| § 1.1. Системы счисления
Уроки 2 - 5
§ 1.1. Системы счисления
Ключевые слова:
Система счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел . Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами , а их совокупность - алфавитом системы счисления .
Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример 1 . У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа - это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
1) унарная система;
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.
Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления . В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа .
В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.
Пример 2 . В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа . Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система записи чисел , которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, - пример позиционной системы счисления . Алфавит десятичной системы составляют цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь ».
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1 . Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа О, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления - простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
Здесь:
А - число;
q i - «вес» i-то разряда.
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде 1
Пример 3 . Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
1.1.2. Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
Например:
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1").
Разделим на 2. Частное будет равно , а остаток будет равен a 0 .
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a 1 .
Если продолжить этот процесс деления, то на n-m шаге получим набор цифр:
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11 10 = 1011 2 .
Пример 5 . Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8 . Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 6 . Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
103 10 = 147 8
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F .
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3AF 16 означает:
Пример 7 . Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
154 10 = 9А 16
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием g следует:
1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от О до 20 10 .
В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.
В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления - метод разностей.
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на ис-пользовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8 . Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 9 . Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
1.1.7. «Компьютерные» системы счисления
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
Двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.
САМОЕ ГЛАВНОЕ
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количествен-ный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Здесь:
А - число;
q - основание системы счисления;
a i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа;
q i - «вес» i-то разряда.
Вопросы и задания
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?
2. Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры.
3. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1?
4. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.
5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?
6. Запишите в развёрнутой форме числа:
а) 143,511 10 ;
б) 143511 8 ;
в) 143511 16 ;
г) 1435,11 8
7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
а) 172 8 ;
б) 2ЕА 16 ;
в) 101010 2 ;
г) 10,1 2 ;
д) 243 6 .
8. Укажите, какое из чисел 110011 2 , 111 4 , 35 8 и 1В 16 является:
а) наибольшим;
б) наименьшим.
9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
10. Верны ли следующие равенства?
а) 33 4 = 21 7 ;
б) 33 8 = 21 4 .
11. Найдите основание х системы счисления, если:
а) 14 x = 9 10 ;
б) 2002 x . = 130 10 .
12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 89;
б) 600;
в) 2010.
13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
а) 513;
б) 600;
в) 2010.
14. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 513;
б) 600;
в) 2010.
15. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
В цифровых устройствах приходится иметь дело с различными видами информации. Это в чистом виде двоичная информация, такая как включен прибор или выключен, исправно устройство или нет. Информация может быть представлена в виде текстов, и тогда приходится буквы алфавита кодировать при помощи двоичных уровней сигнала. Достаточно часто информация может представлять собой числа. Числа могут быть представлены в различных системах счисления. Форма записи в них чисел существенно различается между собой, поэтому, прежде чем перейти к особенностям представления чисел в цифровой технике, рассмотрим их запись в различных системах счисления.
Системы счисления
Начнем с определения системы счисления. Система счисления - это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Рассмотрим сначала примеры непозиционных систем счисления.
В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Там не менее это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время.
Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые “палочки”. Эта форма записи чисел наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Число образуется суммой этих “палочек”. Однако при записи больших чисел возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.
В следующем варианте непозиционной системы счисления стали использовать несколько символов (цифр). Каждая цифра обозначает различное количеств единиц. Конечное число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой цифр. Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.
Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для этого. Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое для записи чисел.
Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от её позиции в записываемом числе. В позиционной системе счисления появляются два очень важных понятия - основание системы счисления и вес цифры. Дело в том, что в позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:
A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +...+a -k p -k
где p - основание системы счисления
p i - вес единицы данного разряда
a i - цифры, разрешённые в
данной системе счисления.
При этом количество цифр в системе счисления зависит от основания. Количество цифр равно основанию системы счисления. В двоичной системе счисления две цифры, в десятичной – десять, а в шестнадцатеричной – шестнадцать. Число в любой позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр:
A=a n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,
где ai – цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа, называется разрядом.
Какие же системы счисления применяются в настоящее время? Первый ответ, который я ожидаю – это десятичная система счисления. А ещё? Да, да не удивляйтесь! Мы широко используем и другие системы счисления! Достаточно посмотреть себе на левую руку. Там мы увидим часы. Сколько минут помещается в часе? Шестьдесят! Сколько секунд помещается в минуте? Шестьдесят! Налицо признаки шестидесятеричной системы счисления. Это наследование древней вавилонской системы счисления, которую вместе с компасом и часами европейцы заимствовали от арабов.
А еще примеры? Да сколько угодно! Картушка компаса делится на восемь румбов. Чем не восьмеричная система счисления? А давно ли в России отказались от полушек (четверть копейки) или грошей (половина копейки)? А следующее значение монеты – две копейки! Чем не двоичная система счисления?
Рассмотрим подробнее системы счисления, наиболее часто используемые в цифровой технике.
Десятичная система счисления
Основание этой системы счисления p равно десяти. В этой системе счисления используется десять цифр. В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы.
Рассмотрим пример . Для того чтобы показать, что в примере используется именно десятичная система счисления, используем индекс 10. Если же кроме десятичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то индекс обычно не используется:
A 10 =247,56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0,06 10
Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками. В приведённом примере десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами. В приведённом примере единицам соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым – 6.
Двоичная система счисления
Основание этой системы счисления p равно двум. В этой системе счисления используется две цифры. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в двоичной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0 и 1. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 2. Если же кроме двоичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.
Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в два раза. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как половины, четверти или восьмые доли единицы.
Рассмотрим пример записи двоичного числа:
A 2 =101110,101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 =46,625 10
При записи во второй строке примера десятичных эквивалентов двоичных разрядов мы не стали записывать степени двойки, которые умножаются на ноль, так как это привело бы только к загромождению формулы и, как следствие, затруднение понимания материала.
Недостатком двоичной системы счисления можно считать большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. В качестве преимущества этой системы счисления можно назвать простоту выполнения арифметических действий, которые будут рассмотрены позднее.
Восьмеричная система счисления
Основание этой системы счисления p равно восьми. Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, так как число восемь является степенью числа два. В этой системе счисления используется восемь цифр. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 8. Если же кроме восьмеричной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.
Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмёрок, шестьдесят четвёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвёртые и так далее доли единицы.
Рассмотрим пример записи восьмеричного числа:
A 8 =125,46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 +6 10 /64 10 = 85,59375 10
Во второй строке приведённого примера фактически осуществлён перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. То есть мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы представления в другую.
Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.
Шестнадцатеричная система счисления
Основание этой системы счисления p равно шестнадцати. Эту систему счисления можно считать ещё одним вариантом записи двоичного числа. В этой системе счисления используется шестнадцать цифр. Здесь уже не хватает десяти цифр, поэтому приходится придумать недостающие шесть цифр.
Для обозначения этих цифр можно воспользоваться первыми буквами латинского алфавита. При записи шестнадцатеричного числа неважно буквы верхнего или нижнего регистра будут использоваться в качестве цифр. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Так как здесь появляются новые цифры, то приведём таблицу соответствия этих цифр десятичным значениям.
Таблица 6. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр десятичным значениям
Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, чисел шестнадцать, двести пятьдесят шесть и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в шестнадцать раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как шестнадцатые, двести пятьдесят шестые и так далее доли единицы.
Рассмотрим пример записи шестнадцатеричного числа:
A 16 =2AF,C4 16 =2*16 2 +10*16 1 +15*16 0 +12*16 -1 +4*16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 +4 10 /254 10 = 687,765625 10
Из приведённых примеров записи чисел в различных системах счисления вполне очевидно, что для записи одного и того же числа с одинаковой точностью в разных системах счисления требуется различное количество разрядов. Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов требуется для записи одного и того же числа.
Литература:
Вместе со статьей "Системы счисления" читают:
Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.
Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …
Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.
Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.
Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:
Сокращенная запись числа N S имеет вид:
При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения: Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы. Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот. Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например, Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например, В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления. Таблица 1.
В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления. Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8. Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например, 273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10. Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например, 39C 16 =0011 1001 1100 2-16 При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной. Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2 это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 . Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает. Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам: Правило 1.
При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае: Например, Правило
2.
При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае: Таким образом, 26 10 = 11010 2 . Таким образом, 191 10 = 277 8 . Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления: При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления. 1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные». Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы. Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее. Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.): Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ): 2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего. Пример 1.
Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления. Пример 2.
Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления. Пример 3.
Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления. 3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа. Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа: Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е. Пример 4.
Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511. Пример 5.
Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151. 4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления. Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру: Таблицу соответствия мы научились строить в п.1. Т.е. Пример 6.
Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему. 5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия. Пример 7.
Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления. Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале: В рамках данной статьи, я расскажу вам что такое системы счисления
, а так же какие они бывают. Каждый день мы пользуемся различными системами счисления, например, десятичной. А если же вы больше знаете об информационных технологиях, то невозможно так же не упомянуть про двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Однако, что это такое и есть ли какие-то нюансы, знает далеко не каждый. Поэтому далее я постараюсь разложить все по полочкам. Система счисления
- это метод, определяющий запись чисел, а так же возможные математические операции над этими числами. Чтобы было легче понять, рассмотрим простой пример. Допустим, не существует десятичной системы счисления и вам необходимо посчитать количество тарелок на столе. Во первых, для решения этой задачи вам необходимы какие-то ориентиры. Например, 1 спичка - это одна тарелка, а коробок - это 10 тарелок. Второй задачей является возможность как-то оперировать этими числами. Чтобы можно было добавлять или убирать тарелки со стола и вы могли бы их посчитать. Тут все привычно, добавилась тарелка - добавили спичку, унесли тарелку - убрали спичку, спичек стало 10, заменили их на коробок. Вот это и есть пример простой системы счисления, состоящий из записи чисел (спичек, коробка) и математических операций (добавить, убрать). Сам вопрос, как вести учет чисел уже давно стоял перед человечеством, поэтому существуют их градации.. И вот, как минимум, 3 типа: 1. Непозиционная система счисления
- самые древний вид системы. Он подразумевает, что каждая цифра в числе не зависит от ее расположения (позиции, разряда). Например, придуманная чуть выше система - это непозиционная. Так как вы можете выкладывать спички и коробки в любом угодном вам порядке (хоть кружком, хоть наискосок) и от этого их общая сумма не изменится. 2. Позиционная система счисления (однородная)
- данная система подразумевает, что каждый символ в купе с его позицией имеют смысл. Например, привычная нам десятичная система. В ней порядок следования числе важен и влияет на само число. Так 120 не равно 201, хотя сами цифры в них одинаковые. При этом важно отметить, что у позиционных однородных систем каждая позиция может принимать любое из базовых элементов исчисления. То есть, если речь идет о двоичной системе, то значение в любом разряде может быть 0 или 1. Для восьмеричной - от 0 до 7. И так далее. 3. Смешанная система счисления
- как и следует из названия, это различные вариации систем. Чаще всего, они представляют собой модифицированные позиционные системы исчисления. Например, дата и время, в которой есть ограничения порядка следования чисел и их возможных значений. Градации хоть и кажутся весьма простыми, но все же стоит помнить, что сегодня существует огромное количество систем счисления, которые применяются в разнообразных сферах. Это и криптография, и компьютеры, и многое многое другое. Кроме того, если рассматривать тот же пример про спички, то таких систем в обыденности придумывается много. Например, учет сделанных и не сделанных дел каждый может вести своеобразным образом (есть общая стопка дел, есть стопка сделанных дел, листок из одной перекладывается в другую в любом порядке по мере готовности). Теперь, вы знаете о том, что такое системы счисления, зачем они нужны и какие они бывают.десятичная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
старший разряд
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
10
3
4
100
11
4
5
101
12
10
6
110
20
11
7
111
21
12
8
1000
22
13
9
1001
100
14
10
1010
101
20
11
1011
102
21
12
1100
110
22
13
1101
111
23
14
1110
112
24
15
1111
120
30
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
12
10
13
11
14
12
15
13
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
0
0
1
1
10
2
11
3
100
4
101
5
110
6
111
7
0
0
1
1
10
2
11
3
100
4
101
5
110
6
111
7
1000
8
1001
9
1010
A
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F