Проблема решения уравнений третьей и четвертой степени в радикалах не вызывалась особой практической необходимостью. Ее появление косвенным образом свидетельствовало о постепенном переходе математики к более высокому уровню ее развития, когда математическая наука развивается не только под влиянием запросов практики, но и в силу своей внутренней логики. После решения квадратных уравнений естественно было перейти к решению кубических уравнений.

Уравнения третьей и четвертой степени были решены в Италии в XVI в.

Итальянские математики рассматривали три вида кубических уравнений:

Рассмотрение трех видов кубических уравнений вместо одного связано с тем, что, хотя математикиXVI в. были знакомы с отрицательными числами, но они еще долго не считались настоящими числами, и ученые стремились записывать уравнения только с положительными коэффициентами.

Исторически сложилось так, что сначала алгебраисты занялись уравнением первого типа

Первоначально его решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро, но полученное решение не опубликовал, а сообщил его своему ученику Фиоре. С помощью секрета решения этого уравнения Фиоре победил на нескольких математических турнирах. Тогда такие турниры были распространены в Италии. Заключались они в том, что два противника в присутствии нотариуса обменивались заранее обусловленным числом задач и договаривались о сроке для их решения. Победитель получал известность и нередко выгодную должность. В 1535 г. Фиоре вызвал на такой поединок любого, кто хочет с ним сразиться. Вызов принял Тарталья.

Никколо Тарталья (1500-1557) рано остался сиротой и вырос в бедности, не получив никакого образования. Тем не менее он был хорошо знаком с математикой того времени и зарабатывал себе на жизнь частными уроками математики. Незадолго до поединка с Фиоре он сумел самостоятельно решить уравнение (1). Поэтому когда противники встретились, Тарталья смог за несколько часов решить задачи Фиоре; все они оказались на уравнении (1). Что касается Фиоре, то он и за много дней не решил ни одной из 30 разнообразных задач Тартальи. Победителем турнира был признан Тарталья. Известие о его победе распространилось по всей Италии. Он стал заведовать кафедрой математики в университете города Вероны.

Метод Тартальи заключался в следующем. Он полагал в уравнении (1) , гдеu и v – новые неизвестные. Получим:

Положим в последнем уравнении . Образуется система уравнений

которая сводится к квадратному уравнению. Из нее находим:

,

Вскоре после турнира Тарталья легко решил кубические уравнения второго и третьего типа. Например, для уравнения второго типа он применил подстановкукоторая привела к формуле

(3)

Известие об успехи Тартальи дошло до Кардано. Джироламо Кардано (1501-1576) окончил медицинский факультет университета в Павии и был врачом в Милане. Он являлся ученым, не менее талантливым, чем Тарталья, и гораздо более разносторонним: он занимался медициной, математикой, философией и астрологией. Кардано задумал написать книгу энциклопедического характера по алгебре, и она была бы неполна без решения кубических уравнений. Он обратился к Тарталье с просьбой сообщить его способ решения этих уравнений. Тарталья не соглашался, и тогда Кардано поклялся на Евангелии никому не сообщать секрета решения кубических уравнений. По-видимому, Тарталья собирался сам написать книгу по алгебре, включив в нее и свое открытие, но из-за занятости и из-за того, что издание было делом дорогостоящим, откладывал свое намерение. В конце концов в 1545 г. Кардано выпустил свою монографию под названием «Великое искусство», в которую вошло и открытие «моего друга Тартальи». Тарталья был разгневан нарушением клятвы и выступил в печати с разоблачением Кардано. Кончилось тем, что лучший ученик Кардано вызвал Тарталью на публичный поединок. Поединок состоялся в 1548 г. в Милане и закончился, при не вполне ясных обстоятельствах, поражением Тартальи. Формулы корней кубического уравнения получили в истории название формул Кардано, хотя сам Кардано в своей книге и не приводил формул, а излагал алгоритм решения кубического уравнения.

Книга Кардано «Великое искусство» сыграло значительную роль в истории алгебры. В частности, в ней он доказал, что полное уравнение третье степени с помощью подстановки сводится к уравнению без члена с квадратом неизвестного, т.е. к одному из трех видов кубических уравнений, рассмотренных в начале параграфа. Осовременивая изложение, возьмем кубическое уравнение общего вида

с произвольными по знаку коэффициентами вместо тех нескольких типов кубических уравнений, которыми занимался Кардано, и положим в нем

.

Нетрудно проверить, что последнее уравнение не содержит члена с квадратом неизвестного, так как сумма членов, содержащих равна нулю:

.

Аналогично Кардано доказал, что в полном уравнении четвертой степени можно избавиться от члена с кубом неизвестного. Для этого в уравнении четвертой степени общего вида

достаточно положить .

Позднее Ф. Виет знакомое нам кубическое уравнение решил с помощью остроумной подставкиБудем иметь:

.

Положим в последнем уравнении . Из полученного квадратного уравнения находимt ; затем вычислими, наконец,

Уравнение четвертой степени решил Феррари. Он решал его на примере

(без члена с кубом неизвестного), но вполне общим способом.

Прибавим к обеим частям уравнения (4) , с тем, чтобы дополнить левую часть до квадрата суммы:

Теперь прибавим к обеим частям последнего уравнения сумму

где t – новое неизвестное:

Так как левая часть уравнения (5) есть квадрат суммы, то и правая часть есть квадрат, а тогда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю: Впрочем, вXVI в. это уравнение писали в виде

Уравнение (6) является кубическим. Найдем из него t уже знакомым способом, подставим это значение t в уравнение (5) и извлечем из обеих частей полученного уравнения квадратный корень. Образуется квадратное уравнение(точнее, два квадратных уравнения).

Приведенный здесь способ решения уравнения четвертой степени вошел в книгу Кардано.

По воззрениям того времени, правило решения кубического уравнения второго типа по формуле (3) нельзя применять в том случае, когда

; c современной точки зрения, в этом случае приходится проводить операции над мнимыми числами. Например, уравнение

имеет действительный корень ; кроме того, оно имеет еще два действительных (иррациональных) корня. Но по формуле (3) получаем:

Каким образом из мнимых («воображаемых», как тогда говорили) чисел получается действительное число? Это случай кубического уравнения получил название неприводимого.

Подробно неприводимый случай разобрал итальянский математик Рафаэль Бомбелли в книге «Алгебра», изданной в 1572 г. В формуле (3) он объяснил эту ситуацию тем, что первый кубический корень равен а второй –a-bi (где a и b- действительные числа, t-мнимая единица), так что их сумма дает

т.е. действительное число.

Бомбелли привел правила действий над комплексными числами.

После выхода книги Бомбелли математикам постепенно становится ясно, что в алгебре без комплексных чисел не обойтись.

Заадача№1

Решить уравнение третьей степени по формуле Кардано:

x 3 -3x 2 -3x-1=0.

Решение:Приведём уравнение к виду, не содержащему второй степени неизвестного. Для этого воспользуемся формулой

x = y – , где а коэффициент при x 2 .

Имеем: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены,получим:

Для корней кубического уравнения y 3 +py+q=0 имеется формула Кардано:

yi= (i=1,2,3,),где значение радикала

, = .

Пусть α1 –одно /любое/ значение радикала α. Тогда два других значения находятся следующим образом:

α 2 = α 1 ε 1 , α 3 = α 1 ε 2, где ε 1 = + i , ε 2 = – i - корень третьей степени из единицы.

Если положить β 1 = – , то получим β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Подставляя полученные значение в формулу yi = αi+βi,найдём корни уравнения

y 1 = α 1 +β 1 ,

y 2 = -1/2(α 1 +β 1) + i (α 1 -β 1),

y 3 = -1/2(α 1 +β 1) – i (α 1 -β 1),

В нашем случае p = -6, q= - 6.

α= =

Одно из значений этого радикала равно . Поэтому положим α 1 = . Тогда β 1 = – = – = ,

y 2 = ) – i ).

Наконец, находим значение x по формуле x = y+1.

x 2 = ) + i ) + 1,

x 3 = ) – i ) + 1.

Задача №2

Решить способом Феррари уравнение четвёртой степени:

x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.

Решение: Перенесём три последних члена в правую часть и оставшиеся два члена дополним до полного квадрата.

x 4 -4x 3 =-2x 2 +4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 =2x 2 +4x-1.

Введём новое неизвестное следующим образом:

(x 2 -2x+ ) 2 =2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+ ,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Подберём y так, чтобы и правая часть равенства была полным квадратом.Это будет тогда,когда B 2 -4AC=0, где A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Имеем:B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Или y 3 -2y 2 +12y-24=0.

Мы получили кубическую резольвенту,одним из корней которой является y=2. Подставим полученное значение y=2 в /1/,

Получим (x 2 -2x+1) 2 =4x 2 .Откуда (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 или (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+1+2x)=0.

Мы получим два квадратных уравнения:

x 2 -4x+1=0 и x 2 +1=0.

Решая их, находим корни первоначального уравнения:

x 1 =2- , x 2 =2+ , x 3 =-I, x 4 =i.

6.Рациональные корни многочлена

Задача№1

Найти рациональные корни многочлена

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Решение :Для того, чтобы найти рациональные корни многочлена,пользуемся следующими теоремами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами,то p есть делитель свободного члена, а q- делитель старшего коэффициента многочлена f(x).

Замечание: Теорема 1 даёт необходимое условие для того, чтобы рациональное число . Было корнем многочлена,но этого условия недостаточно, т.е. условие теоремы 1 может выполняться и для такой дроби , которая не является корнем многочлена.

Теорема 2: Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то при любом целом m ,отличном от , число f(m) делится на число p-qm, т.е целое число.

В частности полагая m=1, а затем m=-1, получим:

если корень многочлена, не равный ±1,то f(x) (p-q) и f(-x):.(p+q) , т.е. - целые числа.

Замечание: Теорема 2 даёт ещё одно необходимое условие для рациональных корней многочлена. Это условие удобно тем, что оно легко проверяется практически. Находим сначала f(1) и f(-1), а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя бы одно из чисел дробное, то корнем многочлена f(x) не является.

Решение: По теореме 1 корни данного многочлена следует искать среди несократимых дробей, числители которых являются делителями 18, а знаменателями 8. Следовательно, если несократимая дробь есть корень f(x), то p равно одному из чисел: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q равно одному из чисел

±1, ±2,±4, ±8.

Учитывая, что = , = , знаменатели дробей будем брать лишь положительными.

Итак, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Воспользуемся вторым необходимым.

Так как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда в частности следует, что 1 и -1 не являются корнями f(x). Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при m=1 и m=-1, т. е. будем устанавливать, целыми или дробными являются числа: = и =

Результаты сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д” означают соответственно, целым или дробным является число или

Из полученной таблицы видно, что и являются целыми лишь в тех случаях, когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .

По следствию из теоремы Безу число α- корень f(x) тогда и только тогда, когда f(x) (x-α). Следовательно, для проверки оставшихся девяти целых чисел можно применить схему Горнера деление многочлена на двучлен.

2 – корень.

Отсюда имеем: x=2 – простой корень f(x). Остальные корни данного многочлена совпадают с корнями многочлена.

F 1 (x) = 8x 4 +2x 3 -73x 2 -18x+9.

Аналогично проверим остальные числа.

2 – не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 – не корень, ½ - не корень, -1/2 –корень, 3/2 – не корень, ¼ - корень.

Итак, многочлен f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3, -3, -1/2, ¼}.

Цели:

1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

1 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Составить уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х 4 - 2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36

р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2

р 2 (x) = х 2 -3х -18=0

х 3 =-3, х 4 =6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5

Составить уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20

р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3

Составить уравнение:

В=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х 4 - х 3 - 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

р 4 (1)=1-1-7+1+6=0

р 3 (x) = х 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3

Составить уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0

р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4

Составить уравнение

х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Составить уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

х 4 - 7х 3 - 13х 2 + 43 x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р 4 (1)=1-7-13+43-24=0

р 3 (1)=1-6-19+24=0

р 2 (x)= х 2 -5x - 24 = 0

х 3 =-3, х 4 =8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх - 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0

х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х 1 = - 1; Д=1+15=16

Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0

х 2 =-1-4 = -5;

х 3 =-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)

Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х 2 -6) = 0

3) а=0, х 2 -0*х 2 +0 = 0; х 2 =0; х 4 =0

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; х=а ± √а

2. Составить уравнение

1 группа . Корни: -4; -2; 1; 7;

2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Описание жизни Италии и мира того времени, когда жил и творил Джироламо Кардано. Научная деятельность математика, обзор его математических трудов и поиск решения кубических уравнений в радикалах. Способы решений уравнений третьей и четвертой степеней.

курсовая работа , добавлен 26.08.2011


История развития математической науки в Европе VI-XIV вв., ее представители и достижения. Развитие математики эпохи Возрождения. Создание буквенного исчисления, деятельность Франсуа Виета. Усовершенствование вычислений в конце XVI – начале XVI вв.

презентация , добавлен 20.09.2015


Европейская математика эпохи Возрождения. Создание буквенного исчисления Франсуа Виет и метода решения уравнений. Усовершенствование вычислений в конце XVI – начале XVII веков: десятичные дроби, логарифмы. Установление связи тригонометрии и алгебры.

презентация , добавлен 20.09.2015


Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

реферат , добавлен 29.05.2006


Греческая математика и её философия. Взаимосвязь и совместный путь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века. Философия и математика в эпохе Просвещения. Анализ природы математического познания немецкой классической философии.

дипломная работа , добавлен 07.09.2009


Уравнение в дробях количества знаков после запятой, выполнение сложения и вычитания, не обращая внимания на запятую. Практическая значимость теории десятичных дробей. Самостоятельная работа с последующей проверкой результатов, выполнение вычислений.

презентация , добавлен 02.07.2010


Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.