametrindən əhəmiyyətli dərəcədə böyük olduqda baş verir. diaqonal elementdə. Aşağıda tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması metodologiyası verilmişdir.

SLAE formasına sahib olsun

burada x nodal potensialların vektoru (nodal təsirlər), y xarici axınların vektoru, A formanın matrisidir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

a11 a1і a1j a1n

aі1 a,і aj ain , (21)

aJ1 an1 aі aJJ ann

burada n matrisin ölçüsüdür. Matris elementləri aşağıdakı tələblərə cavab verir:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Aşağıda matrisin i-ci cərgəsinin düzgünlüyünün yoxlanılması və lazım gəldikdə onun düzəldilməsi məsələsini nəzərdən keçirəcəyik.

Əvvəlcə matrisin i-ci sırasının diaqonal elementinə daxil olan diskret model parametri müəyyən edilir,

Ait parametri şərti ödəyirsə, matrisin i-ci sırası düzgün tərtib edilmiş hesab olunur.

1 < j < n, при j Ф і.

Şərt (24) yerinə yetirilməzsə, i-ci sıra düzəldilir. Əvvəlcə diaqonal olmayan elementlərdən ən böyüyü seçilir. Bu i -ci sıranın j -ci elementi olsun. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, matrisin tərkibinin xüsusiyyətlərinə görə (şərt (22)) elementlərin formalaşmasında iştirak edən diskret modelin parametri o. və i-ci və j-ci sətirlərin a.^ aii və a elementlərinin tərkib hissəsi kimi daxil edilir. . i-ci sıranın tənzimlənməsinin mahiyyəti matrisin i-ci və j-ci sətirlərini elə çevirməkdir ki, elementin qiyməti a olsun. yalnız aii elementinə daxil edilmişdir. xi dəyişənini formada təmsil etdiyini görmək asandır

X = xj + xj (25)

və SLAE matrisinin j-ci sütununun elementlərinin aşağıdakı transformasiyasını yerinə yetirmək

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

matrisin yeni j-ci sütununu alırıq, burada çevrilmiş elementlər adır. və a. elementləri təşkil edən diskret modelin parametrini ehtiva etmir a. və a. .

Növbəti addım düsturdan istifadə edərək j-ci sıranı çevirməkdir

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Transformasiya edilmiş j-sətirinin a i elementləri artıq a i elementinə uyğun diskret model parametrini ehtiva etmir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

SLAE matrisinin düzgünlüyünün yoxlanılması və səhv sətirlərin düzəldilməsi bütün matris üçün həyata keçirilir. Bu işdə yalnız matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün alqoritmin qurulmasına yanaşma nəzərdən keçirilir. Bu işdə matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün səmərəli alqoritmin işlənib hazırlanması ilə bağlı məsələlər nəzərdən keçirilmir. Aşağıda nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin (14) çevrilməsinə nümunə verəcəyik.

3.2. Demo nümunəsi

Əvvəla, qeyd etmək lazımdır ki, matrisin (14) simmetrik və qeyri-degenerativdir. Matris əmsalları (22) şərtini ödəyir. Nodal potensiallar komponentlər arasında gərginliyin azalmasına uyğundur

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28) nəzərə alınmaqla, SLAE (14) aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Matrisin düzgünlüyünün yoxlanılmasına aşağıdakı əməliyyatlar daxildir.

Yalnız daxil edilmiş diskret model parametrinin (23) düsturla müəyyən edilməsi

diaqonal elementə çevrilir. Matrisin birinci cərgəsi üçün G6, ikinci sıra üçün G4 və üçüncü üçün - (Gl + G2) olacaq.

Matris sətirlərinin düzgünlüyünün yoxlanılması (24) düsturuna uyğun olaraq həyata keçirilir. Bu yoxlama nəticəsində məlum olur ki, ikinci sətir düzgünlük tələbinə cavab vermir, çünki (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . G3 parametri də matrisin üçüncü cərgəsinə daxildir, buna görə də (25) düsturuna uyğun olaraq U3 dəyişəninin təsviri formada seçilir.

U3 = U2 + U23, (30)

3-cü sütunun elementlərinin çevrilməsi nəticəsində (26) düsturuna uyğun olaraq aşağıdakı formanın (29) matrisini alırıq:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

üçüncü cərgə çevrildikdən sonra (27) düsturuna uyğun olaraq (31) matris formaya sahib olacaq.

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) düzgünlük tələbini ödəyir, ona görə də tənzimləmə tamamlanmış sayılır. SLAE dəyişənləri (32) SLAE dəyişənlərinə (8) uyğundur, yəni

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Ağaca çevrilmə nəticəsində problemin düzgün formalaşdırılması metodunda olduğu kimi eyni komponentlər seçilmişdir. SLAE (8) və (32) müqayisəsindən belə nəticə çıxır ki, ikinci sütunun və ikinci cərgənin matrisinin (32) diaqonal olmayan elementləri (8) matrisindən işarə baxımından fərqlənir. Bu, matrisin (14) çevrilməsi zamanı G3 komponentinin cərəyanının istiqamətinin SLAE (8) tərtibi zamanı seçilmiş istiqamətin əksinə seçilməsinin nəticəsidir. U23 dəyişənini U23 = -U23 ilə əvəz etməklə və ikinci tənlikdəki elementlərin işarələrini əksinə dəyişdirməklə (8) matrisini alırıq.

4. Nəticə

Modelləşdirmə bəşəriyyətin intellektual fəaliyyətinin tərkib hissəsinə çevrilmişdir və modelləşdirmə nəticələrinin etibarlılığı modelləşdirmənin nəticələrinin qiymətləndirilməsinin əsas meyarıdır. Nəticələrin etibarlılığını təmin etmək üçün mürəkkəb obyektləri və onların həllərini təsvir etmək üçün üsul və alqoritmlərin işlənib hazırlanmasına yeni yanaşmalar tələb olunur.

Səhv qoyulmuş problemlərin həlli üçün metodların işlənib hazırlanmasına mövcud yanaşmadan fərqli olaraq, bu məqalə pis qoyulmuş problemi (şərtsiz) düzgün formaya gətirməyi təklif edir. Fiziki obyektlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-lərin həlli zamanı etibarlı nəticələrin əldə edilməsini çətinləşdirən matrisin zəif şərtliliyi deyil, tənliklərin qurulması mərhələsində SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsi və düyün metodu olduğu göstərilir. diskret modeli təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün istifadə olunan potensiallar və onun analoqları problemin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi halıdır. SLAE matrisinin qeyri-tək və simmetrik olduğu hal üçün nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bir texnika təklif olunur. Matrisin düzgün formaya çevrilməsi alqoritmi nəzərdən keçirilir.

BİBLİOQRAFİYA

1. Kalitkin N.N. Xətti cəbri tənliklər sistemləri üçün kəmiyyət şərtlilik meyarı / N.N. Kalitkin, L.F. Yuxno, L.V. Kuzmina // Riyazi modelləşdirmə. - 2011. T. 23, No 2. - S. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Mürəkkəb sistemlərin modelləşdirilməsinə bir yanaşma haqqında / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2008. - No 4. - S. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. Enerji sistemlərinin modelləşdirilməsinə bir yanaşma / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2009. - No 4. - S. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Çubuq sistemlərinin mexanikası və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2012. - No 2. - S. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Sonlu elementlər metodu və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2013. - No 4. - S. 114 - 126.

6. Puxov G.E. Riyazi maşınlar nəzəriyyəsinin seçilmiş sualları / Puxov G.E. - Kiyev: Ukrayna SSR Elmlər Akademiyasının Nəşriyyatı, 1964. - 264 s.

7. Seshu S. Xətti qrafiklər və elektrik sxemləri / S. Seşu, M.B. Reid. - M.: Ali məktəb, 1971. - 448 s.

8. Zenkeviç O. Sonlu elementlər və yaxınlaşma / O. Zenkeviç, K. Morqan. - M.: Mir, 1986. -318 s.

9. Voevodin V.V. Xətti cəbrin hesablama əsasları / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 s.

10. Elektrik mühəndisliyinin nəzəri əsasları: universitetlər üçün dərslik / K.S. Dəmirçyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.

Tələb olunan vektor

Əgər , onda sistem (1) qeyri-şərtsiz adlanır. Bu halda, matrisin əmsallarında və sağ tərəflərdəki səhvlər və ya hesablamalarda yuvarlaqlaşdırma xətaları həlli böyük dərəcədə təhrif edə bilər.

Bir çox məsələləri həll edərkən sistemin (1) sağ tərəfi və A matrisinin əmsalları təxminən məlum olur. Bu halda, dəqiq sistemin (1) əvəzinə başqa bir sistemimiz var

belə

Biz hesab edirik ki, kəmiyyətlər və d məlumdur.

Sistemin (1) əvəzinə (2) sistemimiz olduğundan, biz (1) sisteminin yalnız təxmini həllini tapa bilərik. Sistemin (1) təxmini həllinin qurulması üsulu ilkin məlumatlarda kiçik dəyişikliklərə davamlı olmalıdır.

Sistemin yalançı həlli (1) bütün məkanda uyğunsuzluğu minimuma endirən vektordur.

Qoy x 1, adətən problem bəyanatı ilə təyin olunan -dən hansısa sabit vektor olsun.

(1) sisteminin x 1 vektoruna görə normal həlli minimum normaya malik x 0 psevdohəlldir, yəni

burada F sistemin (1) bütün psevdohəllərinin çoxluğudur.

Üstəlik

burada ¾ x vektorunun komponentləridir.

(1) tipli hər hansı sistem üçün normal həll mövcuddur və unikaldır. Şərtsiz bir sistemin normal həllini tapmaq problemi (1) pis qoyulmuşdur.

Sistemin (1) təxmini normal həllini tapmaq üçün tənzimləmə metodundan istifadə edirik.

Bu üsula uyğun olaraq formanın hamarlayıcı funksiyasını qururuq

və bu funksiyanı minimuma endirən vektoru tapın. Bundan əlavə, nizamlanma parametri a şərtdən unikal şəkildə müəyyən edilir

Harada .

Degenerasiya edilmiş və pis kondisioner sistemlər verilmiş dəqiqlik daxilində fərqlənə bilməz. Lakin (1) sisteminin həlli haqqında məlumat varsa, (5) şərtinin əvəzinə aşağıdakı şərt istifadə edilməlidir:

Komponentlər vektorlar funksional (4) minimumunun şərtindən alınan xətti cəbri tənliklər sisteminin həllidir.

və bənzəyir

burada E şəxsiyyət matrisidir,

¾Hermit konjugat matrisi.

Praktikada vektorun seçilməsi əlavə mülahizələr tələb edir. Əgər onlar mövcud deyilsə, =0 qəbul edin.

=0 üçün (7) sistemini formada yazırıq

Harada

Tapılmış vektor (1) sisteminin təxmini normal həlli olacaqdır.

a parametrinin seçilməsinə diqqət yetirək. Əgər a=0 olarsa, sistem (7) pis vəziyyətdə olan sistemə çevrilir. Əgər a böyükdürsə, o zaman sistem (7) yaxşı kondisioner olacaq, lakin nizamlı həll sistemə (1) istənilən həllə yaxın olmayacaq. Buna görə çox böyük və ya çox kiçik a uyğun deyil.

Adətən praktikada hesablamalar a parametrinin bir sıra dəyərləri ilə aparılır. Misal üçün,

a-nın hər bir dəyəri üçün funksionalı minimuma endirən elementi tapın (4). Tənzimləmə parametrinin istənilən qiyməti tələb olunan dəqiqliklə bərabərliyin (5) və ya (6) təmin edildiyi a sayı kimi qəbul edilir.

III. MƏŞQ

1. Qiyməti 10 -6 dərəcəsində olan təyinedicisi üç naməlum olan üç tənlikdən ibarət xətti cəbri tənliklər sistemini qurun.

2. Birinciyə bənzər, lakin birinci sistemin sərbəst şərtlərindən 0,00006 ilə fərqlənən digər sərbəst şərtlərə malik ikinci sistemi qurun.

3. Qurulmuş sistemləri nizamlama metodundan (=0 və d=10 -4 fərz etməklə) və başqa bir üsuldan (məsələn, Qauss metodundan) istifadə edərək həll edin.

4. Alınan nəticələri müqayisə edin və istifadə olunan metodların tətbiqi haqqında nəticə çıxarın.

IV. HESABATIN TƏRKİBİ

Hesabat təqdim etməlidir:

1. Əsərin adı.

2. Problemin ifadəsi.

3. Həll alqoritminin təsviri (metod).

4. Proqramın təsviri ilə mətni.

5. Proqramın nəticələri.

BİBLİOQRAFİK SİYAHI

1. Tixonov A.N., Arsenin V.Ya. Təhlükəli problemlərin həlli üsulları. - M.: Nauka, 1979. 286 s.

2. Baxvalov N.S., Jidkov N.P., Kobelkov G.M. Rəqəmsal üsullar. - M.: BINOM. Bilik laboratoriyası, 2007 636 s.

23 saylı laboratoriya işi

Yenidən SLAU-ya qayıdaq Ah=b kvadrat matris A ölçüsü ilə MхN, yuxarıda nəzərdən keçirilən “yaxşı” vəziyyətdən fərqli olaraq (bax. Bölmə 8.D) xüsusi yanaşma tələb edir. İki oxşar SLAE növünə diqqət yetirək:

• degenerasiya sistemi (sıfır determinant ilə |A|=0);
• zəif kondisioner sistem (A determinantı sıfıra bərabər deyil, lakin şərt sayı çox böyükdür).

Bu tip tənlik sistemlərinin bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməsinə baxmayaraq (birincisi üçün heç bir həll yoxdur, ikincisi üçün yalnız bir var), kompüterin praktiki nöqteyi-nəzərindən bir çox ortaq cəhətlər var. onlar.

Degenerasiya SLAE

Degenerativ sistem, determinantı sıfır olan bir matris tərəfindən təsvir edilən sistemdir |A|=0(tək matris). Belə bir sistemə daxil olan bəzi tənliklər digər tənliklərin xətti kombinasiyası ilə təmsil olunduğundan, əslində sistemin özü az müəyyən edilmişdir. Bunu başa düşmək asandır ki, sağ tərəf b vektorunun xüsusi növündən asılı olaraq, ya sonsuz sayda həll var, ya da heç biri yoxdur. Birinci variant normal psevdohəllin qurulmasına (yəni, sonsuz həllər toplusundan müəyyən, məsələn, sıfıra vektora ən yaxın olanı seçmək) gəlir. Bu iş bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 8.2.2 (8.11-8.13 siyahılarına bax).

düyü. 8.7. Tək matrisli iki tənlikdən ibarət ziddiyyətli sistemin qrafik təsviri

SLAE olduqda ikinci işi nəzərdən keçirək Ah=b tək kvadrat matrisi olan A-nın həlli yoxdur. Belə bir problemin nümunəsi (iki tənlik sistemi üçün) Şəkil 1-də təsvir edilmişdir. 8.7, üst hissəsində matris daxil edilir A və vektor b, və həmçinin funksiyadan istifadə edərək sistemi həll etməyə cəhd edilir (uğursuz, çünki A matrisi təkdir). təcrid etmək. Şəklin əsas hissəsini tutan qrafik göstərir ki, sistemi təyin edən iki tənlik müstəvidə (x0,x1) iki paralel xətti müəyyən edir. Xətlər koordinat müstəvisinin heç bir nöqtəsində kəsişmir və buna uyğun olaraq sistemin həlli yoxdur.

Qeyd
Birincisi, qeyd edək ki, 2x2 ölçülü qeyri-tək kvadrat matrisa ilə təyin olunan SLAE müstəvidə kəsişən bir cüt xətti müəyyən edir (aşağıdakı Şəkil 8.9-a baxın). İkincisi, deməyə dəyər ki, əgər sistem ardıcıl olsaydı, onda tənliklərin həndəsi təsviri sonsuz sayda həlli təsvir edən iki üst-üstə düşən xətt olardı..

düyü. 8.8. f (x) qalıq funksiyasının bölmələrinin qrafiki = |Ax-b|

Təxmin etmək asandır ki, nəzərdən keçirilən tək halda sistemin psevdo-həllləri uyğunsuzluğu minimuma endirir. |Ax-b|, sonsuz sayda olacaq və onlar Şəkildə göstərilən ikisinə paralel üçüncü düz xətt üzərində uzanacaqlar. 8.7 və onların arasında ortada yerləşir. Bu Şəkildə göstərilmişdir. 8.8, funksiyanın bir neçə bölməsini göstərir f(x)= | Ax-b |, bu da eyni dərinlikdə minimum ailənin mövcudluğunu göstərir. Onları tapmaq üçün daxili funksiyadan istifadə etməyə çalışarsanız minimuma endir, onun ədədi üsulu həmişə qeyd olunan xəttin hər hansı bir nöqtəsini tapacaq (ilkin şərtlərdən asılı olaraq). Buna görə də, unikal həlli müəyyən etmək üçün bütün psevdohəllər dəstindən ən kiçik normaya malik olanı seçmək lazımdır. Siz daxili funksiyaların birləşməsindən istifadə edərək Mathcad-da bu çoxölçülü minimumlaşdırma problemini formalaşdırmağa cəhd edə bilərsiniz. minimuma endir, lakin daha səmərəli üsul nizamlanmadan (aşağıya bax) və ya ortoqonal matrisin parçalanmasından istifadə etmək olardı (bax: Bölmə 8.3).

Xətti tənliklərin zahirən oxşar görünən iki sistemi, giriş məlumatlarında səhvlərə qarşı fərqli həssaslığa malik ola bilər. Bu xüsusiyyət konsepsiya ilə bağlıdır tənliklər sisteminin şərtiliyi.

Vəziyyət nömrəsi xətti operator A, normallaşdırılmış fəzada fəaliyyət göstərən və həmçinin xətti tənliklər sisteminin şərt nömrəsi ilə balta = saat kəmiyyəti deyək

Beləliklə, şərt nömrəsi ilə norma seçimi arasında əlaqə yaranır.

Fərz edək ki, sistemin matrisi və sağ tərəfi dəqiq göstərilməyib. Bu halda matrisin xətası d-dir A, və sağ tərəfi - d saat. Göstərilə bilər ki, səhv üçün d x aşağıdakı təxminimiz var ( ):

Xüsusilə, əgər d A= 0, onda

Bu vəziyyətdə tənliyin həlli balta = saat hamının gözü qarşısında deyil saat narahatlığa eyni dərəcədə həssasdır d saat sağ tərəf.

Xətti operatorun şərt nömrəsinin xüsusiyyətləri:

1.

və bütün bunlar üçün maksimum və minimum götürülür x Nəticədə,

3

burada və müvafiq olaraq matrisin minimum və maksimum modul öz dəyərləridir A. Kosmosda Evklid normasından istifadə edildikdə, öz-özünə bitişik matrislər üçün bərabərlik əldə edilir.

4.

Şərti sayı böyük olan (təxminən ) matrislər çağırılır şərtsiz matrislər. Şərtsiz matrisləri olan sistemləri ədədi həll edərkən, d səhvinin təxminindən irəli gələn güclü səhvlərin yığılması mümkündür. x. Sağ tərəfi hesablayarkən kompüterdə yuvarlaqlaşdırma xətaları nəticəsində yaranan həll xətası məsələsini araşdıraq. Qoy t- kompüterdə ədədlərin ikili rəqəmli tutumu. Sağ tərəfdəki vektorun hər bir komponenti nisbi xəta ilə yuvarlaqlaşdırılır.

Beləliklə, yuvarlaqlaşdırma xətalarının səbəb olduğu həll xətası pis kondisioner sistemlər vəziyyətində qəbuledilməz dərəcədə böyük ola bilər.

Beləliklə, iki əsas problem qalır:

1 .alqoritmin unikal (model nümunəsi olduqda, doğru) struktura əsaslandırılmış yaxınlaşması təmin edilmir və

2 . Model parametrlərinin qiymətləndirilməsində iştirak etməyən yeni nöqtələrdə pilləli reqressiya modellərinin qeyri-adekvatlığı ilə bağlı ziddiyyət həll edilməmişdir. Mümkündürmü, əgər model sintezinin digər üsullarından istifadə etməklə belə adekvatlığı təmin etmək mümkün deyilsə, onda heç olmasa belə bir problemi həll etməyin yolunu tapın (adekvatlığı başqa üsulla da müəyyən etmək olar)

ASR üçün, OLS qiymətləndirməsi üçün Gram-Schmidt prosedurundan istifadə edilsə belə, modelin unikallığı məsələsi həll edilmir - sadəcə olaraq parametr qiymətləndirmələri ən dəqiq və qərəzsiz olur.

Bu. real məsələlərdə uyğun həllərin bütün dəstinin zəmanətli tapılması (üçün - xətti giriş arqumentlərinin sayı və PP p > 3 dərəcəsi) yalnız tamamlandıqdan sonra əldə ediləcəkdir.

bütün reqressiyalar metodunda olduğu kimi tam strukturun bütün alt strukturlarının sadalanması (Dreyper və Smit tərəfindən). Sonra tapacağıq bütün modellər , hansında bütün arqumentlər qeyd olunandan az olmayan əhəmiyyət səviyyəsi ilə daxil edilir. Yuxarıda təsvir olunan bütün problemlərlə - və onlardan hansı biri, həqiqətən, bizimdir.

Məlumatlardakı səs-küyün səviyyəsini nəzərə almaq üçün əhəmiyyət səviyyəsindəki istifadə edilməmiş dəyişiklik ehtimalı haqqında ASR bağına bir daş da əlavə edə bilərsiniz.

Məhz bu problemi MSGU konsepsiyanı təqdim etməklə həll etməyi təklif edir xarici meyarlar.

Tələb olunan Qeyd.

ASR, MVI, MSHA və digər uyğun yanaşmaların bütün növləri ilə demək olar ki, eyni dərəcədə effektiv (və ya səmərəsiz) həllər təmin edir. Kriteriya əyriləri eyni dərəcədə asimptotik olaraq sıfırdan fərqli bəzi səviyyəyə meyl edir, yaxınlaşdıqda tək model müəyyən edilir.

Onların hər biri bunu özünəməxsus şəkildə yerinə yetirir və istədiyiniz modelə yaxınlaşmaqla metodun adekvatlığını yalnız öz tapşırığınıza uyğun model nümunəsi qurmaqla müəyyən edə bilərsiniz.

Bununla belə, ən çox rast gəlinən hal xalların sayının az olmasıdır, o zaman etməməyə qərar veririk yenidən müəyyən edilmişdir problem (burada dəqiq həll yoxdur və biz pis həllər arasında ən yaxşısını axtarırıq) və müəyyənə yaxındır- daha doğrusu hətta nə vaxt naməlum vəzifə həddən artıq müəyyən edilmiş – çox müəyyən edilmiş və ya az müəyyənləşdirilmiş. Yəni burada tamamilə yanlış görünən bir tapşırıq daxil edilib.

VƏ struktur-parametrik sintezin həllinə ən effektiv yanaşma bu şərtlərdə GMDH nümayiş etdirir

Gördüyümüz kimi, birinci şərt pozulur yaradır modellərin çoxluğu problemini tam axtarış proseduruna müraciət etmədən həll etmək zərurəti - namizəd modellərin tam axtarışı olmadan həqiqi və ya kvazi-həqiqi modelə yol tapmağa imkan verən bəzi prinsip təklif etmək lazımdır.

Növbəti problem daha az real deyil və struktur tapmaq problemini daha da qarışdırır. – məlumatlarda səs-küy problemi – xatırlayırıq ki, bu, LSM aparatının proyeksiya xüsusiyyətlərini pozur – təxminlərin xassələri pozulur, lakin problem ondadır ki, səs-küylü məlumatlar üzərində həqiqi strukturu tapmaq ümumiyyətlə problemli ola bilər – əgər səs-küy xüsusiyyətləri və onların tətbiqi nöqtələri məlum deyil, alqoritm səs-küy altında axmaqcasına düzəldiləcəkdir.

Əsas problem– klassik ASH tərəfindən model strukturunun əsassız seçilməsi problemi dəfələrlə kəskinləşir ki, eşikşəklində Fisher meyarı tərəfindən istifadə olunur əhəmiyyət səviyyəsi

əslində yalnız səhv riskini tənzimləyir

– onun seçimi səs-küy səviyyəsini və onun tətbiqi məqamlarını nəzərə almalıdır.

Axı, səs-küy səviyyəsinin artması, məsələn, çıxışda, istər-istəməz modelin qabalaşdırılmasını (səs-küyə uyğunlaşdırmadan) və buna görə də arqumentləri modelə daha ciddi şəkildə süzgəcdən keçirmək və əhəmiyyətini artırmaq üçün səviyyənin dəyişdirilməsini tələb edir. sadələşdirin.

Girişdə səs-küyü nəzərə almaq, xüsusən də modelin qeyri-xətti çevrilməsinə məruz qaldıqda, daha çətindir.

Bununla belə, metodoloji cəhətdən alqoritmlərdə bu düzəlişlərin nəzərə alınması mexanizmləri yoxdur səs-küy şəraitində strukturların seçilməsini əsassız edir.