İki dəyişənli xətti tənliklər
Məktəblinin məktəbdə nahar yemək üçün 200 rublu var. Bir tort 25 rubl, bir fincan qəhvə isə 10 rubldur. 200 rubla neçə tort və fincan qəhvə ala bilərsiniz?
Tortların sayını ilə işarə edək x, və vasitəsilə qəhvə fincanlarının sayı y. Sonra tortların dəyəri 25 ifadəsi ilə işarələnəcəkdir x, və 10 fincan qəhvənin qiyməti y .
25x— qiymət x tortlar
10y — qiymət y fincan qəhvə
Ümumi məbləğ 200 rubl olmalıdır. Sonra iki dəyişənli tənlik alırıq x Və y
25x+ 10y= 200
Bu tənliyin neçə kökü var?
Hamısı tələbənin iştahından asılıdır. Əgər o, 6 tort və 5 stəkan kofe alsa, onda tənliyin kökləri 6 və 5 rəqəmləri olacaq.
6 və 5 cütlüyünün 25-ci tənliyin kökləri olduğu deyilir x+ 10y= 200. İlk rəqəm dəyişənin qiyməti olmaqla (6; 5) kimi yazılır x, ikincisi isə dəyişənin dəyəri y .
6 və 5 25-ci tənliyi tərsinə çevirən yeganə köklər deyil x+ 10y= şəxsiyyətə 200. İstəyirsinizsə, eyni 200 rubla bir tələbə 4 tort və 10 stəkan qəhvə ala bilər:
Bu halda 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200 bir cüt dəyərdir (4; 10).
Üstəlik, bir məktəbli ümumiyyətlə qəhvə almaya bilər, ancaq bütün 200 rubl üçün tortlar ala bilər. Sonra 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200 8 və 0 dəyərləri olacaqdır
Və ya əksinə, tortlar almayın, bütün 200 rubl üçün qəhvə alın. Sonra 25-ci tənliyin kökləri x+ 10y= 200, dəyərlər 0 və 20 olacaq
25-ci tənliyin bütün mümkün köklərini sadalamağa çalışaq x+ 10y= 200. Dəyərlərimizlə razılaşaq x Və y tam ədədlər çoxluğuna aiddir. Və bu dəyərlər sıfırdan böyük və ya bərabər olsun:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Bu, tələbənin özü üçün əlverişli olacaq. Bütün tortları almaq, məsələn, bir neçə bütöv tort və yarım tort almaqdan daha rahatdır. Qəhvəni bütöv fincanlarda qəbul etmək, məsələn, bir neçə bütöv fincan və yarım fincandan daha rahatdır.
Qəribə olduğunu unutmayın x heç bir şəraitdə bərabərliyə nail olmaq mümkün deyil y. Sonra dəyərlər x aşağıdakı ədədlər 0, 2, 4, 6, 8 olacaq. Və bilərək x asanlıqla müəyyən edilə bilər y
Beləliklə, aşağıdakı dəyərlər cütlərini aldıq (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu cütlər 25-ci tənliyin həlli və ya kökləridir x+ 10y= 200. Bu tənliyi eyniliyə çevirirlər.
Formanın tənliyi balta + ilə = cçağırdı iki dəyişənli xətti tənlik. Bu tənliyin həlli və ya kökləri bir cüt dəyərdir ( x; y), onu şəxsiyyətə çevirir.
Onu da qeyd edək ki, əgər formada iki dəyişənli xətti tənlik yazılarsa ax + b y = c , sonra deyirlər ki, içində yazılıb kanonik(normal) forma.
İki dəyişənli bəzi xətti tənliklər kanonik formaya salına bilər.
Məsələn, tənlik 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) yada salmaq olar balta + ilə = c. Bu tənliyin hər iki tərəfindəki mötərizələri açıb alaq 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tənliyin sol tərəfində naməlum olan terminləri, sağ tərəfində isə naməlum olmayan terminləri qruplaşdırırıq. Sonra alırıq 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Hər iki tərəfdə oxşar terminləri təqdim edirik, 16-cı tənliyi alırıq x+ 8y= 32. Bu tənlik formaya endirilmişdir balta + ilə = c və kanonikdir.
25-ci tənlik daha əvvəl müzakirə edilmişdir x+ 10y= 200 həm də kanonik formada iki dəyişəni olan xətti tənlikdir. Bu tənlikdə parametrlər a , b Və c müvafiq olaraq 25, 10 və 200 dəyərlərinə bərabərdir.
Əslində tənlik balta + ilə = c saysız-hesabsız həlləri var. Tənliyin həlli 25x+ 10y= 200, onun köklərini yalnız tam ədədlər çoxluğunda axtardıq. Nəticədə, bu tənliyi şəxsiyyətə çevirən bir neçə cüt dəyər əldə etdik. Ancaq rasional ədədlər çoxluğunda tənlik 25 x+ 10y= 200-ün sonsuz sayda həlli olacaq.
Yeni dəyər cütləri əldə etmək üçün ixtiyari dəyər götürməlisiniz x, sonra ifadə edin y. Məsələn, dəyişəni götürək x qiymət 7. Onda bir dəyişənli tənlik alırıq 25×7 + 10y= 200 ifadə etmək olar y
Qoy x= 15. Sonra tənlik 25x+ 10y= 200 25 × 15 olur + 10y= 200. Buradan biz bunu tapırıq y = −17,5
Qoy x= −3. Sonra tənlik 25x+ 10y= 200 25 × (−3) olur + 10y= 200. Buradan biz bunu tapırıq y = −27,5
İki dəyişənli iki xətti tənliklər sistemi
Tənlik üçün balta + ilə = c ixtiyari dəyərləri istədiyiniz qədər götürə bilərsiniz x və dəyərləri tapın y. Ayrılıqda götürsək, belə bir tənliyin saysız-hesabsız həlli olacaq.
Amma dəyişənlər də olur x Və y bir deyil, iki tənliklə bağlıdır. Bu halda onlar sözdə əmələ gətirirlər iki dəyişənli xətti tənliklər sistemi. Belə bir tənliklər sistemi bir cüt dəyərə malik ola bilər (və ya başqa sözlə: "bir həll").
Sistemin heç bir həll yolu olmadığı da ola bilər. Xətti tənliklər sisteminin nadir və müstəsna hallarda saysız həlli ola bilər.
İki xətti tənlik dəyərlər olduqda bir sistem meydana gətirir x Və y bu tənliklərin hər birinə daxil olun.
Qayıdaq ən birinci tənliyə 25 x+ 10y= 200. Bu tənlik üçün qiymət cütlərindən biri (6; 5) cütü idi. Bu, 200 rubla 6 tort və 5 stəkan qəhvə ala biləcəyiniz bir vəziyyətdir.
Məsələni elə tərtib edək ki, (6; 5) cütü 25-ci tənliyin yeganə həlli olsun. x+ 10y= 200. Bunu etmək üçün gəlin eynini birləşdirəcək başqa bir tənlik yaradaq x tortlar və y fincan qəhvə.
Problemin mətnini aşağıdakı kimi təqdim edək:
“Məktəbli 200 rubla bir neçə tort və bir neçə fincan qəhvə aldı. Bir tort 25 rubl, bir fincan qəhvə isə 10 rubldur. Tortların sayının qəhvə fincanlarının sayından bir vahid çox olduğu məlumdursa, tələbə neçə tort və stəkan kofe almışdır?
Artıq birinci tənliyi əldə etdik. Bu tənlik 25-dir x+ 10y= 200. İndi şərt üçün tənlik yaradaq "tortların sayı qəhvə fincanlarının sayından bir vahid çoxdur" .
Tortların sayı x, və qəhvə fincanlarının sayı y. Bu ifadəni tənlikdən istifadə edərək yaza bilərsiniz x−y= 1. Bu tənlik tortlar və qəhvə arasındakı fərqin 1 olduğunu ifadə edəcəkdir.
x = y+ 1. Bu tənlik o deməkdir ki, tortların sayı qəhvə fincanlarının sayından bir çoxdur. Buna görə də, bərabərliyi əldə etmək üçün qəhvə fincanlarının sayına bir əlavə edilir. Ən sadə məsələləri öyrənərkən nəzərə aldığımız tərəzi modelindən istifadə etsək bunu asanlıqla başa düşmək olar:
İki tənlik əldə etdik: 25 x+ 10y= 200 və x = y+ 1. Dəyərlərdən bəri x Və y, yəni 6 və 5 bu tənliklərin hər birinə daxil edilir, sonra birlikdə bir sistem meydana gətirirlər. Gəlin bu sistemi yazaq. Əgər tənliklər sistem təşkil edirsə, o zaman sistem işarəsi ilə çərçivəyə salınır. Sistem simvolu əyri mötərizədir:
Gəlin bu sistemi həll edək. Bu, bizə 6 və 5 dəyərlərinə necə çatdığımızı görməyə imkan verəcək. Belə sistemlərin həlli üçün bir çox üsul var. Onlardan ən populyarlarına nəzər salaq.
Əvəzetmə üsulu
Bu metodun adı özü üçün danışır. Onun mahiyyəti əvvəllər dəyişənlərdən birini ifadə edərək bir tənliyi digərinə əvəz etməkdir.
Bizim sistemdə heç nəyi ifadə etməyə ehtiyac yoxdur. İkinci tənlikdə x = y+ 1 dəyişən x artıq ifadə olunub. Bu dəyişən ifadəyə bərabərdir y+ 1. Sonra bu ifadəni dəyişən əvəzinə birinci tənliyə əvəz edə bilərsiniz x
İfadəni əvəz etdikdən sonra y Bunun əvəzinə birinci tənliyə + 1 daxil edin x, tənliyini alırıq 25(y+ 1) + 10y= 200 . Bu bir dəyişənli xətti tənlikdir. Bu tənliyi həll etmək olduqca asandır:
Dəyişənin dəyərini tapdıq y. İndi bu dəyəri tənliklərdən birinə əvəz edək və qiyməti tapaq x. Bunun üçün ikinci tənliyi istifadə etmək rahatdır x = y+ 1. Onun içindəki dəyəri əvəz edək y
Bu o deməkdir ki, (6; 5) cütü nəzərdə tutduğumuz kimi tənliklər sisteminin həllidir. Cütlüyün (6; 5) sistemi təmin etdiyini yoxlayırıq və əmin edirik:
Misal 2
Birinci tənliyi əvəz edək x= 2 + y ikinci tənliyə 3 x− 2y= 9. Birinci tənlikdə dəyişən x 2 + ifadəsinə bərabərdir y. Bu ifadəni yerinə ikinci tənlikdə əvəz edək x
İndi dəyəri tapaq x. Bunun üçün dəyəri əvəz edək y birinci tənliyə salın x= 2 + y
Bu o deməkdir ki, sistemin həlli cüt dəyəridir (5; 3)
Misal 3. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Burada əvvəlki nümunələrdən fərqli olaraq dəyişənlərdən biri açıq şəkildə ifadə olunmur.
Bir tənliyi digərinə əvəz etmək üçün əvvəlcə lazımdır.
Bir əmsalı olan dəyişəni ifadə etmək məsləhətdir. Dəyişən bir əmsala malikdir x, birinci tənlikdə olan x+ 2y= 11. Bu dəyişəni ifadə edək.
Dəyişən ifadədən sonra x, sistemimiz aşağıdakı formanı alacaq:
İndi birinci tənliyi ikinciyə əvəz edək və qiyməti tapaq y
Əvəz edək y x
Bu o deməkdir ki, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (3; 4)
Təbii ki, dəyişəni də ifadə edə bilərsiniz y. Köklər dəyişməyəcək. Amma ifadə etsəniz y, Nəticə çox sadə olmayan bir tənlik olacaq, onun həlli daha çox vaxt aparacaq. Bu belə görünəcək:
Bu nümunədə ifadə etdiyimizi görürük x ifadə etməkdən daha əlverişlidir y .
Misal 4. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Birinci tənlikdə ifadə edək x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
y
Əvəz edək y birinci tənliyə daxil edin və tapın x. Orijinal tənlik 7-dən istifadə edə bilərsiniz x+ 9y= 8 və ya dəyişənin ifadə olunduğu tənliyi istifadə edin x. Rahat olduğu üçün bu tənliyi istifadə edəcəyik:
Bu o deməkdir ki, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (5; −3)
Əlavə üsulu
Əlavə metodu sistem termininə daxil olan tənliklərin termin üzrə əlavə edilməsindən ibarətdir. Bu əlavə bir dəyişənli yeni tənliklə nəticələnir. Və belə bir tənliyi həll etmək olduqca sadədir.
Aşağıdakı tənliklər sistemini həll edək:
Birinci tənliyin sol tərəfini ikinci tənliyin sol tərəfi ilə əlavə edək. Və birinci tənliyin sağ tərəfi ilə ikinci tənliyin sağ tərəfi. Aşağıdakı bərabərliyi əldə edirik:
Oxşar terminlərə baxaq:
Nəticədə 3-cü ən sadə tənliyi əldə etdik x= kökü 9 olan 27. Qiyməti bilmək x dəyərini tapa bilərsiniz y. Gəlin dəyəri əvəz edək x ikinci tənliyə salın x−y= 3. 9 - alırıq y= 3. Buradan y= 6 .
Bu o deməkdir ki, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (9; 6)
Misal 2
Birinci tənliyin sol tərəfini ikinci tənliyin sol tərəfi ilə əlavə edək. Və birinci tənliyin sağ tərəfi ilə ikinci tənliyin sağ tərəfi. Nəticədə bərabərlikdə oxşar şərtləri təqdim edirik:
Nəticədə ən sadə 5 tənliyini əldə etdik x= 20, onun kökü 4. Qiyməti bilmək x dəyərini tapa bilərsiniz y. Gəlin dəyəri əvəz edək x birinci tənliyə 2 x+y= 11. Gəlin 8+ alırıq y= 11. Buradan y= 3 .
Bu o deməkdir ki, sistemin həlli bir cüt dəyərdir (4;3)
Əlavə prosesi ətraflı təsvir edilmir. Bunu zehni olaraq etmək lazımdır. Əlavə edərkən hər iki tənlik kanonik formaya salınmalıdır. Yəni, yeri gəlmişkən ac + ilə = c .
Nəzərdən keçirilən nümunələrdən aydın olur ki, tənliklərin əlavə edilməsində əsas məqsəd dəyişənlərdən birindən xilas olmaqdır. Ancaq toplama üsulundan istifadə edərək tənliklər sistemini dərhal həll etmək həmişə mümkün olmur. Çox vaxt sistem əvvəlcə bu sistemə daxil olan tənliklərin əlavə oluna biləcəyi forma gətirilir.
Məsələn, sistem 
əlavə üsulu ilə dərhal həll edilə bilər. Hər iki tənliyi əlavə edərkən, şərtlər y Və −y onların cəmi sıfır olduğu üçün yox olacaq. Nəticədə ən sadə tənlik 11 əmələ gəlir x= 22, onun kökü 2. Sonra müəyyən etmək mümkün olacaq y 5-ə bərabərdir.
Və tənliklər sistemi 
Əlavə metodu dərhal həll edilə bilməz, çünki bu, dəyişənlərdən birinin yox olmasına səbəb olmayacaqdır. Əlavə 8 tənliyi ilə nəticələnəcək x+ y= 28, onun sonsuz sayda həlli var.
Tənliyin hər iki tərəfi sıfıra bərabər olmayan eyni ədədə vurulursa və ya bölünürsə, verilmiş birinə ekvivalent tənlik alırsınız. Bu qayda iki dəyişənli xətti tənliklər sistemi üçün də keçərlidir. Tənliklərdən biri (və ya hər iki tənlik) istənilən ədədə vurula bilər. Nəticə, kökləri əvvəlki ilə üst-üstə düşəcək ekvivalent bir sistem olacaq.
Məktəblinin neçə tort və fincan qəhvə aldığını təsvir edən ilk sistemə qayıdaq. Bu sistemin həlli bir cüt dəyər idi (6; 5).
Bu sistemə daxil olan hər iki tənliyi bəzi ədədlərə vuraq. Tutaq ki, birinci tənliyi 2-yə, ikincini isə 3-ə vururuq
Nəticədə bir sistem əldə etdik 
Bu sistemin həlli hələ də dəyər cütüdür (6; 5)
Bu o deməkdir ki, sistemə daxil olan tənliklər əlavə üsulunu tətbiq etmək üçün uyğun bir formaya endirilə bilər.
Sistemə qayıdaq , əlavə etmə üsulu ilə həll edə bilmədiyimiz.
Birinci tənliyi 6-ya, ikincini isə -2-yə vurun
Sonra aşağıdakı sistemi alırıq:
Bu sistemə daxil olan tənlikləri toplayaq. Komponentlərin əlavə edilməsi 12 x və -12 x nəticə 0, əlavə 18 olacaq y və 4 y 22 verəcək y, və 108 və −20-ni toplamaq 88-i verir. Sonra 22 tənliyini alırıq. y= 88, buradan y = 4 .
Əgər əvvəlcə beyninizdə tənliklər əlavə etmək çətindirsə, onda siz birinci tənliyin sol tərəfinin ikinci tənliyin sol tərəfi ilə, birinci tənliyin sağ tərəfinin isə sağ tərəfi ilə necə cəmləndiyini yaza bilərsiniz. ikinci tənlik:
Dəyişənin dəyərini bilmək y 4-ə bərabərdir, dəyəri tapa bilərsiniz x. Əvəz edək y tənliklərdən birinə, məsələn, birinci tənliyə 2 x+ 3y= 18. Sonra bir dəyişən 2 olan bir tənlik alırıq x+ 12 = 18. İşarəni dəyişdirərək 12-ni sağ tərəfə keçirək, 2-ni alırıq x= 6, buradan x = 3 .
Misal 4. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
İkinci tənliyi −1-ə vuraq. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Hər iki tənliyi əlavə edək. Komponentlərin əlavə edilməsi x Və −x nəticə 0, əlavə 5 olacaq y və 3 y 8 verəcək y, və 7 və 1-in toplanması 8-i verir. Nəticə 8-ci tənlikdir y= 8 kimin kökü 1. Bilərək ki, dəyəri y 1-ə bərabərdir, dəyəri tapa bilərsiniz x .
Əvəz edək y birinci tənliyə daxil oluruq x+ 5 = 7, buna görə də x= 2
Misal 5. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Eyni dəyişənləri ehtiva edən terminlərin bir-birinin altında yerləşməsi arzu edilir. Buna görə də, ikinci tənlikdə 5 şərtləri y və −2 x Gəlin yerləri dəyişdirək. Nəticədə sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İkinci tənliyi 3-ə vuraq. Onda sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Əlavə nəticəsində 8-ci tənliyi əldə edirik y= 16, kökü 2-dir.
Əvəz edək y birinci tənliyə daxil olsaq, 6 alırıq x− 14 = 40. İşarəni dəyişdirərək −14 terminini sağ tərəfə keçirək və 6-nı alaq x= 54. Buradan x= 9.
Misal 6. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Gəlin fraksiyalardan xilas olaq. Birinci tənliyi 36-ya, ikincini isə 12-yə vurun
Yaranan sistemdə 
birinci tənliyi -5-ə, ikincini isə 8-ə vurmaq olar
Nəticə sistemdə tənlikləri toplayaq. Onda ən sadə tənliyi -13 alırıq y= −156. Buradan y= 12. Əvəz edək y birinci tənliyə daxil edin və tapın x
Misal 7. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Hər iki tənliyi normal formaya gətirək. Burada hər iki tənlikdə mütənasiblik qaydasını tətbiq etmək rahatdır. Əgər birinci tənlikdə sağ tərəfi , ikinci tənliyin sağ tərəfi isə kimi göstərilibsə, sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Bizim nisbətimiz var. Onun ifrat və orta şərtlərini çoxaldaq. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Gəlin birinci tənliyi −3-ə vuraq və ikinci mötərizəni açaq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Bu tənlikləri toplamaq nəticəsində hər iki tərəfdə sıfır olan bərabərlik əldə edirik:
Belə çıxır ki, sistemin saysız-hesabsız həlli var.
Ancaq biz sadəcə olaraq göydən özbaşına dəyərlər götürə bilmərik x Və y. Dəyərlərdən birini təyin edə bilərik, digəri isə göstərdiyimiz dəyərdən asılı olaraq müəyyən ediləcək. Məsələn, qoy x= 2. Bu dəyəri sistemdə əvəz edək:
Tənliklərdən birinin həlli nəticəsində üçün qiymət y, hər iki tənliyi təmin edəcək:
Nəticədə alınan dəyər cütü (2; −2) sistemi təmin edəcək:
Gəlin başqa bir cüt dəyər tapaq. Qoy x= 4. Bu dəyəri sistemdə əvəz edək:
Dəyərini gözdən deyə bilərsiniz y sıfıra bərabərdir. Sonra sistemimizi qane edən bir cüt dəyər (4; 0) alırıq:
Misal 8. Əlavə üsulu ilə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Birinci tənliyi 6-ya, ikincini isə 12-yə vurun
Qalanları yenidən yazaq:
Birinci tənliyi −1-ə vuraq. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi hər iki tənliyi əlavə edək. Toplama nəticəsində 6-cı tənlik yaranır b= 48, onun kökü 8. Əvəz edin b birinci tənliyə daxil edin və tapın a
Üç dəyişənli xətti tənliklər sistemi
Üç dəyişənli xətti tənliyə əmsallı üç dəyişən, həmçinin kəsmə termini daxildir. Kanonik formada aşağıdakı kimi yazmaq olar:
ax + by + cz = d
Bu tənliyin saysız-hesabsız həlli var. İki dəyişənə fərqli qiymətlər verməklə üçüncü qiymət tapmaq olar. Bu vəziyyətdə həll üçlü dəyərlərdir ( x; y; z) tənliyi eyniliyə çevirən.
Əgər dəyişənlər x, y, züç tənlik ilə bir-birinə bağlıdır, sonra üç dəyişənli üç xətti tənliklər sistemi qurulur. Belə bir sistemi həll etmək üçün iki dəyişənli xətti tənliklərə tətbiq olunan eyni üsullardan istifadə edə bilərsiniz: əvəzetmə üsulu və əlavə metodu.
Misal 1. Əvəzetmə metodundan istifadə edərək aşağıdakı tənliklər sistemini həll edin:
Üçüncü tənlikdə ifadə edək x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
İndi əvəzetməni edək. Dəyişən x ifadəsinə bərabərdir 3 − 2y − 2z . Bu ifadəni birinci və ikinci tənliklərdə əvəz edək:
Gəlin hər iki tənlikdə mötərizələri açıb oxşar şərtləri təqdim edək:
İki dəyişənli xətti tənliklər sisteminə gəldik. Bu vəziyyətdə əlavə metodundan istifadə etmək rahatdır. Nəticədə, dəyişən y yox olacaq və biz dəyişənin qiymətini tapa bilərik z
İndi dəyəri tapaq y. Bunun üçün − tənliyindən istifadə etmək rahatdır y+ z= 4. Onun içindəki dəyəri əvəz edin z
İndi dəyəri tapaq x. Bunun üçün tənlikdən istifadə etmək rahatdır x= 3 − 2y − 2z . Gəlin onun içindəki dəyərləri əvəz edək y Və z
Beləliklə, üçlü dəyərlər (3; −2; 2) sistemimiz üçün bir həlldir. Yoxlamaqla bu dəyərlərin sistemə uyğun olduğuna əmin oluruq:
Misal 2. Əlavə metodundan istifadə edərək sistemi həll edin
Birinci tənliyi ikinci ilə əlavə edək, −2 ilə vurulur.
İkinci tənlik −2 ilə vurularsa, formasını alır −6x+ 6y − 4z = −4 . İndi onu birinci tənliyə əlavə edək:
Elementar çevrilmələr nəticəsində dəyişənin qiymətinin müəyyən edildiyini görürük x. Birə bərabərdir.
Əsas sistemə qayıdaq. İkinci tənliyi üçüncü ilə əlavə edək, −1 ilə vurulur. Üçüncü tənlik −1-ə vurularsa, formasını alır −4x + 5y − 2z = −1 . İndi onu ikinci tənliyə əlavə edək:
Tənliyi əldə etdik x− 2y= −1. Gəlin onun içindəki dəyəri əvəz edək xəvvəllər tapdığımız. Bundan sonra dəyəri müəyyən edə bilərik y
İndi mənaları bilirik x Və y. Bu, dəyəri müəyyən etməyə imkan verir z. Sistemə daxil olan tənliklərdən birini istifadə edək:
Beləliklə, dəyərlərin üçlüyü (1; 1; 1) sistemimizin həllidir. Yoxlamaqla bu dəyərlərin sistemə uyğun olduğuna əmin oluruq:
Xətti tənliklər sistemlərinin qurulmasına dair məsələlər
Tənliklər sistemlərinin yaradılması vəzifəsi bir neçə dəyişən daxil etməklə həll edilir. Sonra məsələnin şərtlərinə əsasən tənliklər tərtib edilir. Tərtib edilmiş tənliklərdən sistem yaradır və onu həll edirlər. Sistemi həll etdikdən sonra onun həllinin problemin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlamaq lazımdır.
Problem 1. “Volqa” maşını şəhərdən çıxıb kolxoza getdi. O, birincidən 5 km qısa olan başqa bir yol ilə geri qayıtdı. Ümumilikdə avtomobil 35 km yol qət edib. Hər yolun uzunluğu neçə kilometrdir?
Həll
Qoy x— birinci yolun uzunluğu, y- ikincinin uzunluğu. Əgər avtomobil 35 km yol getmişdirsə, onda birinci tənliyi belə yazmaq olar x+ y= 35. Bu tənlik hər iki yolun uzunluqlarının cəmini təsvir edir.
Deyilənə görə, avtomobil birincidən 5 km qısa olan yoldan geri qayıdıb. Onda ikinci tənliyi belə yazmaq olar x− y= 5. Bu tənlik yolun uzunluqları arasındakı fərqin 5 km olduğunu göstərir.
Və ya ikinci tənliyi belə yazmaq olar x= y+ 5. Bu tənlikdən istifadə edəcəyik.
Çünki dəyişənlər x Və y hər iki tənlikdə eyni ədədi ifadə edir, onda onlardan bir sistem yarada bilərik:
Bu sistemi əvvəllər öyrənilmiş bəzi üsullardan istifadə edərək həll edək. Bu vəziyyətdə əvəzetmə metodundan istifadə etmək rahatdır, çünki ikinci tənlikdə dəyişən x artıq ifadə olunub.
İkinci tənliyi birinci ilə əvəz edin və tapın y
Tapılan dəyəri əvəz edək y ikinci tənlikdə x= y+ 5 və biz tapacağıq x
Birinci yolun uzunluğu dəyişən vasitəsilə göstərilib x. İndi biz onun mənasını tapdıq. Dəyişən x 20-yə bərabərdir.Bu o deməkdir ki, birinci yolun uzunluğu 20 km-dir.
İkinci yolun uzunluğu isə göstərilib y. Bu dəyişənin dəyəri 15-dir. Bu, ikinci yolun uzunluğunun 15 km olduğunu bildirir.
yoxlayaq. Əvvəlcə sistemin düzgün həll olunduğuna əmin olaq:
İndi (20; 15) həllinin məsələnin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq.
Bildirilib ki, avtomobil cəmi 35 km yol qət edib. Hər iki yolun uzunluqlarını əlavə edirik və həllin (20; 15) bu şərti təmin etdiyinə əmin oluruq: 20 km + 15 km = 35 km
Aşağıdakı şərt: avtomobil birincidən 5 km qısa olan başqa bir yol ilə geri qayıtdı . Görürük ki, həll (20; 15) də bu şərti ödəyir, çünki 15 km 20 km-dən 5 km qısadır: 20 km − 15 km = 5 km
Sistemi tərtib edərkən, dəyişənlərin bu sistemə daxil olan bütün tənliklərdə eyni ədədləri təmsil etməsi vacibdir.
Beləliklə, sistemimiz iki tənlikdən ibarətdir. Bu tənliklər öz növbəsində dəyişənləri ehtiva edir x Və y, hər iki tənlikdə eyni rəqəmləri təmsil edən, yəni 20 km və 15 km yol uzunluğu.
Problem 2. Platformaya palıd və şam şpalları yüklənib, ümumilikdə 300 şpal. Məlumdur ki, bütün palıd şpallarının çəkisi bütün şam şpallarından 1 ton az idi. Hər bir palıd şpalının çəkisi 46 kq, şam şpalının isə 28 kq olması halında, ayrı-ayrılıqda neçə palıd və şam şpalının olduğunu müəyyən edin.
Həll
Qoy x palıd və yşam şpalları platformaya yüklənirdi. Cəmi 300 şpal varsa, birinci tənliyi belə yazmaq olar x+y = 300 .
Bütün palıd şpallarının çəkisi 46 idi x kq, şam ağacının çəkisi isə 28 idi y Kiloqram. Palıd şpallarının çəkisi şam şpallarından 1 ton az olduğundan ikinci tənliyi belə yazmaq olar 28y − 46x= 1000 . Bu tənlik göstərir ki, palıd və şam şpalları arasında kütlə fərqi 1000 kq-dır.
Palıd və şam şpallarının kütləsi kiloqramla ölçüldüyü üçün tonlar kiloqrama çevrildi.
Nəticədə sistemi təşkil edən iki tənlik əldə edirik
Gəlin bu sistemi həll edək. Birinci tənlikdə ifadə edək x. Sonra sistem aşağıdakı formanı alacaq:
Birinci tənliyi ikinci ilə əvəz edin və tapın y
Əvəz edək y tənliyə daxil x= 300 − y və bunun nə olduğunu öyrənin x
Bu o deməkdir ki, platformaya 100 palıd və 200 şam şpal yüklənib.
Həllin (100; 200) məsələnin şərtlərinə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq. Əvvəlcə sistemin düzgün həll olunduğuna əmin olaq:
Ümumilikdə 300 şpalın olduğu deyilirdi. Palıd və şam şpallarının sayını əlavə edirik və məhlulun (100; 200) bu şərti ödədiyinə əmin oluruq: 100 + 200 = 300.
Aşağıdakı şərt: bütün palıd şpallarının çəkisi bütün şam şpallarından 1 ton az idi . Görürük ki, məhlul (100; 200) də bu şərti ödəyir, çünki 46 × 100 kq palıd şpalları 28 × 200 kq şam şpallarından yüngüldür: 5600 kq − 4600 kq = 1000 kq.
Problem 3. Ağırlığa görə 2: 1, 3: 1 və 5: 1 nisbətində üç ədəd mis-nikel ərintisi götürdük. Onlardan 4: 1 mis və nikel nisbəti ilə 12 kq ağırlığında bir parça əridildi. Əgər birincinin kütləsi ikincinin kütləsindən iki dəfə çox olarsa, hər bir orijinal parçanın kütləsini tapın.
§1. Xətti tənliklər sistemləri.
Sistemə baxın
sistem adlanır m ilə xətti tənliklər n naməlum.
Burada 
- naməlum, 
- naməlumlar üçün əmsallar, 
- tənliklərin sərbəst şərtləri.
Tənliklərin bütün sərbəst şərtləri sıfıra bərabərdirsə, sistem çağırılır homojen.Qərarla sistem ədədlər toplusu adlanır 
, onları naməlumlar yerinə sistemdə əvəz etdikdə bütün tənliklər eyniliyə çevrilir. Sistem deyilir birgə, ən azı bir həlli varsa. Unikal həlli olan uyğun sistem deyilir müəyyən. İki sistem adlanır ekvivalent, onların həllər dəstləri üst-üstə düşərsə.
Sistem (1) tənlikdən istifadə edərək matris şəklində təqdim edilə bilər
(2)
.
§2. Xətti tənliklər sistemlərinin uyğunluğu.
(1) sisteminin genişləndirilmiş matrisini matris adlandıraq
Kroneker-Kapelli teoremi. Sistem (1) yalnız və yalnız sistem matrisinin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olduqda ardıcıldır:
.
§3. Sistem həllin ilə xətti tənliklərn naməlum.
Qeyri-homogen bir sistemi nəzərdən keçirək n ilə xətti tənliklər n naməlum:
(3)
Kramer teoremi.Əgər sistemin əsas determinantı (3) 
, onda sistemin düsturlarla təyin olunan unikal həlli var:
olanlar. 
,
Harada 
- təyinedicidən alınan təyinedici 
yerdəyişmə 
ci sütundan azad üzvlərin sütununa.
Əgər 
, və ən azı biri 
≠0, onda sistemin həlli yoxdur.
Əgər 
, onda sistemin sonsuz sayda həlli var.
Sistem (3) onun matris formasından (2) istifadə etməklə həll edilə bilər. Əgər matris sıralanır A bərabərdir n, yəni. 
, sonra matris A tərsinə malikdir 
. Matris tənliyinin vurulması 
matrisə 
solda alırıq:
.
Son bərabərlik tərs matrisdən istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli üsulunu ifadə edir.
Misal. Tərs matrisdən istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin.
Həll.
Matris 
qeyri-degenerativ, çünki 
, yəni tərs matris var. Tərs matrisi hesablayaq: 
.
,
Məşq edin. Sistemi Kramer metodundan istifadə edərək həll edin.
§4. Xətti tənliklərin ixtiyari sistemlərinin həlli.
(1) formalı xətti tənliklərin bircins olmayan sistemi verilsin.
Tutaq ki, sistem ardıcıldır, yəni. Kroneker-Kapelli teoreminin şərti ödənilir: 
. Əgər matris sıralanır 
(naməlumların sayı), onda sistemin unikal həlli var. Əgər 
, onda sistemin sonsuz sayda həlli var. İcazə ver izah edim.
Matrisin rütbəsi olsun r(A)=
r<
n. Çünki 
, onda bir sıra qeyri-sıfır minor var r. Gəlin bunu əsas minor adlandıraq. Əmsalları bazis minorunu təşkil edən naməlumlara əsas dəyişənlər deyilir. Qalan naməlumlara sərbəst dəyişənlər deyirik. Gəlin tənlikləri yenidən təşkil edək və dəyişənləri elə nömrələyək ki, bu minor sistem matrisinin yuxarı sol küncündə yerləşsin:
.
Birinci r xətlər xətti müstəqildir, qalanları onların vasitəsilə ifadə olunur. Buna görə də bu xətləri (tənlikləri) atmaq olar. Biz əldə edirik:
Sərbəst dəyişənlərə ixtiyari ədədi qiymətlər verək: . Sol tərəfdə yalnız əsas dəyişənləri buraxaq və sərbəst olanları sağ tərəfə keçirək.
Sistemi əldə etdim r ilə xətti tənliklər r determinantı 0-dan fərqli olan naməlum. Onun unikal həlli var.
Bu sistem xətti tənliklər sisteminin ümumi həlli adlanır (1). Əks halda: əsas dəyişənlərin sərbəst olanlar vasitəsilə ifadəsi deyilir ümumi qərar sistemləri. Ondan sonsuz sayda əldə edə bilərsiniz özəl həllər, sərbəst dəyişənlərə ixtiyari qiymətlər verilməsi. Sərbəst dəyişənlərin sıfır qiymətləri üçün ümumi bir həlldən əldə edilən xüsusi bir həll deyilir əsas həll. Müxtəlif əsas həllərin sayı artıq deyil 
. Mənfi olmayan komponentləri olan əsas həll adlanır dəstəkləyən sistem həlli.
Misal.
,r=2.
Dəyişənlər 
- əsas, 
- pulsuz.
Gəlin tənlikləri toplayaq; ifadə edək 
vasitəsilə 
:
- ümumi qərar.
- üçün özəl həll 
.
- əsas həll, istinad.
§5. Gauss üsulu.
Gauss metodu xətti tənliklərin ixtiyari sistemlərini öyrənmək və həll etmək üçün universal bir üsuldur. Sistemlərin ekvivalentliyini pozmayan elementar çevrilmələrdən istifadə edərək naməlumları ardıcıl olaraq aradan qaldırmaqla sistemin diaqonal (və ya üçbucaqlı) formaya endirilməsindən ibarətdir. Dəyişən, əmsalı 1 olan sistemin yalnız bir tənliyində olarsa, xaric edilmiş sayılır.
Elementar çevrilmələr sistemlər bunlardır:
Tənliyin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;
İstənilən ədədə vurulan tənliyi başqa tənliklə əlavə etmək;
Tənliklərin yenidən təşkili;
0 = 0 tənliyinin rədd edilməsi.
Elementar çevrilmələr tənliklər üzərində deyil, nəticədə yaranan ekvivalent sistemlərin genişləndirilmiş matrisləri üzərində aparıla bilər.
Misal.
Həll. Sistemin uzadılmış matrisini yazaq:
.
Elementar çevrilmələri həyata keçirərək, matrisin sol tərəfini vahid formaya endirərik: əsas diaqonalda olanları, onun xaricində isə sıfırları yaradacağıq.
Şərh. Elementar çevrilmələri yerinə yetirərkən 0 formalı tənlik alınarsa = k(Harada Kimə
0),
onda sistem uyğunsuzdur.
Xətti tənliklər sistemlərinin naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu ilə həlli formada yazıla bilər. masalar.
Cədvəlin sol sütununda xaric edilmiş (əsas) dəyişənlər haqqında məlumat var. Qalan sütunlar naməlumların əmsallarını və tənliklərin sərbəst şərtlərini ehtiva edir.
Sistemin genişləndirilmiş matrisi mənbə cədvəlində qeyd olunur. Sonra, İordaniya çevrilmələrini həyata keçirməyə başlayırıq:
1. Dəyişən seçin 
, əsas olacaq. Müvafiq sütun açar sütun adlanır. Bu dəyişənin digər tənliklərdən çıxarılaraq qalacağı tənliyi seçin. Müvafiq cədvəl sırasına açar sətir deyilir. Əmsal 
, açar sətri ilə açar sütununun kəsişməsində dayanan açar açar adlanır.
2. Əsas sətir elementləri açar elementə bölünür.
3. Açar sütunu sıfırlarla doldurulur.
4. Qalan elementlər düzbucaqlı qaydasından istifadə etməklə hesablanır. Qarşı uclarında əsas element və yenidən hesablanmış element olan düzbucaqlı düzəldin; əsas elementi olan düzbucaqlının diaqonalında yerləşən elementlərin hasilindən digər diaqonalın elementlərinin hasili çıxarılır və yaranan fərq əsas elementə bölünür.
Misal. Tənliklər sisteminin ümumi həllini və əsas həllini tapın:
Həll.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
Sistemin ümumi həlli:
Əsas həll: 
.
Tək əvəzedici transformasiya sistemin bir bazasından digərinə keçməyə imkan verir: əsas dəyişənlərdən birinin əvəzinə, bazaya sərbəst dəyişənlərdən biri daxil edilir. Bunun üçün sərbəst dəyişən sütununda əsas elementi seçin və yuxarıdakı alqoritmə uyğun olaraq transformasiyaları yerinə yetirin.
§6. Referans həllərin tapılması
Xətti tənliklər sisteminin istinad həlli mənfi komponentləri olmayan əsas həlldir.
Sistemin istinad həlləri aşağıdakı şərtlər yerinə yetirildikdə Qauss üsulu ilə tapılır.
1. Orijinal sistemdə bütün pulsuz şərtlər mənfi olmamalıdır: 
.
2. Əsas element müsbət əmsallar arasından seçilir.
3. Baza daxil edilmiş dəyişən bir neçə müsbət əmsala malikdirsə, o zaman əsas xətt sərbəst terminin müsbət əmsala nisbətinin ən kiçik olduğu xəttdir.
Qeyd 1. Naməlumların aradan qaldırılması prosesində bütün əmsalların müsbət olmayan və sərbəst müddət olduğu bir tənlik yaranarsa 
, onda sistemin mənfi olmayan həlləri yoxdur.
Qeyd 2. Sərbəst dəyişənlər üçün əmsalların sütunlarında tək müsbət element yoxdursa, başqa bir istinad həllinə keçid mümkün deyil.
Misal.
|
|
|
Xətti yaş tənliklər sistemini (SLAE) ardıcıllıq üçün öyrənmək bu sistemin həllərinin olub-olmadığını öyrənmək deməkdir. Yaxşı, həll yolları varsa, onların neçə olduğunu göstərin.
Bizə "Xətti cəbri tənliklər sistemi. Əsas terminlər. Qeydin matris forması" mövzusundan məlumat lazım olacaq. Xüsusilə, sistem matrisi və genişləndirilmiş sistem matrisi kimi anlayışlara ehtiyac duyulur, çünki Kronecker-Capelli teoreminin tərtibi onlara əsaslanır. Həmişə olduğu kimi, sistem matrisini $A$ hərfi ilə, sistemin genişləndirilmiş matrisini isə $\widetilde(A)$ hərfi ilə işarə edəcəyik.
Kroneker-Kapelli teoremi
Xətti cəbri tənliklər sistemi, sistem matrisinin dərəcəsi sistemin genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinə bərabər olduqda, ardıcıldır, yəni. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
Nəzərinizə çatdırım ki, ən azı bir həlli olan bir sistem birləşmə adlanır. Kroneker-Kapelli teoremi bunu deyir: əgər $\rang A=\rang\widetilde(A)$, onda həll yolu var; əgər $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, onda bu SLAE həlləri yoxdur (uyğunsuz). Bu həllərin sayı ilə bağlı sualın cavabı Kroneker-Kapelli teoreminin nəticəsi ilə verilir. Nəticənin tərtibində $n$ hərfindən istifadə olunur ki, bu da verilmiş SLAE-nin dəyişənlərinin sayına bərabərdir.
Kroneker-Kapelli teoreminin nəticəsi
- Əgər $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, onda SLAE uyğunsuzdur (heç bir həll yolu yoxdur).
- Əgər $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Əgər $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, onda SLAE müəyyəndir (dəqiq bir həll var).
Nəzərə alın ki, tərtib edilmiş teorem və onun nəticəsi SLAE-nin həllinin necə tapılacağını göstərmir. Onların köməyi ilə yalnız bu həllərin mövcud olub-olmadığını və əgər varsa, nə qədər olduğunu öyrənə bilərsiniz.
Nümunə №1
SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42) kəşf edin. \end(düzləşdirilmiş) Uyğunluq üçün )\right.$ SLAE uyğundursa, həllərin sayını göstərin.
Verilmiş SLAE üçün həllərin mövcudluğunu öyrənmək üçün Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edirik. Bizə $A$ sisteminin matrisi və $\widetilde(A)$ sisteminin genişləndirilmiş matrisi lazım olacaq, onları yazacağıq:
$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiv) \sağ);\; \widetilde(A)=\left(\begin(massiv) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(massiv) \sağ). $$
Biz $\rang A$ və $\rang\widetilde(A)$ tapmalıyıq. Bunu etmək üçün bir çox yol var, onlardan bəziləri Matrix Rank bölməsində verilmişdir. Belə sistemləri öyrənmək üçün adətən iki üsuldan istifadə olunur: “Matrisin rütbəsinin tərifə görə hesablanması” və ya “Elementar çevrilmələr üsulu ilə matrisin dərəcəsinin hesablanması”.
Metod №1. Tərifinə görə hesablama dərəcələri.
Tərifə görə, dərəcə matrisin kiçiklərinin ən yüksək sırasıdır, onların arasında sıfırdan fərqli olan ən azı biri var. Adətən, tədqiqat birinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlarla başlayır, lakin burada dərhal $A$ matrisinin üçüncü dərəcəli minorunu hesablamağa başlamaq daha rahatdır. Üçüncü dərəcəli kiçik elementlər sözügedən matrisin üç sıra və üç sütununun kəsişməsində yerləşir. $A$ matrisi yalnız 3 sətir və 3 sütundan ibarət olduğundan, $A$ matrisinin üçüncü dərəcəli minoru $A$ matrisinin determinantıdır, yəni. $\Delta A$. Determinantı hesablamaq üçün “İkinci və üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması üçün düsturlar” mövzusundan 2 nömrəli düstur tətbiq edirik:
$$ \Delta A=\sol| \begin(massiv) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiv) \right|=-21. $$
Deməli, $A$ matrisinin sıfıra bərabər olmayan üçüncü dərəcəli minoru var. Dördüncü dərəcəli minor yaratmaq qeyri-mümkündür, çünki 4 sətir və 4 sütun tələb edir və $A$ matrisində cəmi 3 sətir və 3 sütun var. Deməli, $A$ matrisinin minorlarının ən yüksək sırası, onların arasında sıfıra bərabər olmayan ən azı biri 3-dür. Buna görə də $\rang A=3$.
Biz həmçinin $\rang\widetilde(A)$ tapmalıyıq. $\widetilde(A)$ matrisinin strukturuna baxaq. $\widetilde(A)$ matrisindəki sətirə qədər $A$ matrisinin elementləri var və biz $\Delta A\neq 0$ olduğunu öyrəndik. Deməli, $\widetilde(A)$ matrisi sıfıra bərabər olmayan üçüncü dərəcəli minora malikdir. Biz $\widetilde(A)$ matrisinin dördüncü dərəcəli kiçiklərini qura bilmərik, ona görə də belə nəticəyə gəlirik: $\rang\widetilde(A)=3$.
$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoreminə görə sistem ardıcıldır, yəni. həlli var (ən azı bir). Həlllərin sayını göstərmək üçün nəzərə alırıq ki, SLAE-mizdə 3 naməlum var: $x_1$, $x_2$ və $x_3$. Naməlumların sayı $n=3$ olduğundan belə nəticəyə gəlirik: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, buna görə də Kroneker-Kapelli teoreminin nəticəsinə görə sistem müəyyəndir, yəni. unikal həlli var.
Problem həll olunur. Bu metodun hansı mənfi cəhətləri və üstünlükləri var? Əvvəlcə üstünlükləri haqqında danışaq. Birincisi, yalnız bir determinant tapmaq lazım idi. Bundan sonra dərhal həll yollarının sayı barədə nəticə çıxardıq. Tipik olaraq, standart standart hesablamalar üç naməlum olan və unikal həlli olan tənliklər sistemlərini verir. Belə sistemlər üçün bu üsul çox əlverişlidir, çünki biz əvvəlcədən bilirik ki, həll yolu var (əks halda nümunə standart hesablamada olmazdı). Bunlar. Etməli olduğumuz tək şey həllin varlığını ən sürətli şəkildə göstərməkdir. İkincisi, sistem matrisinin determinantının hesablanmış dəyəri (yəni $\Delta A$) daha sonra faydalı olacaq: biz Kramer metodundan istifadə edərək və ya tərs matrisdən istifadə edərək verilmiş sistemi həll etməyə başlayanda.
Bununla belə, $A$ sisteminin matrisi düzbucaqlıdırsa, dərəcənin hesablanması metodundan istifadə etmək arzuolunmazdır. Bu vəziyyətdə, aşağıda müzakirə ediləcək ikinci üsuldan istifadə etmək daha yaxşıdır. Bundan əlavə, əgər $\Delta A=0$ olarsa, o zaman verilmiş qeyri-homogen SLAE-nin həlli sayı haqqında heç nə deyə bilmərik. Bəlkə də SLAE-nin sonsuz sayda həlli var və ya bəlkə də heç biri yoxdur. Əgər $\Delta A=0$ olarsa, o zaman əlavə tədqiqat tələb olunur ki, bu da çox vaxt çətin olur.
Deyilənləri ümumiləşdirmək üçün qeyd edirəm ki, birinci üsul sistem matrisi kvadrat olan SLAE-lər üçün yaxşıdır. Üstəlik, SLAE-nin özündə üç və ya dörd naməlum var və standart standart hesablamalardan və ya testlərdən götürülür.
Metod № 2. Elementar çevrilmələr üsulu ilə dərəcənin hesablanması.
Bu üsul müvafiq mövzuda ətraflı təsvir edilmişdir. Biz $\widetilde(A)$ matrisinin dərəcəsini hesablamağa başlayacağıq. Niyə $A$ deyil, $\widetilde(A)$ matrisləri? Fakt budur ki, $A$ matrisi $\widetilde(A)$ matrisinin bir hissəsidir, ona görə də $\widetilde(A)$ matrisinin dərəcəsini hesablamaqla biz eyni vaxtda $A$ matrisinin dərəcəsini tapacağıq. .
\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(massiv) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(massiv) \sağ) \sağ arrow \left|\text(birinci və ikinci sətirləri dəyişdirin)\sağ| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(massiv) \sağ) \begin(massiv) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(massiv) \sağ ox \sol(\begin) (massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(massiv) \sağ) \begin(massiv) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(massiv)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(massiv) \sağ) \end(düzləşdirilmiş)
Biz $\widetilde(A)$ matrisini trapesiya formasına endirdik. Yaranan matrisin əsas diaqonalında $\left(\begin(massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ üç sıfırdan fərqli elementdən ibarətdir: -1, 3 və -7. Nəticə: $\widetilde(A)$ matrisinin dərəcəsi 3-dür, yəni. $\rang\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matrisinin elementləri ilə transformasiyalar apararkən biz eyni zamanda $A$ matrisinin sətirə qədər yerləşən elementlərini transformasiya etdik. $A$ matrisi də trapesiya formasına endirilmişdir: $\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(massiv) \sağ )$. Nəticə: $A$ matrisinin dərəcəsi də 3-dür, yəni. $\rang A=3$.
$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoreminə görə sistem ardıcıldır, yəni. həlli var. Həlllərin sayını göstərmək üçün nəzərə alırıq ki, SLAE-mizdə 3 naməlum var: $x_1$, $x_2$ və $x_3$. Naməlumların sayı $n=3$ olduğundan belə nəticəyə gəlirik: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, buna görə də Kroneker-Kapelli teoreminin nəticəsinə əsasən sistem müəyyən edilir, yəni. unikal həlli var.
İkinci metodun üstünlükləri nələrdir? Əsas üstünlüyü onun çox yönlü olmasıdır. Sistemin matrisinin kvadrat olub-olmamasının bizim üçün fərqi yoxdur. Bundan əlavə, biz faktiki olaraq Qauss metodunun irəli çevrilmələrini həyata keçirdik. Cəmi bir neçə addım qalıb və biz bu SLAE-nin həllini əldə edə bilərik. Düzünü desəm, ikinci üsulu birincidən daha çox bəyənirəm, amma seçim zövq məsələsidir.
Cavab verin: Verilmiş SLAE ardıcıl və müəyyən edilmişdir.
Nümunə № 2
SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- ilə tanış olun Uyğunluq üçün 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$.
Elementar çevrilmə metodundan istifadə edərək sistem matrisinin və genişləndirilmiş sistem matrisinin dərəcələrini tapacağıq. Genişləndirilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(massiv) \sağ)$. Sistemin genişləndirilmiş matrisini çevirərək tələb olunan dərəcələri tapaq:
Sistemin genişləndirilmiş matrisi pilləli formaya endirilir. Bir matris eşelon formasına endirilirsə, onun dərəcəsi sıfırdan fərqli cərgələrin sayına bərabərdir. Beləliklə, $\rang A=3$. $A$ matrisi (xəttə qədər) trapesiya formasına endirilib və onun dərəcəsi 2, $\rang A=2$-dır.
$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoreminə görə sistem uyğunsuzdur (yəni həlli yoxdur).
Cavab verin: Sistem uyğunsuzdur.
Nümunə № 3
SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=6-nı araşdırın ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ uyğunluq üçün.
Sistemin genişləndirilmiş matrisi aşağıdakı formadadır: $\widetilde(A)=\left(\begin(massiv) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiv) \sağ)$. Gəlin bu matrisin birinci və ikinci sıralarını elə dəyişdirək ki, birinci cərgənin birinci elementi bir olsun: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiv) \sağ)$.
Sistemin uzadılmış matrisini və sistemin özünün matrisini trapezoidal formaya saldıq. Sistemin uzadılmış matrisinin dərəcəsi üçə, sistemin matrisinin dərəcəsi də üçə bərabərdir. Sistemdə $n=5$ naməlum olduğundan, yəni. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Cavab verin: Sistem qeyri-müəyyəndir.
İkinci hissədə tez-tez standart hesablamalara və ya ali riyaziyyatda testlərə daxil olan nümunələri təhlil edəcəyik: ardıcıllıq tədqiqatı və SLAE-nin ona daxil edilmiş parametrlərin dəyərlərindən asılı olaraq həlli.
Matris üsulu SLAU həlləri tənliklərin sayının naməlumların sayına uyğun olduğu tənliklər sistemlərinin həllinə tətbiq edilir. Metod aşağı səviyyəli sistemləri həll etmək üçün ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulu matrisin vurulmasının xassələrinin tətbiqinə əsaslanır.
Bu üsul, başqa sözlə tərs matris metodu, belə adlanır, çünki həll adi matris tənliyinə endirilir, onu həll etmək üçün tərs matrisi tapmaq lazımdır.
Matris həll üsulu Sıfırdan böyük və ya kiçik olan determinantlı SLAE aşağıdakı kimidir:
Fərz edək ki, SLE (xətti tənliklər sistemi) var n naməlum (ixtiyari bir sahədə):
Bu o deməkdir ki, onu asanlıqla matris formasına çevirmək olar:
AX=B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X— müvafiq olaraq sistemin sərbəst şərtləri və həllər sütunları:
Bu matris tənliyini soldan vuraq A−1— matrisa tərs A: A −1 (AX)=A −1 B.
Çünki A −1 A=E, Vasitələri, X=A −1 B. Tənliyin sağ tərəfi ilkin sistemin həll sütununu verir. Matris metodunun tətbiqi şərti matrisin degenerasiyaya uğramamasıdır A. Bunun üçün zəruri və kafi şərt matrisin determinantının sıfıra bərabər olmamasıdır A:
deA≠0.
üçün xətti tənliklərin homojen sistemi, yəni. vektor olarsa B=0, əks qayda var: sistem AX=0 yalnız olduqda qeyri-trivial (yəni sıfıra bərabər olmayan) həll var detA=0. Bircins və qeyri-homogen xətti tənlik sistemlərinin həlləri arasındakı bu əlaqə deyilir Fredholm alternativi.
Beləliklə, matris metodundan istifadə edərək SLAE-nin həlli düstura uyğun olaraq həyata keçirilir 
. Və ya SLAE-nin həlli istifadə edərək tapılır tərs matris A−1.
Məlumdur ki, kvadrat matris üçün A sifariş n haqqında n tərs matris var A−1 yalnız onun təyinedicisi sıfırdan fərqli olduqda. Beləliklə, sistem n ilə xətti cəbri tənliklər n Naməlumları matris metodundan istifadə etməklə yalnız o halda həll edirik ki, sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyil.
Belə bir metodun tətbiqində məhdudiyyətlərin olmasına və böyük əmsallar və yüksək səviyyəli sistemlər üçün hesablamaların çətinliklərinə baxmayaraq, metod kompüterdə asanlıqla həyata keçirilə bilər.
Qeyri-homogen SLAE-nin həlli nümunəsi.
Əvvəlcə naməlum SLAE-lərin əmsal matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığını yoxlayaq.
İndi tapırıq birlik matrisi, onu köçürün və tərs matrisi təyin etmək üçün düsturla əvəz edin.
Dəyişənləri düsturla əvəz edin:
İndi tərs matrisi və sərbəst şərtlər sütununu vuraraq naməlumları tapırıq.
Belə ki, x=2; y=1; z=4.
SLAE-nin adi formasından matris formasına keçərkən sistemin tənliklərində naməlum dəyişənlərin sırasına diqqət yetirin. Misal üçün:
Bunu belə yazmaq OLMAZ:
Əvvəlcə sistemin hər bir tənliyində naməlum dəyişənləri sıralamaq lazımdır və yalnız bundan sonra matris qeydinə keçin:
Bundan əlavə, naməlum dəyişənlərin təyin edilməsində diqqətli olmalısınız x 1, x 2 , …, x n başqa hərflər ola bilər. Məs:
matris şəklində bunu belə yazırıq:
Matris metodu, tənliklərin sayının naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin əsas matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığı xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün daha yaxşıdır. Sistemdə 3-dən çox tənlik olduqda, tərs matrisin tapılması daha çox hesablama zəhməti tələb edir, ona görə də bu halda həll üçün Qauss metodundan istifadə etmək məqsədəuyğundur.
- Sistemlər m ilə xətti tənliklər n naməlum.
Xətti tənliklər sisteminin həlli- bu belə bir nömrələr toplusudur ( x 1 , x 2 , …, x n), sistemin tənliklərinin hər birinə əvəz edildikdə düzgün bərabərlik əldə edilir.
Harada a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistem əmsalları;
b i , i = 1, …, m- pulsuz üzvlər;
x j , j = 1, …, n- naməlum.
Yuxarıdakı sistem matris şəklində yazıla bilər: A X = B,
harada ( A|B) sistemin əsas matrisidir;
A— genişləndirilmiş sistem matrisi;
X— naməlumlar sütunu;
B— azad üzvlərin sütunu.
Əgər matris B null matrisi ∅ deyil, onda bu xətti tənliklər sistemi qeyri-homogen adlanır.
Əgər matris B= ∅, onda bu xətti tənliklər sistemi homojen adlanır. Homojen bir sistemin həmişə sıfır (mənasız) həlli var: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Xətti tənliklərin birgə sistemi həlli olan xətti tənliklər sistemidir.
Xətti tənliklərin uyğunsuz sistemi həll olunmayan xətti tənliklər sistemidir.
Xətti tənliklərin müəyyən sistemi unikal həlli olan xətti tənliklər sistemidir.
Qeyri-müəyyən xətti tənliklər sistemi sonsuz sayda həlli olan xətti tənliklər sistemidir. - n naməlumlu n xətti tənlik sistemləri
Naməlumların sayı tənliklərin sayına bərabərdirsə, matris kvadratdır. Matrisin təyinedicisi xətti tənliklər sisteminin əsas təyinedicisi adlanır və Δ simvolu ilə işarələnir.
Kramer üsulu sistemlərinin həlli üçün n ilə xətti tənliklər n naməlum.
Kramer qaydası.
Xətti tənliklər sisteminin əsas determinantı sıfıra bərabər deyilsə, sistem ardıcıl və müəyyən edilir və yeganə həlli Cramer düsturlarından istifadə etməklə hesablanır:
burada Δ i sistemin əsas determinantından Δ əvəz etməklə alınan determinantlardır. i ci sütundan azad üzvlərin sütununa. . - n naməlumlu m xətti tənlik sistemləri
Kroneker-Kapelli teoremi.
Verilmiş xətti tənliklər sisteminin ardıcıl olması üçün sistem matrisinin dərəcəsinin sistemin genişlənmiş matrisinin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir, çaldı(Α) = çaldı(Α|B).
Əgər çaldı(Α) ≠ çaldı(Α|B), onda sistemin açıq şəkildə həlli yoxdur.
Əgər çaldı(Α) = çaldı(Α|B), onda iki hal mümkündür:
1) dərəcə (Α) = n(naməlumların sayı) - həll unikaldır və Cramer düsturlarından istifadə etməklə əldə edilə bilər;
2) dərəcə (Α)< n - sonsuz sayda həll yolu var. - Gauss üsulu xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün
uzadılmış matris yaradaq ( A|B) naməlumların və sağ tərəflərin əmsallarından verilmiş sistemin.
Qauss metodu və ya naməlumların aradan qaldırılması metodu genişlənmiş matrisin kiçilməsindən ibarətdir ( A|B) cərgələri üzərində diaqonal formaya (yuxarı üçbucaq formaya) elementar çevrilmələrdən istifadə etməklə. Tənliklər sisteminə qayıdaraq, bütün naməlumlar müəyyən edilir.
Simlər üzərində elementar çevrilmələrə aşağıdakılar daxildir:
1) iki xətti dəyişdirin;
2) sətri 0-dan fərqli bir rəqəmə vurmaq;
3) ixtiyari ədədə vurulan başqa bir sətir əlavə etmək;
4) sıfır xətti atmaq.
Diaqonal formaya endirilmiş uzadılmış matris, həlli çətinlik yaratmayan, verilmiş birinə ekvivalent xətti sistemə uyğundur. . - Bircins xətti tənliklər sistemi.
Homojen sistem aşağıdakı formaya malikdir:
matris tənliyinə uyğundur A X = 0.
1) Homojen sistem həmişə ardıcıldır, çünki r(A) = r(A|B), həmişə sıfır həll var (0, 0, …, 0).
2) Homojen bir sistemin sıfırdan fərqli bir həllə sahib olması üçün zəruri və kifayətdir ki, r = r(A)< n , bu Δ = 0-a bərabərdir.
3) Əgər r< n , onda açıq-aydın Δ = 0, sonra sərbəst naməlumlar yaranır c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemin qeyri-trivial həlləri var və onların sonsuz bir çoxu var.
4) Ümumi həll X saat r< n matris şəklində aşağıdakı kimi yazıla bilər:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
həll yolları haradadır X 1 , X 2 , …, X n-rəsas həllər sistemini formalaşdırır.
5) Bircins sistemin ümumi həllindən əsas həllər sistemi əldə edilə bilər:
,
parametr dəyərlərini ardıcıl olaraq (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) kimi təyin etsək.
Əsas həllər sistemi baxımından ümumi həllin genişləndirilməsi fundamental sistemə aid olan həllərin xətti kombinasiyası şəklində ümumi həllin qeydidir.
Teorem. Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli üçün Δ ≠ 0 olması zəruri və kifayətdir.
Deməli, determinant Δ ≠ 0 olarsa, sistemin unikal həlli var.
Əgər Δ ≠ 0 olarsa, onda xətti bircins tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var.
Teorem. Homojen bir sistemin sıfırdan fərqli bir həllə sahib olması üçün bu, zəruri və kifayətdir r(A)< n .
Sübut:
1) r daha çox ola bilməz n(matrisanın dərəcəsi sütun və ya sətirlərin sayından çox deyil);
2) r< n , çünki Əgər r = n, onda sistemin əsas determinantı Δ ≠ 0 və Kramerin düsturlarına görə unikal əhəmiyyətsiz bir həll var. x 1 = x 2 = … = x n = 0, bu şərtə ziddir. O deməkdir ki, r(A)< n .
Nəticə. Homojen bir sistem üçün n ilə xətti tənliklər n naməlumların sıfırdan fərqli həlli var idi, Δ = 0 olması zəruri və kifayətdir.