1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))

Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)

Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.

Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например: (слайд 7)

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.

(Слайд 8) таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

Первообразная для f(kx+b).

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ

« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».

11 а класс с углубленным изучением математики

Проблемное изложение.

Проблемно – поисковые технологии обучения.

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ЦЕЛЬ УРОКА:

Активизировать мыслительную деятельность;

Способствовать усвоению способов исследова-

Обеспечить более прочное усвоение знаний.

ЗАДАЧИ УРОКА:

ввести понятие первообразной;

доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);

ввести определение неопределенного интеграла;

доказать свойства неопределенного интеграла;

отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

повторить правила и формулы дифференцирования

понятие дифференциала.

ХОД УРОКА

Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

цирования).

1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную

скорость в любой момент времени.

2. Зная, что количество электричества, протекающего

через проводник выражается формулой q (t) = 3t - 2 t,

выведите формулу для вычисления силы тока в любой

момент времени t.

I (t) = 6t - 2.

3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-

мени, найти закон его движения.

Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-

бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для

определения количества электричества, проходящего

через проводник.

Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя

имеющиеся у нас средства?

(Создание проблемной ситуации).

Предположения учащихся:

Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x) ее производную.

Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?

Вывод учащихся:

Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е.

Такая операция называется интегрированием, точнее

неопределенным интегрированием.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.

Введем определение. (кратко символически записывается

на доске).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

ке X, называют первообразной для функции задан-

ной на том же промежутке, если для всех x X

выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .

Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция

x является первообразной на всей числовой оси

для функции 2x.

Используя определение первообразной, выполните упражнение

№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-

ной для функции f, если

1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x +
, f (x) = 4x sinx + x cosx +
.

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

руя свои действия.

Является ли функция х единственной первообразной

для функции 2х?

Учащиеся приводят примеры

х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

Вывод делают сами учащиеся:

любая функция имеет бесконечно много первообразных.

Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,

является первообразной функции х.

Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-

ную F, то для любого числа С функция F + C также

является первообразной для f . Иных первообразных

функция f на Х не имеет.

Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то

F (x) = f (x) для всех х Х.

Тогда для х Х для любого С имеем:

(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже

первообразная f на Х.

б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f

не имеет.

Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно

Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда

Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная

функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-

ных для данной функции?

Вывод формулируют учащиеся:

Задача отыскания всех первообразных, решается

отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб- +
.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

= A .

=

=
+ С.

Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.

Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3).

Вычислите интегралы.

.

Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

Тип урока: обобщающий.

Задачи:

Обучающие : систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие : способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие : побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Ход урока

І. Организационный момент

Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)

ІІ. Повторение

Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.

III. Проверка домашнего задания

Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.

IV. Аукцион задач

1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.

2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.

3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h

4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х

5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2

V. Самостоятельная работа

К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.

Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.

Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:

VI. Математическая эстафета

Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.

VІI. Из истории

Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.

VІІІ. Рефлексия

Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?

Урок алгебры в 12 классе.

Тема урока: «Первообразная. Интеграл»

Цели:

образовательные

Обобщить и закрепить материал по данной теме: определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

Развивающие

выполнять задания повышенной сложности, развивать обще учебные навыки и учить мыслить и выполнять контроль и самоконтроль

Воспитывающие

Воспитывать, положительное отношение к учебе, к математике

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний

Формы работы: групповая, индивидуальная, дифференцированная

Оборудование: карточки для самостоятельной работы, для дифференцированной работы, лист самоконтроля, проектор.

Ход урока

Организационный момент

Цели и задачи урока: Обобщить и закрепить материал по теме «Первообразная. Интеграл» - определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

Урок проведем в форме игры.

Правила:

Урок состоит из 6 этапов. Каждый этап оценивается определенным количеством баллов. В оценочном листе выставляете баллы за свою работу на всех этапах.

1 этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики –нолики».

2 этап. Практический. Самостоятельная работа. Найти множество всех первообразных.

3 этап. «Ум - хорошо, а 2 - лучше». Работа в тетрадях и 2 ученика на отворотах доски. Найти первообразную функции график которой проходит через точку А).

4.этап. «Исправь ошибки».

5. этап. «Составь слово» Вычисление интегралов.

6. этап. «Спешите видеть». Вычисление площадей фигур,ограниченных линиями.

2. Оценочный лист.

Математический

диктант

Самостоятельная работа

Устный ответ

Исправь ошибки

Составь слово

Спешите видеть

9баллов

5+1баллов

1балл

5баллов

5баллов

20баллов

3мин.

5мин.

5мин.

6 мин

2. Актуализация знаний:

этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики – нолики»

Если утверждение верно - Х, если неверно-0

Функция F (x ) называется первообразной на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

Первообразная степенной функции всегда степенная функция

Первообразная сложной функции

Это формула Ньютона-Лейбница

Площадь криволинейной трапеции

Первообразная суммы функций = сумме первообразных, рассматриваемых на заданном промежутке

Графики первообразных функций получены параллельным переносом вдоль оси Х на постоянную С.

Произведение числа на функцию равно произведению этого числа на первообразную данной функции.

Множество всех первообразных имеет вид

Устный ответ-1 балл

Всего 9 баллов

3. Закрепление и обобщение

2 этап . Самостоятельная работа.

«Примеры учат лучше, чем теория».

Исаак Ньютон

Найти множество всех первообразных:

1 вариант

Множество всех первообразных Множество всех первообразных

вариант

Множество всех первообразных Множество всех первообразных

Самопроверка.

За верно выполненные задания

1 вариант -5 баллов,

за 2 вариант +1 балл

За дополнение 1 балл.

этап . « Ум хорошо, а - 2 лучше».

Работа на отворотах доски двух учеников и все остальные в тетрадях.

Задание

1 вариант. Найти первообразную функции, график, которой проходит через точку А(3;2)

2 вариант. Найти первообразную функции, график которой проходит через начало координат.

Взаимопроверка.

За правильное решение -5 баллов.

этап . Хочешь, верь - хочешь, проверь.

Задание: исправить ошибки, если они допущены.

Найти упражнения с ошибкой:

Этап . Составить слово.

Вычислить интегралы

1 вариант.

вариант.

Ответ: БРАВО

Самопроверка. За верно выполненное задание – 5 баллов.

этап. «Спешите видеть».

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.

Задание: построить фигуру и вычислить её площадь.

2 балла

2 балла

4 балла

6 балла

6 балла

Проверка индивидуально у учителя.

За верно выполненные все задания - 20 баллов

Подведение итогов:

На уроке рассмотрены основные вопросы

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №24 р. п. Юрты

Иркутской области.

Учитель Трушкова Наталья Евгеньевна.

Нестандартные формы закрепления, проверки знаний и умений учащихся по математике.

Национальная образовательная инициатива «Наша новая школа» предполагает применение в образовательном процессе индивидуального подхода, использование таких образовательных технологий и программ, которые развивают у каждого ребёнка интерес к процессу обучения. Решение этих задач требует обеспечения компетентностного подхода в обучении, взаимосвязи академических знаний и практических умений.

Огромные возможности для активизации познавательного интереса учащихся имеют уроки обобщения и систематизации знаний, интегрированные уроки, нетрадиционные уроки.

Важный вопрос, который волнует каждого учителя,- как сделать уроки математики интересными, нескучными и запоминающимися? Предлагаемый материал помогает решить эту задачу, призван помочь в организации нестандартных уроков. На уроке прослеживается связь теории и практики, сознательности и активности, положительной мотивации и благоприятного эмоционального фона. Эти принципы предполагают создание атмосферы сотрудничества между учителем и учащимися, между самими учащимися, стимулирование интереса учащихся.

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы. Поэтому в своей практике я уделяю серьёзное внимание способам организации контроля, его содержанию.

Урок-зачет (тематический)

по теме «Первообразная и интеграл». 11 класс. (2 урока).

Тема: Первообразная и интеграл.

Цели:

1. Проверить теоретические знания учащихся по теме.

2. Проверить умения, навыки учащихся по нахождению первообразной, вычислению площади криволинейной трапеции, вычислению интегралов.

3. Выявить пробелы в знаниях учащихся с целью их устранения перед контрольной работой.

4. Воспитывать у учащихся ответственное отношение к учёбе, ответственность перед товарищами, сопереживание.

Универсальные учебные действия (УУД), которые будут формироваться в ходе урока

Личностные:

Сформированность коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками;

Сформированность ответственного отношения к учению;

Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

Слушать и понимать других;

Строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами;

Коммуникативные:

Согласованно работать в группе:

Контроль оценки и действий партнёра;

С достаточной точностью выражать свои мысли.

Регулятивные:

Контроль (сличение с заданным эталоном).

Коррекция и оценка знаний и способов действий.

Оборудование:

а) компьютер, мультимедийный проектор, экран, слайды.

б) карточки;

в) раздаточные доски;

г) мел, тряпочки;

д) жетоны;

е) указатели столов.

Ход урока.

Сообщение темы и целей урока (тема урока записана на доске).

Сообщение учителем итогов подведения зачёта (таблица записана на доске).

Класс работает по группам 4 – 5 человек (столы сдвинуты по два).

Представитель каждой группы выходит к столу учителя и берет теоретический вопрос (карточки с вопросами перевернуты). Группа готовится к ответу таким образом, чтобы любой ученик группы мог ответить на этот вопрос у доски.

На подготовку вопроса теории – 10 минут. По истечении этого времени каждой группе даются на подносах жетоны, где на одном из них стоит знак «+». Ученики по берут жетоны. Тот ученик, которому достался жетон с «+», идёт отвечать к доске на вопрос теории.

Группы готовят ответы на теорию на раздаточных досках, которые затем используют при ответе.

Каждый теоретический вопрос оценен баллом «3», кроме карточки №5. За ответ по карточке №5 дается 5 баллов.

Одна группа отвечает, остальные слушают и рецензируют ответ, дают оценку ответу (за 1 балл).

4.Проверка теории по карточке №1. Слайд 1.

Проверка теории по карточке №2. Слайд 2.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №3. Слайд 3.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №4. Слайд 4.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №5. Слайд 5.

(за правильный ответ на примеры– 1 балл).

После проверки теоретического материала объявляются итоги.

Во время перемены столы расставляются обычным образом.

1 ученик у доски:

После этого учащимся раздаются задания по вариантам (за каждое правильно решенное задание – 2 б); всего – 10 баллов.

Вариант 1.

а) f(x)=2 3; б) f(x)= +x 2 на (0;).

Вариант 2.

Найдите первообразную для функции: а) f(x)= -2 ; б) f(x)= - x 2 на (0;).

Те учащиеся, которые быстро решат все задания, получают дополнительное задание (2 примера) по вариантам. (Каждый пример – 3 балла).

После того, как все карточки сданы на проверку, у доски решается задание (1 ученик у доски), остальные решают в рабочих тетрадях.

Если останется время:

1 вариант		2 вариант
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +3; у=2х.		Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +2;
Вычислите интегралы:

Объявляются итоги по зачету.

Для подсчета баллов удобно сделать таблицу:

			упражнения	Оценка теории		Работа по вариантам по 2б.(макс.10б.)	Дополнительные карточки	Дополнительные задания по 3 б.
	Попова Е.

2 вариант

Такая же таблица делается для 1 варианта. Для подсчёта баллов привлекаются учащиеся другого 11 класса.